分式方程的增根與無解

1、精品文檔分式方程的增根與無解甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程時(shí)，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一變形中，由于去分母擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值.比如 _2_2例1、解方程：x k -2及-1。為了去分母，方程兩邊乘以 處7),得= 由解得k口 甲：原方程的解是x口 乙：可是當(dāng)x時(shí)，原方程兩邊的值相等嗎？甲：這我可沒注意，檢驗(yàn)一下不就知道了。喲！當(dāng) 我口時(shí)，原方程有的項(xiàng)的分母為0,沒有意義，是不是方程變形 過程中搞錯(cuò)啦？乙：求解過程完全正確，沒有任何的差錯(cuò)。甲：那為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？乙：因?yàn)樵瓉矸匠讨形粗獢?shù) x的取值范圍是x戶3且x大2|,而去分母化為整式方程后，未知數(shù) x的取值

2、范圍擴(kuò) 大為全體實(shí)數(shù)。這樣，從方程解出的未知數(shù)的值就有可能不是方程的解。甲：如此說來，從方程變形為方程，這種變形并不能保證兩個(gè)方程的解相同，那么，如何知道從整式方程 解出的未知數(shù)的值是或不是原方程的解呢？乙：很簡(jiǎn)單，兩個(gè)字：檢驗(yàn)?？梢园逊匠探獬龅奈粗獢?shù)的值一一代入去分母時(shí)方程兩邊所乘的那個(gè)公分母，看 是否使公分母等于0,如果公分母為0,則說明這個(gè)值是增根，否則就是原方程的解。甲：那么，這個(gè)題中x口就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程無解。甲：啊？！為什么會(huì)無解呢？乙：無解時(shí)，方程本身就是個(gè)矛盾等式，不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等，如上題中，不論 x取11.0何值，都不能使

3、方程兩邊的值相等，因此原方程無解，又如對(duì)于方程k ,不論x取何值也不能使它成立，因此，這個(gè)方程也無解。甲：是不是有增根的分式方程就是無解的，而無解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定無解，無解的分式方程也不一定有增根，你看：例2、解方程過+1工+* 底 去分母后化為門或工+ 1” 口，解得x - 3或x = -1 ,此時(shí)，辰=-1是增根，但原方程并不是無解，而是有一個(gè)解x 3而方程丁 =1去分母后化為口享-2,原方程雖然無解，但原方程也沒有增根。乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用這種關(guān)系可以解決分式方程的有關(guān)問 題，你看：例3、已知關(guān)于x的

4、方程x-1 x+2有增根，求k的值。首先把原方程去分母，化為卜因?yàn)樵匠痰淖詈?jiǎn)公分母是 反tn十與，所以方程的增根可能是e = 1|或x = -2若增根為x = l|,代入方程，得日十口-k, k-3|;若增根為x = -2,代入方程，得|0-o=kl k=y。故當(dāng)|k-3或k-6時(shí)，原方程會(huì)有增根。甲：雖然無解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定無解，但我還覺得無解與增根之間似乎有種微 妙的關(guān)系，這是怎么一回事？乙：你說的沒錯(cuò)，增根與無解都是分式方程的?？汀?，它們雖然還沒有達(dá)到形影不離的程度，但兩者還是常常相伴而行的，在有些分式方程問題中，討論無解的情形時(shí)應(yīng)考慮增根，例如：例4、已

5、知關(guān)于x的方程無解，求m的值x + m = m（k- 3）先把原方程化為0(1)若方程無解，則原方程也無解，方程化為=,當(dāng),而-4m# 口時(shí)，方程無解，此時(shí)m = 1 o(2)若方程有解，而這個(gè)解又恰好是原方程的增根，這時(shí)原方程也無解，所以，當(dāng)方程的解為x-3時(shí)原方程無解，x = 3代入方程，得3+m=u,故綜合(1)、(2),當(dāng),111=1或|m-3時(shí)，原方程無解。妙用分式方程的增根解題在解分式方程的過程中，我們還可以利用增根來求分式方程中的待定字母的值.請(qǐng)看下面幾例.例1若關(guān)于x的方程監(jiān)1 0有增根，則a的值為. x 1析解：去分母并整理，得ax 1 x 1,因?yàn)樵匠逃性龈?，增根只能?

6、x 1,將x 1代入去分母后的整式方程，得a 1.例2若關(guān)于x的方程二 其 2無解，則m的值是.x 3 x 3析解：去分母并整理，得x m 4 0.解之，得x 4 m.因?yàn)樵匠虩o解，所以x 4 m為方程的增根.又由于原方程的增根為x 3.所以4 m 3, m 1.例3.已知方程 一l2+2=一有增根，則k=.4 x x 2析解：把原方程化成整式方程，得1 2(4 x2)k(x 2).因?yàn)樵匠逃性龈栽龈荒苁?x 2或x 2.將 x 2 代入 1 2(4 x2)k(x 2),得 k -;4將x 2代入1 2(4 x2)k(x 2),無解.故應(yīng)填一.4練一練：1.如果分式方程 q無解，則

7、m的值為().x 1 x 1(a) 1(b) 0(c) -1(功-22.如果方程 y - 2有增根x 1 ,則k=.x 1 1 x答案：1.c; 2.1 ;分式方程的增根及其應(yīng)用一、增根的原因解分式方程時(shí)，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根，這是因?yàn)槲覀儼逊质椒匠剔D(zhuǎn)化為整式方程過程中，無形中取掉了原分式方程中分母不為零的限制條件，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，于是就產(chǎn)生了如下兩種情況：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么這種根就不是分式方程的根，是分式方程的增根.因此，解分式方程時(shí)，驗(yàn)根 是必不可少的步

8、驟.二、利用增根解題不可否認(rèn)，增根的出現(xiàn)給我們的解題帶來了一定的麻煩，然而任何事物都有其兩面性，由增根的原因知道， 分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同時(shí)還能使其最簡(jiǎn)公分母的值為零，據(jù)此可以解決一些相關(guān)的問 題，常見的類型有如下幾種：1 .已知方程有增根，確定字母系數(shù)值例1：若方程上 2 旦有增根，則m的值為 （） x 3 x 3a.3 b . 3 c .0 d .以上都不對(duì)析解：把分式方程兩邊同乘以公分母 x-3,得整式方程x-2 （x-3） 二m若原方程有增根，必須使公分母 x 3等于0,即x=3,代入整式方程得3=6 m,解得m=3故應(yīng)選b.點(diǎn)評(píng)：方程有增根，一定是公分母等于 0

9、的未知數(shù)的值.解這類題的一般步驟把分式方程化成的整式方程； 令公分母為0,求出x的值；再把x的值代入整式方程，求出字母系數(shù)的值.2 .已知方程無解，確定字母系數(shù)值例2:若方程3 2-x 1無解，則m的值為 （） x 33 xa.1 b . 3 c .1 或 3 d .1 或 35分析：把分式方程化為整式方程，若整式方程無解，則分式方程一定無解；若整式方程有解，但要使分式方程無解，則該解必為使公分母為 0時(shí)對(duì)應(yīng)的未知數(shù)的值，此時(shí)相應(yīng)的字母系數(shù)值使分式方程無解.解：去分母，得（32x） （2+mx）=3 x,整理，得（m+1） x= 2.若m+1=0則m= 1,此時(shí)方程無解；若 m+1*0,則x=

10、 二一是增根.因?yàn)?一二3,所以m= 所以m的值為一1或2 ,故應(yīng)選d. m 1m 155點(diǎn)評(píng)：方程無解的條件，關(guān)鍵是看轉(zhuǎn)化后的整式方程解的情況.既要考慮整式方程無解的條件，又要考慮整 式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考慮問題要全面、周到.3 .已知方程無增根，確定字母系數(shù)值例3:若解關(guān)于x的方程上 -k 上不會(huì)產(chǎn)生增根，則k的值為 （） x 1 x 1 x 1a. 2b . 1 c .不為2的數(shù) d .無法確定析解：去分母，把分式方程化為整式方程，x（x+1） k=x（x -1）,解關(guān)于k的方程，得k=2x.由題意，分式方程 無增根，則公分母x2- 1*0,即xw1,則kw2.故應(yīng)選

11、c.點(diǎn)評(píng)：方程無增根，就意味著對(duì)應(yīng)的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0,利用這一點(diǎn)可以確定字母系數(shù)值或取值范圍.妙用分式方程的增根求參數(shù)值解分式方程時(shí)，常通過適當(dāng)變形化去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程來解，若整式方程的根使分式方程中的至少一個(gè) 分母為零，則是增根，應(yīng)舍去，由此定義可知：增根有兩個(gè)性質(zhì)：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母為零的未知數(shù)的值，靈活運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)，可簡(jiǎn)捷地確定分式方程中的參數(shù)(字母)值， 請(qǐng)看下面例示：一、分式方程有增根，求參數(shù)值2x 4x a例1 a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 x 3=0有增根?分析：先將原分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后運(yùn)用增根的兩

12、個(gè)性質(zhì)將增根代入整式方程可求a的值解：原方程兩邊同乘以(x-3)去分母整理，得x2-4x+a=0 (x)因?yàn)榉质椒匠逃性龈?，增根?x=3,把x=3代入(x)得，9-12+a=0 a=32 x 4x a所以a=3時(shí)， x 3=0有增根。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用增根的性質(zhì)將所求問題轉(zhuǎn)化為求值問題，簡(jiǎn)捷地確定出分式方程中的參數(shù)(字母)值1 m 2m 2例2 m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程77 +t7 = x2 3x 2有增根。分析：原分式方程有增根，應(yīng)是使分母為 0的x值。將這樣的x值代入去分母的整式方程可求出 m的值。解：原方程兩邊同乘以(x-1 ) (x-2)去分母整理，得(1+nm x=3m+4(x)3因?yàn)榉质?/p>

13、方程有增根，據(jù)性質(zhì)(2)知：增根為x=1或x=2。把x=1代入(八解得m=-2 ；把x=2代入(x)得m=-23所以m=-2或-2時(shí)，原分式方程有增根k22點(diǎn)評(píng)：分式方程有增根，不一定分式方程無解(無實(shí))，如方程t7 +1=(x 1)(x 2)有增根，可求得k=-可，但分8式方程這時(shí)有一實(shí)根x= 3 o二、分式方程是無實(shí)數(shù)解，求參數(shù)值x 2 m例3若關(guān)于x的方程tt =77 +2無實(shí)數(shù)根，求m的值。分析：因原方程無實(shí)數(shù)根，將原方程去分母得到整式方程解出的x值為原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m的值解：去分母，得 x-2=m+2x-10, x=-m+8因?yàn)樵匠虩o解，所以x=-m+

14、8為原方程的增根。又由于原方程的增根為x=5,所以-m+8=5所以m=3點(diǎn)評(píng)：這類型題可通過列增根等于增根的方程求出參數(shù)值。分式方程的非常規(guī)解法抓特點(diǎn)選方法有些分式方程利用一般方法解非常麻煩， 若能根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用一些特殊的方法，就可避免不必要的麻煩，巧妙地求得方程的解，獲得意外的驚喜，現(xiàn)結(jié)合幾道習(xí)題予以說明.一、分組化簡(jiǎn)法例1.解方程：0x 2 x 3 x 4 x 5分析：本題的最小公分母為(x 2)(x 3)(x 4)(x 5),若采用一般解法，就會(huì)出現(xiàn)高次項(xiàng)數(shù)，計(jì)算相當(dāng)繁瑣， .、.111111一 .而且也極易出錯(cuò)，我們注意到 1, 1，在此基礎(chǔ)上再通過比較上x 2 x 3 (x 2)( x 3) x 4 x 5 (x 4)(x 5)面兩式即可將本題求解.解：原方程化為：(l 匚)(l l) o,；上式可變?yōu)?x2x3 x4x511(x 2)(x 3) (x 4)(x 5)0 .即(x 2)(x 3) (x 4)(x 5)值均不為0,所以