應(yīng)用回歸分析,第2章課后習(xí)題參考答案匯總

1、第二章一元線性回歸分析思考與練習(xí)參考答案2.1 一元線性回歸有哪些基本假定？答：假設(shè)1、解釋變量x是確定性變量，y是隨機(jī)變量；假設(shè)2、隨機(jī)誤差項(xiàng)e具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性:e( i)=02var ( i)=二cov( i, j)=0i=1,2,ni=1,2,ni wj i,j= 1,2,，n假設(shè)3、隨機(jī)誤差項(xiàng)e與解釋變量x之間不相關(guān):cov(xi, i)=0i=1,2,，n假設(shè)4、e服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布in(0,仃2)i=1,2,，n2.2 考慮過原點(diǎn)的線性回歸模型yi= 3ixi+ a i=1,2,，n誤差& (i=1,2,)n仍滿足基本假定。求 自的最小二乘估計(jì)解

2、:nnqe 一 (yi -r)2 - (yi -?ixi)2 i =1i=1qe = 2. (yi /xi)xi =0二？1i 1n” (xiyj i dnx (xi2)i t2.3 證明(2.27 式)，工ei =0 ,工eixi=0 。nnq=z (y -y?)2 =s (y -(k+因xj)2證明：11其中：葉=用+歌 e=y-y?i (向+a37= o|vo+/?rvj-t；)a； = 0即:三 eixi=02.4 回歸方程e (y)=向+自x的參數(shù) 亂例的最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)在什 么條件下等價(jià)？給出證明。答：由于 e in(0,仃2)i=1,2,，n所以 yi=0 + x +

3、qn (向+ ixi ,仃2 )最大似然函數(shù)：一 一 2-n2n/217- 一2l( 0, 1,02) =nlfi(yi) =(2二二 2)exp yi -( 01 0,xi)22 ijcm)n91，ncc9lnl( 0, 1,二 2)= -2 二二2)一2% yi -( 01 0,x i )222 ij使彳3ln (l)最大的網(wǎng)，邑就是由，伉的最大似然估計(jì)值。同時(shí)發(fā)現(xiàn)使得ln (l)最大就是使得下式最小， nnq = (y t)2 = (y-(凡+ xi)2 11上式恰好就是最小二乘估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)相同。值得注意的是：最大似然估計(jì)是在in(0,。2)的假設(shè)下求得，最小二乘估計(jì)則不要求分布假設(shè)。

4、所以在in(0,仃2 )的條件下，參數(shù)亂代的最小二乘估計(jì)與最大似然估 計(jì)等價(jià)。2.5 證明穌是由的無偏估計(jì)。n _ n x _ x證明：e(彳)=e(y- zx)= e-x yi - x iyi)nid lxx二 en (l_x)yi = en (口一 xa)。,)i=1 nlxxy nlxx=e 0 ： p -x，i=1 nlxx2.6證明證明：)曾=九十 px告二x)e(m) = p0i t nlxxvar( ?0)=(工x)，2 =二 2p -x-)n xi x 2n lxxi 1?； 1- xi xvar( ?0) =var - ( x - ynlxx、- 1- xi x)yi 卜(

5、x-；i 1 nlxx)2var( 0 區(qū) i)n 1 2_ x _ x一()2 -2x inlxx（吟力xx22)r1 x21 2 二n小2.7 證明平方和分解公式：sst=sse+ssr證明：n _ 2 n_sst 八 yi y - yi -)(y? y 2 i i n2 nn2u jy? -y2v yi y?i)(y?i y 、 yi.)i i i n2 n2二 ssr sse二yiy 八 yi ji =4i=12.8 驗(yàn)證三種檢驗(yàn)的關(guān)系，即驗(yàn)證:ssr/1sse/(n -2)證明：(1)?jlxx?r jlyyjlxxr jlyyjn - 2rjn - 2rt = .= ,=；?. c

6、?2 lxx sse(lxx(n-2).sse(n-2), sse sst . 1 - r2(2)nnnnssr=z(?-y)2=z(%+exi-y)2=z(y +敞% x) q)2=z (耳(為又)2 =耳1一 i =1i 1i 1i=1匚 ssr/1?2llxx .2f 二二2二 tsse/(n -2)?(x： _ x )22.9 驗(yàn)證(2.63)式：var(ei ) = (1 - -(i-)f 0.05(1,3)=10.13(當(dāng)5=1m2=8時(shí),%=0.05查表得對應(yīng)的值為10.13)，所以拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著。(8)做回歸系數(shù)01的顯著性檢驗(yàn)h0: p 1=0t = & is?

7、 =7/1.915 =3.656t值=3.656t 0.05/2(3)=3.182,所以拒絕原假設(shè)，說明x對y有顯著的影 響。(8)做相關(guān)系數(shù)r的顯著性檢驗(yàn)r = r2 = ssr = os” = 0.904 sstr值=0.904r 0.05(3)=0.878,所以接受原假設(shè)，說明x和y有顯著的 線性關(guān)系。(9)對回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)的分析殘差圖(略).從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0在一個(gè)固定的帶子里隨 機(jī)波動(dòng)，基本滿足模型的假設(shè)ein(0, 22，但由于樣本量太少，所以誤差 較大.(10)求廣告費(fèi)用為4.2萬元時(shí)，銷售收入將達(dá)到多少？并給出置信度為95%的 置信區(qū)間.解：當(dāng)=4.2時(shí)

8、，y0 = ?0?,=1 7 4.2 = 28.4所以廣告費(fèi)用為4.2萬元時(shí)，銷售收入將達(dá)到28.4萬元.由于置信度為1-a時(shí)，yo估計(jì)值的置信區(qū)間為：yo-t：sy?丫y0：二 y0t：sy?y2 yo- 0-2 丫0-丫0qq2 1( x 0 - x )1 1.44 xsy? y = ? (136.667(1 -)工 0nlxx.510所以求得yo的95%的置信區(qū)間為：6.05932 ,50.74068預(yù)測誤差較大.2.15 一家保險(xiǎn)公司十分關(guān)心其總公司營業(yè)部加班的制度，決定認(rèn)真調(diào)查一下現(xiàn)狀。經(jīng)過十周時(shí)間，收集了每周加班工作時(shí)間的數(shù)據(jù)和簽發(fā)的新保單數(shù)目，x為每周新簽發(fā)的保單數(shù)目，y為每周加

9、班工作時(shí)間(小時(shí))。見表2.7。表 2.7周序號12345678910x825215107055048092013503256701215y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01、畫散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖5.0 每周加 4.0 一班工作,3.0 時(shí)間（小 2.0 時(shí)）1.0 oo0&o。gooo1111111200400600800100012001400每周簽發(fā)的新保單數(shù)目2、由散點(diǎn)圖可以看出,x與y之間大致呈線性關(guān)系3、用最小二乘法求出回歸系數(shù)回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表a模型未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)tp直95%回歸系數(shù)的置信區(qū)間b標(biāo)準(zhǔn)誤下限上限1(constant).118.355.

10、333.748-.701.937每周簽發(fā)的新保單數(shù)目.004.000.9498.509.000.003.005a. dependent variable：周加班工作時(shí)間（小時(shí)）由表可知：?0 =0.118 ?1 = 0.00 35 9回歸方程為：夕=0.118+0.00359x4、求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差?方差分析表b模型平方和自由度均方fp值1回歸16.682116.68272.396.000 a殘差1.8438.230總和18.5259a. predictors: （constant）, 每周 簽發(fā) 的新 保單 數(shù)目b. dependent var iable:每周 加班 工作時(shí)間（小時(shí)）由方差分析

11、表可以得到：sse=1.843a 2故回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差仃=壁，仃=0.48n 25、給出回歸系數(shù)的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表a模型未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)tp195%回歸系數(shù)的置信區(qū)間b標(biāo)準(zhǔn)誤3下限上限1(constant).118.355.333.748-.701.937每周簽發(fā)的新保單數(shù)目.004.000.9498.509.000.003.005a. dependent variables周加班工作時(shí)間（小時(shí)）由回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可以看出，當(dāng)置信度為95%時(shí)：*0的預(yù)測區(qū)間為-0.701,0.937,61的預(yù)測區(qū)間為0.003,0.005.瓦的置信區(qū)間包含0,表示瓦不拒絕為零

12、的假設(shè)。模型概要b模型r決定系 數(shù)調(diào)整后的 決定系數(shù)估計(jì)值的標(biāo) 準(zhǔn)誤差durbin-wats on1.949 a.900.888.4800.753a. predictor s: (constant), 每周簽發(fā)的新保單數(shù)目b. dependent vari able:每 周加 班 工作時(shí) 間(小 時(shí))6、決定系數(shù)由模型概要表得到?jīng)Q定系數(shù)為0.9接近于1,說明模型的擬合優(yōu)度高方差分析表b模型平方和自由度均方fp值1回歸16.682116.68272.396.000 a殘差1.8438.230總和18.5259a. predictors: （constant）, 每周 簽發(fā) 的新保單 數(shù)目b. d

13、ependent var iable:每周加班 工作 時(shí)間（小時(shí)）7.對回歸方程作方差分析由方差分析表可知：f值=72.3965.32（當(dāng)星=1門2=8時(shí),查表得對應(yīng)的值為5.32）p值=0,所以拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著。8、對3的顯著性檢驗(yàn)從上面回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可以得到 pi的t統(tǒng)計(jì)量為t=8.509 , 所對應(yīng)的p值近似為0,通過t檢驗(yàn)。說明每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x對每 周加班工作時(shí)間y有顯著的影響。9.做相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)相關(guān)分析表每周簽發(fā)的 新保單數(shù)目每周加班 工作時(shí)間 （小時(shí)）每周簽發(fā)的新保單數(shù)目pearson correlation1.949*sig. (2-tailed).

14、000n1010每周加班工作時(shí)間（小pearson correlation.949*1時(shí)）sig. (2-tailed).000n1010*.correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.949,說明x與y顯著線性相關(guān)。10、對回歸方程作殘 差圖并作相應(yīng)分析從殘差圖上看出，殘 差是圍繞e=0隨即波 動(dòng)，滿足模型的基本 假設(shè)。0.600000.30000 _未標(biāo) 0.00000 _準(zhǔn)化殘-0.30000 差-0.60000 一-0.90000殘差圖20040060080010001200每周簽發(fā)的新保單數(shù)目1400

15、11、該公司預(yù)計(jì)下一周簽發(fā)新保單 x0=1000張,需要的加班時(shí)間是多少？當(dāng)x0=1000 張時(shí)，y =0.118 + 0.00359* 1000 = 3.7032 小時(shí)12、給出y。的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間通過spss運(yùn)算得到y(tǒng)0的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間為:(2.5195 , 4.8870 )(3.284,13給出e （y0）的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間通過spss運(yùn)算得到y(tǒng)0的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間為:4.123）。2.16 表是1985年美國50個(gè)州和哥倫比亞特區(qū)公立學(xué)校中教師的人均年工資 y（美元）和學(xué)生的人均經(jīng)費(fèi)投入x（美元）.序號yx序號yx序號yx1195833346

16、182081630593519538264222026331141918095296736204603124320325355420209393285372141927524268004542212264439143825160342952947046692224624451739224823947626610488823271864349402096925097306785710243399050204127224544082717055362523382359442258924042925853416826206272821432264434021024500354727227953366

17、44246402829112427431592821570292045223412297122717036212922080298046256102932133016837823022250373147260153705142652542473120940285348257884123152736039823221800253349291323608162169035683322934272950414808349172197431553418443230551258453766解答：（1）繪制y對x的散點(diǎn)圖，可以用直線回歸描述兩者之間的關(guān)系嗎?4 0 0 0 0.03 5 0 0 0.03

18、0 0 0 0.02 5 0 0 0.02 0 0 0 0.02 0 0 0.0 030 00.0 04 0 0 0.0 0500 0.0 06 0 0 0.0 07 0 0 0.0 08 0 0 0.0 09 0 0 0.0 0x由上圖可以看出y與x的散點(diǎn)分布大致呈直線趨勢。（2）建立y對x的線性回歸。利用spss進(jìn)行y和x的線性回歸，輸出結(jié)果如下:表1模型概要rr2調(diào)整后的r2隨機(jī)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差倩計(jì)值0.8350.6970.6912323.25589表2方差分析表模型平方和自由度和平均f值p值1回歸平6.089e816.089e8112.811.000 a方和殘差平2.645e8495397517.938方和總平方8.734e850和表3系數(shù)表模型非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)t值p值b標(biāo)準(zhǔn)差回歸系數(shù)1常數(shù)對學(xué)生的人均經(jīng)費(fèi)投入12112.6293.3141197.768.312.83510.11310.621.000.0001）由表1可知，x與y決定系數(shù)為r2 = 0.697 ,說明模型的擬合效果一般。x與y線性相關(guān)系數(shù)r=0.835,說明x與y有較顯著的線性關(guān)系。2）由表2（方差分析表中）