湖南省長沙市重點中學高三第七次月考理科數(shù)學試題及答案

1、 湖南省長沙市重點中學2014屆高三第七次月考數(shù)學理試題考試時間：120分鐘 滿分：150分一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1、若集合，則集合等于（ d ）a. b. c. d. 2、復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ a ）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3、若向量，則等于（ b ）a. b. c. d.4、若，且，則等于（a ）a. b. c. d. 5、已知命題 r，r，給出下列結(jié)論：命題“”是真命題命題“”是假命題命題“”是真命題命題“”是假命題其中正確的是（ b ）abcd6. 分配4名水暖工去3個不同的居民

2、家里檢查暖氣管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有（c ）a. 種 b. 種 c. 種 d. 種7、設f1，f2是橢圓的兩個焦點，p是橢圓上的點，且，則的面積為 （ d ） a4 b c d 6 8、若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為（ b ）a10 b20 c30 d1209、數(shù)列滿足，則的整數(shù)部分是（ ）b a. 0 b. 1 c. 2 d. 310、在平面直角坐標系中，則所表示的區(qū)域的面積為（ ）da6 b c d二填空題：共25分。把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上。11、 如圖，的兩條弦，相交于圓

3、內(nèi)一點，若，則該圓的半徑長為 答案：12、曲線：（為參數(shù)）上的點到曲線：（為參數(shù)）上的點的最短離為 答案：113、設，且，則的最小值為 答案：1614、計算的結(jié)果是 答案：15、已知是函數(shù)圖像上的點，是雙曲線在第四象限這一分支上的動點，過點作直線，使其與雙曲線只有一個公共點，且與軸、軸分別交于點，另一條直線與軸、軸分別交于點。則（1）為坐標原點，三角形的面積為 （2）四邊形面積的最小值為 答案：（1）12 （2）4816、已知數(shù)列共有9項，其中，且對每個，均有。（1）記，則的最小值為 （2）數(shù)列的個數(shù)為 答案：（1）6；（2）491解析：令，則對每個符合條件的數(shù)列，滿足條件：，且反之，由符合上

4、述條件的八項數(shù)列可唯一確定一個符合題設條件的九項數(shù)列。記符合條件的數(shù)列的個數(shù)為，顯然，中有個，個，個，且的所有可能取值為。（1）對于三種情況，易知當時，取到最小值；（2）三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17、（本題滿分12分） 某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出名學生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段，后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：() 求第四小組的頻率；() 從成績是分以上（包括分）的學生中選兩人，求這兩人的成績在內(nèi)的人數(shù)的分布列及期望.【解】（）因為各組的頻率和等于1,故第四組的頻率： .4分()設人數(shù)為，x012

5、pex= 12分18. (本小題滿分12分)已知函數(shù)的最小正周期為,當 時，函數(shù)的最小值為0.()求函數(shù)的表達式； ()在中，若的值.【解】 （）2分 依題意函數(shù) 所以 4分 （） 19、（本題滿分12分） 如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且。（）求證：平面； （）若為線段的中點，為中點.求點到平面的距離.19（）證明：底面為正方形， ，又， 平面，. 3分同理， 5分平面 6分pabcdefyxz（）解：建立如圖的空間直角坐標系， 則. 為中點，同理，設為平面的一個法向量，則，又， 令則.得 10分又點到平面的距離. 12分20、（本題滿分13分） 容器內(nèi)裝有6升質(zhì)量分數(shù)為20%的鹽

6、水溶液，容器內(nèi)裝有4升質(zhì)量分數(shù)為5%的鹽水溶液，先將內(nèi)的鹽水倒1升進入內(nèi)，再將內(nèi)的鹽水倒1升進入內(nèi)，稱為一次操作；這樣反復操作次，容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量分數(shù)分別為， （i）問至少操作多少次，兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771） （）求的表達式。解：（1）； 2分； 4分的等比數(shù)列，故至少操作7次； 7分（2） 9分 11分而 13分21、（本題滿分13分） 設直線與橢圓相交于兩個不同的點，與軸相交于點，記為坐標原點. （i）證明：； （）若的面積取得最大值時的橢圓方程【解】（1）證明：由 得將代入消去得 3分由直線l與橢圓相交于兩個不同的點得整理得，即

7、5分 （2）解：設由，得而點, 得代入上式，得 8分于是，oab的面積 -10分其中，上式取等號的條件是即 11分由可得將及這兩組值分別代入，均可解出oab的面積取得最大值的橢圓方程是-13分22、（本題滿分13分） 已知函數(shù)（i）若時，函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求的取值范圍；（ii）在（i）的結(jié)論下，設函數(shù)，求函數(shù)的最小值；（iii）設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點，過線段的中點作軸的垂線分別交于點，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由.解：（i）依題意：在（0,+）上是增函數(shù)，對x（0,+）恒成立，2分4分 （ii）設當t=1時，ym i n=b+1；6分當t=2時，ym i n=4+2b8分當?shù)淖钚≈禐?分 （iii）設點p、q