正方形中的45度角[1]

1、正方形中的45度角5. （2012江蘇宿遷12分）(1)如圖1，在abc中，ba=bc，d，e是ac邊上的兩點，且滿足dbe=abc(0cbeabc)。以點b為旋轉(zhuǎn)中心，將bec按逆時針方向旋轉(zhuǎn)abc，得到bea（點c與點a重合，點e到點e處），連接de。求證：de=de. （2）如圖2，在abc中，ba=bc，abc=90，d，e是ac邊上的兩點，且滿足dbe=abc(0cbe45).求證：de2=ad2+ec2.【答案】證明：（1）bea是bec按逆時針方向旋轉(zhuǎn)abc得到， be=be，eba=ebc。 dbe=abc，abdebc =abc。 abdeba =abc，即ebd=abc。e

2、bd=dbe。 在ebd和ebd中，be=be，ebd=dbe，bd=bd， ebdebd（sas）。de=de。（2）以點b為旋轉(zhuǎn)中心，將bec按逆時針方向旋轉(zhuǎn)abc=90，得到bea（點c與點a重合，點e到點e處），連接de。 由（1）知de=de。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知ea=ec，e ab=ecb。 又ba=bc，abc=90，bac=acb=45。 e ad=e abbac=90。 在rtdea中，de2=ad2+ea2，de2=ad2+ec2?！究键c】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰（直角）三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得be=be，eba=ebc，由已知d

3、be=abc經(jīng)等量代換可得ebd=dbe，從而可由sas得ebdebd，得到de=de。（2）由（1）的啟示，作如（1）的輔助圖形，即可得到直角三角形dea，根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論。2. （2012寧夏區(qū)8分）正方形abcd的邊長為3，e、f分別是ab、bc邊上的點,且edf=45。將dae繞點d逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到dcm。（1）求證：ef=fm （2）當(dāng)ae=1時，求ef的長。【答案】 解：(1) 證明：dae逆時針旋轉(zhuǎn)90得到dcm，de=dm，edm=90。edf + fdm=90。edf=45，fdm =edf=45。df= df ，defdmf（sas）。ef=mf。（2）設(shè)ef=

4、x 。ae=cm=1 ， bf=bmmf=bmef=4x 。 eb=2，在rtebf中，由勾股定理得，即解得， 。 ef的長為?！究键c】正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得de=dm，edm為直角，可得出edf+mdf=90，由edf=45，得到mdf為45，可得出edf=mdf，再由df=df，利用sas可得出三角形def與三角形mdf全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出ef=mf。（2）由（1）的全等得到ae=cm=1，正方形的邊長為3，用abae求出eb的長，再由bc+cm求出bm的長，設(shè)ef=mf=x，可得出bf=bmfm=bmef=4x

5、，在rtebf中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為ef的長。3. （2012廣東珠海7分） 如圖，把正方形abcd繞點c按順時針方向旋轉(zhuǎn)45得到正方形abcd（此時，點b落在對角線ac上，點a落在cd的延長線上），ab交ad于點e，連接aa、ce求證：（1）adacde；（2）直線ce是線段aa的垂直平分線【答案】證明：（1）四邊形abcd是正方形，ad=cd，adc=90。ade=90。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得：ead=45，aed=45。ad=de。在ad a和cde中，ad=cd，edc=ada=90，ad=de，adacde（sas）。（2）ac=ac，點c在aa的

6、垂直平分線上。ac是正方形abcd的對角線，cae=45。ac=ac，cd=cb，ab=ad。在aeb和aed中，eab=ead，aeb=aed，ab=ad，aebaed（aas）。ae=ae。點e也在aa的垂直平分線上。直線ce是線段aa的垂直平分線?！究键c】正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定?！痉治觥浚?）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得ad=cd，adc=90，ead=45，則ade=90，再計算出aed=45，根據(jù)等角對等邊可得ad=ed，即可利用sas證明aadced。（2）首先由ac=ac，可得點c在aa的垂直平分線上；再證明aebaed，

7、可得ae=ae，從而得到點e也在aa的垂直平分線上，根據(jù)兩點確定一條直線可得直線ce是線段aa的垂直平分線。（2011湖北咸寧，22，10分）（1）如圖，在正方形abcd中，aef的頂點e，f分別在bc，cd邊上，高ag與正方形的邊長相等，求的度數(shù)（2）如圖，在rtabd中，點m，n是bd邊上的任意兩點，且，將abm繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)至adh位置，連接，試判斷mn，nd，dh之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由a b c f d e g （圖） a d b m n h （圖） （3）在圖中，連接bd分別交ae，af于點m，n，若，求ag，mn的長【答案】（1）在rtabe和rtage中，abeage 1分

8、同理，2分（2）3分， 又，amnahn 5分， 6分abcfdeg（圖）mn（3）由（1）知，設(shè)，則，解這個方程，得，（舍去負根）8分在（2）中，9分設(shè)，則即10分【思路分析】（1）根據(jù)正方形的每個內(nèi)角是直角，利用“hl”證明abeage，afgafd,從而得出；（2）利用旋轉(zhuǎn)過程前后的兩個圖形全等，得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，從而為證明amnahn做好了足夠鋪墊.將線段mn的長轉(zhuǎn)移為hn的長，從而將三條線段集中于rthdn中.（3）利用（1）的結(jié)論求出ag的長，進而得出bd的長.利用（2）的結(jié)論求出mn的長.【方法規(guī)律】(1)當(dāng)條件中沒有給出角的度數(shù)而要求角的度數(shù)時，往往將問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)

9、角和問題、四邊形的內(nèi)角和問題、平行線的同旁內(nèi)角問題、平行線同旁內(nèi)角的角平分夾角問題、鄰補角的平分線夾角問題、直角三角形的問題、矩形、正方形的內(nèi)角問題.（2）當(dāng)條件中提供的邊、角關(guān)系較多時一般考慮證明三角形全等；（3）平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對應(yīng)了圖形的全等，里面有太多的邊、角相等問題，在證明中要仔細挖掘；（3）如果一個題目有三個問號，前面的問號往往是后面問號解決的跳板，要注意利用前面的結(jié)論及時起跳，不要解決最后一個問號時重起爐灶，浪費時間.【易錯點分析】因為找不到hdn=90而無法判斷三條線段的關(guān)系.第（3）問不能很好的與第（2）問發(fā)生對接，使線段mn的長計算受阻.【關(guān)鍵詞】正方形、等腰直角三角形、

10、旋轉(zhuǎn)、三角形全等、勾股定理以及逆定理【推薦指數(shù)】【題型】常規(guī)題，新題，好題，難題操作題，閱讀題，壓軸題（2012山東東營10分）（1）如圖1，在正方形abcd中，e是ab上一點，f是ad延長線上一點，且dfbe求證：cecf；（2）如圖2，在正方形abcd中，e是ab上一點，g是ad上一點，如果gce45，請你利用（1）的結(jié)論證明：gebegd（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形abcd中，adbc（bcad），b90，abbc，e是ab上一點，且dce45，be4，de=10, 求直角梯形abcd的面積【答案】解：（1）證明：在正方形abcd中，bcc

11、d，bcdf，bedf，cbecdf（sas）。cecf。（2）證明： 如圖，延長ad至f，使df=be連接cf。 由（1）知cbecdf，bcedcf。bceecddcfecd，即ecfbcd90。又gce45，gcfgce45。cecf，gcegcf，gcgc，ecgfcg（sas）。gegf，gedfgdbegd。（3）如圖，過c作cgad，交ad延長線于g在直角梯形abcd中，adbc，ab90。又cga90，abbc，四邊形abcd 為正方形。 agbc。已知dce45，根據(jù)（1）（2）可知，edbedg。10=4+dg，即dg=6。設(shè)abx，則aex4，adx6，在rtaed中，d

12、e2=ad2ae2，即102=（x6）2（x4）2。解這個方程，得：x=12或x=2（舍去）。ab=12。梯形abcd的面積為108?！究键c】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角梯形?！痉治觥浚?）由四邊形是abcd正方形，易證得cbecdf（sas），即可得ce=cf。（2）延長ad至f，使df=be，連接cf，由（1）知cbecdf，易證得ecf=bcd=90，又由gce=45，可得gcf=gce=45，即可證得ecgfcg，從而可得ge=be+gd。（3）過c作cgad，交ad延長線于g，易證得四邊形abcg為正方形，由（1）（2）可知，ed=be+dg，即可求得dg的長

13、，設(shè)ab=x，在rtaed中，由勾股定理de2=ad2+ae2，可得方程，解方程即可求得ab的長，從而求得直角梯形abcd的面積。23（2010年南充市）如圖，abc內(nèi)接于o，adbc，oebc， oebc（1）求bac的度數(shù)（2）將acd沿ac折疊為acf，將abd沿ab折疊為abg，延長fc和gb相交于點h求證：四邊形afhg是正方形（3）若bd6，cd4，求ad的長afcdeghboafcdeghbo答案：（1）解：連結(jié)ob和ocoebc，beceoebc，boc90，bac45afcdeghbo（2）證明：adbc，adbadc90由折疊可知，agafad，aghafh90，bagba

14、d，cafcad，bagcafbadcadbac45gafbagcafbac90四邊形afhg是正方形（3）解：由（2）得，bhc90，ghhfad，gbbd6，cfcd4設(shè)ad的長為x，則bhghgbx6，chhfcfx4 在rtbch中，bh2ch2bc2，（x6）2（x4）2102解得，x1=12，x22（不合題意，舍去）ad12（2012山東東營10分）（1）如圖1，在正方形abcd中，e是ab上一點，f是ad延長線上一點，且dfbe求證：cecf；（2）如圖2，在正方形abcd中，e是ab上一點，g是ad上一點，如果gce45，請你利用（1）的結(jié)論證明：gebegd（3）運用（1）（

15、2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形abcd中，adbc（bcad），b90，abbc，e是ab上一點，且dce45，be4，de=10, 求直角梯形abcd的面積【答案】解：（1）證明：在正方形abcd中，bccd，bcdf，bedf，cbecdf（sas）。cecf。（2）證明： 如圖，延長ad至f，使df=be連接cf。 由（1）知cbecdf，bcedcf。bceecddcfecd，即ecfbcd90。又gce45，gcfgce45。cecf，gcegcf，gcgc，ecgfcg（sas）。gegf，gedfgdbegd。（3）如圖，過c作cgad，交ad延長線于

16、g在直角梯形abcd中，adbc，ab90。又cga90，abbc，四邊形abcd 為正方形。 agbc。已知dce45，根據(jù)（1）（2）可知，edbedg。10=4+dg，即dg=6。設(shè)abx，則aex4，adx6，在rtaed中，de2=ad2ae2，即102=（x6）2（x4）2。解這個方程，得：x=12或x=2（舍去）。ab=12。梯形abcd的面積為108。【考點】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角梯形?！痉治觥浚?）由四邊形是abcd正方形，易證得cbecdf（sas），即可得ce=cf。（2）延長ad至f，使df=be，連接cf，由（1）知cbecdf，易證得e

17、cf=bcd=90，又由gce=45，可得gcf=gce=45，即可證得ecgfcg，從而可得ge=be+gd。（3）過c作cgad，交ad延長線于g，易證得四邊形abcg為正方形，由（1）（2）可知，ed=be+dg，即可求得dg的長，設(shè)ab=x，在rtaed中，由勾股定理de2=ad2+ae2，可得方程，解方程即可求得ab的長，從而求得直角梯形abcd的面積。一、正方形內(nèi)的45角（2012福建南平4分）如圖，正方形紙片abcd的邊長為3，點e、f分別在邊bc、cd上，將ab、ad分別和ae、af折疊，點b、d恰好都將在點g處，已知be=1，則ef的長為【 】a b c d3 【答案】b。【

18、考點】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥空叫渭埰琣bcd的邊長為3，c=90，bc=cd=3。根據(jù)折疊的性質(zhì)得：eg=be=1，gf=df。設(shè)df=x，則ef=eggf=1x，fc=dcdf=3x，ec=bcbe=31=2。在rtefc中，ef2=ec2fc2，即（x1）2=22（3x）2，解得：。df= ，ef=1。故選b。（2009益陽市）如圖11，abc中，已知bac45，adbc于d，bd2，dc3，求ad的長. 小萍同學(xué)靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.bcaegdf圖11請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：(1)分別以ab

19、、ac為對稱軸，畫出abd、acd的軸對稱圖形，d點的對稱點為e、f，延長eb、fc相交于g點，證明四邊形aegf是正方形； (2)設(shè)ad=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.【答案】(1)證明：由題意可得：abdabe，acdacf dabeab，dacfac，又bac45，eaf90又adbceadb90fadc90又aead，afadaeaf四邊形aegf是正方形(2)解：設(shè)adx，則aeeggfxbd2，dc3be2，cf3bgx2，cgx3在rtbgc中，bg2cg2bc2( x2)2(x3)252化簡得，x25x60解得x16，x21（舍）所以adx6（2011湖北

20、咸寧，22，10分）（1）如圖，在正方形abcd中，aef的頂點e，f分別在bc，cd邊上，高ag與正方形的邊長相等，求的度數(shù)（2）如圖，在rtabd中，點m，n是bd邊上的任意兩點，且，將abm繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)至adh位置，連接，試判斷mn，nd，dh之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由a b c f d e g （圖） a d b m n h （圖） （3）在圖中，連接bd分別交ae，af于點m，n，若，求ag，mn的長【答案】（1）在rtabe和rtage中，abeage 1分同理，2分（2）3分， 又，amnahn 5分， 6分abcfdeg（圖）mn（3）由（1）知，設(shè)，則，解這個方程，得，（

21、舍去負根）8分在（2）中，9分設(shè)，則即10分【思路分析】（1）根據(jù)正方形的每個內(nèi)角是直角，利用“hl”證明abeage，afgafd,從而得出；（2）利用旋轉(zhuǎn)過程前后的兩個圖形全等，得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，從而為證明amnahn做好了足夠鋪墊.將線段mn的長轉(zhuǎn)移為hn的長，從而將三條線段集中于rthdn中.（3）利用（1）的結(jié)論求出ag的長，進而得出bd的長.利用（2）的結(jié)論求出mn的長.【方法規(guī)律】(1)當(dāng)條件中沒有給出角的度數(shù)而要求角的度數(shù)時，往往將問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和問題、四邊形的內(nèi)角和問題、平行線的同旁內(nèi)角問題、平行線同旁內(nèi)角的角平分夾角問題、鄰補角的平分線夾角問題、直角三角形的問

22、題、矩形、正方形的內(nèi)角問題.（2）當(dāng)條件中提供的邊、角關(guān)系較多時一般考慮證明三角形全等；（3）平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對應(yīng)了圖形的全等，里面有太多的邊、角相等問題，在證明中要仔細挖掘；（3）如果一個題目有三個問號，前面的問號往往是后面問號解決的跳板，要注意利用前面的結(jié)論及時起跳，不要解決最后一個問號時重起爐灶，浪費時間.【易錯點分析】因為找不到hdn=90而無法判斷三條線段的關(guān)系.第（3）問不能很好的與第（2）問發(fā)生對接，使線段mn的長計算受阻.【關(guān)鍵詞】正方形、等腰直角三角形、旋轉(zhuǎn)、三角形全等、勾股定理以及逆定理【推薦指數(shù)】【題型】常規(guī)題，新題，好題，難題操作題，閱讀題，壓軸題（2011年上海市浦

23、東新區(qū)中考預(yù)測）已知：正方形abcd的邊長為1，射線ae與射線bc交于點e，射線af與射線cd交于點f，eaf=45.（1）如圖1，當(dāng)點e在線段bc上時，試猜想線段ef、be、df有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想.（2）設(shè)be=x，df=y，當(dāng)點e在線段bc上運動時（不包括點b、c），如圖1，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍.（3）當(dāng)點e在射線bc上運動時（不含端點b），點f在射線cd上運動.試判斷以e為圓心以be為半徑的e和以f為圓心以fd為半徑的f之間的位置關(guān)系. （4）當(dāng)點e在bc延長線上時，設(shè)ae與cd交于點g，如圖2.問egf與efa能否相似，若能相似，求出be的值，若不可

24、能相似，請說明理由.25.（1）猜想：ef=be+df. （1分）證明：將adf繞著點a按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，得abf，易知點f、b、e在一直線上.圖1. （1分） af=af， fae=1+3=2+3=90-45=45=eaf， 又 ae=ae，afeafe.ef=fe=be+df. （1分）（2）由（1）得 ef=x+y又 cf=1-y，ec=1-x， .（1分）化簡可得 .（1+1分）中國教#育出&版網(wǎng)%（3）當(dāng)點e在點b、c之間時，由（1）知 ef=be+df，故此時e與f外切； （1分）當(dāng)點e在點c時，df=0，f不存在.當(dāng)點e在bc延長線上時，將adf繞著點a按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，

25、得abf，圖2.有 af=af，1=2，faf=90. fae=eaf=45. 又 ae=ae，afeafe. （1分）來源%:中教網(wǎng)# .（1分）此時e與f內(nèi)切. （1分）綜上所述，當(dāng)點e在線段bc上時，e與f外切；當(dāng)點e在bc延長線上時，e與f內(nèi)切.（4）egf與efa能夠相似，只要當(dāng)efg=eaf=45即可.來#源&:zzst*這時有 cf=ce. （1分）設(shè)be=x，df=y，由（3）有ef=x- y.由 ，得 . 化簡可得 . （1分）又由 ec=fc，得 ，即，化簡得 ，解之得 （1分） （不符題意，舍去）. （1分）所求be的長為.（2012福建寧德13分）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一

26、次活動，過程如下：如圖1，在等腰abc中，abac，bac90，小敏將一塊三角板中含45角的頂點放在點a處，從ab邊開始繞點a順時針旋轉(zhuǎn)一個角，其中三角板斜邊所在的直線交直線bc于點d，直角邊所在的直線交直線bc于點e(1)小敏在線段bc上取一點m，連接am，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若ad平分mab，則ae也平分mac請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)當(dāng)045時，小敏在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)線段bd、ce、de之間存在如下等量關(guān)系：bd2ce2de2同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決：小穎的方法：將abd沿ad所在的直線對折得到adf，連接ef(如圖2)；小亮的方法：將abd繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)90得到a

27、cg，連接eg(如圖3)請你從中任選一種方法進行證明；(3)小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出：當(dāng)45135且90時，等量關(guān)系bd2ce2de2仍然成立現(xiàn)請你繼續(xù)探究：當(dāng)135180時(如圖4)，等量關(guān)系bd2ce2de2是否仍然成立？若成立，給出證明：若不成立，說明理由【答案】解：（1）證明：bac90，daedammae45，badeac45。 又ad平分mab，baddam。maeeac。 ae平分mac。 （2）證明小穎的方法： 將abd沿ad所在的直線對折得到adf， afab，afdb45，badfad。 又ac=ab，afac。 由（1）知，faecae。 在aef和aec中，af

28、 ac，faecae，aeae， aefaec（sas）。cefe，afec45。 dfeafd afe90。 在rtoce中，de2fe2de2，bd2ce2de2。（3）當(dāng)135180時，等量關(guān)系bd2ce2de2仍然成立。證明如下： 如圖，按小穎的方法作圖，設(shè)ab與ef相交于點g。 將abd沿ad所在的直線對折得到adf， afab，afdabc45，badfad。 又ac=ab，afac。 又cae900bae900（45bad）45bad45fadfae。在aef和aec中，af ac，faecae，aeae， aefaec（sas）。cefe，afec45。又在agf和bge中，a

29、bcafe45，agfbge，fagbeg。又fdedef=fdefag（adbdab）abc90。dfe90。在rtoce中，de2fe2de2，bd2ce2de2。【考點】角平分線的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥浚?）由角平分線的定義，根據(jù)等腰直角三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論。 （2）小穎的方法是應(yīng)用折疊對稱的性質(zhì)和sas得到aefaec，在rtoce中應(yīng)用勾股定理而證明。 小亮的方法是將abd繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)90得到acg，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)用sas得到aceacg，從而在rtceg中應(yīng)

30、用勾股定理而證明。（3）當(dāng)135180時，等量關(guān)系bd2ce2de2仍然成立。仿（2）證明即可。36（2008恩施自治州）如圖1，在同一平面內(nèi),將兩個全等的等腰直角三角形abc和afg擺放在一起，a為公共頂點，bac =agf=90，它們的斜邊長為2，若abc固定不動，afg繞點a旋轉(zhuǎn)，af、ag與邊bc的交點分別為d、e(點d不與點b重合,點e不與點c重合),設(shè)be=m，cd=n.（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍. （3）以abc的斜邊bc所在的直線為x軸，bc邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)

31、系(如圖2).在邊bc上找一點d，使bd=ce，求出d點的坐標(biāo)，并通過計算驗證bdce=de.gyx圖2ofedcba （4）在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系bdce=de是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由.g圖1fedcba 【答案】解:(1)abedae, abedca 1分 bae=bad+45,cda=bad+45 bae=cda 又b=c=45 abedca 3分 (2)abedca 由依題意可知ca=ba= m= 5分 自變量n的取值范圍為1n2. 6分 (3)由bd=ce可得be=cd,即m=n m=m=n=ob=oc=bc=1oe=od=1d(1, 0) 7分b

32、d=obod=1-(1)=2=ce, de=bc2bd=2-2(2)=22bdce=2 bd=2(2)=128, de=(22)= 128bdce=de 8分(4)成立 9分證明:如圖,將ace繞點a順時針旋轉(zhuǎn)90至abh的位置,則ce=hb,ae=ah,fdhagecbabh=c=45,旋轉(zhuǎn)角eah = 90.連接hd,在ead和had中ae = ah, had =eah -fag = 45=ead, ad =ad.eadhaddh = de又hbd=abh +abd = 90bd+hb=dh即bdce=de 12分【解析】解決問題（1）（2）的關(guān)鍵是利用圖中的相似三角形；解決問題（3）時利

33、用（2）中的m、n的關(guān)系求出點d的坐標(biāo)，進而分別求出bd2、ce2、de2的值；解決問題（4）時，通常方法是先猜想其結(jié)論成立，根據(jù)結(jié)論的特征，嘗試構(gòu)造直角三角形，則問題可輕松獲解點撥：運動是變換是近年來各地中考壓軸題的兩大主要趨勢，運動與變換問題在直角坐標(biāo)系的背景下設(shè)置問題，通常需要經(jīng)過建模、計算與構(gòu)造等多種途徑進行求解（2011廣東汕頭，21，9分）如圖（1），abc與efd為等腰直角三角形，ac與de重合，ab=ef=9，bacdef90，固定abc，將efd繞點a 順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)df邊與ab邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)de、df（或它們的延長線）分別交bc（或

34、它的延長線）于g、h點，如圖（2）.（1）問：始終與agc相似的三角形有 及 ；（2）設(shè)cgx，bhy，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)2的情況說明理由）；（3）問：當(dāng)x為何值時，agh是等腰三角形？題21圖（1） 題21圖（2）【答案】解：（1）hga及hab； （2）由（1）可知agchab，即，所以，（3）當(dāng)cg時，gac=hhac，acchagac，aggh又ahag，ahgh此時，agh不可能是等腰三角形；當(dāng)cg=時，g為bc的中點，h與c重合，agh是等腰三角形；此時，gc=，即x=當(dāng)cg時，由（1）可知agchga所以，若agh必是等腰三角形，只可能存在ag=ah若ag=ah，則ac=cg，此時x=9綜上，當(dāng)x=9或時，agh是等腰三角形【思路分析】在hga與agc中，公共角hga=agc,gah=cag=45，根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”判定hga與agc相似；在hga與hab中，公共角h=h,gah=hab=45，根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”判定hga與hab相似,故agchgahab；（2）由agchab，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，從而確定；（3）分cg，cg=，cg三種情況分別考慮.【方法規(guī)律】本題是一個動態(tài)圖形中的問題，也是一個典型的分類討論的問題，關(guān)鍵是能否考慮全面，如果考慮不全