小學教學論文：“體積與容積”概念建立的教材對比與思考

1、“體積與容積”概念建立的教材對比與思考【內容摘要】“體積與容積”是小學數學圖形與幾何領域的重要基礎性概念。新課標下的部分主流版本教材（人教版、北師大版、蘇教版、浙教版）分別是如何選擇學習素材？如何安排學生的概念建立過程？文章從屬性抽取、原型提取、素材選擇、概念表述、實驗設計、練習安排等維度進行了對比分析?；诜治鲫U述了體積教學是基礎、本質屬性是核心、經驗積累為追求的教學設計認識?！娟P鍵詞】體積；容積；教材；概念 “體積與容積”是小學數學圖形與幾何領域的重要基礎性概念。辭海中對兩個概念的定義分別為，“體積”指物質或物體所占空間的大小，“容積”指容器所能容納物體的體積?？梢钥闯觯瑑蓚€概念的內涵核心

2、是“所占空間的大小”，建立“空間大小”觀念是理解這兩個概念的關鍵。體積是指物體占三維空間的大小，容積則是物體三維空間內部的局部空間大小。說明容積包含于體積內涵之中，體積概念是容積概念建立的基礎。但，二者又有些許不同，容積是刻畫容器所能容納物體的空間大小，是用等量填充物體積表示容器內部空間大小。所以，體積概念建立重心在空間大小觀念形成，容積概念建立重心在所容納物體體積與容器內部空間大小的等量觀形成。由此可見，這兩個概念在教學意義是處于不同維度的。為此，教材編排中就形成了兩種學習序列，一種序列是體積與容積同時學習，再學習體積（容積）單位及長方體體積計算，如北師大版、蘇教版教材。另一種是體積概念先學

3、，在完成長方體體積計算，體積單位學習后再認識容積，如人教版、浙教版，北京版等。當然，兩種學習序列存在說明大家對這兩個概念建立過程有不同理解，自然也有其各自科學合理之處。但目標是一致，那就是怎樣突顯“空間大小”這個本質，幫助學生有效的建立概念？在這個核心問題上各版本教材分別是如何體現(xiàn)與落實的。個人以人教版、北師大版、蘇教版、浙教版四個版本教材為例，進行了對比分析。一、屬性抽取對比分析數學教育心理學告訴我們，概念形成是數學概念建立的主要方式之一。概念形成主要經歷“辨別刺激模式、分化屬性，概括共同屬性，確認關鍵屬性，形成概念，符號表述，歸類整理”等過程。對學生來講“體積”是一個全新概念，建立這個概念

4、主要是用概念形成方式。需要經歷較復雜的過程，首先要讓學生獲得充分的典型事物刺激，再明確“占空間大小”這一關鍵屬性，最后用“體積”這一文字符號表示。實現(xiàn)與其他有關“大小”概念的區(qū)分，改造已有的“位置大小”“范圍大小”等概念，建立數學意義上的體積概念。四個版本教材在體積概念的屬性抽取上，呈現(xiàn)了兩種路徑，一種路徑是“實驗活動中引出空間大小實例比較判斷空間大小概括總結呈現(xiàn)體積概念內容”，人教版、蘇教版、浙教版均是這種路徑；另一種路徑是“實踐活動引出空間大小概括總結呈現(xiàn)體積概念內容”，北師大版是這種路徑。兩種路徑相差“實例比較判斷空間大小”這個板塊。第一種路徑的三個版本教材十分細致的設計了這塊內容。（見

5、下圖1、2、3） 圖2：蘇教版教材圖1：浙教版教材圖3：人教版教材在實驗活動中引出“占空間大小”這個屬性后，為了強化對“空間大小”這個屬性的認識，這三個版本教材馬上安排了判斷，并且在題目問題中標明“占的空間大”這些文字符號，顯然這是及時的強化，有利于學生快速接納這個新觀念，為歸納概念做鋪墊。圖4：北師大版教材但北師大版教材在實驗中引出“占空間大小”后，就直接出示了體積概念，沒有安排學生在具體情境對屬性進行更充分的感知，顯然這個過程顯得倉促，學生對“占空間大小”這一屬性的認識是膚淺的，不深刻的，不利于體積概念的真正形成。二、原型提取對比分析生活原型是數學概念建立的重要基礎，也是學生理解概念意義的

6、主要承載體。體積所表示物體占空間大小這一本質，支撐的生活經驗主要是“蘋果大一些”“這個西瓜大一些”“太擠了”“位置不夠了”等，這些夾雜著重量、面積、長度等屬性特征的“大小”感，其中依托視覺感官，形成的對物體外形大小直觀感知經驗是體積概念建立的關鍵經驗，每個孩子頭腦中的具像到一個物體的外形大小印象，是體積概念的生活原型。所以，教材需要直接刺激學生，讓學生主動提取生活原型。當然，這里最難的是讓學生明確的感知到“空間”的存在及物體對空間有不同占有度（占空間大?。?。解決這個難題最好的辦法還是要靠視覺感官。為此，四個版本教材也出現(xiàn)了兩種思路，一種是組織觀察實驗，借助水位變化讓學生感知空間存在及大小度，人

7、教版、蘇教版、浙教版是這個思路；另一種是物體大小比較中，明確空間大小，北師大版教材是這個思路。如下圖。（蘇教版教材）（浙教版教材）（北師大版教材）（人教版教材）第一種思路三個版本教材都設置了一個完全類似的實驗活動一個物體放入有水的玻璃杯中，觀察水平上升變化情況。玻璃杯中水的空間被石塊（桃子）占領，水位就上升了。這個動態(tài)直觀實驗完全激活了學生對物體占一定空間的經驗，并且在簡短的互動中主動的用“空間”這個屬性描述取代生活中“位置”“地方”等描述。同時，強烈的視覺沖擊讓原本空洞的“空間”形象化了。這個情境內容很好的解決了“占空間”這個核心觀念改造。相比下，第二種思路也就是北師大版的兩個活動“說生活中

8、物體的大小關系”“實驗觀察，比較兩個物體的大小關系”，把重心落在了“大小”這個核心點，強化了物體占空間有大小這個屬性。但，兩個比較活動情境決定學生關注點是大小對比上，孩子對物體“占空間”這個觀念的建立是缺乏引導力的?！罢伎臻g的大小”這個本質屬性是空間觀與大小度的二合一，四個版本教材都選擇了觀察實驗，借助視覺沖擊喚醒學生的經驗。但學生的生活原型首先要服務于空間觀的建立。所以，選擇單個物體進行實驗，更有利于學生集中注意力，感受物體占空間的屬性。三、素材選擇對比分析概念建立需要豐富的表象支撐，表象的豐富性取決于學習素材的代表性與豐富性。四個版本教材除了在原型提取上所設置的活動內容有差別外，直接提供學

9、生積累的形象化素材數量與價值定位也存在一些差異。 教材體積容積圖片數量/張具體內容圖片數量/張具體內容人教版5烏鴉喝水圖片、石頭實驗圖、電視機、影碟機、手機圖3飲料瓶浙教版8石頭實驗圖片組、立方體搭長方體、手提電腦、電腦主機、紙箱10紙箱、油筒、水桶、純凈水桶、汽車、飲料盒、藥瓶北師大版2土豆、紅薯圖（練習中出現(xiàn)小立方體拼成長方體）1燒杯蘇教版6桃子、荔枝、小西紅柿、實驗圖片4書盒、水杯、石頭、水杯、盒子從表中可以直觀看出，北師大版教材提供的素材最簡單，其他三個版本相對來講比較豐富些，這符合文章第一點分析中談到的屬性抽取的兩種路徑設計思路。所以，人教版與浙教版教材，在體積認識時除實驗圖片外，還

10、專門提供了電腦、紙箱、手機等生活實物圖片，素材比較豐富，主要是為了給學生充分的感知與抽象時空。但，另外兩個維度上所體現(xiàn)出的素材安排差別值得關注。第一，單純從容積這個點看，四個版本的素材又呈現(xiàn)兩種新的模式，一種是只有半封閉容器（燒杯），北師大版教材是這樣的；另一種是封閉或半封閉式容器都有，其它三個版本是這樣的。這個安排，顯然其它三個版本更適宜些，因為容器包括封閉與半封閉兩種類別，從教學角度講需要提供給學生比較全面的素材。特別是箱子、盒子這類裝固體的容器需要及時幫助學生突破定勢，完善認識。第二，小立方體拼成的立體圖形呈現(xiàn)情況有所不同。浙教版在概念揭示前安排了立方體拼成立體圖形體積判斷。北師大版在練

11、習中安排了類似練習。立方體拼成的立體圖形所占空間大小判斷，是直接計算法判斷體積的策略體現(xiàn)，同時這也是后面學習體積單位的積極滲透。這塊內容對拓展學生比較兩個立體圖形體積的方法有十分重要的意義，特別是對實驗法定勢的突破作用更大。四、概念表述對比分析體積與容積概念的表述方式上，體積概念表述四個版本教材完全一致，為“物體所占空間的大小叫做物體的體積”，只是北師大版教材“叫做”用了“叫作”這個詞。容積概念表述呈現(xiàn)兩種方式：一種方式是“容器所能容納物體的體積，叫做（作）容器的容積”，北師大版、蘇教版教材這樣表述；另一種方式是“箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積”，人教版、浙教版是這樣

12、表述的。可以看出兩種方式對容積概念的核心把握是完全一致的“所能容納物體的體積”，差別是對“容器”這個概念使用，人教版、浙教版回避了這個術語，直接用一些容器實物箱子、油桶、倉庫等來代表。個人感覺用例舉表達的方式比較切合小學生年齡特征，特別是日常生活中形成了臉盆、水桶等這類裝液體、半封閉容器為主的定勢下，例舉了“”箱子、倉庫等這類裝固體、全封閉容器，有利于學生主動調整對容器概念的認識。五、實驗設計對比分析（浙教版教材）觀察實驗是體積概念建立過程必不可少的活動。因為借助透明玻璃杯和水位變化，可以在一定程度上將抽象的空間形象化，能幫助學生提升對“物體占空間大小”的感悟。四個版本教材在實驗活動安排上都有

13、充分的體現(xiàn)，但實驗活動設計卻有明顯的差異。（見下圖）（北師大版教材）（人教版教材）（蘇教版教材）1.實驗目標定位不同人教版、浙教版、蘇教版三個版本都設計了一個物體放入玻璃杯中觀察水平變化的實驗。這個實驗的目的是引導學生充分感知空間的存在及物體占一定空間，也就是首先幫助學生建立“空間觀”。特別是人教版，觀察實驗前先安排了烏鴉喝水實驗的回憶，這個內容看似激趣，實則是讓學生初步建立“物體占空間”這一觀念，再加之后續(xù)的直接觀察實驗，能強化空間觀形成。北師大版教材沒有安排單個物體實驗活動，直接設計了比較兩個物體大小實驗。這個實驗顯然重心在體驗物體占空間大小，也就是建立空間大小觀。2. 對用實驗法比較物體

14、大小的認識完全不同對用實驗法比較兩個物體體積這個實驗，四個版本呈現(xiàn)了完全不同的兩種認識：人教版、浙教版沒有安排這個實驗，北師大版、蘇教版專門設計了這個實驗。這個實驗的核心價值是一種轉化策略體驗，把原本直接比較空間大小有困難的問題，轉化為比較水所占空間大小。同時，實驗中水位的高低變化對比，讓學生有一個直觀的大小判斷標準，能加強學生對空間大小的認識。所以，個人認為這個實驗是一個很有價值的活動，在一個物體的實驗中積累了有關物體占空間的觀念后，兩個物體占空間大小比較實驗讓學生明確感受到了物體占空間的大小，突破了體積概念中“大小”這個難點，也收獲了一種比較方法。六、練習安排對比分析人教版、浙教版在體積概

15、念出示后沒有安排針對概念建立的練習，而是結合體積單位知識安排了說長方體的體積。北師大版、蘇教版因為在體積與容積概念學習后，沒安排體積單位學習，所以有專門的概念練習。（見下圖）（人教版教材）（浙教版教材）（北師大版教材）（蘇教版教材）蘇教版練習第一題延續(xù)教材新知探索階段實驗設計思想，不僅讓學生直觀判斷兩個物體體積情況，還想象思考溢出的水量情況。這個設計又一次讓學生加深了比較策略的認識，同時在轉化中發(fā)展空間觀念。第二題讓學生直接依據杯子個數判斷容積，強化了學生的容積概念理解。北師大版教材練習第1、2題主要滲透等積變形的思想，讓學生深刻的體會到組成物體的物質及標準數量不變，體積不會因形狀而變化。第3

16、題主要強化容積因容器不同而不同的認識。從中可看出蘇教版與北師大版練習設計各有特色，北師大版重在等積變化與標準化數量比較方法滲透，蘇教版重在容積概念的鞏固。個人感覺標準化測量與等積變形是提升學生對體積與容積理解的必需內容，北師大版的練習更適宜些。綜合四個版本教材在體積與容積內容設計上的優(yōu)勢與不足，個人感覺體積與容積教學不論是哪種學習序列，都應該關注如下幾個方面。1. 以體積概念建立為基礎，安排適宜學習序列從分析中可以看出，容積是體積的下位概念，容積概念建立主要是概念同化的過程。學生在真正理解體積概念后，學習容積概念只要明白所描述的是與容器內部空間大小相等的物體體積就行。所以，“先體積后容積”是不

17、可打破的學習序列。幾個版本的教材都遵循了這個序，只是有的安排在同一課時中，這就對課時中體積概念建立的效果提出了很高要求，要確保體積概念在短時間內讓學生有充分的理解，才能保證容積概念順利建構。為此，同課時學習體積與容積，教學設計時要盡可能拉長體積與容積概念的學習間隔時間，以讓學生有充足的時間內化體積概念。教材安排上，蘇教版在揭示體積概念后，就及時安排了鞏固體積概念的環(huán)節(jié)。（見右圖）這讓學生有一定的緩沖時間。北師大版教材缺少這個環(huán)節(jié)，為此建議在體積概念揭示后補充相關練習。如安排下面練習：（1）哪個長方體體積大？它們體積分別是多少？（2）兩塊橡皮泥，a塊搓成小圓球可搓10個，b塊可以搓8個同樣的小圓

18、球，哪塊橡皮泥體積大？（3）將兩團泥巴分裝在相同的小正方體杯子中，第一團泥巴共裝了23杯，第二團泥巴裝了30杯。哪團泥巴體積大？（4）籃球（比較一個充滿氣和放掉氣的籃球，前后兩種狀態(tài)下什么變化，什么沒有變化？），一塊橡皮泥（比較同一塊橡皮泥壓扁與搓成團，什么變化？什么沒變化？）通過這組練習的過度，學生對體積概念有了一段消化與再整理的過程，知識結構的穩(wěn)定性得到了保障。再以此為基礎學習容積，學生能將注意力集中到容器的特征把握上，而較快的建立容積概念。2. 以概念本質屬性為核心，設計有效數學活動數學課標明確提出“數學教學是數學活動的教學”，體積與容積的概念建立過程就是一系列數學活動的過程，是圍繞“占

19、空間大小”這個本質屬性的有效數學活動過程。（1） 建立“空間觀”的活動空間觀是體積概念的基礎。根據學生的生活經歷及年齡特點，學生頭腦中對空間都有自己認識，如位置、地方、大小等。教學中需要幫助學生基于這些認識，進行積極的整合。這個過程最好的活動就是觀察、交流。所以，借助玻璃杯與水的實驗應該是最好的活動。因為在空氣中談物體空間狀態(tài)，由于空氣不可觀察，很難在感官上形成一個有力的沖擊，而水在容器中水位變化可觀察，可以在觀察者視覺上產生強烈沖擊。借助這個沖擊能將原本抽象的空間觀形象化，讓學生找到一個關于空間的實際意義載體，促進空間觀形成。為此，人教版、蘇教版、浙教版的第一個實驗活動值得借鑒。（2） 建立

20、“大小觀”的活動“大小觀”建立是體積概念最終形成的核心，當然這里的大小是指空間大小。學生經驗中大小觀念是十分強烈的，已建立了“面積大小”“數據大小”“地位大小”“角度大小”等一系列大小觀，這些大小觀念有數學意義上，也有社會意義上的?？臻g大小顯然是一種新的大小觀，是對已有大小觀念的補充。所以，教學要關注學生已有大小觀的影響，盡可能減少非空間大小觀的干擾。最好的方法是主動區(qū)別。主要的方式是言語表達，厘清界線。所以，教學中需要設計說一說、辨一辨等活動。如“觀察周圍物體，說一說誰占的空間大，誰占的空間小”。當然，從心理學上講，大小是觀察者在對多個同屬對象的對比中產生的心理感覺。所以，對比是產生大小認識

21、最好的方式。為此，教學中需要充分利用好兩個相似物體大小比較的實驗活動。北師大版、蘇教版教材中已設計這個活動。教學中需要充分安排這次活動。最好讓學生經歷“認知沖突方法假設觀察實踐”的過程。在活動中發(fā)展空間大小觀外，感受轉化的思想方法。案例：體積與容積觀察實驗片斷。情境創(chuàng)設：（直接觀察法不能解決問題，學生產生了認知沖突。）師：你有什么辦法解決，比較出它們占的空間哪個大？生：稱一稱重量。生：不行，這是兩種不同的東西。綿花與鐵能稱重量能比占空間大小嗎？生：在一個杯子里裝上水，把土豆與紅薯分別放進去，看水高出多少？生：取兩個杯子，裝滿水，分別放進去，看滿出來的水是多少？師：那我們就來實驗一下。（演示兩個

22、相同杯子中裝上相同的水，分別放入物體看水面變化。）這個活動讓學生在問題驅動下積極主動參與觀察與思考。在第一個實驗活動中形成的空間觀的基礎上，集中注意力關注著水位高度差異，直觀體驗到物體所占空間有大小差異。3. 以學習經驗積累為追求，選擇合理學習素材讓學生獲得“基本數學思想”“基本活動經驗”是數學課標修訂稿提出的重要目標。組建結構有效的學習素材，是幫助學生獲得基本思想與經驗的保證。體積與容積概念建立需要大量的生活化與數學化素材，需要教學設計中進行合理安排與利用。 （1） 物體種類要有代表性，數量要充足概念形成是對同類對象共同屬性的抽取過程，所以對象要具有代表性。北師大版教材選擇的對象是教室內物體

23、，其他版本教材選擇電視機、電腦等。這些物體學生熟悉，有代表性。但，容積方面北師大版只提供了燒杯，就不如人教版、浙教版考慮細致。所以，建議容積教學時要補充系列封閉型容器及裝固體物的容器，如車廂、紙箱、熱水瓶、茶杯等。（2） 素材內容要有多樣性，內涵要清晰實驗素材是體積概念建立的關鍵性素材，這組素材主要功能是幫助學生建立空間大小觀，獲得物體體積比較的方法經驗。但，比較體積還有其他方法，如標準體積物測量法、計算法等。所以學習材料需要充實，力求材料結構上豐富些。北師大版教材、浙教版教材選擇了正方體拼立體圖形的體積判斷材料，這個材料是標準體積物測量比較的方法體現(xiàn)，指向體積單位的學習，內涵就比較清晰。但，標準物比較思想源自比較需求，標準物是多樣的，所以可以選擇一些非數學體積單位意義上的正方體標準物，如小物體。（見下圖）“說一說哪團橡皮泥占的空間大一些”通過多樣化的標準物比較，能讓學生順利遷移長度、面積比較