人教版高中數學必修⑤《數列求和》教學設計

1、課題：必修數列求和三維目標： 1、 知識與技能（1）通過對特殊數列求和的學習，培養(yǎng)學生將等差數列，等比數列的知識靈活運 用，培養(yǎng)和提高學生觀察問題，分析問題，解決問題的能力；（2）在掌握等差數列，等比數列的求和公式及一些常用的數列的和的公式的基礎上理解或掌握一些常用的求和的思想方法：公式法、變換通項法（如：分項組合、裂項相消）、倒序相加法、錯位相減法、并項法；（3）會用上述求和方法解決一些簡單的與前項和有關的問題.2、過程與方法（1）經歷各種基本的求和的思想方法的探究與應用，進一步理解數列的求和方法的本質轉化思想，培養(yǎng)學生利用轉化思想轉化的能力；在知識、方法發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀察

2、、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（2）通過方法的探索與總結、公式的推導過程，展現數學中的“美”的價值，體會這些思想方法的聯(lián)系和本質；為進一步熟練、恰當運用奠定良好的基礎；（3）培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學生的運算能力、嚴謹的思維習慣以及解題的規(guī)范性。3、情態(tài)與價值觀(1) 通過對數列知識的進一步學習，不斷培養(yǎng)自主學習、合作交流、善于反思、勤于總結的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（2）通過生動具體的現實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，產生熱愛數學的情感, 形成學數學、用數學的思維和意識，培養(yǎng)學好數學的信心，體驗在

3、學習中獲得成功的成就感，為遠大的志向而不懈奮斗。 教學重點：數列求和的幾種常用方法：公式法、變換通項法、錯位相減法、倒序相加法教學難點：運用某種方法前的轉化思路及方法的恰當性教 具：多媒體、實物投影儀教學方法：合作探究、分層推進教學法教學過程：一、雙基回眸 科學導入：前面，我們學習等差數列、等比數列的概念、通項公式、前n項和公式及其有關性質，并運用這些知識解決了許多相關問題和實際問題，請同學們回顧一下學過的這些基本知識和性質：關于等差數列： 差數列定義：即(n2) 由三個數a，a，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，a叫做a與b的等差中項。 等差數列通項公式：(n1) 在等差數列中

4、， 若m + n= p + q 則 等差數列的前n項和的公式 ，關于等比數列：等比數列定義：即(n2) 由三個數a，g，b組成的等比數列可以看成最簡單的等比數列，這時，g叫做a與b的等比中項。 等比數列通項公式：(n1) 在等比數列中， 若m + n= p + q 則 等比數列的前n項和的公式sn= （q1） sn=（q1） 通過各種求和問題，大家可體會出數列求和的重要性。兩種重要的數列都學完了，下面我們再進一步總結一下數列求和的基本方法，通過應用體現數列知識及相關數學知識的聯(lián)系和綜合運用。二、 創(chuàng)設情境 合作探究：同學們，等差數列、等比數列的前n項和公式的推導用的是什么方法呢？這些方法還有進

5、一步的運用嗎？下面同學們合作探究一些求和問題，看能否還能用上這些方法，并進一步總結出更多的方法?！疽I學生合作探究，通過解決相關的問題層層總結出數列求和的各種基本方法，展現一些求和方法的廣泛性】【方法一】公式法 前面所做的關于等差、等比數列的求和問題均是直接采用的公式法，這里就不詳細介紹了。下面的方法不是直接運用公式，大都是通過轉化思想轉化為運用基本公式。 利用下列常用求和公式求和（有的要采用轉化思想）是數列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數列求和公式： 2、等比數列求和公式：3、 4、5、【方法二】變換通項法（如：分項組合、裂項相消） 問題1.求數列的前n項和：，【分析】通過引領學生分

6、組合作探究出【方法二】變換通項法中的分項組合【解析】設將其每一項拆開再重新組合得 （分組）當a1時， （分組求和）當時，【點評】通過此題說明數列求和的變換通項法的思路充分體現轉化思想；問題2.求和 【分析】通過引領學生分組合作探究出【方法二】變換通項法中的裂項相消【解析】 從而 【點評】解決此題緊抓住通項公式的特點，進行巧妙變形，進一步說明數列求和的變換通項法的思路充分體現轉化思想；【方法三】錯位相減法 前面推導等比數列的求和公式就是運用了此法問題3.求數列前n項的和.【分析】通過引領學生分組合作探究出【方法三】錯位相減法【解析】由題可知，的通項是等差數列2n的通項與等比數列的通項之積設 （設

7、制錯位）得 （錯位相減） 【點評】通過此題說明等比數列的前n項和公式的推導方法的重要性；由此可進一步通過各種題目總結幾種常見求和的方法?！痉椒ㄋ摹康剐蛳嗉臃ㄇ懊嫱茖У炔顢盗械那蠛凸骄褪沁\用了此法問題4.的值 【分析】通過引領學生分組合作探究出【方法四】倒序相加法【解析】設. 將式右邊反序得 （倒序） 又因為 +得 （倒序相加）89 s44.5【點評】通過此題可進一步體會等差數列的前n項和公式的推導方法的本質【方法五】并項法問題5.求1-2+3-4+5-6+2n-1-2n【分析】通過引領學生分組合作探究出【方法五】并項法【解析】1-2+3-4+5-6+2n-1-2n=（1-2）+（3-4）+(

8、 5-6) +( 2n-1-2n) =-1-1-1-1= 【點評】此題的解法實際上也是對通項進行了一些恰當的變化、組合，但不是對某一項，而是對相鄰的兩項進行的變換三、互動達標 鞏固所學：有了上面的各種基本方法，再通過互動地解決下面的針對性問題，鞏固這些方法，從而進一步理解這些方法，便于將來的更加熟練、靈活地運用 問題.6求下列數列的前項和：（1）； （2）；（3）5，55，555，5555，；（4）； （5）1 , 2x , 3x2 , 4x3 nxn-1；（x0）（6）cos1，cos2， cos3， ， cos178，cos179【問題答案】 （1）， 原式（2）， =（3）（4） (5)

9、 解：設sn=1+2x+3x2+4x3+ +nxn-1 則xsn=x+2x2+3x3+4x3+ +nxn - 得 （1-x）s n = 1+x+x2+x3+ +x n-1-nx n 當x=1時，在原式中sn=1+2+3+4 + +n=當x時 (6)設sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 0 （合并求和）四、思悟小結：知識線：（1）等差數列前 項和公式； （2）等比數列前 項和公式；（3）數列的相關的性質及相關的數學公式

10、。思想方法線： （1）數列求和的基本方法：【方法一】公式法【方法二】變換通項法（如：分項組合、裂項相消）【方法三】錯位相減法【方法四】倒序相加法【方法五】并項法（2）轉化思想題目線：利用上述思想方法求相關的數列的和的問題。五、針對訓練 鞏固提高：1求數列的前n項和：，解：設將其每一項拆開再重新組合得 當a1時， 當時，2求數列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設 將其每一項拆開再重新組合得 sn = 3（07高考山東文18）設是公比大于1的等比數列，為數列的前項和已知，且構成等差數列（1）求數列的等差數列（2）令求數列的前項和解：（1）由已知得解得設數列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數列的通項為（2）由于由（1）得， 又是等差數列故4（07高考全國文21）設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，（）求，的通項公式；（）求數列的前n項和解：（）設的公差為，的公比為，則依題意有且解得，所以，（），得，5（09高考山東文20）等比數列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數且均為常數)的圖像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求r的值； （11）當b=2時，記 求