概率論獨(dú)立性

1、概率論概率論 第六節(jié) 獨(dú)立性 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 1 1）兩個事件的獨(dú)立性）兩個事件的獨(dú)立性 2 2）多個事件的獨(dú)立性）多個事件的獨(dú)立性 3 3）獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用）獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用 重點(diǎn)：重點(diǎn)： 1 1）兩個、多個事件獨(dú)立性的定義）兩個、多個事件獨(dú)立性的定義 2 2）利用獨(dú)立性的概念接概率題目）利用獨(dú)立性的概念接概率題目 概率論概率論 顯然顯然 P(A|B)=P(A) 這就是說這就是說,已知事件已知事件B發(fā)生發(fā)生,并不影響事件并不影響事件A發(fā)生的概發(fā)生的概 率率,這時稱事件這時稱事件A、B獨(dú)立獨(dú)立. 一、兩事件的獨(dú)立性一、兩事件的獨(dú)立性 A=第二次擲出第二次擲出6

2、點(diǎn)點(diǎn)， B=第一次擲出第一次擲出6點(diǎn)點(diǎn)， 先看一個例子：先看一個例子： 將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次， 設(shè)設(shè) 概率論概率論 由乘法公式知，由乘法公式知，當(dāng)事件當(dāng)事件A、B獨(dú)立時，有獨(dú)立時，有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨(dú)立性刻劃獨(dú)立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制約的制約. P ABP A B P B 概率論概率論 若兩事件若兩事件A、B滿足滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 則稱則稱A、B相互獨(dú)立相互獨(dú)立，簡稱，簡稱A

3、、B獨(dú)立獨(dú)立. 兩事件獨(dú)立的定義兩事件獨(dú)立的定義independence 1 定定理理 獨(dú)獨(dú)立立的的充充要要條條件件為為、事事件件BA 0,| 0, | APBPABP BPAPBAP 或或 概率論概率論 證證 . 先先證證必必要要性性 , 由由獨(dú)獨(dú)立立定定義義知知獨(dú)獨(dú)立立、設(shè)設(shè)事事件件BA BPAPABP | , 0 , BP ABP BAPBP 時時當(dāng)當(dāng)所所以以 BP BPAP AP | , 0 , AP ABP ABPAP 時時當(dāng)當(dāng)或或者者 AP BPAP BP : 再再證證充充分分性性 , | 則則有有成成立立設(shè)設(shè)APBAP BPBAPABP| BPAP . , 相互獨(dú)立相互獨(dú)立、事件

4、事件由定義可知由定義可知BA 概率論概率論 例例 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，從一副不含大小王的撲克牌中任取一張， 記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 可見可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 故故 事件事件A、B獨(dú)立獨(dú)立. 問事件問事件A、B是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？ 解解 P(AB)=2/52=1/26. P(B)=26/52=1/2, 概率論概率論 前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論 的，也可以通過計(jì)算條件概率去做的，也可以通過計(jì)算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取

5、一張從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, 往往往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去根據(jù)問題的實(shí)際意義去 判斷兩事件是否獨(dú)立判斷兩事件是否獨(dú)立. 可見可見 P(A)= P(A|B), 即事件即事件A、B獨(dú)立獨(dú)立. 則則 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 概率論概率論 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判 斷兩事件是否獨(dú)立斷兩事件是否獨(dú)立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影響并不影響“乙命中乙命中”的概率，的概率， 故認(rèn)為故認(rèn)為A、B獨(dú)立獨(dú)立 . 甲、乙兩人向

6、同一目標(biāo)射擊甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？ 例如例如 （即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率） 概率論概率論 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設(shè)件，設(shè) Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2 若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A2獨(dú)立獨(dú)立. 因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次 抽取的影響抽取的影響. 又如：又如： 因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果 不受第一次抽取的影響不受第一次抽取的影響. 若抽取是無放

7、回的，則若抽取是無放回的，則A1與與A2不獨(dú)立不獨(dú)立. 概率論概率論 例 一批產(chǎn)品共有10件，其中8件正品，2件次品，設(shè) 1）有放回抽樣 12 88 (), (), 1010 P AP A而 1212 8 8 ()() (). 10 10 P A AP A P A 所以在又放回抽樣下，第i次和第j次抽到正品是獨(dú)立的。 =第i次取到正品，則 i A 2）無放回抽樣 1 8 (), 10 P A 212121212 ()()()()P AP A AA AP A AP A A 概率論概率論 211211 (|) ()(|) ()P AA P AP AA P A 87284 . 1091095 而 1

8、2 8 728 (). 10 945 P A A 因?yàn)?1212 ()() ()P A AP A P A 所以在有放回抽樣 下，第i次取到正品和第j次取到正品 不是獨(dú)立的. 概率論概率論 請問：如圖的兩個事件是獨(dú)立的嗎？請問：如圖的兩個事件是獨(dú)立的嗎？ AB 即即 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨(dú)立不獨(dú)立. 反之，若反之，若A與與B獨(dú)立，且獨(dú)立，且P(A)0,P(B)0,則則A 、B不互不互 斥斥. 而而P(A) 0, P(B) 0 故故 A、B不獨(dú)立不獨(dú)立 我們來計(jì)算：我們來計(jì)算： P(AB)=0 P(AB) P(A)P(B)即即 概率論概率論 設(shè)設(shè)A、B

9、為互斥事件，且為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四 個結(jié)論中，正確的是：個結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系， 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 設(shè)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且為獨(dú)立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四 個結(jié)論中，正確的是：個結(jié)論中，正確的是： 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 再請你做個小練習(xí)再請你做個小練習(xí). 概率論概率論 =P(A)1- P(B)

10、= P(A)- P(AB) BP(A )= P(A - A B) A、B獨(dú)立獨(dú)立 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) = P(A)- P(A) P(B) 僅證僅證A與與 獨(dú)立獨(dú)立B 定理定理 2 若兩事件若兩事件A、B獨(dú)立獨(dú)立, 則則 BABABA與與與, 也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立. 證明證明 B = P(A) P( ) 故故 A與與 獨(dú)立獨(dú)立B 概率論概率論 n概念辨析概念辨析 事件與事件獨(dú)立事件與事件獨(dú)立 事件與事件互不相容事件與事件互不相容 ()( )( )P ABP AP B AB ()0P AB 事件與事件為對立事件事件與事件為對立事件 AB AB ( )( )1P AP B 概率論概率論 定義定義

11、, 如如果果滿滿足足等等式式為為三三事事件件、設(shè)設(shè)CBA CPBPBCP CPAPACP BPAPABP . 為為兩兩兩兩獨(dú)獨(dú)立立的的事事件件、則則稱稱三三事事件件CBA , 等式等式兩兩獨(dú)立時兩兩獨(dú)立時、當(dāng)事件當(dāng)事件CBA CPBPAPABCP . 不不一一定定成成立立 二、多個事件的獨(dú)立性二、多個事件的獨(dú)立性 概率論概率論 例例 設(shè)同時拋擲兩個均勻的正四面體一次，每設(shè)同時拋擲兩個均勻的正四面體一次，每 一個四面體標(biāo)有號碼一個四面體標(biāo)有號碼1 1，2 2，3 3，4 4。令。令 A=A=第一個四面體的觸地面為偶數(shù)第一個四面體的觸地面為偶數(shù) B=B=第二個四面體第二個四面體的觸地面為的觸地面為

12、奇數(shù)奇數(shù) C=C=兩個四面體兩個四面體的觸地面的觸地面同時同時為為奇數(shù)，或者同奇數(shù)，或者同 時為偶數(shù)時為偶數(shù) 試討論試討論A A、B B、C C的相互獨(dú)立性。的相互獨(dú)立性。 概率論概率論 A=第一個第一個為偶數(shù)為偶數(shù)；B=第二個第二個為奇數(shù)為奇數(shù) C=兩個兩個同時為奇數(shù)，或者同時為偶數(shù)同時為奇數(shù)，或者同時為偶數(shù) (1,1)(1,2)(1,3)(1,4) (2,1)(2,2)(2,3)(2,4) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4) (4,1)(4,2)(4,3)(4,4) 1 ( )( )( ) 2 P AP BP C 1 ()()() 4 P ABP ACP BC ()0P ABC 解解

13、 試驗(yàn)的樣本空間為試驗(yàn)的樣本空間為 所以，所以，A、B、C 兩兩獨(dú)立，但總兩兩獨(dú)立，但總 起來講不獨(dú)立。起來講不獨(dú)立。 概率論概率論 對于三個事件對于三個事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四個等式同時成立四個等式同時成立,則稱則稱事件事件A、B、C相互獨(dú)立相互獨(dú)立. : 有有限限多多個個事事件件的的情情形形此此定定義義可可以以推推廣廣到到任任意意 概率論概率論 定義定義 , , , 21 如如果果對對于于任任意意個個事事件件為為設(shè)設(shè)nAAA n 1 , 1 21 有有

14、等等式式和和任任意意的的的的niiinkk k kk iiiiii APAPAPAAAP 2121 . , , 21 為相互獨(dú)立的事件為相互獨(dú)立的事件則稱則稱 n AAA 請注意請注意多個事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系多個事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系 兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立 對對 n (n 2)個事件個事件 ? 概率論概率論 , 2都都每每一一門門擊擊中中飛飛機(jī)機(jī)的的概概率率設(shè)設(shè)有有兩兩門門高高射射炮炮例例 : , 0.6 求下列事件的概率求下列事件的概率是是 ? 1中飛機(jī)的概率是多少中飛機(jī)的概率是多少同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊 99% , 2以以上上的的概概

15、率率欲欲以以若若有有一一架架敵敵機(jī)機(jī)入入侵侵領(lǐng)領(lǐng)空空 ? , 炮炮問問至至少少需需要要多多少少門門高高射射擊擊中中它它 解解 , 而擊中飛機(jī)而擊中飛機(jī)門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈第第設(shè)設(shè)kAk , 6 . 0 , , 2 , 1 于于是是且且之之間間相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則 kk APAk 21 1AAP 21 1AAP 21 1AAP 三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用 概率論概率論 21 1APAP 2 4 . 01 . 0.84 , 2由由題題知知門門高高射射炮炮設(shè)設(shè)至至少少需需要要n 21n AAAP 1 21n AAAP 1 21n AAAP

16、 n APAPAP 21 1 n 4 . 01 0.99 , 01. 00.4 n , 解之得解之得 . 026. 5 4 . 0ln 01. 0ln n 即即 概率論概率論 ?. 4 100 . 0.01 ; 0.95 . , 3 , ) 3 ( 3 : . 100 3 概率是多少概率是多少試問這批樂器被接收的試問這批樂器被接收的音色不純的音色不純的 件是件是件樂器中恰有件樂器中恰有如果已知這如果已知這的概率為的概率為 測試被誤認(rèn)為不純測試被誤認(rèn)為不純而一件音色純的樂器經(jīng)而一件音色純的樂器經(jīng)為為 出其為音色不純的概率出其為音色不純的概率試查試查件音色不純的樂器經(jīng)測件音色不純的樂器經(jīng)測 設(shè)一設(shè)

17、一收收則這批樂器就被拒絕接則這批樂器就被拒絕接被認(rèn)為音色不純被認(rèn)為音色不純 中中件中至少有一件在測試件中至少有一件在測試如果如果是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的 件樂器的測試件樂器的測試設(shè)設(shè)件測試件測試該批樂器中隨機(jī)地取該批樂器中隨機(jī)地取 自自驗(yàn)收方案如下驗(yàn)收方案如下樂器樂器件件要驗(yàn)收一批要驗(yàn)收一批例例 概率論概率論 解解 , , 3 件音色不純件音色不純恰有恰有件件隨機(jī)地取出隨機(jī)地取出設(shè)設(shè)iH i . 3210,i . 這批樂器被接收這批樂器被接收 A 則則 AP 11 HPH|APHPH|AP 00 3322 HPH|APHPH|AP 其中其中 0 HP , 3 100 3 96 C C 1 HP

18、 , 1 4 2 3 100 96 C CC 2 HP , 2 4 1 3 100 96 C CC 3 HP , 3 4 3 100 C C 概率論概率論 0 H|AP , 0.99 3 1 H|AP , 0.050.99 2 2 H|AP , 0.050.99 2 3 H|AP . 0.05 3 : 概率為概率為所以這批樂器被接收的所以這批樂器被接收的 AP 11 HPH|APHPH|AP 00 3322 HPH|APHPH|AP 30.99 3 100 3 96 C C 0.050.99 2 1 4 2 3 100 96 C CC 2 2 4 1 0.050.99 3 100 96 C C

19、C 0.05 3 3 4 3 100 C C . 0.8629 概率論概率論 例例4 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯 出的概率分別為出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人，問三人中至少有一人 能將密碼譯出的概率是多少？能將密碼譯出的概率是多少？ 解解 將三人編號為將三人編號為1，2，3， 所求為所求為 記記 Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1 , 2 , 3 123 P AAA 已知已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4 123123 1P AAAP AAA 概率論概率論 1 2

20、)(1 321 AAAP )()()(1 321 APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 0 5 3 4 3 3 2 5 4 1 3 123123 1P AAAP AAA 概率論概率論 例例5 下面是一個串并聯(lián)電路示意圖下面是一個串并聯(lián)電路示意圖. A、B、 C、D、E、F、G、H 都是電路中的元件都是電路中的元件. 它們下它們下 方的數(shù)是它們各自正常工作的概率方的數(shù)是它們各自正常工作的概率. 求電路正常工求電路正常工 作的概率作的概率. AB C E D F G H 95. 0 95. 0 95. 0 70. 0 70. 0 70. 0 75. 0 75. 0

21、 概率論概率論 解解 將電路正常工作記為將電路正常工作記為W，由于各元件獨(dú)立工，由于各元件獨(dú)立工 作，有作，有 其中其中 P(W) 0.782 代入得代入得 AB C E D F G H 95. 0 95. 0 95. 0 70. 0 70. 0 70. 0 75. 0 75. 0 P WP A P B P CDE P FG P H 1P CDEP C P D P E0.973 1P FGP F P G 0.9735 概率論概率論 將試驗(yàn)將試驗(yàn)E E重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行n n次次, ,若各次試驗(yàn)的結(jié)若各次試驗(yàn)的結(jié) 果互不影響果互不影響, ,則稱這則稱這n n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立次試驗(yàn)是相互獨(dú)立 的的.

22、 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E只有兩種可能的結(jié)果只有兩種可能的結(jié)果:A:A及及 , ,且且 P(A)=p,P(A)=p,在相同的條件下將在相同的條件下將E E重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行n n次獨(dú)立次獨(dú)立 試驗(yàn)試驗(yàn), ,則稱這一串試驗(yàn)為則稱這一串試驗(yàn)為n n重貝努利試驗(yàn)重貝努利試驗(yàn). . 貝努利試驗(yàn)貝努利試驗(yàn)Bernoulli trialsBernoulli trials n 相互獨(dú)立的試驗(yàn)相互獨(dú)立的試驗(yàn) n 貝努利試驗(yàn)貝努利試驗(yàn) A 概率論概率論 例例 一批產(chǎn)品的次品率為一批產(chǎn)品的次品率為 5%，從中每次任取一個，從中每次任取一個， 檢驗(yàn)后放回，再取一個，檢驗(yàn)后放回，再取一個， 連取連取 4 次求次求 4

23、 次中恰有次中恰有 2 次取到次品的概率次取到次品的概率 設(shè)設(shè) 恰好有恰好有 2 2 次取到次品次取到次品, , 取到次品，取到次品， 則則 取到正品取到正品 A ( )5%pP A( )1( )195%qP AP Ap 1234 ()()()()5%P AP AP AP A 1234 ()()()()95%P AP AP AP A 分析分析n = 4 n = 4 的的 Bernoulli Bernoulli 試驗(yàn)試驗(yàn) i i=第第i i次抽樣抽到次品次抽樣抽到次品 2021/3/11 31 概率論概率論 因?yàn)橐驗(yàn)? 1，2 2，3 3，4 4 相互獨(dú)立，所以相互獨(dú)立，所以 12341234

24、()() () () ()P A A A AP A P A P A P A 24222 95. 005. 0 qp 123412341234 ( )()P BP A A A AA A A AA A A A 2242 4 C p q 22 95. 005. 060135. 0 123412341234 , , , A A A AA A A AA A A A 123412341234 , ,A A A AA A A AA A A A 四次抽樣中恰好發(fā)生兩次（有兩次取到次品）的情況有四次抽樣中恰好發(fā)生兩次（有兩次取到次品）的情況有 6 2 4 C 2021/3/11 32 概率論概率論 貝努利定理貝努利定理 設(shè)在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為設(shè)在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為 p (0p1) ， 則在則在n次貝