2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)期末模塊檢測(cè)（提升卷）（解析版）

1、選擇性必修第二冊(cè) 期末模塊檢測(cè)試卷 能力提升B卷解析版學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+6（解答），滿分150分，時(shí)間：120分鐘一、單選題 1已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（ ）A3BC-3D【答案】D【分析】設(shè)數(shù)列是公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為，因?yàn)樗?，所以，所以所以故選：D2在數(shù)列中，則（ ）ABCD3【答案】A【分析】根據(jù)已知分析數(shù)列的周期性，可得答案【詳解】解：，.該數(shù)列是周期數(shù)列，周期.又，故選：A.3意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)

2、：1，1，2，3，5，8，13，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若是“斐波那契數(shù)列”，則的值為（ ）.AB1CD2【答案】B【分析】由已知數(shù)列的特點(diǎn)依次求出，的值，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)依次為，進(jìn)而可求出答案【詳解】由題設(shè)可知，斐波那契數(shù)列為：其特點(diǎn)為：前兩個(gè)數(shù)為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，由此可知：，則.故選：B.4已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為（ ）A1B2CD【答案】C【分析】先求出的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法可求，結(jié)合不等式的性質(zhì)可求實(shí)數(shù)t的最

3、小值.【詳解】時(shí)，因?yàn)椋詴r(shí)，兩式相減得到，故時(shí)不適合此式，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以；所以t的最小值；故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.5已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則=AB7C6D【答案】A【解析】試題分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6故答案為考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化

4、等知識(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想6定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【詳解】，函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，區(qū)間上存在 ，滿足 方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的解，令，則，解得 實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A7若函數(shù)滿足，則的值為（ ）A1B2C0D【答案】C【分析】求導(dǎo)得到，取帶入計(jì)算得到答案.【詳解】，則，則，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了求導(dǎo)數(shù)值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.8已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)），若，則的解集為（ ）ABCD【答案】A【分析】由，結(jié)合已知條件有偶函

5、數(shù)在上單調(diào)減，上單調(diào)增，再由 即可求解集.【詳解】由，而知：在上單調(diào)減，而，即，又知：，在上有，又是定義在上的偶函數(shù)，則在上為偶函數(shù)，在上單調(diào)增，即，可得，綜上，有，故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由與組成的復(fù)合型函數(shù)式，一般可以將其作為某函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的一部分，構(gòu)造出原函數(shù)，再利用奇偶性、單調(diào)性求函數(shù)不等式的解集.二、多選題9設(shè)是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）ABCD與均為的最大值【答案】BD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項(xiàng)即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項(xiàng)：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯(cuò)誤；而C選項(xiàng)，即，可得，又由且，則，必

6、有，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.，與均為的最大值，故D正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列以及前項(xiàng)和的性質(zhì)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.10已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）ABC若該數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，則D數(shù)列為遞減的等差數(shù)列【答案】AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】令，則，因?yàn)椋詾榈炔顢?shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，故，故C正確；由，因?yàn)?，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的三種方法；1、作

7、差比較法：根據(jù)的符號(hào)，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關(guān)系，進(jìn)行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.11對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A在處取得極大值B有兩個(gè)不同的零點(diǎn)CD若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，可判定A正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，且時(shí)， ，可判定B不正確；由函數(shù)的單調(diào)性，得到，再結(jié)合作差比較，得到，可判定C正確；分離參數(shù)得到在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單

8、調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，由于，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以C正確；由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問(wèn)題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

9、求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題12已知等比數(shù)列首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，函數(shù)，若，則（ ）A為單調(diào)遞增的等差數(shù)列BC為單調(diào)遞增的等比數(shù)列D使得成立的的最大值為6【答案】BCD【分析】令，利用可得，B正確；由可得A錯(cuò)誤；由可得C正確；由，可推出，可得D正確.【詳解】令，則，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，B正確；，是公差為的遞減等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；，是首項(xiàng)為，公比為的遞增等比數(shù)列，C正確；，時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，又，所以使得成立的的最大值為6，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的單調(diào)性求解是解

10、題關(guān)鍵.三、填空題13求和：_ 【答案】【解析】易知該數(shù)列的通項(xiàng)，故該數(shù)列的前n項(xiàng)和為14朱載堉（1536-1611）是中國(guó)明代一位杰出的音樂(lè)家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作律學(xué)新說(shuō)中制作了最早的“十二平均律”十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍設(shè)第三個(gè)音的頻率為，第七個(gè)音的頻率為，則_【答案】【分析】將每個(gè)音的頻率看作等比數(shù)列，利用等比數(shù)列知識(shí)可求得結(jié)果.【詳解】由題知：一個(gè)八度13個(gè)音，且相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，

11、可以將每個(gè)音的頻率看作等比數(shù)列，一共13項(xiàng)，且，最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造等比數(shù)列求解是解題關(guān)鍵.15已知是，的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則_.【答案】【分析】由題意得，消去，可得，化簡(jiǎn)得，得，則有【詳解】由題設(shè)可知：由是，的等差中項(xiàng)，則，是，的等比中項(xiàng)，則，則有可知：，則將式變形得：，即，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由已知條件得，消去，可得，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題16為了評(píng)估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對(duì)該

12、藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度與時(shí)間的關(guān)系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間變化的關(guān)系如下圖所示給出下列四個(gè)結(jié)論： 在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同； 在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同； 在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同； 在,兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率不相同.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_【答案】【分析】理解平均變化率和瞬時(shí)變換率的意義，結(jié)合圖象，判斷選項(xiàng).【詳解】在時(shí)刻，為兩圖象的交點(diǎn)，即此時(shí)甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，故正確；甲、乙兩人在時(shí)刻的切線的斜率不相等，即兩人的不相同，所以

13、甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，故不正確；根據(jù)平均變換率公式可知，甲、乙兩人的平均變化率都是，故正確；在時(shí)間段，甲的平均變化率是，在時(shí)間段，甲的平均變化率是，顯然不相等，故正確.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題是一道識(shí)圖的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，判斷的關(guān)鍵是理解兩個(gè)概念，瞬時(shí)變化率和平均變化率，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知瞬時(shí)變化率就是在此點(diǎn)處切線的斜率，平均變化率是.四、解答題17設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件，中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，_.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n和.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）若選可得為常數(shù)

14、數(shù)列，即可求出；若選利用可得，即可得為常數(shù)數(shù)列，即可求出；若選利用可得，即可得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而得解；（2）利用錯(cuò)位相減法求和；【詳解】選條件時(shí)，（1）時(shí)，整理得，所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以 ， ，得：，故，所以.選條件時(shí)，（1）由于，所以，當(dāng)時(shí)，得：，整理得，所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以 ， ，得：，故，所以.選條件時(shí)，由于， 時(shí)，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以，得：，故，所以.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性

15、相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和18已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，推導(dǎo)出：當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，利用裂項(xiàng)相消法可求出，利用錯(cuò)位相減法可求得，進(jìn)而可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比

16、數(shù)列的公比為，由，則，可得，所以，因?yàn)?，所以，整理得，解得，所以；?）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)，由得，得，化簡(jiǎn)得.因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.19已知函數(shù)()（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再參變分離后

17、得，利用圖象求的取值范圍；（2）首先構(gòu)造函數(shù)()，求函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值，并證明不等式.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，若函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，等同于，即水平直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)(不是的切線)，令，的定義域?yàn)?，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則為的極大值，也為最大值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且為正數(shù)，則的圖像如圖所示，則此時(shí)；（2）證明：令()，則只需證明當(dāng)時(shí)恒成立即可，則，令，則，當(dāng)時(shí)，則，則在時(shí)單調(diào)遞增，又，時(shí)，則在時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證

18、明或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).其中一種重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的突破口.20已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題可知數(shù)列為等比數(shù)列，公比，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)公式，所以，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用對(duì)數(shù)列進(jìn)行放縮 ，化簡(jiǎn)求出答案.【詳解】（1），所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以，所以（2）證明： 【點(diǎn)睛】放縮法的注意事項(xiàng)：（1）放縮的方

19、向要一致。（2）放與縮要適度。（3）很多時(shí)候只對(duì)數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）。（4）用放縮法證明極其簡(jiǎn)單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會(huì)出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象。21設(shè)函數(shù) （1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.（2）討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3），見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出是極值點(diǎn)，由此根據(jù)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為求解出的值，并注意驗(yàn)證是否滿足；（2）先求解出，然后結(jié)合所給區(qū)間對(duì)進(jìn)行分類討論，分別求解出的單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過(guò)條件轉(zhuǎn)化為證明，由此構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行分析證明.【詳解】（1）由于函數(shù)函數(shù)在上遞增，在上遞減，由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)，所以，故，此時(shí)滿足是極大值點(diǎn)，所以；（2），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即或時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)且時(shí)，由 得.令得；令得.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)或時(shí)，在上遞減；當(dāng)且時(shí)，在上遞增，在上遞減. （3）令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；故在處取得最小值為又當(dāng)，由圖象知：不妨設(shè)，則有，令在上單調(diào)遞增，故即，【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)