西南大學(xué)《初等數(shù)論》網(wǎng)上作業(yè)(共4次)

1、初等數(shù)論第一次作業(yè)簡(jiǎn)答題1. 敘述整數(shù)a被整數(shù)b整除的概念。2. 給出兩個(gè)整數(shù)a，b的最大公因數(shù)的概念。3. 敘述質(zhì)數(shù)的概念，并寫出小于14的所有質(zhì)數(shù)。4. 敘述合數(shù)的概念，并判斷14是否為合數(shù)。5. 不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是什么？6. 列舉出一個(gè)沒有整數(shù)解的二元一次不定方程。7. 寫出一組勾股數(shù)。8. 寫出兩條同余的基本性質(zhì)。9. 196是否是3的倍數(shù)，為什么？10. 696是否是9的倍數(shù)，為什么？11. 敘述孫子定理的內(nèi)容。12. 敘述算術(shù)基本定理的內(nèi)容。13.給出模6的一個(gè)完全剩余系。14.給出模8的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系。15.寫出一次同余式有解得充要條件。答：1.設(shè)a,b是任意兩個(gè)整

2、數(shù)，其中b0，如果存在一個(gè)整數(shù)q使得等式a=bq成立，我們就稱b整除a或a被b整除,記做b|a。2.設(shè)a,b是任意兩個(gè)整數(shù)，若整數(shù)d是他們之中每一個(gè)的因數(shù)，那么d就叫做a,b的一個(gè)公因數(shù)。a,b的公因數(shù)中最大的一個(gè)叫做最大公因數(shù)。3.一個(gè)大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，就叫作質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù))。14的所有質(zhì)數(shù)為2,3,5,7,11,134.一個(gè)大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)除了1和它本身，還有其他的正因數(shù)，則就叫作合數(shù)。14的所有正因數(shù)為1,2,7,14，除了1和本身14，還有2和7兩個(gè)正因數(shù)，所以14是合數(shù)。5.不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是。6.沒有整數(shù)解的二元一次不定方程10x+

3、10y=5。7.一組勾股數(shù)為3,4,5。8.同余的基本性質(zhì)為：性質(zhì)1 m為正整數(shù)，a，b，c為任意整數(shù)，則aa（mod m）；若ab（mod m），則ba（mod m）；若ab（mod m），bc（mod m），則ac（mod m）。性質(zhì)3 若（mod m），（mod m），則（mod m）若abc（mod m），則acb（mod m）。9.196不是3的倍數(shù)。因?yàn)橛啥x可知 設(shè)a,b是任意兩個(gè)整數(shù)，其中b0，如果存在一個(gè)整數(shù)q使得等式a=bq成立，則將a叫做b的倍數(shù)。所以a=196，b=3，不存在一個(gè)整數(shù)q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍數(shù)。10.696不是9的倍數(shù)。因?yàn)橛啥x可知

4、 設(shè)a,b是任意兩個(gè)整數(shù)，其中b0，如果存在一個(gè)整數(shù)q使得等式a=bq成立，則將a叫做b的倍數(shù)。所以a=696，b=9，不存在一個(gè)整數(shù)q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍數(shù)。11.孫子定理的內(nèi)容為：設(shè)是k個(gè)兩兩互質(zhì)的正整數(shù), (1)設(shè),則同余式組(1)的解是 (2)其中是滿足的任一個(gè)整數(shù)，i1,2,k。12.任一大于1的整數(shù)能表成質(zhì)數(shù)的乘積，即任一大于1的整數(shù) ，（1）其中是質(zhì)數(shù)，并且若，,其中是質(zhì)數(shù)，則mn，i1，2，n。13.模6的一個(gè)完全剩余系為1，2，3，4，5，6。14.由于8的標(biāo)準(zhǔn)分解式為8=23，所以8=231-12=4所以模8的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系由4個(gè)數(shù)構(gòu)成，這兩個(gè)數(shù)都與8

5、互質(zhì)，并且它們關(guān)于模8不同余。比如1,7就是模8的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系。15.一次同余式有解的充要條件是(a,m)|b。初等數(shù)論第二次作業(yè)填空題19除28的商是 3 。211除23的余數(shù)是 1 。36的正因數(shù)是 1,2,3,6 。44.5= 0.5 。58.3 +-8.3 = 1 。630的最小質(zhì)因數(shù)是 2 。7在所有質(zhì)數(shù)中，是偶數(shù)的是 2 。8在所有質(zhì)數(shù)中，最小的奇質(zhì)數(shù)是 3 。9大于4小于16的素?cái)?shù)有_ 5, 7, 11, 13 _ _。10不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是 (a,b)|c 。11模5的最小非負(fù)完全剩余系是 0,1,2,3,4, 。12模4的絕對(duì)最小完全剩余系是 1, 0, 1,

6、 2 。13的個(gè)位數(shù)是 5 。1477的個(gè)位數(shù)是_ 3 _。15316的十進(jìn)位表示中的個(gè)位數(shù)字是 1 。1666的個(gè)位數(shù)是 6 。17710被11除的余數(shù)是 1 。18（1516，600）= 227400 。196的所有正因數(shù)的和是 12 _。2024與60的最大公因數(shù)是 12 。2135的最小質(zhì)因數(shù)是 5 。2246的個(gè)位數(shù)是 6 。238的所有正因數(shù)的和是 7 _。2418的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 18=23 。2520的歐拉函數(shù)值= 8 。初等數(shù)論第三次作業(yè)計(jì)算題1求169與121的最大公因數(shù)。解：（169，121）=（169 121，121）=（48，121）=（48，121 48） =（48，

7、73） =（48，25） =（23，25） =12求出12!的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：，所以12!的標(biāo)準(zhǔn)分解式為3求不定方程3x - 4y = 1的一切整數(shù)解。解：因?yàn)椋?,4）= 1，所以不定方程有整數(shù)解。觀察知x = 3，y = 2是其一個(gè)整數(shù)解。由公式知其一切整數(shù)解為，t為整數(shù)。4求不定方程7x + 2y = 1的一切整數(shù)解。解：因?yàn)椋?,2）=1,1|1，所以不定方程有解。觀察知其一個(gè)整數(shù)解是。于是其一切整數(shù)解為，t取一切整數(shù)。5解同余式3x 1 (mod 7)。解：因?yàn)椋?,7）= 1，所以同余式有解且有一個(gè)解。由3x - 7y = 1得，所以同余式的解為.6解同余式3x 8 (mod 10

8、)。解：因?yàn)椋?,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一個(gè)解。由得一個(gè)解，所以同余式的解為.7解同余式28x 21 (mod 35)。解：因?yàn)椋?8，35） = 7，而7|21，所以同余式28x 21(mod 35)有解，且有7個(gè)解。同余式28x 21(mod 35)等價(jià)于4x 3(mod 5)，解4x 3(mod 5)得x 2(mod 5)，故同余式28x 21(mod 35)的7個(gè)解為x 2，7，12，17，22，27，32(mod 35).8解同余式組：。解：由得，將其代入得，解得，即，所以，所以解為.9解同余式組：。解：由得，將其代入得，解得，即，所以，所以解為.10解同余式組

9、：。解：由得，將其代入得，即，解得，所以，于是。所以同余式組的解為.11解同余式組：。解：因?yàn)?，3，5兩兩互質(zhì)，所以由孫子定理該同余式組有一個(gè)解。由孫子定理可得該同余式組的解為x 1(mod 30).12一個(gè)數(shù)是5個(gè)2，3個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7的連乘積，這個(gè)數(shù)有許多的約數(shù)是兩位數(shù)，求出這些兩位約數(shù)中最大的那一個(gè)。解：設(shè)這個(gè)數(shù)為n，則由已知條件可得。由于11|99，97|97，所以99，98，97都不是n的約數(shù)。又，所以96是n的約數(shù)，所以n的兩位約數(shù)中最大的為96.初等數(shù)論第四次作業(yè)證明題1設(shè)n是整數(shù)，證明6 | n(n + 1)(2n + 1)。證明：若n為偶數(shù)，則n(n + 1)(2n +

10、1)是偶數(shù)若n為奇數(shù)，則n+1是偶數(shù)，所以n(n + 1)(2n +1)是偶數(shù)在證這個(gè)數(shù)能被3整除，若n被3整除，則n(n + 1)(2n +1)能被3整除若n被3除余1，則2n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除若n被3整余2，則n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除所以6| n(n + 1)(2n + 1).2設(shè)n是整數(shù)，證明：。證明：由此知 若n=1 則該式0 是6的倍數(shù)若n1 則該式為三個(gè)連續(xù)正整數(shù)乘積在3個(gè)連續(xù)正整數(shù)中 至少有1個(gè)是偶數(shù)即可被2整除在3個(gè)連續(xù)正整數(shù)中 必有1個(gè)是3的倍數(shù) 即可被3整除所以該式即可被2*36整除.3設(shè)x，y均為整數(shù)。證明：若，則。證明：4設(shè)x，y均為整數(shù)。證明：若，則。證明：5設(shè)x是實(shí)數(shù)，n是正整數(shù)，證明：。證明：令，則由定義有，于是。由于na，n(a+ 1)均為整數(shù)，所以，從而，由定義得，所以。6設(shè)p是質(zhì)數(shù)，證明：。證明：因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，所以，。于是。7證明：若，則。證明：由