高一數(shù)學(xué)例談函數(shù)解析式的求法

1、例談函數(shù)解析式的求法重慶黔江新華中學(xué) 侯建新一、解析式的表達形式解析式的表達形式有一般式、分段式、復(fù)合式等。1、一般式是大部分函數(shù)的表達形式，例一次函數(shù)： 二次函數(shù)： 反比例函數(shù)： 正比例函數(shù)： 2、分段式若函數(shù)在定義域的不同子集上對應(yīng)法則不同，可用n個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù)。(注意分段函數(shù)的定義域和值域)例（2001上海）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的值為 。解：當(dāng)時，由得，與矛盾； 當(dāng)時，由得，。 3、復(fù)合式若y是u的函數(shù)，u又是x的函數(shù)，即，那么y關(guān)于x的函數(shù)叫做f和g的復(fù)合函數(shù)。例 已知，則 ， 。解： 二、解析式的求法根據(jù)已知條件求函數(shù)的解析式，常用待定系數(shù)法、換元法、配湊

2、法、賦值（式）法、方程法等。函數(shù)的解析式是表示對應(yīng)關(guān)系的式子，是函數(shù)三種表示法中最重要的一種，對某些函數(shù)問題，能否順利解答，往往取決于是不是能夠求出函數(shù)的解析式本文就常見的函數(shù)解析式的求法歸類例析如下：1圖象法例已知函數(shù)的圖象如圖所示求函數(shù)的解析式解：由圖知函數(shù)是分段函數(shù)，分別對每段求解析式易得 評注：已知函數(shù)圖象，求函數(shù)解析式，對于這類問題，我們只要能夠準(zhǔn)確地應(yīng)用題中圖象給出的已知條件確定解析式即可配湊法（滿足范圍才能取代）例已知求得解析式解：（）評注：已知，求的問題，可先用表示，然后再將用代替，即得的解析式例 已知，求。解：，（）。例 已知，求。解：，（）。例 已知：，求。解： 注意：1、

3、使用配湊法也要注意自變量的范圍限制； 2、換元法和配湊法在解題時可以通用，若一題能用換元法求解析式，則也能用配湊法求解析式。換元法（滿足范圍才能取代）例已知，求函數(shù)的解析式解：令，則（引入新元要標(biāo)注范圍）從而評注：已知，求的問題，若用配湊法難求時，則可設(shè)，從中解出，代入進行換元來解在換元的同時，一定要注意“新元”的取值范圍待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)類型給定，且函數(shù)某些性質(zhì)已知，我們常?？梢允褂么ㄏ禂?shù)法來求其解析式。例求一次函數(shù)，使得解：設(shè)一次函數(shù)為，則，由已知可得，比較系數(shù)得：，解得例 已知二次函數(shù)滿足，求。解：設(shè)函數(shù)為，將代入得，解得，。例 已知二次函數(shù)滿足且圖象經(jīng)過點（0，1），被軸截得的線段長為

4、，求函數(shù)的解析式。分析：二次函數(shù)的解析式有三種形式： 一般式： 頂點式： 雙根式：解法1：設(shè)，則圖象經(jīng)過點（0，1）知：，即 c=1 由知：整理得：即： 由被軸截得的線段長為知，即 即 整理得： 由得： 解法2：由知：二次函數(shù)對稱軸為，所以設(shè)；以下從略。解法3：由知：二次函數(shù)對稱軸為；由被軸截得的線段長為知，；易知函數(shù)與軸的兩交點為，所以設(shè)，以下從略。例 已知：為二次函數(shù)，且，求。解方程組法例已知，求的解析式解：已知將中變量換成，得聯(lián)立、可得方程，消去得例 已知：，求。解：已知：用去代換中的得 由2得： 評注：已知滿足某個等式，這個等式除是已知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如（），等可以根據(jù)已知等式

5、再構(gòu)造其它等式組成方程組，通過解方程組求出特殊值法對于抽象函數(shù)，我們常常使用賦值法來探求其函數(shù)解析式。例已知對一切，關(guān)系式都成立，且，求解：對一切、都成立令得，再令得例 已知定義在實數(shù)集上函數(shù)對于一切、均有，且，求。解：在中，令、得，即，。例 已知函數(shù)滿足，求函數(shù)。解：以代原關(guān)系式中的得，與原關(guān)系式聯(lián)立組成方程組解得：。對于函數(shù)，當(dāng)滿足形如（）或（）等關(guān)系時，我們可以用或代替關(guān)系式中的，將得到的新式子與原關(guān)系式聯(lián)立消元，將從方程中解出來。例 已知函數(shù)對于一切實數(shù)都有成立，且。（1） 求的值；（2） 求的解析式。解：（1） 取，則有 （2）取，則有 整理得：7.遞推法對于定于在上的函數(shù)，我們可以

6、把、等與數(shù)列中的項、等關(guān)聯(lián)起來。我們直接從給定的條件關(guān)系式或通過巧妙的賦值，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推關(guān)系式，進而將求函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項。這樣，我們便可以將求遞推數(shù)列通項公式的思想方法遷移過來進行求解。例7 已知是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，并且對于任意的、，都有，且，求。解：令得那么有：各式疊加得：即（）8.變換法對于給定軸對稱函數(shù)、中心對稱函數(shù)、周期函數(shù)等在某區(qū)間的解析式要求另一區(qū)間上函數(shù)解析式一類問題，我們可從目標(biāo)（待求）區(qū)間入手，構(gòu)造變量屬于已知區(qū)間，通過給定的函數(shù)的性質(zhì)把待求的解析式和構(gòu)造變量的函數(shù)值之間的關(guān)系關(guān)聯(lián)，從而把函數(shù)在待求區(qū)間上的解析式求解出來。例8（奇偶變換法） 已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，試求當(dāng)時的解析式。解：設(shè)。則，那么，而為奇函數(shù)，。例9（對稱變換法） 已知的圖像關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，試求當(dāng)時的解析式。解：設(shè)，則，那么，而的