”十字交叉法“的原理和應用要點

1、化學計算中“十字交叉法”的數(shù)學原理和應用“十字交叉法”簡介“十字交叉法”是二元混合物（或組成）計算中的一種特殊方法，若已知兩組分量和這兩個量的平均值， 求這兩個量的比例關(guān)系等，多可運用“十字交叉法”計算。十字交叉法在化學計算中是一種常用的方法，在很多習題中采用十字交叉法可以簡化計算過程， 提高計算效率。下面先從一道簡單的例題來介紹何為十字交叉法。例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的質(zhì)量分數(shù)是多少？采用十字交叉法計算的格式如下：設(shè)混合后溶液的質(zhì)量分數(shù)為x%,則可列出如下十字交叉形式所得的等式：10%的溶液305og（10%的溶液質(zhì)量）150（30%的=液質(zhì)

2、量）1030%的溶液 30x 10x = 25，即混合后溶液的質(zhì)量分數(shù)為 25%。以上習題的計算過程中有一個十字交叉的形式， 因此通常將這種方法叫做“十字交叉法” 。然而怎樣的計算習題可以采用這種方法？且在用“十字交叉法”時，會涉及到最后差值的比等于什么的問題，即交叉后所得的差值之比是實際中的質(zhì)量之比還是物質(zhì)的量之比？這些問題如果不明確，計算中便會得出錯誤的結(jié)論。針對以上問題，在以前的教學中，可能往往讓學生從具體的習題類型死記差值之比的實際意義。由于十字交叉法常用于：核素“豐度”與元素相對原子質(zhì)量的計算；混合氣體不同組分體積之比和混合氣體平均相對分子質(zhì)量的計算；不同濃度的同種溶液混合后質(zhì)量分數(shù)

3、與組分溶液質(zhì)量之比的計算等類型的習題中。因此可以簡單記憶為前兩種類型中， 差值之比為物質(zhì)的量之比， 第三種類型差值之比為質(zhì)量之比。 這種記憶方法束縛了學生的思維， 同時也限制了“十字交叉法”的使用范圍。實質(zhì)上“十字交叉法”的運用范圍很廣， 絕不僅僅只能在以上三種類型的習題中才可運用。 然而不同情況下， 交叉后所得的差值之比的實際意義是什么？該怎樣確定其實際意義？是我們應該探討和明了的問題。 要解決此問題， 就要明了“十字交叉法”的數(shù)學原理，然后再從原理的角度去分析，便能確定差值之比在何時為組分的質(zhì)量之比，何時為組分的物質(zhì)的量之比。、“十字交叉法”的數(shù)學原理若用a、b分別表示二元混合物兩種組分的

4、量，混合物總量為a+b(例如mol)若用mm2分別表示兩組分的特性數(shù)量(例如相對分子質(zhì)量)，x表示混合物的特性數(shù)量(例如平均分子量)則有：mixa + m2xb = x x (a + b)將此數(shù)學表達式變形即可轉(zhuǎn)化為下式：a/b = (x - xb) / (xa - x)此式又可由十字交叉法推導得出。a 組分fax - m2 a/、x -=若，即：b m 一 xb 組分xbmi - x b兩組份物質(zhì)的量之比等于各自摩爾質(zhì)量與平均摩爾質(zhì)量之差的比由此我們可以看出“十字交叉法”是由二元一次方程演變而來 的，這就是“十字交叉法”的數(shù)學原理。即運用“十字交叉法”計算 的習題必須具備的條件，是此習題能列

5、出二元一次方程。也可以說只 要能用二元一次方程解決的習題就能用“十字交叉法”計算。由于我們在列二元一次方程時，要設(shè)兩個未知數(shù)，因此轉(zhuǎn)化為“十字 交叉法”時，所涉及的最后差值的比的意義就與所設(shè)未知數(shù)的意義有了緊密的關(guān)系。也就是說用二元一次方程計算時，所設(shè)未知數(shù)的物理 意義是什么，則最后差值的比就等于該物理量之比。因此在運用“十 字交叉法”計算時，特別要注意避免不明化學涵義而濫用。否則會由 于不明確差值之比的物理意義，而使計算結(jié)果錯誤。我們可以根據(jù)下 面例題來體會明確差值之比物理意義的重要性。例2、由co2和co組成的混合氣體，經(jīng)分析測知含氧的質(zhì)量分數(shù)為70%,則該混合氣體中co和co2的體積比為

6、多少？解法一：利用co和co2中氧的質(zhì)量分數(shù)列十字交叉式。（注意物理 意義表述的質(zhì)量） 在co中氧的質(zhì)量分數(shù)為4/7, co2中氧的質(zhì)量分數(shù)為8/11,則至此若即得出co和co2的體積比為7 : 33,則為錯誤結(jié)果，原因是不明了如此計算所得的比值的物理意義。 而實際上由此得出的比值是兩種氣體的質(zhì)量之比，而非物質(zhì)的量之比，也不是體積之比。這一 點我們可以從下面二元一次方程的解法去理解。解法二：設(shè)混合氣體中co2質(zhì)量為x, co質(zhì)量為y,根據(jù)氧元素的質(zhì)量固定可得出下列方程：繪x -16y =(x 7)70% 不難解得 x : y = 33 : 74428由此我們可以看出在解法一中所得的co和co2

7、的比值7 : 33是兩種氣體的質(zhì)量之比。再從兩氣體的質(zhì)量比求物質(zhì)的量之比就很容易 了。n(co) /n(co2) = v(co)/v(co 2) = m(co)/28 : m(co)/44 =7/28 : 33/44 =1:3那么能否用“十字交叉法”直接計算出兩種氣體的體積之比呢？要解 決此問題，應該利用混合氣體中氧元素的質(zhì)量分數(shù)求出混合氣體的平 均分子式或平均分子量，然后再利用“十字交叉法”進行計算。解法三：設(shè)：混合氣體的平均分子式為 cox,則：利用混合氣體中氧元素的質(zhì)量相等可以列出下列方程。16x/(12+16x) = 7/10 ,解得：x = 7/4。即我們可以認為混合氣體的平均分子式

8、為co7/4,然后依據(jù)“十字交叉法”原理可列出下面式子計 算。co18/4 - 7/41 v(co)7/4=co227/4 - 4/43v(co2)求出平均分子式后，還可繼續(xù)求出平均分子量，然后再利用“十字交叉法”進行計算。解法四：因為混合氣體的平均分子式為co7/4,故混合氣體的平均分子量為 12+16x7/4 = 40co2844-401v(co)40=co24440-283v(co 2)利用這種方法求出的差值之比之所以能確定是兩種氣體的物質(zhì)的量之比， 或者說能確定是兩種氣體的體積之比， 我們可以利用下面方程來進行證明。方法五：設(shè)：混合氣體中co2物質(zhì)的量為x, co物質(zhì)的量為y,則：利

9、用混合氣體中氧元素的質(zhì)量相等可以列出下列方程。32x +16y = (44x + 28y) x 7/10,解得 x :y = 3 : 1因此：混合氣體中 co 和 co2 的體積之比為 1 : 3。為了將“十字交叉法”理解透徹，我們再看下列一些例題，認真體會“十字交叉法”解計算題的類型和原理。例3 k35c1o3與k37c1在酸性溶液中反應生成cl2,則該cl2的相對分子質(zhì)量為多少？解：因為k35c1o3中cl的化合價為+5價，k37cl中cl的化合價為-1 價，所以生成c12時，k35c1o3與k37cl的物質(zhì)的量之比為1/5,即 生成的c12分子中35cl與37cl的原子個數(shù)之比為1/5。

10、設(shè)生成的c12 的相對分子質(zhì)量為 m ，則 6 x m= (35 g/mol + 37 g/mol x 5)x 273.33 g/mol由：6 x m= 35 g/mol x 2 + 37 g/mol x 2 x 5可以推出 5xm+m = 70 g/mol + 74 g/mol 乂 55x ( 74 g/mol - m ) = 1 x ( m - 70 g/mol )(74 g/mol - m ) / ( m - 70 g/mol ) = 1/5因此對于此題我們可以直接利用右邊的式子進行計算，即十字交叉法37cl274g/mol ,m - 70g/mol 535 一一cl2 70g/mol7

11、4g/mol - m 1例4已知自然界中鉞有兩種質(zhì)量數(shù)分別為191和193的同位素，而鉞的平均原子量為192.22,這兩種同位素的原子個數(shù)比應為a. 39 ： 61b. 61 ： 39 c. 1 ： 1d. 39 ： 11此題可列二元一次方程求解，但運用十字交叉法最快捷:鉞-1911910.7839192.22鉞-1931931.2261解得這兩種核素的原子個數(shù)比為 39 :61,正確答案是a。例5 一定量的乙醇在氧氣不足的情況下燃燒，得到 co、co2和水的總質(zhì)量為 27.6g,若其中水的質(zhì)量為 10.8g,則co的質(zhì)量是a. 1.4gb. 2.2gc. 4.4gd.在 2.1g 和 4.4

12、g之間此題考查有機物的不完全燃燒，可運用十字交叉法:co 與 co2 總質(zhì)量:27.6 g - 10.8 g = 16.8 g生成水的物質(zhì)的量為：10.8 g + 18 g/mol = 0.6 mol,則燃燒的乙醇為：0.6 mol x 1/3 = 0.2 mol42因此生成co、co2的物質(zhì)的量共 0.2 mol x 2 = 0.4 mol則co和co2混合氣體的平均分子量為：16.8 g / 0.4 molc0s28/44 421 n(co)co24442 - 287n(c02)所以，n(co) = 0.4 mol x 1/ 8 = 0.05 molm (co) =28 g/mol x 0

13、.05 mol = 1.4 g正確答案是a例6右圖中橫坐標表示完全燃燒時耗用可燃氣體x (x=a、b、c)的物質(zhì)的量n(x),縱坐標表示消耗 o2的物質(zhì)的量n(o2), a、b是兩種可燃性氣體，c是a和b的混合氣體，則c中n (a) : n (b)為 ()a. 2 ： 1 b. 1 ： 2c. 1 ： 1 d.任意比仔細地觀察圖示，分析圖象可以看出:mol a完全燃燒消耗0.5 mol。2mol b完全燃燒消耗2 mol o2mol c (c是a、b混合氣)完全燃燒消耗1 mol。2可以利用1mol氣體燃燒耗。2進行十字交叉計算:n(a)0.5n(b)正確答案為 a 。三、結(jié)論“十字交叉法”

14、是中學化學中很常見的一種計算方法， 有很多類型的計算習題均可采用此方法進行求解， 所有二元混合物中， 求解各組分比例的習題就可以采用“十字交叉法”進行計算。關(guān)鍵是要明確得出的差值之比的物理意義。 由于此方法是由二元一次方程轉(zhuǎn)化而來， 所以在列方程時所設(shè)未知數(shù)的物理意義就是此方法中所得差值之比的物理意義。十字交叉法的原理及其在化學計算中的應用陳積常（ 瓊州學院化學系 , 海南 五指山 572200 ）摘要 : 十字交叉法是有關(guān)二組分混合物計算中一種常見的巧解方法 , 它可以簡化解題過程、提高解題速度. 介紹了十字交叉法的原理 , 并通過例證說明其應用 .關(guān)鍵詞：十字交差法；原理；應用；化學計算十

15、字交叉法又稱對角線法，也叫混合規(guī)則.作為一種簡化的解題 方法，是實際計算方程式圖解形式，應用于二元混合體系具有平均值 的計算問題，它具有簡化思路、簡便運算、計算速度快等顯著優(yōu)點.近年來，十字交叉法在中學化學計算中廣泛使用，通過十字交叉得到差值的比值的含義如何確定，如果沒有真正理解十字交叉法含義，在 使用該方法時將沒有真正達到簡化思路、快速準確求解的目的，從而限制了該方法的推廣和應用.“十字交叉法”是通常中學化學計算必 需掌握的一種計算方法，因為用此法解題實用性強、速度快.學生若能 掌握此方法解題，將會起到事半功倍的效果.以下是筆者幾年來對“十 字交叉法”理解及體會.1十字交叉法的原理4: ax

16、a%+ b%=(a+b) c% 整理變形得： a/b=(c-b)/(a-c )如果我們以100 g溶液所含的溶質(zhì)為基準 上式表示溶液混合時它們的質(zhì)量比與有關(guān)質(zhì)量分數(shù)比的關(guān)系 . 可得如下十字交叉形式ac-bcba-c對比，兩式不難看出：十字交叉關(guān)系中(c-b)/(a-c)為組分a和組分 b混合時的質(zhì)量比.推廣到二組分混合體系中，當以一定質(zhì)量的混合 體系為基準所得十字交叉關(guān)系，具比值為質(zhì)量比(例如，質(zhì)量分數(shù)是以 質(zhì)量為基準);若有c-b比a-c的化學意義由平均值c決定,則比值就表 示組分a中c-b和組分b中a-c所表示的量的比值.如c為質(zhì)量或質(zhì) 量分數(shù)，則(c-b)/(a-c)表示組分a和組分b

17、溶液的質(zhì)量之比.若c為密 度，則(c-b)/(a-c)就表示組分a和組分b的溶液體積之比.若c為摩爾 質(zhì)量，則(c-b)/(a-c)就表示組分a和組分b的物質(zhì)的量比；此時可用十 字鼓觀法球混合物中各組分的含量.2十字交叉法的應用例析：2.1用于混合物中質(zhì)量比的計算例1將鋁鐵合金18.5克溶于足量的鹽酸中產(chǎn)生標準狀況下的氫氣11.2升, 求合金中鋁鐵的質(zhì)量之比是多少？解：在標準狀況下，求出氫氣的質(zhì)量m=1g,以混合物總質(zhì)量18.5g作為基準物再根據(jù)鎂鋁與鹽酸的關(guān)系列出十字交叉式如下：al 37 / 1819/561fe 37/5619/18求得鋁與鐵質(zhì)量的比是9/28例2鎂和鋁的混合物10g,與

18、足量的稀硫酸充分反應，生成1.0g氫氣, 混合物中鎂和鋁的質(zhì)量比為多少 ?解： 在標準狀況下， 以混合物總質(zhì)量10g 作為基準物再根據(jù)鎂鋁與鹽酸的關(guān)交叉式如下：mg5/61/91al10/91/6求得鎂與鋁的質(zhì)量比是2/3例3 khco3和cacq的混合物和等質(zhì)量的nahcos分別與鹽酸完全 反應時，所消耗的酸的量相等，則混合物中khcos與cacos的質(zhì)量比 是多少 ?解析：由化學反應方程式:khcos+hcl=kcl+h 2o+co2 tcacos+2hcl=cacl 2+h2o+co2 t以消耗 hcl 物質(zhì)的量 1mol 作為基準物 , 求出反應掉khco3、caco3、nahcos的

19、質(zhì)量的數(shù)值分別為100g、50g、84g,依題意khco3 和cacos的混合物84g與nahc0384g均消耗1molhcl,即兩個分量 值分別為 100 和 50, 平均值為 84, 用十字交叉法圖解如下:khco 31003484caco35016因為是以物質(zhì)消耗hcl 的物質(zhì)的量1mol 為基準物 , 所以比值34/16=17/8 為碳酸氫鉀與碳酸鈣消耗hcl 的物質(zhì)的量之比 , 故原混合物中碳酸氫鉀與碳酸鈣的物質(zhì)的量之比為 17/4,即質(zhì)量比也為17/（4 因它們的相對分子質(zhì)量相等） .2.2 用于混合物中物質(zhì)的量比的計算例 4 在標準狀況下，測得空氣和 hcl 混合氣體對氫氣的相對

20、密度為17，求空氣和hcl 氣體的物質(zhì)的量之比解：混合氣體的平均式量為17x2=34 ,以1 mol混合物為基準物則十 字交叉法如下:空氣292.534hcl 36.55求出空氣與hcl 氣體的物質(zhì)的量比是1/2例 5 某 na2so3 已部分氧化成na2so4, 經(jīng)測定該混合物中硫的質(zhì)量分數(shù)為25%,求混合物中na2so3和na2so4的物質(zhì)的量之比（整數(shù)比）？解：由平均質(zhì)量分數(shù)25%，列出十字交叉法如下：na2so3 中 s %25.397 %2.465 %25%na2so4 中 s %22.535 %0.397 %求得na2so3與na2so4的物質(zhì)的量比是6/12.3 用于混合物中體積

21、比的計算例6已知ch4, c2h4及其混合氣體在同溫同壓下分別為0.71 g / l、1.25 g / l、1.16 g / l.求混合氣體ch4和c2h4的體積比是多少？ 解：以1mol混合氣體密度1.16 g / l作為基準物 則十字交叉法如下:ch4 0.710.091.16c2h4 1.250.45求得ch4與c2h4的體積比是1/3例 7 已經(jīng) 2h2（g）+o2（g）=2h2o（g）qh=-571.6 千焦c3h8（g）+5 o2（g）=3co2（g）+4h2o（1）； h=-2220 千焦求 h2 和 c3h8 的體積比.解析：lmol c3h8完全燃燒放熱為：571.6/2=2

22、85.8千焦lmol c3h8完全燃燒放熱為：2220千焦lmol 混合氣體完全燃燒放熱為 : 3847/5=769.4 千焦列出十字交叉法如下：h2 285.51460.6769.4c3h8 2220483.6求得 h2 和 c3h8的體積比為3/1例 8 一種氣態(tài)烷烴和一種氣態(tài)烯烴， 它們的分子式中所含碳原子數(shù)相同，若 l 體積這種混合烴在o2 中充分燃燒，能生成2 體積的和 2.4體積的水蒸氣，則混合中烷烴和烯烴的體積比是多少？解:設(shè)混合炫分子式為cxhy烷炫與烯炫的體積比為cxhy+ 3.2 o2 = 2 co2+ 2.4 h2o13.222.4根據(jù)原子守衡定理得混合烴分子式為c2h4

23、.8 即氫的原子數(shù)是4.8.十字交叉法如下：c2h660.84.8c2h441.2求得混合物中c2h6 和 c2h4 的體積比是2/32.4 用于混合物中原子個數(shù)比的計算例 9 已知自然界中銥有兩種質(zhì)量數(shù)分別為 191 和 193 的同位素 , 而銥的相對分子質(zhì)量為 192.22, 求這兩種同位素原子個數(shù)比 .解：以 1 mol 銥的相對分子質(zhì)量為 192.22 為基準則十字交叉法如下：191ir1910.78199.2191ir / 193ir = 0.78 / 1.22193ir1931.22求得 191ir 與 193ir 物質(zhì)的量比 39/61 也是它們原子個數(shù)比 .2.5 用于混合物

24、中質(zhì)量分數(shù)和體積分數(shù)的計算例10把0.200gnacl和ki混和物溶于水后加入過量 agn03溶液析出0.449 g ， 求原混和物中 nacl 和 ki 的質(zhì)量百分數(shù).解：分別計算產(chǎn)生沉淀物的質(zhì)量, 根據(jù)化學方程式得：0.200 g nacl 生成 0.490 g agcl0.200 g nai 生成 0.283 g agi則十字交叉法如下：nacl 0.490 / 0.2000.1660.449/0.200m( nacl ) / m(ki)=0.166/ 0.041ki 0.283 / 0.2000.041求得 nacl 和 ki 的質(zhì)量比是4/1，即他們的質(zhì)量分數(shù)分別為80% ，20%例 11 在標準狀況下氫氣和一氧化碳的混合氣體7l ，質(zhì)量為2.25g，求h2和co的體積分數(shù)？解：設(shè)混合氣體的摩爾質(zhì)量為 m2.25 / m