三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(教案)

1、1.4 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)目的：（一）1.理解并掌握作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的方法;2.理解并熟練掌握用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法;3.理解并掌握用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象解最簡(jiǎn)單的三角不等式的方法.（二）1.理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義;2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間;3.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性.（三）1.理解并掌握作正切函數(shù)和余切函數(shù)圖像的方法;2.理解并掌握用正切函數(shù)和余切函數(shù)的圖像解最簡(jiǎn)三角不等式的方法;3.掌握正切函數(shù)的性質(zhì)和性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用;4.會(huì)解決一些實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：1.用單位圓中的正弦線作正弦、正切函數(shù)的圖象

2、;2.正、余弦和正切函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：1.用單位圓中的余弦線作余弦、正切函數(shù)的圖象;2.正、余弦和正切函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1.弧度定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為弧度的角.2.正、余弦函數(shù)定義：設(shè)是一個(gè)任意角,在的終邊上任取(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn),與原點(diǎn)的距離()則 比值叫做的正弦 記作比值叫做的余弦 記作比值叫做的正切 記作3.三角函數(shù)線: 根據(jù)正弦,余弦,正切的定義,則有 ,這三條與單位圓有關(guān)的有向線段分別叫做角的正弦線,余弦線,正切線. 當(dāng)角的終邊落在軸上時(shí),與重合,與重合,此時(shí)正弦線,正切線分別變成一個(gè)點(diǎn);當(dāng)角的終邊在軸上時(shí),與重合,余弦線變成一個(gè)點(diǎn),

3、過(guò)的切線平行于軸,不能與角的終邊相交,所以正切線不存在,此時(shí)角的正切值不存在.二、講解新課：(一)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象1.用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象(幾何法):為了作三角函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的自變量要用弧度制來(lái)度量,使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù).在一般情況下,兩個(gè)坐標(biāo)軸上所取的單位長(zhǎng)度應(yīng)該相同,否則所作曲線的形狀各不相同,從而影響初學(xué)者對(duì)曲線形狀的正確認(rèn)識(shí).正弦函數(shù)的圖象第一步,在直角坐標(biāo)系的軸上任取一點(diǎn),以為圓心作單位圓,從這個(gè)圓與軸的交點(diǎn)起把圓分成(這里)等份.把軸上從到這一段分成(這里)等份.(預(yù)備：取自變量值弧度制下角與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)).第二步,在單位圓中畫(huà)出對(duì)應(yīng)

4、于角,的正弦線正弦線(等價(jià)于“列表”).把角的正弦線向右平行移動(dòng),使得正弦線的起點(diǎn)與軸上相應(yīng)的點(diǎn)重合,則正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)(等價(jià)于“描點(diǎn)”).第三步,連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái),就得到正弦函數(shù),的圖象.根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等,把上述圖象沿著軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng),每次移動(dòng)的距離為,就得到,的圖象. 把角的正弦線平行移動(dòng),使得正弦線的起點(diǎn)與軸上相應(yīng)的點(diǎn)重合,則正弦線的終點(diǎn)的軌跡就是正弦函數(shù)的圖象.余弦函數(shù)的圖象用幾何法作余弦函數(shù)的圖象,可以用“反射法”將角的余弦線“豎立”.把坐標(biāo)軸向下平移,過(guò)作與軸的正半軸成角的直線,又過(guò)余弦線的終點(diǎn)作軸的垂線,它與

5、前面所作的直線交于,那么與長(zhǎng)度相等且方向同時(shí)為正,我們就把余弦線“豎立”起來(lái)成為,用同樣的方法,將其它的余弦線也都“豎立”起來(lái),再將它們平移,使起點(diǎn)與軸上相應(yīng)的點(diǎn)重合,則終點(diǎn)就是余弦函數(shù)圖象上的點(diǎn).也可以用“旋轉(zhuǎn)法”把角的余弦線“豎立”(把角的余弦線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到位置,則與長(zhǎng)度相等,方向相同.)根據(jù)誘導(dǎo)公式,還可以把正弦函數(shù)的圖象向左平移單位即得余弦函數(shù)的圖象.正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.2.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(描點(diǎn)法):正弦函數(shù),的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:余弦函數(shù),的圖像中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:只要這五個(gè)點(diǎn)描出后,圖象的形狀就基本確定了.因此在精確度

6、不太高時(shí),常采用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖,要求熟練掌握.(二)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)1.定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集(或).2.值域(1)值域因?yàn)檎揖€、余弦線的長(zhǎng)度不大于單位圓的半徑的長(zhǎng)度,所以,即也就是說(shuō),正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是.(2)最值正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最大值當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最大值當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值3.周期性由知:正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的.定義：對(duì)于函數(shù),如果存在一個(gè)非零常數(shù),使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期.由此可知,都是這兩個(gè)函數(shù)的

7、周期.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期.根據(jù)上述定義,可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性由可知:()為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱()為偶函數(shù),其圖象關(guān)于軸對(duì)稱5.對(duì)稱性正弦函數(shù)的對(duì)稱中心是,對(duì)稱軸是直線;余弦函數(shù)的對(duì)稱中心是,對(duì)稱軸是直線(正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與軸(中軸線)的交點(diǎn)).6.單調(diào)性從的圖象上可看出:當(dāng)時(shí),曲線逐漸上升,的值由增大到當(dāng)時(shí),曲線逐漸下降,的值由減小到結(jié)合上述周期性可知:正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增大到

8、;正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增加到;余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.和的圖象和性質(zhì)(表中)函數(shù)圖象定義域值域最值當(dāng),當(dāng),當(dāng),當(dāng),奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)對(duì)稱中心對(duì)稱軸最小正周期單調(diào)性遞增遞減遞增遞減(三)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.正切函數(shù)的圖像在區(qū)間內(nèi)作出函數(shù)圖像,根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把上述圖像向左、右擴(kuò)展,得到正切函數(shù),且的圖像,稱“正切曲線”.2.正切函數(shù)和余切函數(shù)的性質(zhì)(1)定義域:(2)值域:(3)周期: 的周期為(最小正周期) (4)奇偶性:正切函數(shù)是奇函數(shù) 由誘導(dǎo)公式,我們可以證明正切函數(shù)是奇函數(shù),正切函

9、數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)成. (5)對(duì)稱性:對(duì)稱中心是,特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類:一類是圖象與軸的交點(diǎn),另一類是漸近線與軸的交點(diǎn),但無(wú)對(duì)稱軸,這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處. (6)單調(diào)性:由圖像可知,正切函數(shù)再區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)增函數(shù).三、講解范例：(一)圖象問(wèn)題例1 畫(huà)出與兩函數(shù)的圖象,觀察兩曲線的平移關(guān)系.解: 略例2 作下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖: (1), (2) (3）解: 略例3 用五點(diǎn)法作函數(shù)的簡(jiǎn)圖,并求其與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù).解: 略例4 分別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法,求滿足下列條件的的集合: (1) (2)解: 略例5 求下列函數(shù)的定義域: (1) (2) (3)解: 略補(bǔ)

10、充例題： (1)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 _;對(duì)稱中心是 _. (2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是_ ;對(duì)稱中心是 _.(3)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是_ ;對(duì)稱中心是 _.(4)函數(shù)與的圖象關(guān)于_對(duì)稱.(填一種情況即可)(5)方程的根的個(gè)數(shù)為( ) a. b. c. d. (6)用五點(diǎn)法作函數(shù)的圖象時(shí),首先應(yīng)描出的五個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)可是( ) a. b. c. d.(二)定義域、值域問(wèn)題例1 求下列函數(shù)的定義域:(1)(2)(3)求下列函數(shù)的值域:(1)(2)(3)解: 略例2 求使下列函數(shù)取得最大值的自變量()的集合,并說(shuō)出最大值是什么;若呢？(1); (2)解: 略例3 已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?求的值.解: 略例

11、4 求函數(shù)的最大值.解: 略例5 (1)已知(),求的最大值和最小值.(2)求的最大值和最小值.(注:,)解: 略(三)周期性、奇偶性問(wèn)題例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)(2)()(3)(4)解: 略例2 (1)已知,且,求.(2)若為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),求當(dāng)時(shí),的解析式.(3)若函數(shù)是偶函數(shù),求的值.解: 略例3 求下列三角函數(shù)的周期,并探究其結(jié).(1) (2)(3) (4)解: 略點(diǎn)評(píng): 一般地,函數(shù)及函數(shù)(其中、為常數(shù),且,)的周期.例4 (1)求函數(shù)的周期.(2)求函數(shù)的周期.解: 略例5 求下列函數(shù)的最小正周期: (1) (2) (3)解: 略例6 (1)已知是周期為的周期函數(shù),且,求

12、. (2)已知奇函數(shù)是上的函數(shù),且,求.解: 略例7 是定義在上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于對(duì)稱,對(duì)任意的, 都有.(1)設(shè),求;(2)證明:是周期函數(shù).解: 略例8 (1)若函數(shù)()的圖象關(guān)于直線與()都對(duì)稱,求證:是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期;(2)若函數(shù)()滿足(常數(shù)),求證:是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.解: 略(四)單調(diào)性問(wèn)題例1 求下列函數(shù)()的單調(diào)區(qū)間:(1) (2) (3) (4) (5) (6)解: 略例2 求下列的單調(diào)遞增區(qū)間:(1) (2)解: 略例3 不通過(guò)求值,比較下列各式的大小:(1), (2),(3), (4),解: 略例4 求函數(shù),的單調(diào)增區(qū)間.解: 略例5 已知.(1)求的定義域和值域;(2)判斷它的奇偶性、周期性;(3)判斷的單調(diào)性.解: 略 (1), (2)奇函數(shù),周期函數(shù) (2)增區(qū)間:;減區(qū)間:(五)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1 討論函數(shù)的性質(zhì).(定義域,值域,周期性,奇偶性,單調(diào)性)解: 略例2 (1)用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖像. (2)作出函數(shù)的圖像,并根據(jù)圖像求其單調(diào)區(qū)間. (3)作出函數(shù)且的簡(jiǎn)圖.解: 略例3 不通過(guò)求值,比較下列各組數(shù)的大小.(1),(2),(3),解: 略例4 解不等式.解: 略例5 求下列函數(shù)的定義域(1) (2) (3)解: 略例6 求函數(shù)的值域.解: 略思考：如果,結(jié)果又如何？例