含參數(shù)導數(shù)問題的三個基本討論點

1、含參數(shù)導數(shù)問題的三個基本討論點導數(shù)是研究函數(shù)圖像和性質(zhì)的重要工具，自從導數(shù)進入高中數(shù)學教材以來，有關(guān)導數(shù)問題是每年高考的必考試題之一。隨著高考對導數(shù)考查的不斷深入，含參數(shù)的導數(shù)問題又是歷年高考命題的熱點。由于含參數(shù)的導數(shù)問題在解答時往往需要對參數(shù)進行討論，因而它也是絕大多數(shù)考生答題的難點，具體表現(xiàn)在：他們不知何時開始討論、怎樣去討論。對這一問題不僅高中數(shù)學教材沒有介紹過，而且在眾多的教輔資料中也難得一見，本文就來討論這一問題，供大家參考。一、 求導后，考慮導函數(shù)為零是否有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式），從而引起討論。例1（2008年高考廣東卷（理科） 設(shè)，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性。解：?？?/p>

2、慮導函數(shù)是否有實根，從而需要對參數(shù)的取值進行討論。（一）若，則。由于當時，無實根，而當時，有實根，因此，對參數(shù)分和兩種情況討論。（1） 當時，在上恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；（2） 當時，。由，得，因為，所以。由，得；由，得。因此，當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。（二）若，則。由于當時，無實根，而當時，有實根，因此，對參數(shù)分和兩種情況討論。（1） 當時，在上恒成立，所以函數(shù)在上為減函數(shù)；（2） 當時，。由，得；由，得。因此，當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。綜上所述：（1） 當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。（2） 當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。（3） 當

3、時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。二、 求導后，導函數(shù)為零有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式），但不知導函數(shù)為零的實根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。例2 (2008高考浙江卷理科)已知是實數(shù)，函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)為在區(qū)間上的最小值。（）寫出的表達式；（）求的取值范圍，使得。解：（）函數(shù)的定義域為，由得。考慮是否落在導函數(shù)的定義域內(nèi)，需對參數(shù)的取值分及兩種情況進行討論。（1） 當時，則在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為。（2） 當時，由，得；由，得。因此，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為。（）（）由第（）問的結(jié)論可知：（1） 當時，在上單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞增

4、，所以。（2） 當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以： 當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以。 當，即時，在上單調(diào)遞減，所以。綜上所述，（）令。若，無解；若，由解得； 若，由解得。綜上所述，的取值范圍為。三、 求導后，導函數(shù)為零有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式）, 導函數(shù)為零的實根也落在定義域內(nèi)，但不知這些實根的大小關(guān)系，從而引起討論。例3（2007年高考天津理科卷）已知函數(shù)，其中。（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（）當時，曲線在點處的切線方程為。（）由于，所以。由，得。這兩個實根都在定義域r內(nèi)，但不知它們之間的大小。因此，需對參數(shù)的取值分和兩種

5、情況進行討論。（1） 當時，則。易得在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)。故函數(shù)在處取得極小值；函數(shù)在處取得極大值。（2） 當時，則。易得在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間為減函數(shù)。故函數(shù)在處取得極小值；函數(shù)在處取得極大值。 以上三點即為含參數(shù)導數(shù)問題的三個基本討論點，在求解有關(guān)含參數(shù)的導數(shù)問題時，可按上述三點的順序?qū)?shù)進行討論。因此，對含參數(shù)的導數(shù)問題的討論，還是有一定的規(guī)律可循的。當然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就更復雜一些了，需要靈活把握。 例4（07高考山東理科卷改編）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)的極值點。解：由題意可得的定義域為，的分母在定義域上恒為正，方程是否有實根，需要

6、對參數(shù)的取值進行討論。（1）當，即時，方程無實根或只有唯一根，所以在上恒成立，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上無極值點。（2）當，即時，方程，即有兩個不相等的實根：。這兩個根是否都在定義域內(nèi)呢？又需要對參數(shù)的取值分情況作如下討論：（）當時，所以。此時，與隨的變化情況如下表：0遞減極小值遞增由此表可知：當時，有唯一極小值點。（）當時，所以。此時，與隨的變化情況如下表：遞增極大值遞減極小值遞增由此表可知：當時，有一個極大值點和一個極小值點。綜上所述：（1） 當時，有唯一極小值點；（2） 當時，有一個極大值點和一個極小值點；（3） 當時，無極值點。從以上諸例不難看出，在對含參數(shù)的導數(shù)

7、問題的討論時，只要把握以上三個基本討論點，那么討論就有了方向和切入點，即使問題較為復雜，討論起來也會得心應(yīng)手、層次分明，從而使問題迎刃而解，最后作為練筆，請試解下題：練習題（2007年高考海南理科卷）設(shè)函數(shù)（）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于。（答案：（），分別在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（）存在極值時，的取值范圍。的極值之和為）（2010重慶文數(shù)）(19) (本小題滿分12分), ()小問5分，()小問7分.)已知函數(shù)(其中常數(shù)a,br),是奇函數(shù).()求的表達式;()討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間1,2上的最大值和最小值.（2

8、010山東文數(shù)）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（i）當時，求曲線在點處的切線方程；（ii）當時，討論的單調(diào)性.解：（） 當所以 因此，即 曲線又 所以曲線 （）因為 ，所以 ，令 （1）當所以，當，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，此時單調(diào)遞 （2）當即，解得當時，恒成立，此時，函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增；，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，由于時，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，此時，函數(shù)單調(diào)遞增。綜上所述：當時，函數(shù)在（，）上單調(diào)遞減；函數(shù)在（，）上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)上單調(diào)遞減，（2010山東理數(shù)）(2

9、2)(本小題滿分14分)已知函數(shù).()當時，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.解：（）因為，所以 ，令 ， 當時，恒成立，此時，函數(shù) 在上單調(diào)遞減； 當， 時，此時，函數(shù)單調(diào)遞減； 時，此時，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時，此時，函數(shù)單調(diào)遞減； 當時，由于， ，,此時，函數(shù) 單調(diào)遞減；時，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：0（）因為a=，由（）知，=1，=3，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在（0，2）上的最小值為。由于“對任意，存在，使”等價于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以當時，因為，此時與（*）矛盾當時，因為，同樣與（*）矛盾當時，因

10、為，解不等式8-4b，可得綜上，b的取值范圍是。（2010遼寧文數(shù)）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性； （）設(shè)，證明：對任意，.解：() f(x)的定義域為(0,+)，.當a0時，0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當a1時，0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當1a0時，令0,解得x=.當x(0, )時, 0；x(，+)時，0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.()不妨假設(shè)x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.于是0.從而g(x

11、)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2(0,+) ，.（2010遼寧理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（i）討論函數(shù)的單調(diào)性；（ii）設(shè).如果對任意，求的取值范圍。解：（）的定義域為（0，+）. .當時，0，故在（0，+）單調(diào)增加；當時，0，故在（0，+）單調(diào)減少；當-10時，令=0，解得.則當時，0；時，0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（）不妨假設(shè)，而-1，由（）知在（0，+）單調(diào)減少，從而 ，等價于， 令，則等價于在（0，+）單調(diào)減少，即 . 從而 故a的取值范圍為（-，-2. 12分（2010北京理數(shù)）(18

12、)(本小題共13分)已知函數(shù)()=in(1+)-+(0)。()當=2時，求曲線=()在點(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間。解：（i）當時， 由于， 所以曲線在點處的切線方程為 即 （ii），. 當時，. 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時，由，得， 所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當時，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2010江蘇卷）20、（本小題滿分16分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實