關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討畢業(yè)論文

1、-畢 業(yè) 論 文（設(shè)計） 論文（設(shè)計）題目：關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討 系 別： 數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號： 2008104223 姓 名： 龐娟 指導(dǎo)教師： 黃妙 時 間： 2012年5月 河 池 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計） 開 題 報 告系別: 數(shù)學(xué)系 專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號2008104223姓 名龐娟論文（設(shè)計）題目關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討命題來源教師命題 學(xué)生自主命題 教師課題選題意義(不少于300字)：不定積分是求導(dǎo)問題的逆運算, 而定積分的計算主要依賴于萊布尼茲公式, 而使用萊布尼茲公式的前提是求被積函數(shù)的任一原函數(shù).由此可見, 不定積分是聯(lián)系微

2、分學(xué)和定積分的一條紐帶，不定積分的計算是微積分中的重要一環(huán).因此，探討不定積分的求解方法是很有意義的.不定積分在理論上十分簡明,但利用基本積分公式及性質(zhì),只能求出一些簡單的積分,對于比較復(fù)雜的積分,在運算上則有一定難度.正確選用不定積分的方法取決于對被積函數(shù)的分析, 從被積函數(shù)的特點出發(fā),由易到難進行剖析,著眼點不同就有不同的方法.由此可見,在求不定積分時,要想靈活運用基本方法得到解法,必須抓住被積函數(shù)的特點,進行多角度、多方位的剖析,對各類不同函數(shù)進行歸納總結(jié),經(jīng)過多次這樣的嘗試與探索才能豐富解題經(jīng)驗,產(chǎn)生解題意識,從而提高求不定積分的解題能力.研究綜述(前人的研究現(xiàn)狀及進展情況，不少于60

3、0字):恩格斯說:“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這里”微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力而不定積分是一元微積分中非常重要的內(nèi)容之一，是積分學(xué)中最基本的問題之一，又是求定積分的基礎(chǔ)，因此人們對不定積分求解方法的研究已有一定的成果，并且還將不斷的研究下去目前人們常用的四種基本不定積分求解方法是：直接積分法、第一類換元積分法（也稱湊微分法）、第二類換元積分法和分部積分法此外還有特殊類型函數(shù)的積

4、分：有理分式函數(shù)的積分、簡單無理函數(shù)的積分（化無理為有理）但是，由于不定積分計算方法多種多樣且技巧性強、題目多、題型復(fù)雜，有時候教師采用機械的方法教授，不能展現(xiàn)其作為生動智力斗爭的成果所具有的魅力，學(xué)生學(xué)習(xí)時，也往往陷入單純尋求技巧來計算不定積分費時多效果差見到生題又無從下手因此，牢固掌握不定積分的理論和運算方法是非常重要的，這不僅能使學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的導(dǎo)數(shù)和微分概念，而且也將為學(xué)習(xí)定積分，微分方程和多元函數(shù)的積分學(xué)以及其他課程打好基礎(chǔ)研究的目標(biāo)和主要內(nèi)容（不少于400字）一 研究的目標(biāo)探討不定積分的簡易求解方法，在熟記基本公式、性質(zhì)及常用微分關(guān)系式的基礎(chǔ)上，注意分析被積函數(shù)的特點，進行分類

5、歸納，從而找出規(guī)律性的方法和技巧。同時，遇到具體問題要仔細分析，選擇一個合適而簡單的方法，達到靈活運用、熟練掌握不定積分的計算方法與技巧的目標(biāo)。二 主要內(nèi)容 1、在分部積分中的應(yīng)用2、關(guān)于形如的解法3、的遞推公式擬采用的研究方法文獻法 、網(wǎng)絡(luò)搜索法 、探究分析、歸納總結(jié)、教師指導(dǎo)法研究工作的進度安排2012年1月至2012年2月，閱讀相關(guān)方向文獻資料，與指導(dǎo)教師商定題目.2012年3月，大量閱讀與所撰寫內(nèi)容相關(guān)的參考資料，擬定論文（設(shè)計）詳細寫作提綱，填寫河池學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告，交指導(dǎo)教師審核批準(zhǔn).2012年4月到5月上旬，撰寫論文初稿，及時與指導(dǎo)老師聯(lián)系，匯報寫作進展，遇到難以解決

6、的問題應(yīng)及時向指導(dǎo)老師請教，完成初稿，交指導(dǎo)教師審閱.2012年5月中旬接受指導(dǎo)教師整改意見，反復(fù)修改，最后定稿.2012年5月下旬至6月上旬準(zhǔn)備論文答辯，答辯結(jié)束后，把論文和各種表格裝訂成冊交數(shù)學(xué)系辦公室歸檔.參考文獻目錄（作者、書名或論文題目、出版社或刊號、出版年月日或出版期號）1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）m.3版.北京：高等教育出版社，2001.2 王洪英.一類不定積分的計算及應(yīng)用j.山東師大學(xué)報（自然科學(xué)版），2001,16（3）:317-318.3 蕭勝中.淺談不定積分的求解方法j.廣東民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），1998（4）:92-95.4 高麗，齊瓊，謝瑞.關(guān)于三類

7、特殊不定積分求解方法的討論j.西南民族大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版，2010,36（2）:169-171.5 李永杰，劉展.一類三角函數(shù)有理式積分計算的簡便方法及推廣j.平頂山學(xué)院學(xué)報，2009,24（5）：68-70.6 陳慶軒.介紹一類不定積分的解法j.重慶交通學(xué)院學(xué)報，1986,（3）:184-194.7 展丙軍，李兆興.兩類不定積分的巧解j.高等數(shù)學(xué)研究，2005，8（6）：20-24.指導(dǎo)教師意見該生的選題擬采查閱資料、歸納分析的方法，探討幾類不定積分的求解方法，歸納總結(jié)出幾種簡便方法以求相應(yīng)類型的不定積分，選題有意義，符合專業(yè)研究目標(biāo)，有一定的創(chuàng)新性，并且難度適中，對工作量的要求合理，估計能

8、夠完成既定目標(biāo)，同意開題.簽名： 2012 年 月 日教研室主任意見同意指導(dǎo)教師的意見，同意開題. 簽名： 2012年 月 日目 錄摘要 1關(guān)鍵詞1引言11 在分部積分中的應(yīng)用 21.1 求 21.2 求和 22 關(guān)于形如的解 42.1 求 4 2.2 對的推廣 4 3 的遞推公式 8 參考文獻 9abstract11key words11 圖11致謝 12 - 關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 龐繼娟 指導(dǎo)教師：黃春妙摘 要不定積分是數(shù)學(xué)分析的一個重要內(nèi)容，我們常用的求不定積分的方法有：直接積分法、換元積分法和分部積分法等. 不定積分在理論上十分簡明，但利用基本積分公式及性

9、質(zhì)，只能求出一些簡單的積分，對于比較復(fù)雜的積分，在運算上則有一定難度 有時，我們在計算中也發(fā)現(xiàn)有些不定積分不能用直接的方法來計算，這就要求我們在平時運算的過程中，多進行歸納總結(jié)及推廣.針對我們在學(xué)習(xí)中遇到的困難，本文將介紹幾種類型不定積分的求法.關(guān)鍵詞 不定積分；分部積分；萬能代換引言 函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù)稱為在上的不定積分，記作 ，其中稱為積分號，為被積表達式，為積分變量不定積分的幾何意義是：（1）若是的一個原函數(shù)，則稱曲線為的一條積分曲線（2）函數(shù)的不定積分表示的某一條積分曲線沿著縱軸方向任意的向圖（1）上向下平行移動所得到的所有積分曲線組成的曲線簇（3）在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的

10、點處作切線，則這些切線是互相平行的1，如圖（1）不定積分是一元微積分中非常重要的內(nèi)容之一，是積分學(xué)中最基本的問題之一，又是求定積分的基礎(chǔ)，牢固掌握不定積分的理論和運算方法，可以使學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的導(dǎo)數(shù)和微分學(xué)及其它相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，掌握好不定積分的方法是非常重要的.除課本提供的方法外，本文針對一些常見的函數(shù)不定積分的方法進行歸納. 1 在分部積分中的應(yīng)用在不定積分的分部積分法中，、和是兩類典型的題目根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與只差一個常數(shù)因子，以及多項式和三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的特點，得出求解上述不定積分的一種方法待定系數(shù)法1.1 求因為一個次多項式與的乘積的導(dǎo)數(shù)仍是一個次多項式與的乘積，所以，一個次多項式與的乘

11、積的積分仍是一個次多項式與的乘積故令，其中兩端求導(dǎo)可得：，即：比較等式兩端的系數(shù)得 ，由此方程組可得的系數(shù)，即可求得的不定積分2.例1 求解 令，則 ；，解得 ；所以 由此可見，用待定系數(shù)法解此類題要比用部分積分法解簡單.1.2 求和因為與的導(dǎo)數(shù)仍是這兩類函數(shù)的線性組合，所以，它們的積分也應(yīng)是這兩類函數(shù)的線性組合故設(shè) 兩邊同時求導(dǎo)得，即 比較系數(shù)得，代入假設(shè)即可求得 同樣可設(shè)，求導(dǎo)化簡得，代入假設(shè)求得 在實際應(yīng)用中，我們可以將和的計算結(jié)果當(dāng)做公式來記憶，以提高解題速度 但是，上述的兩個結(jié)果與被積函數(shù)或不相似，不易記憶，為此我們用以下公式來記憶， ， 其中為二階行列式，等于3 當(dāng)然，我們可以驗證

12、公式與等價，公式與等價首先驗證公式與等價，因為 ，所以有 ，即公式與等價同理可證公式與等價2 關(guān)于形如的解法2.1求對于形如，1. 若，則2. 若，則3. 若，中至少有一個不為，則 于是有 所以 2.2 對的推廣對于的不定積分，其中，為常數(shù)且，不同時為零，我們也可以類似討論其解法若，或，為常數(shù)，則變得非常簡單，在此就不贅述了 若，中至少有一個不為，則 于是有 所以 至此，還需要求不定積分的解，我們可以用萬能代換法，將其化為有理不定積分的形式令，則，故在這里我們需要討論，的情況.下面進行分類討論：情況一：當(dāng)時，當(dāng)時，為常數(shù)此時，所求的不定積分為常數(shù)當(dāng)時，為常數(shù)此時，所求的不定積分 為常數(shù)當(dāng)，時與

13、已知條件矛盾，在這里我們可以不討論情況二：當(dāng)時，令，則當(dāng)時， (為常數(shù))此時，所求的不定積分(為常數(shù))當(dāng)時， (為常數(shù))此時，所求的不定積分 (為常數(shù))當(dāng)時，且 為常數(shù))則此時所求的不定積分 (為常數(shù))3 的遞推公式6 平時，在進行不定積分的運算的過程中，我們常會碰到，這類型的，如，等等.因此，如果我們能推導(dǎo)出這類型不定積分的公式，那么就可以提高我們的解題速度了.下面我們一起來推導(dǎo)出其通用公式： 整理后得： 當(dāng)時有 ， ， ，由此可導(dǎo)出一切，如： ， ， ， 在不定積分運算中，不僅方法是多樣的，而且靈活性也較強.那么在實際運算中采用哪種方法，還要因題而宜. 積分問題多樣、靈活而復(fù)雜，僅僅用教材

14、中的方法不能解決所有的不定積分問題，為了更好地掌握好更多求不定積分的方法，通過多做習(xí)題來積累經(jīng)驗，以求在掌握各種方法的同時，靈活運用它們解決問題.歸納不定積分的計算，其要點是：（1）抓住被積函數(shù)的表現(xiàn)特征；（2）選用適當(dāng)?shù)姆e分方法；（3）通過一定的計算把積分式子變成13個基本公式中的一個或是幾個；（4）應(yīng)用公式得結(jié)果. 參考文獻：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）m.3版.北京：高等教育出版社，2001.2 王洪英.一類不定積分的計算及應(yīng)用j.山東師大學(xué)報（自然科學(xué)版），2001,16（3）:317-318.3 蕭勝中.淺談不定積分的求解方法j.廣東民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），1998（

15、4）:92-95.4 高麗，齊瓊，謝瑞.關(guān)于三類特殊不定積分求解方法的討論j.西南民族大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版，2010,36（2）:169-171.5 李永杰，劉展.一類三角函數(shù)有理式積分計算的簡便方法及推廣j.平頂山學(xué)院學(xué)報，2009,24（5）：68-70.6 陳慶軒.介紹一類不定積分的解法j.重慶交通學(xué)院學(xué)報，1986,（3）:184-194.7 展丙軍，李兆興.兩類不定積分的巧解j.高等數(shù)學(xué)研究，2005，8（6）：20-24. a few kinds of methods of solving indefinite integralmajor：mathematics and applie

16、d mathematics pang jijuansupervisor: huang chunmiaoabstract indefinite integral mathematical analysis is one of the important content, we commonly used for the indefinite integral method is: direct integral method, change yuan integral method and the division of integral method, etc. indefinite inte

17、gral is very simple in theory, but use of basic formulas and nature, can only find out some simple integral, for more complex integral, the operation is has the certain difficulty. sometimes, we also found in the calculation of some indefinite integral cant use direct way to calculate, which require

18、 us in the process of operation at ordinary times, many are summarized and promoted. according to our difficulties in study, this paper introduces several types of indefinite integral is also given.key wordsindefinite integral; division points; universal substitution致謝在這大學(xué)四年中，我要感謝所有教過我的老師，感謝他們對我孜孜不倦

19、的教誨。感謝所有給過我?guī)椭耐瑢W(xué)們，感謝他們對我的無微的關(guān)心。我能夠順利完成畢業(yè)論文地撰寫，更要感謝我的指導(dǎo)老師黃春妙老師，她嚴肅的科學(xué)態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵著我。從課題的選擇到項目的最終完成，黃老師都始終給予我細心的指導(dǎo)和不懈的支持，在此謹向鄭黃老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。最后，我要向百忙之中抽時間對本文進行審閱，評議和參與本人論文答辯的各位老師表示感謝！ -河 池 學(xué) 院畢業(yè)論文（設(shè)計）指導(dǎo)教師評閱表系別：數(shù)學(xué)系 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號2008104223姓 名龐娟論文（設(shè)計）題目關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討指導(dǎo)教師黃妙職稱或?qū)W位講師論文設(shè)計評

20、分評分項目分值評分參考標(biāo)準(zhǔn)評分總分優(yōu)良中及格不及格學(xué)習(xí)與工作態(tài)度201816141212分以下1885選題的價值與意義1098766分以下8文獻資料檢索與運用能力1098766分以下9研究水平與設(shè)計能力302724211818分以下24語言文字表達能力與論文規(guī)范201816141212分以下18成果的價值與創(chuàng)新性1098766分以下8指導(dǎo)教師評語 該論文總結(jié)了教材中求不定積分的方法中沒有介紹的方法，不定積分是大學(xué) 數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容該論文通過歸納總結(jié)，探索出一些新的解不定積分中的方法該生在撰寫論文的過程中，閱讀了大量資料，遇到問題能夠通過和指導(dǎo)老師或他人交流進行解決，對論文初稿進行了多次修改，態(tài)度

21、端正. 該論文反映出該同學(xué)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實，具有較強的分析問題解決問題的能力，語言表達能力有待提高.論文選題具有一定研究價值，文章論點鮮明，結(jié)構(gòu)合理；在有限的資料范圍內(nèi)，能做到“論之有據(jù)”的求學(xué)嚴謹態(tài)度；論文格式符合規(guī)范要求；具有一定的學(xué)術(shù)水平和應(yīng)用價值，達到了本科畢業(yè)論文的水平和要求是否同意參加答辯同意參加答辯指導(dǎo)教師簽名： 2012 年 5 月 25 日河 池 學(xué) 院畢業(yè)論文（設(shè)計）評閱教師評閱表系別：數(shù)學(xué)系 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號2008104223姓 名龐娟論文（設(shè)計）題目關(guān)于兩類不定積分求解方法的探討評閱教師覃永職稱或?qū)W位講師論文設(shè)計評分評分項目分值評分參考標(biāo)準(zhǔn)評分總分優(yōu)良中及格不

22、及格選題的價值與意義1513.51210.599分以下1284文獻資料檢索與運用能力1098766分以下9研究水平與設(shè)計能力302724211818分以下24語言文字表達能力與論文規(guī)范302724211818分以下27成果的價值與創(chuàng)新性1513.51210. 599分以下12評閱教師評語龐繼娟同學(xué)的畢業(yè)論文關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討運用不定積分的幾種方法求解了幾類復(fù)雜的不定積分，對積分表中的幾個公式作了推廣。該論文反映出該同學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實，具有較強的分析問題解決問題的能力和語言表達能力。該同學(xué)的論文行文條理清晰，推理合乎邏輯，語言表達準(zhǔn)確，論文格式規(guī)范，選題有意義，內(nèi)容有新意，可讀性強，達

23、到了學(xué)士學(xué)位論文的水平。是否同意參加答辯同意參加答辯評閱教師簽名： 2012 年5 月28 日注：評閱教師至少1人.河 池 學(xué) 院畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯記錄表系別：數(shù)學(xué)系 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號2008104223姓 名龐娟論文（設(shè)計）題目關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討答辯情況記錄：1、自述： 論文題目是數(shù)學(xué)分析課程中滲透求不定積分方法的研究隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步和計算機的飛速發(fā)展，應(yīng)用數(shù)學(xué)涉及的領(lǐng)域越來越廣泛，我們不僅要理解不定積分的定義，熟練掌握教材中的解題方法，我們還要學(xué)會歸納歸結(jié)，探索更多更簡捷和有利的解題方法，這對提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思想起著重要的意義.我的論文主要分

24、為三個部分：1、在分部積分中的應(yīng)用，2、關(guān)于形如的解, 3、的遞推公式. 2、答辯過程：問題1：這篇論文最精彩的部分在哪？答：本論文最精彩的部分是對的推廣，推廣為，其中，為常數(shù)且，不同時為零. 問題2：這篇論文最難的部分在哪？答：本論文最難的部分在于對的推導(dǎo)過程，特別是對，不同情況的討論.問題3：這篇論文主要用了什么求解方法？ 答：本論文主要用的方法是待定系數(shù)法、分部積分法、萬能代換法、換元法等等.這是在熟記基本公式、性質(zhì)及常用微分關(guān)系式的基礎(chǔ)上，遇到具體問題具體分析，選擇一個合適而簡單的方法，必要時將兩種或兩種以上的方法結(jié)合起來.記錄員簽名 2012年 5 月29日答辯小組成員簽名 2012

25、 年5月29 日答辯小組組長簽名 2012年5月29 日河 池 學(xué) 院畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯情況評價表系別：數(shù)學(xué)系 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號2008104223姓 名龐娟論文（設(shè)計）題目關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討答辯小組評分評分項目分值評分參考標(biāo)準(zhǔn)評分總分優(yōu)良中及格不及格選題的價值與意義1098766分以下884文獻資料檢索與運用能力1098766分以下9研究水平與設(shè)計能力201816141212分以下16語言文字表達能力與論文規(guī)范201816141212分以下18成果的價值與創(chuàng)新性1098766分以下9答辯效果302724211818分以下24答辯小組評語（對學(xué)生自述情況和回答提問情況等

26、進行評價）該生的論文關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討選題合理，詳細介紹了幾類不定積分的一些求解方法，并結(jié)合典型的例子加以說明，文章思路清晰，語言流暢，內(nèi)容充實，有一定可讀性該生在答辯過程中，自述環(huán)節(jié)內(nèi)容充實，闡述了論文研究的內(nèi)容、方法和所得到的結(jié)果，舉止大方，態(tài)度誠懇，口頭語言表達能力較好，思路清楚；問題答辯環(huán)節(jié)中，能夠正確地回答答辯組成員所提出的問題. 經(jīng)答辯小組投票決定，該同學(xué)的答辯成績?yōu)榱己?是否同意通過答辯通過答辯小組成員答辯小組組長簽名： 2012年 5 月 30 日河 池 學(xué) 院畢業(yè)論文（設(shè)計）總評成績評定表系別：數(shù)學(xué)系 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號2008104223姓 名龐娟論文（

27、設(shè)計）題目關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討指 導(dǎo) 教 師黃妙職稱或?qū)W位講師評 分 人評分所占比例分數(shù)初評成績指 導(dǎo) 教 師8540%34評分(整數(shù)計)84評 閱 教 師8425%21等級良好專業(yè)答辯小組8435%29系（院）答辯委員會意見（限重新組織答辯的畢業(yè)論文或設(shè)計）： 分數(shù)： 等級： 系（院）答辯委員會負責(zé)人簽名： 年 月 日系（院）答辯委員會審定結(jié)論： 經(jīng)系論文答辯委員會研究，認為該同學(xué)的畢業(yè)論文達到了數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專業(yè)學(xué)士學(xué)位論文的要求最終分數(shù)： 等級： 系（院）答辯委員會主任簽名（公章）： 2012年6月7日注：1. 初評成績由答辯小組評定. 成績等級：優(yōu)秀：90100分；良好：

28、8089分；中等：7079分；及格：6069分；不及格：60分以下. 2. 需重新組織答辯的畢業(yè)論文（設(shè)計）只限于由答辯小組提出的優(yōu)秀和不及格畢業(yè)論文（設(shè)計）. 其他畢業(yè)論文（設(shè)計）不需要通過系（院）答辯委員會重新組織答辯 3. 重新組織答辯的畢業(yè)論文（設(shè)計）由系（院）答辯委員會評定成績. 4. 系（院）答辯委員會主任對初評成績或系（院）答辯委員會的意見及成績做最后審定.河 池 學(xué) 院畢業(yè)論文（設(shè)計）指導(dǎo)記錄表系別：數(shù)學(xué)系 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號2008104223姓 名龐娟論文（設(shè)計）題目 關(guān)于幾類不定積分求解方法的探討第一次指導(dǎo)記錄（主要填寫指導(dǎo)內(nèi)容及學(xué)生存在問題）學(xué)生沒有確定論文題目

29、，指導(dǎo)老師提供一些建議供學(xué)生選題目時作參考（網(wǎng)絡(luò)）。指導(dǎo)時間：2012年 3月17日指導(dǎo)教師簽 名學(xué)生簽 名第二次指導(dǎo)記錄（主要填寫指導(dǎo)內(nèi)容及學(xué)生存在問題）論文內(nèi)容深度不夠，論文格式不正確，需要進行修改（面談、網(wǎng)絡(luò)）。指導(dǎo)時間：2012 年3月26日指導(dǎo)教師簽 名學(xué)生簽 名第三次指導(dǎo)記錄（主要填寫指導(dǎo)內(nèi)容及學(xué)生存在問題）論文內(nèi)容需要多一些自己的思想，論文格式上還有一些細小的錯誤（面談、網(wǎng)絡(luò)）。指導(dǎo)時間：2012 年4月17日指導(dǎo)教師簽 名學(xué)生簽 名第四次指導(dǎo)記錄（主要填寫指導(dǎo)內(nèi)容及學(xué)生存在問題）指導(dǎo)學(xué)生修改：文章結(jié)構(gòu)層次，充實研究內(nèi)容。指導(dǎo)時間：2012 年5月16日指導(dǎo)教師簽 名學(xué)生簽 名第五次指導(dǎo)記錄（主要填寫指導(dǎo)內(nèi)容及學(xué)生存在問題） 逐句逐字指導(dǎo)學(xué)生修改論文，修改中英文摘要。指導(dǎo)時間：2012年5月25日指導(dǎo)