高中數(shù)列求和方法大匯總

1、高中數(shù)列求和方法大匯總1利用公式法進(jìn)行數(shù)列求和等差、等比數(shù)列的求和，直接運(yùn)用前n項(xiàng)和公式或運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，此部分是基礎(chǔ)，也是重點(diǎn)利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法(1) 等差數(shù)列求和公式：=(2) 等比數(shù)列求和公式：= (3) =(4) =例1 設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足: = ,= 7,求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和解 設(shè)公差為，依題意有：=由性質(zhì)得: = 因?yàn)?，所? 0，即，又由= 7得：解得： ，所以的通項(xiàng)公式為：故所求的前項(xiàng)和為： = 評注 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識，考查運(yùn)算和求解的能力。例2 等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，已知,

2、成等差數(shù)列 （1）求的公比； （2）若，求解 （1）依題意有 由于，故 又，從而 （2）由已知可得: 故: 從而= 評注 在數(shù)列求和中，以下三個(gè)性質(zhì)經(jīng)常用到：（1）在等差數(shù)列中，若，則有：； （2）在等差數(shù)列中，若,則有： a、b、c成等差數(shù)列； （3）在等比數(shù)列中，若,則有：a、b、c成等比數(shù)列2裂項(xiàng)相消法顧名思義，“裂項(xiàng)相消法”就是把數(shù)列的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，使拆裂后的項(xiàng)相互之間出現(xiàn)一些互為相反數(shù)的部分，求和時(shí)這些互為相反數(shù)的部分就能互相抵消，從而達(dá)到求和的目的例3求數(shù)列，的前n項(xiàng)和解 因?yàn)椋?所求的和：=例4 求和：=+ 解 因?yàn)?= 所以： = = = 評注 觀察相消項(xiàng)的規(guī)律是求和的關(guān)鍵，要搞

3、清楚哪些項(xiàng)是合并了，哪些項(xiàng)未合并，并且這類裂項(xiàng)分解往往要對數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行較大幅度的變形，有的是隔項(xiàng)相消，技巧要求較高3錯(cuò)位相減法這種方法是把原數(shù)列的錢n項(xiàng)和乘以一個(gè)因數(shù)作為輔助數(shù)列，然后把它與原數(shù)列相減而得到一個(gè)關(guān)于的關(guān)系式，接著解這個(gè)關(guān)系式，進(jìn)而求的的值能用錯(cuò)位相減法求和的數(shù)列通常是項(xiàng)數(shù)相同的一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的積組成的相減前在原求和等式的兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，兩式相減后能組成一個(gè)新的等比數(shù)列，以便用等比數(shù)列求和公式求和例5求和：= +解 因?yàn)椋? + （1） 所以：= + （2） 由（1）（2），得： = + = + 再利用等比數(shù)列的求和公式得：= + = 故：= 評注

4、（1）相減后各項(xiàng)的符號；（2）中間成等比數(shù)列部分的項(xiàng)數(shù)；（3）最后的表達(dá)式 例6設(shè)，求數(shù)列、 、 的前n項(xiàng)和解若，= = = 若，= （1）此時(shí)，該數(shù)列可以看作是等差數(shù)列1、3、5、7、 、與等比數(shù)列、 、的積構(gòu)成的數(shù)列，且公比等式兩邊同乘以 ，有： = （2） 由（1）（2），得： = 所以： = = 化簡整理得： = 評注 這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都含有，而等于1或不等于1對數(shù)列求和的方法有本質(zhì)上的不同，所以解題是要討論，切忌漏寫4數(shù)學(xué)歸納法這種方法是求出的前n項(xiàng)之和，即先求出、的值，再通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而歸納、猜想得出，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明例7已知數(shù)列的各項(xiàng)為：、其中是大于0的常數(shù)，記數(shù)列的

5、前n項(xiàng)之和是，計(jì)算、的值，由此推算出的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明解 = = = = = = = = 由此猜想： = 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： 當(dāng)時(shí)，命題顯然成立； 設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即：= 當(dāng)時(shí)，= = = 這就證明了時(shí)，命題成立，從而命題對所有的自然數(shù)都成立例8 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，且滿足： = ，求解 因?yàn)椋? ，由 = 得： = 所以： = ，而： = 所以： = ,得： = 同理求得： = 由此猜想： = 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)時(shí)，命題顯然成立； 設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即： = 當(dāng)時(shí)，由題設(shè)有： = 所以： = 從而： = = 由此求得： = 這就證明了時(shí)，命題成立，從而命題對所有的自

6、然數(shù)都成立評注 （1）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的思想是“先猜想、后證明”，對思維能力有較高要求；（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是“由當(dāng)時(shí)成立，如何過渡與轉(zhuǎn)換為當(dāng)時(shí)也成立.”5倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（倒敘），再把它與原數(shù)列相加，從而得到n個(gè)能用這個(gè)方法的數(shù)列的特點(diǎn)是：在一個(gè)數(shù)列中與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)之和（或“系數(shù)”之和），等于首末兩項(xiàng)之和（等于首末兩項(xiàng)“系數(shù)”之和）例9設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，求證： = 解 設(shè)s = （1） 將上式倒寫，得： s = 又因?yàn)椋?= ，所以： s = （2） 由（1）+（2），得： 2s = 因?yàn)椋菏堑炔顢?shù)列 所以： =

7、= = 所以：2s = = 即： s = 故： = 評注 = 例10 已知函數(shù) = ，求： = 解可證當(dāng) = 1時(shí)， = 因?yàn)椋?= （1） 將上式倒寫，得： = （2） 由（1）+（2），得：2s = = = 所以： = 例11 設(shè)，利用本文中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，求：的值.解： ，=，設(shè) = （1）將上式倒寫，得： = （2） 由（1）+（2），得： = = = = .點(diǎn)評 使用“倒序相加法”求和的題型特征是“與首末兩端距離相等的兩項(xiàng)的和都相等”. 本題中，倒序相加后，對應(yīng)項(xiàng)的和中自變量的和都等于1，故需探求的值.6并項(xiàng)求和法將數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或若干項(xiàng)）合并一項(xiàng)（或一組）得到一個(gè)

8、新的、容易求和的數(shù)列，然后再求整個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和例12（1）求1002992+982972+2212的值（2）求數(shù)列1，前100項(xiàng)的和解 （1）1002992+982972+2212=（100+99）（100-99）+（98-97）（98-97）+(2+1)(21)= (100+99)+(98+97)+(2+1)= = 5050（2）根據(jù)有2項(xiàng)，有3項(xiàng)，有4項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)和1+2+3+14=105，則最后一項(xiàng)為，且有9項(xiàng)， = 1+(+)+(+)+(+)+(+)= 1+1+1+1+1+9= 137拆項(xiàng)重組法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但經(jīng)細(xì)心觀察，仔細(xì)分析之后發(fā)現(xiàn)：若將這數(shù)列中的每一

9、項(xiàng)都兩項(xiàng)之和，再重新組合，它就可以分成幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可，這種方法就稱為拆項(xiàng)重組法例13求數(shù)列、的前n項(xiàng)和解因?yàn)椋?= = = = = 所以： = = = = 例14 求和：解 括號中式子的通向公式是： = = = 所以所求的和： = = = 評注 先研究通項(xiàng)，抓住特點(diǎn)，確定拆項(xiàng)方法，將數(shù)列通過拆項(xiàng)重組，轉(zhuǎn)化為等差、等比或熟悉的數(shù)列，然后求和8通項(xiàng)分析法對數(shù)列的通項(xiàng)不是很明確的數(shù)列，就應(yīng)先對其通項(xiàng)求和或變形，進(jìn)行分析，從而決定使用哪種方法求和例15已知數(shù)列的通項(xiàng) = ，求此數(shù)列的前n項(xiàng)和解因?yàn)椋?= = = 所以： = = = = 例16 已知數(shù)列中， =

10、 1， = 1+2+1， = = ，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解因?yàn)椋?= = = = = 所以： = = = = 評注 數(shù)列的通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)，充分研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，常常對求和是十分有用的9構(gòu)造等式法這種方法是指構(gòu)造一個(gè)含有未知數(shù)的等式，然后令這個(gè)未知數(shù)分別等于1、2、3、n，于是得到n個(gè)等式，接著將這n等式相加，與數(shù)列和無關(guān)的項(xiàng)能小區(qū)，而剩下的就是所求數(shù)列的和或能組成等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而求出所求的此法適用于求由自然數(shù)的冪構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和例17求數(shù)列，的前n項(xiàng)和 解 因?yàn)椋?= 所以： = 依次令 = 1、2、3、n，得： = ， = ， = ， = 將上面n個(gè)等式相加得： = 由此解得： = 評注 這個(gè)結(jié)論是前n個(gè)自然數(shù)的平方和公式，它具有便于記憶的特征，又有一定的實(shí)用價(jià)值，應(yīng)注意記憶及應(yīng)用10導(dǎo)數(shù)求和法通過對數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維，由求導(dǎo)公式 = ，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征例18 求和： （1） = ； （2） = 解 (1) 當(dāng)時(shí)， = = ； 當(dāng)時(shí)， = 兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)得： = 由此有 ： = 即： = = （2）因?yàn)椋?= 兩邊都是關(guān)于的函數(shù)， 所以：求導(dǎo)