504650689畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）基于MATLAB的IIR濾波器的設(shè)計(jì)與仿真

1、 湖 北 省 高 等 教 育 自 學(xué) 考 試 本 科 畢 業(yè) 生 論 文評(píng)評(píng) 審審 意意 見(jiàn)見(jiàn) 表表論文題目：論文題目：基于基于 matlab 的的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真濾波器的設(shè)計(jì)與仿真 姓 名： 專 業(yè)： 電子信息工程 準(zhǔn)考證號(hào)： 工作單位： 武漢紡織大學(xué)成教學(xué)院 填表日期：2011 年 2 月 15 日 湖北省高等教育自學(xué)考試委員會(huì)辦公室制指導(dǎo)老師單位職稱指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)： 指導(dǎo)老師： 年 月 日答辯小組評(píng)語(yǔ)： 組長(zhǎng)簽名： 年 月 日答辯委員會(huì)意見(jiàn)： 負(fù)責(zé)人簽名： （簽章） 年 月 日基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真i論文原創(chuàng)性聲明論文原創(chuàng)性聲明我以誠(chéng)信聲明： 本人所

2、呈交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含為獲得武漢紡織大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。作者（簽字）： 簽字日期：201 年 2 月 15 日版權(quán)使用授權(quán)書(shū)版權(quán)使用授權(quán)書(shū)武漢紡織大學(xué)有權(quán)保存學(xué)位論文的電子和紙質(zhì)文檔，可以借閱或上網(wǎng)公開(kāi)本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容，允許論文被查閱，可以向有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交并授權(quán)其保存、借閱或上網(wǎng)公布本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容。對(duì)于保密論文，按保密的有關(guān)規(guī)

3、定進(jìn)行法律處理。作者（簽字）： 簽字日期： 2011 年 2 月 15 日 指導(dǎo)老師（簽字）： 簽字日期： 年 月 日 摘 要基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真ii在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號(hào)中經(jīng)常混有各種復(fù)雜成分，所以很多信號(hào)分析都是基于濾波器而進(jìn)行的。而數(shù)字濾波器是通過(guò)數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，具有處理精度高，穩(wěn)定，靈活，不存在阻抗匹配問(wèn)題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)（iir）數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)（fir）數(shù)字濾波器。實(shí)現(xiàn) iir 數(shù)字濾波器的階次較低，所用的儲(chǔ)存單元較少，效率高，精度高，而且能

4、夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此應(yīng)用很廣。matlab 軟件以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算，可視化及程序設(shè)計(jì)有機(jī)融合到交互式工作環(huán)境中，并且為數(shù)字濾波器的研究和應(yīng)用提供了一個(gè)直觀，高效，便捷的利器。尤其是 matlab 中的信號(hào)處理工具箱使各個(gè)領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便的進(jìn)行科學(xué)研究和工程應(yīng)用。本文首先介紹了數(shù)字濾波器的概念，分類以及設(shè)計(jì)要求。接著利用 matlab 函數(shù)語(yǔ)言編程，用信號(hào)處理圖形界面 fdatool 來(lái)設(shè)計(jì)濾波器以及 sptool界面的設(shè)計(jì)方法，并用 fdatool 模擬 iir 數(shù)字濾波器處理信號(hào)。重點(diǎn)設(shè)計(jì) chebyshev i 型和 chebyshev ii 型數(shù)字低通濾波

5、器，并介紹最優(yōu)化設(shè)計(jì)。關(guān)鍵詞：iiriir；濾波器；fdatoolfdatool；sptoolsptool；simulinksimulink abstractin modern communication systems, because often mixed with various signal complex components, so many signal analysis is based on filters, and the digital filter is realized through numerical computation, digital filter wi

6、th high precision, stability and flexibility, 基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真iiidont exist, can realize the impedance matching simulating the special filter cannot achieve filter function. digital filter according to its impulse response function and characteristics of the time can be divided into two kin

7、ds, namely the infinite impulse response (iir) digital filter and finite impulse response (fir digital filters). the order of realizing iir filter is used, low and high efficiency less storage unit, high precision, and can keep some simulation characteristics of filter, so it is widely used. matlab

8、software based on matrix computation, the calculation, visualization and program design of integration to intuitive, efficient and convenient tool. especially in the matlab signal processing to all areas of research toolbox personnel can easily for scientific and engineering application. this paper

9、introduces the concept of digital filter, classification and design requirements. then using matlab language programming, whit functions of signal processing fdatool graphical interface design of interface design and sptool filter, and fdatool analog signal processing iir digital filter. key design

10、chebyshev type i and ii digital chebyshev lowpass filter, and introduces optimization design. key words: iir; filter; fdatool; sptool; simulink 目 錄摘摘 要要 .ii前前 言言 .1第一章第一章 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器.21.1 數(shù)字濾波器的概念.21.2 數(shù)字濾波器的作用.31.3 數(shù)字濾波器的分類.3基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真iv1.4 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求.51.4.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程 .51.4.2 數(shù)字濾波器的技

11、術(shù)要求 .5第二章第二章 iir 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 .62.1 iir 數(shù)字濾波器的特點(diǎn) .62.2 iir 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟 .72.3 用脈沖相應(yīng)不變法設(shè)計(jì) iir 數(shù)字濾波器.82.3.1 設(shè)計(jì)原理 .82.3.2 脈沖相應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn) .122.3.3 應(yīng)用實(shí)例 .122.4 雙線性變換法設(shè)計(jì) iir 數(shù)字濾波器.152.4.1 設(shè)計(jì)原理 .152.4.2 雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn) .172.4.3 應(yīng)用實(shí)例 .18第三章 iir 濾波器的 matlab 設(shè)計(jì) .193.1 matlab 簡(jiǎn)介 .193.2 iir 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計(jì)法 .203.2.1 iir

12、 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計(jì)法的一般步驟 .203.2.2 舉例說(shuō)明 .213.3 iir 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法 .233.3.1 iir 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法的特點(diǎn) .233.3.2 舉例說(shuō)明 .243.4 fdatool 介紹和界面設(shè)計(jì) .263.5 fdatool 設(shè)計(jì) iir 數(shù)字濾波器 .27第四章第四章 simulinksimulink 仿真仿真 iiriir 濾波器濾波器 .284.1 simulink 仿真 .284.1.1 simulink 仿真的功能 .284.1.2 simulink 仿真的特點(diǎn) .284.2 simulink 仿真實(shí)例 .29第五章第五章 設(shè)計(jì)總結(jié)設(shè)計(jì)總結(jié)

13、.31結(jié)語(yǔ)結(jié)語(yǔ).32參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) .33致致 謝謝 .34基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真1前 言隨著信息時(shí)代和數(shù)字時(shí)代的到來(lái)，數(shù)字信號(hào)處理已成為當(dāng)今一門(mén)極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。目前數(shù)字信號(hào)處理在通信，語(yǔ)音，圖像，自動(dòng)控制，雷達(dá)，軍事，航天，醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號(hào)處理中起著重要作用并已獲得廣泛應(yīng)用的是數(shù)字濾波器（df, digital filter）, 根據(jù)其單位沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性可分為兩類：無(wú)限沖激響應(yīng) iir (infinite impulse response) 濾波器和有限沖激響應(yīng) fir （finite impulse res

14、ponse） 濾波器。與 fir 濾波器相比，iir 的實(shí)現(xiàn)采用的是遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)須在單位圓內(nèi)，在相同設(shè)計(jì)指標(biāo)下，實(shí)現(xiàn)濾波器的階次較低，即所用的儲(chǔ)存單元少，從而經(jīng)濟(jì)效率高。matlab 是英文 matrix laboratory(矩陣實(shí)驗(yàn)室)的縮寫(xiě)。它是美國(guó)的 mathworks 公司推出的一套用于科學(xué)計(jì)算和圖像處理可視化，高性能語(yǔ)言與軟件環(huán)境。matlab 的信號(hào)處理工具箱是專門(mén)應(yīng)用于信號(hào)處理領(lǐng)域的專用工具箱，它的兩個(gè)基本組成就是濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)部分以及譜分析部分。工具箱提供了豐富而簡(jiǎn)便的設(shè)計(jì)，使原來(lái)繁瑣的程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化成函數(shù)的調(diào)用。只要以正確的指標(biāo)參數(shù)調(diào)用相應(yīng)的濾波器設(shè)計(jì)程序或工具箱函數(shù)，

15、便可以得到正確的設(shè)計(jì)結(jié)果，使用非常方便。 第一章 數(shù)字濾波器1.1 數(shù)字濾波器的概念基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真2凡是可以使信號(hào)中特定的頻率成分通過(guò)，而極大地衰減或抑制其他頻率成分的裝置或系統(tǒng)都稱之為濾波器，相當(dāng)于頻率“篩子”。濾波器是指用來(lái)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波的硬件和軟件。數(shù)字濾波器指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)（按預(yù)定的算法，將輸入離散時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時(shí)間信號(hào)的特定功能裝置）。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號(hào)時(shí)，首先須對(duì)輸入模擬信號(hào)進(jìn)行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾

16、波器輸入信號(hào)的抽樣率應(yīng)大于被處理信號(hào)帶寬的兩倍，其頻率響應(yīng)具有以抽樣頻率為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即 12 抽樣頻率點(diǎn)呈鏡像對(duì)稱。為得到模擬信號(hào)，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號(hào)須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字濾波器在語(yǔ)言信號(hào)處理、圖像信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)生物信號(hào)處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入 x(n)是一個(gè)時(shí)間序列，輸出 y(n)也是一個(gè)時(shí)間序列。如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 h(z)，其脈沖響應(yīng)為 h(n)，則在時(shí)間域內(nèi)存在下列的關(guān)系：)()()(nhnxny 在 z 域內(nèi)，輸入和輸出存在下列

17、關(guān)系： )()()(zxzhzy 式中，x(z)、y(z)分別為輸入 x(n)和輸出 y(n)的 z 變換。同樣在頻率域內(nèi)，輸入和輸出存在下列關(guān)系： jhjxjy 式中，jh為數(shù)字濾波器的頻率特性; jx和jy分別為 x(n)和 y(n)的頻譜。為數(shù)字角頻率，單位 rad。通常設(shè)計(jì)jh在某些頻段的響應(yīng)值為 1，在某些頻段的響應(yīng)為 0。jx和jh的乘積在頻率響應(yīng)為 1 的那些頻段的值仍為jx，即在這些頻段的振動(dòng)可以無(wú)阻礙地通過(guò)濾波器，這些頻帶為通帶。jx和jh的乘積在頻率響應(yīng)為 0 的那些頻段的值不管jx大小如何均為零，即在這些頻段里的振動(dòng)不能通過(guò)濾波器，這些頻帶稱為阻帶。一個(gè)合適的數(shù)字濾波器系

18、統(tǒng)函數(shù) h(z)可以根據(jù)需要改變輸入 x(n)的頻率特性。經(jīng)數(shù)字濾波器處理后的信號(hào) y(n)保留信號(hào) x(n)中的有用頻率成分，去除無(wú)用頻率成分1?；?matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真31.2 數(shù)字濾波器的作用濾波器是一種對(duì)信號(hào)有處理作用的器件或電路。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的重要內(nèi)容。和模擬濾波器一樣，數(shù)字濾波器的主要功能是對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理，最常見(jiàn)的處理是保留數(shù)字信號(hào)中的有用頻率成分，去除信號(hào)中的無(wú)用頻率成分。 主要作用是：讓有用信號(hào)盡可能無(wú)衰減的通過(guò)，對(duì)無(wú)用信號(hào)盡可能大的衰減。 濾波器一般有兩個(gè)端口，一個(gè)輸入信號(hào)、一個(gè)輸出信號(hào) 利用這個(gè)特性可以將通過(guò)濾波器的一個(gè)方波群或

19、復(fù)合噪波，而得到一個(gè)特定頻率的正弦波4。濾波器的作用：（1）將有用的信號(hào)與噪聲分離，提高信號(hào)的抗干擾性及信噪比； （2）濾掉不感興趣的頻率成分，提高分析精度； （3）從復(fù)雜頻率成分中分離出單一的頻率分量。1.3 數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時(shí)不變的或時(shí)變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。1從處理信號(hào)分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器（1）經(jīng)典濾波器：即一般濾波器（輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過(guò)以合適的選頻濾波器達(dá)到目的） 。（2）現(xiàn)代濾波器：如維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機(jī)信號(hào)內(nèi)部的系統(tǒng)分

20、部規(guī)律，從干擾中最佳提取信號(hào)） 。2從數(shù)字濾波器的單元沖擊響應(yīng)來(lái)看，可分為倆大類：有限沖擊響應(yīng)（fir）數(shù)字濾波器和無(wú)限沖擊響應(yīng)（iir）數(shù)字濾波器。iir 濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)可以位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可以用較低的階數(shù)獲得較高的選擇性，所用的存儲(chǔ)單元少，經(jīng)濟(jì)而效率高，但是系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)也可能位于單位圓外，可能會(huì)引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。同時(shí) iir 濾波器的相位是非線性的，且它的選擇性越好，相位的非線性就越嚴(yán)重。相反 fir 濾波器卻可以得到嚴(yán)格的線性相位，然而由于 fir 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)個(gè)定在原點(diǎn)，所以只能用較高的階數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)其高選擇性，對(duì)于同樣的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，fir 濾波器所要求的

21、階數(shù)要比 iir 高 5 至 10 倍，所以成本較高，信號(hào)延遲也較大。但是如果要求相同的線性，則 iir 濾波器就必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，同樣也要增加濾波器網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)和復(fù)雜性。fir 濾波器可以用非遞歸的方法實(shí)現(xiàn)，在有限精度下不會(huì)產(chǎn)生振蕩，同時(shí)由于量化舍入以及系數(shù)的不確定性所引起的誤差的影響要比 iir 濾波器小的多，并且 fir 濾波器可以采用 fft 算法，運(yùn)算速度快。但是不想 iir 濾波器基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真4可以借助模擬濾波器的成果，fir 濾波器沒(méi)有現(xiàn)成的計(jì)算公式，必須要用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件（如 matlab）來(lái)計(jì)算。由此可知，fir 濾波器應(yīng)用比

22、較廣，而 iir 濾波器應(yīng)用比較廣，而 iir 濾波器應(yīng)用比較廣，fir 濾波器則用在相位要求不是很?chē)?yán)格的場(chǎng)合。iir 濾波器： fir 濾波器：3從功能上分為如下 4 類：（1）低通濾波器（lpf）它允許信號(hào)中的低頻或直流分量通過(guò)，抑制高頻分量或干擾和噪聲。常用的低通濾波器是用電感和電容組合而成的，電容并聯(lián)在要濾波的信號(hào)線與信號(hào)地之間（濾除差模干擾電流）或信號(hào)線與機(jī)殼地或大地之間（濾除共模干擾電流）電感串聯(lián)在要濾波的信號(hào)線上。按照電路結(jié)構(gòu)分，有單電容型（c 型） ，單電感型，l 型和反 型，t 型， 型。（2）高通濾波器（hpf）它允許信號(hào)中的高頻分量通過(guò)，抑制低頻或直流分量。用于干擾頻率比

23、信號(hào)頻率低的場(chǎng)合，如在一些靠近電源線的敏感信號(hào)線上濾除電源諧波造成的干擾。（3）帶通濾波器（bpf）它允許一定頻段的信號(hào)通過(guò)，抑制低于或高于該頻段的信號(hào)、干擾和噪聲。用于信號(hào)頻率僅占較窄帶寬的場(chǎng)合，如通信接收機(jī)的天線端口上要安裝帶通濾波器，僅允許通信信號(hào)通過(guò)。（4）帶阻濾波器（bsf）它抑制一定頻段內(nèi)的信號(hào)，允許該頻段以外的信號(hào)通過(guò)。用于干擾頻率帶寬較窄，而信號(hào)頻率較寬的場(chǎng)合，如距離大功率電臺(tái)很近的電纜端口處要安裝帶阻頻率等于電臺(tái)發(fā)射頻率的帶阻濾波器4。1.3 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)要求1.4.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程：（1）按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散 l

24、si 系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) h(z)逼近此性能指標(biāo)（3）利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等（4）實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或 dsp 芯片法。1.4.2 數(shù)字濾波器是技術(shù)要求：niiimiiizazbzh101)(10)()(nnnznhzh基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真5我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) h(e j)用下式表示：幅頻特性|h(ej)|： 信號(hào)通過(guò)濾波器后的各頻率成分衰減情況。相頻特性 ()： 各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近：通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用

25、 db 數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用 p 表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用 s 表示， p 和 s 分別定義為：濾波器設(shè)計(jì)的首要任務(wù)是要確定滿足技術(shù)指標(biāo)要求的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)必須是物理可實(shí)現(xiàn)的，因而要滿足因果性和穩(wěn)定性。由于)(j)(jhshs為復(fù)數(shù))(jimj)(jree| )(j|)(j)(jhhhh則有j2)()()j()(j| )(j|sshshhhh 由于集總系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù))(sh是 s 的有理函數(shù)，則)()(shsh是2s的有理函數(shù)，2| )j (|h必為2的有理函數(shù)1。 第二章 iir 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法2.1 iir 數(shù)字濾波器的特點(diǎn))( jj j e)h(e)h(e dbe

26、h20dbeheh20pp0jjjp)(lg)()(lg dbeh20dbeheh20ss0jjjs)(lg)()(lg 通帶截止頻率。為，為我們稱此時(shí)的，時(shí)，當(dāng)3db3 0.70722)(ccpppdbehj基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真6iir 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫(xiě)成封閉函數(shù)的形式。iir 數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。iir 濾波器運(yùn)算結(jié)構(gòu)通常由延時(shí)、乘以系數(shù)和相加等基本運(yùn)算組成，可以組合成直接型、正準(zhǔn)型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運(yùn)算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。 iir 數(shù)字濾波器在設(shè)計(jì)上可以

27、借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)或圖表可查，其設(shè)計(jì)工作量比較小，對(duì)計(jì)算工具的要求不高。在設(shè)計(jì)一個(gè) iir 數(shù)字濾波器時(shí)，我們根據(jù)指標(biāo)先寫(xiě)出模擬濾波器的公式，然后通過(guò)一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。 iir 數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對(duì)相位要求較高時(shí)，需加相位校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)。 在 matlab 下設(shè)計(jì) iir 濾波器可使用 butterworth 函數(shù)設(shè)計(jì)出巴特沃斯濾波器，使用 cheby1 函數(shù)設(shè)計(jì)出契比雪夫 i 型濾波器，使用 cheby2 設(shè)計(jì)出契比雪夫 ii 型濾波器，使用 ellipord 函數(shù)設(shè)計(jì)出橢圓濾波器。下面主

28、要介紹前兩個(gè)函數(shù)的使用。 與 fir 濾波器的設(shè)計(jì)不同，iir 濾波器設(shè)計(jì)時(shí)的階數(shù)不是由設(shè)計(jì)者指定，而是根據(jù)設(shè)計(jì)者輸入的各個(gè)濾波器參數(shù)（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟件設(shè)計(jì)出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。在 matlab 下設(shè)計(jì)不同類型 iir 濾波器均有與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。 iir 單位響應(yīng)為無(wú)限脈沖序列 fir 單位響應(yīng)為有限的 iir 幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應(yīng)用于對(duì)相位信息不敏感的音頻信號(hào)上； fir 幅頻特性精度較之于 iir 低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號(hào)經(jīng)過(guò)fir 濾波器后他們的時(shí)間差不變。這是很好的性質(zhì)。 另外有限的單位響應(yīng)也有利于對(duì)數(shù)

29、字信號(hào)的處理，便于編程，用于計(jì)算的時(shí)延也小，這對(duì)實(shí)時(shí)的信號(hào)處理很重要3。2.2 iir 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟iir 濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)要求，設(shè)計(jì)濾波器的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)。它和 fir 濾波器相比優(yōu)點(diǎn)是在滿足相同性能指標(biāo)要求的前提下，iir 濾波器的階數(shù)明顯要低于 fir 濾波器，但 iir 濾波器的相位是非線性的。在數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中，首先讓我們想到的是能否利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，答案是肯定的。現(xiàn)在我們所講的 iir 經(jīng)典設(shè)計(jì)就是將已設(shè)計(jì)好的模擬濾波器按一定變換原理轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。該方法先根據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器，然后再將設(shè)計(jì)好的模擬

30、濾波器變換成數(shù)字濾波器。在 matlab 中，經(jīng)典法設(shè)計(jì) iir 數(shù)字濾波器主要采用以下步驟： 基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真7由圖可見(jiàn)，iir 濾波器設(shè)計(jì)利用了模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果。第一步和第二步在前面已詳細(xì)討論過(guò)。第二步完成后，一個(gè)達(dá)到期望性能指標(biāo)的模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻等）已經(jīng)設(shè)計(jì)出來(lái)。第三步模擬離散化的主要任務(wù)就是把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(s)映射為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z)。這樣，數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)工作全部完成3。2.3 iir 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法，這種方法適用于系統(tǒng)函數(shù)可以用部分分

31、式分解成單階極點(diǎn)和濾波器是一個(gè)帶限系統(tǒng)的情況，它使數(shù)字濾波器的沖擊響應(yīng)h(n）等于模擬濾波器的單位沖擊響應(yīng) ha(t)的采樣值數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)與模擬濾波器的脈沖響應(yīng)相似。以時(shí)問(wèn)問(wèn)隔t 對(duì)其進(jìn)行采樣，得到 h(n)， 經(jīng)過(guò) z=est 式的映射，可知： s 平面的左半平面映射為 z 平面的單位圓內(nèi)， 因此一個(gè)因果的和穩(wěn)定的模擬濾波器映射成因果的和穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。脈沖響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器在時(shí)域上模仿模擬濾波器，由于s 平面到 z 平面的多值映射關(guān)系，會(huì)導(dǎo)致數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象3。2.3.1 設(shè)計(jì)原理脈沖響應(yīng)不變法的基本思路是直接設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器并讓它的時(shí)間特性逼近一個(gè)模擬濾波

32、器。為了達(dá)到時(shí)間特性的最佳逼近，它把模擬濾波器沖激響應(yīng)的均勻取值，作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，即 然后將 h(n)通過(guò) z 變換即求得 h（z） 。脈沖響應(yīng)不變法實(shí)即時(shí)域取樣法，整個(gè)過(guò)程是先根據(jù)給定的指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器，進(jìn)而按下列變換的順序，最后求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) h（z） ，即： 例如已知一模擬濾波器其系統(tǒng)函數(shù)為： 模擬低通濾波器原型/buttap,cheb1ap,cheb2ap,ellipap,besselap頻率變換/lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs模擬離散化/bilinear,impinvariir 數(shù)字濾波器基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真

33、8 則有 ， 故得 比較 h1（z）與 h1（s）可見(jiàn)，從模擬的系統(tǒng)函數(shù)變換為數(shù)字的系統(tǒng)函數(shù)，其極點(diǎn)從 s=p1變換為 z=ep1t，它們之間存在著： （8.3）的映射關(guān)系。對(duì)任一物理可實(shí)現(xiàn)的模擬濾波器來(lái)說(shuō)，由于系統(tǒng)函數(shù)是s 的有理函數(shù)，所以從 h(s)變換到 h（z）存在有： 即 式子所表示的映射關(guān)系，正是拉氏變換與z 變換之間的映射關(guān)系。這說(shuō)明脈沖響應(yīng)不變法完全滿足上節(jié)所述的設(shè)計(jì)iir 濾波器的兩個(gè)基本條件。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列 h(n) 模仿模擬濾波器的沖擊響應(yīng) ha(t), 使 h(n)正好等于 ha(t)的采樣值，即h(n)=ha(n

34、t)t 為采樣周期。如以 ha(s)及 h（z）分別表示 ha(t)的拉氏變換及 h(n)的 z 變換，即ha(s)=lha(t)h(z)=zh(n) 則根據(jù)采樣序列 z 變換與模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系，得 : 上式表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的 s 平面到 z 平面的變換，正是以前討論的拉氏變換到z 變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對(duì) ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過(guò) z=est的映射關(guān)系映射到 z 平面上。 z=est的映射關(guān)系表明， s 平面上每一條寬為 2/t 的橫帶部分，都將重疊地映射到 z 平面的整個(gè)全部平面上。每一橫帶的左半部分映射到z 平面單位圓以內(nèi)

35、，每一橫帶的右半部分映射到 z 平面單位圓以外， j 軸映射在單位圓上，但 j 軸上的每一段 2/t 都對(duì)應(yīng)于繞單位圓一周，如下圖所示：基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真9圖-1 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 應(yīng)當(dāng)指出， z=est的映射關(guān)系反映的是 ha(s)的周期延拓與 h（z）的關(guān)系，而不是 ha(s)本身與 h（z）的關(guān)系，因此，使用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，從ha(s)到 h(z)并沒(méi)有一個(gè)由 s 平面到 z 平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系，即沒(méi)有一個(gè)s=f(z)的代數(shù)關(guān)系式。另外，數(shù)字濾波器的頻響也不是簡(jiǎn)單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓，周期為 s=2/t=2fs

36、，即正如第一章采樣定理中所討論的，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率s/2 以內(nèi)，即 ha(j)=0 |/t 這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（在折疊頻率以內(nèi)） | 但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即混淆，這時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真10 脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)的傳遞函數(shù)，模擬濾波器的傳遞函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，

37、且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)nm，則可表達(dá)為部分分式形式： 其拉氏反變換為： 其中 u(t)為單位階躍函數(shù)。對(duì) ha(t)采樣就得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列再對(duì) h(n)取 z 變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：第二個(gè)求和為等比級(jí)數(shù)之和， ，要收斂的話，必有 ，所以有 比較部分分式形式的 ha(s)和上式 h(z)可以看到， s 平面上的極點(diǎn) s=si,變換到z 平面上是極點(diǎn) ,而 ha(s)與 h(z)中部分分式所對(duì)應(yīng)的系數(shù)不變。如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn) si都在 s 左半平面，即 resi0,那么變換后 h(z)的極點(diǎn) 也都在單位圓以內(nèi)，即 | |= 1，因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。值

38、得注意的是，這種 ha(s)到 h(z)的對(duì)應(yīng)變換關(guān)系，只有將 ha(s)表達(dá)為部分分式形式才成立。 雖然脈沖響應(yīng)不變法能保證 s 平面與 z 平面的極點(diǎn)位置有一一對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，但這并不是說(shuō)整個(gè) s 平面與 z 平面就存在這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)位置與 s 平面上的零點(diǎn)就沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是隨著ha(s)的極點(diǎn) si與系數(shù) ai的不同而不同。h(ej) 是 ha(j)的周期延拓（周期為 fs） ，因 ha(j)并不是帶限，即在超過(guò)基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真11fs 頻率部分并不為 0，所以就產(chǎn)生了混迭。當(dāng)為低通或帶通濾波器時(shí)， fs 越大，則 ha

39、(j)的下一周期相隔越遠(yuǎn)，混迭也就越小。當(dāng)為帶阻或高通濾波器時(shí)，ha(j)在超過(guò) fs/2 頻率部分全為通帶，這樣就不滿足抽樣定理，發(fā)生了完全的混迭，所以脈沖響應(yīng)不變法不能設(shè)計(jì)帶阻或高通濾波器4。2.3.2 脈沖相應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn)在要求時(shí)域脈沖響應(yīng)能模仿模擬濾波器的場(chǎng)合，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。 脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，與 是線性關(guān)系。因此如果模擬濾波的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過(guò)變換后濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。 如果 ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在 s

40、左半平面，映射到 h(z)也是穩(wěn)定的。 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通。而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶限濾波器 ,由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。所以用脈沖響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)高通和帶限濾波器時(shí)，應(yīng)增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶，然后再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，只有在一定需要頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用4。 2.3.3 應(yīng)用實(shí)例【例 1】用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì) butterworth 低通數(shù)字濾波器，要求通帶頻率為2 . 00

41、，通帶波紋小于 1db，阻帶在3 . 0內(nèi)，幅度衰減大于 15db，采樣周期 t=0.01s。假設(shè)一個(gè)信號(hào)tftftx212cos5 . 02sin)(，其中 f1=5hz,f2=30hz。試將原信號(hào)與經(jīng)過(guò)該濾波器的輸出信號(hào)進(jìn)行比較。%samp6_6wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;rp=1;rs=15; %數(shù)字濾波器截止頻率、通帶波紋和阻帶衰減t=0.01;nn=128; %采樣間隔wp=wp/t;ws=ws/t; %得到模擬濾波器的頻率采用脈沖響應(yīng)不變法的頻率轉(zhuǎn)換形式n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s); %計(jì)算模擬濾波器的最小階數(shù)z,p,k=buttap(n);

42、%設(shè)計(jì)低通原型數(shù)字濾波器bap,aap=zp2tf(z,p,k); %零點(diǎn)極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真12b,a=lp2lp(bap,aap,wn); %低通濾波器頻率轉(zhuǎn)換bz,az=impinvar(b,a,1/t); %脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)figure(1)h,f=freqz(bz,az,nn,1/t); %輸出幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(h);xlabel(頻率/hz);ylabel(振幅/db);grid on;subplot(2,1,2),plot(f,18

43、0/pi*unwrap(angle(h)xlabel(頻率/hz);ylabel(相位/o);grid on;figure(2)f1=5;f2=30; %輸入信號(hào)含有的頻率n=100; %數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)n=0:n-1;t=n*t; %時(shí)間序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t); %輸入信號(hào)subplot(2,1,1),plot(t,x),title(輸入信號(hào))y=filtfilt(bz,az,x); %對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波subplot(2,1,2),plot(t,y),title(輸出信號(hào)),xlabel(時(shí)間/s) 程序的運(yùn)行結(jié)果為圖 2 和圖 3。該例所要求的通帶

44、頻率為2 . 00，而該濾波器的采樣間隔為 0.01s，采樣頻率為 100hz，即 2對(duì)應(yīng)于 100hz，則 0.2對(duì)應(yīng)于10hz，即該濾波器的通帶范圍為 010hz。觀看圖 6-6 上圖，其通帶范圍最大衰減小于1db，與該分析一致。題意要求阻帶在3 . 0內(nèi)，幅度衰減大于 15db。其中 0.3對(duì)應(yīng)于 15hz，幅度衰減大于 15db。完全符合濾波器設(shè)計(jì)的要求。測(cè)試信號(hào)中含有5hz 和 30hz 的信號(hào)，顯然，5hz 可以通過(guò)該濾波器，而 30hz 的信號(hào)不能通過(guò)該濾波器。從輸出信號(hào)可以看出，濾波器濾去了 30hz 的高頻信號(hào)，達(dá)到了濾波要求。基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿

45、真1305101520253035404550-600-400-2000一 一 /hz一 一 /o05101520253035404550-80-60-40-200一 一 /hz一 一 /db圖-2 例 1 設(shè)計(jì)的濾波器的頻率特性上圖：幅頻特性；下圖：相頻特性00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2-1012一 一 一 一00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2-1012一 一 一 一一 一 /s圖-3 例 1 設(shè)計(jì)濾波器的輸入和輸出信號(hào)4基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真142.4 雙線性變換法設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器2.4.1 設(shè)計(jì)原

46、理雙線性變換法的基本思想是首先按給定的指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器，其次將這個(gè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) h (s)，通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換方法把無(wú)限寬的頻帶，變換成頻帶受限的系統(tǒng)函數(shù) h (s)。最后再將 h (s)進(jìn)行常規(guī) z 變換，求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) h (z)。這樣由于在數(shù)字化以前已經(jīng)對(duì)頻帶進(jìn)行了壓縮，所以數(shù)字化以后的頻響可以做到無(wú)混疊效應(yīng)。顯然，這里尋找壓縮頻帶而又能滿足上述映射條件的變換式是個(gè)關(guān)鍵。設(shè)將 s 平面映射到 s平面存在下列的關(guān)系式 （a） 式中 s = + j，c 為變換常數(shù)，在式的右邊是以 表示的周期函數(shù)，其周期為 2 / t。如果考慮頻率特性則分別以 s = j， s = j

47、代入式故得： （b） 現(xiàn)以 為縱坐標(biāo)，=t 為橫坐標(biāo)，則模擬與數(shù)字頻率變量間的關(guān)系將如圖 8.1 所示。結(jié)合式（ a）不難看出； s 的左半平面與 s的左半平面相對(duì)應(yīng)； s 的右半平面與 s的右半平面相對(duì)應(yīng)； s 平面的虛軸與 s平面的虛軸相對(duì)應(yīng)。它們之間主要的區(qū)別在于 s 平面-的無(wú)限頻率范圍，被映射到 s平面的主值范圍內(nèi),即：也就是說(shuō)，通過(guò)變換式（ a），把整個(gè) s 平面映射到 s平面以+-s/2 為邊界的水平窄區(qū)內(nèi)。這避免數(shù)字化后可能出現(xiàn)的頻譜混疊提供了必要條件。為了求出數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，最后還得通過(guò)常規(guī) z 變換將 s平面變換到 z 平面上來(lái)，其關(guān)系式為： (c)顯見(jiàn)，這時(shí)在 s左

48、半平面的窄區(qū)就被映射到 z 平面的單位圓內(nèi)?，F(xiàn)將式（c）代入式(a)最后求得： 基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真15 或 (d)該式是兩個(gè)線性函數(shù)之比，稱為線性分式變換，若把它展開(kāi)求 z，則得： （e）可見(jiàn)，其反變換也是線性分式函數(shù)，所以這種變換是雙向的，因此叫做雙線性變換。雙線性變換仍然具有將 s 的左半平面映射到 z 平面單位圓內(nèi);j 軸映射到單位圓上的基本性質(zhì)。因?yàn)楫?dāng) =0 時(shí)，z=1，說(shuō)明 s 平面 j 軸映射到 z 平面單位圓上。當(dāng) 0 時(shí)，上式中的分母大于分子z0.3 時(shí)，而且隨著 的增加差別更大。為此，若關(guān)心的只是濾波器的幅頻特性，為了補(bǔ)償頻率軸畸變，讓變換后的

49、位置不產(chǎn)生變化，可在基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真16設(shè)計(jì)過(guò)程取 c=1，對(duì)特定頻率（p，r，c）先進(jìn)行預(yù)先畸變。設(shè) d表示給定指標(biāo)的某一頻率，則按下式將它預(yù)先畸變，得預(yù)畸后的頻率為： （h） 將預(yù)畸后的頻率 從 s 平面變換到 s平面，按式（g）有 比較以上兩式得： 可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)頻率預(yù)畸后再進(jìn)行域的變換就能保證 =d,而不致造成與給定頻率指標(biāo)之間的誤差。因此在設(shè)計(jì)過(guò)程首先應(yīng)對(duì)給定指標(biāo)中的一些轉(zhuǎn)折點(diǎn)頻率進(jìn)行預(yù)畸，以此控制這些特定頻率的位置，使變換前后的頻率相一致，當(dāng)然對(duì)其他頻率還是存在不同程度的偏移。如果設(shè)計(jì)指標(biāo)強(qiáng)調(diào)對(duì)某個(gè)特殊頻率 p在變換前后的一致性，那么變換常數(shù) c 也可

50、以針對(duì) p =p按式（b）來(lái)確定，即： （l）但這樣不經(jīng)過(guò)預(yù)畸設(shè)計(jì)出來(lái)的數(shù)字濾波器頻響，除在 p點(diǎn)與模擬濾波器相符外，其他均存在偏差6。2.4.2 雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)：靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到 s 平面與 z 平面的單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，整個(gè) j 軸單值對(duì)應(yīng)于單位圓一周，這個(gè)關(guān)系就是式 所表示的，其中 和 為非線性關(guān)系。如圖圖中看到，在零頻率附近， 接近于線性關(guān)系， 進(jìn)一步增加時(shí)， 增長(zhǎng)變得緩慢， ( 終止于折疊頻率處 )，所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。 雙線性變換法的缺點(diǎn)： 與 的非線性關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅

51、頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變， (使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變 )。例如，一個(gè)模擬微分器，它的幅度與頻率是線性關(guān)系，但通過(guò)雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器。另外，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，濾波器就不再有線性相位特性。雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真17通、帶通和帶阻等，它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為 的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過(guò)雙線性變換后，雖

52、然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單。由于s 與 z 之間的簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過(guò)代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對(duì)于iir 的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變換6。2.4.3 應(yīng)用實(shí)例【例 2】用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)橢圓低通濾波器，其性能指標(biāo)同例 1。%samp6_7wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;rp=1;rs=15; %數(shù)字濾波器截止頻率通帶波紋和阻帶衰減fs=100;ts=1/

53、fs;nn=128; %采樣頻率wp=2/ts*tan(wp/2.);ws=2/ts*tan(ws/2.); %按頻率轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換n,wn=ellipord(wp,ws,rp,rs,s); %計(jì)算模擬濾波器的最小階數(shù)z,p,k=ellipap(n,rp,rs); %設(shè)計(jì)模擬原型濾波器bap,aap=zp2tf(z,p,k); %零點(diǎn)極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式b,a=lp2lp(bap,aap,wn); %低通轉(zhuǎn)換為低通濾波器的頻率轉(zhuǎn)換bz,az=bilinear(b,a,fs); %運(yùn)用雙線性變換法得到數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)h,f=freqz(bz,az,nn,fs); %求出頻率特性su

54、bplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(h);xlabel(頻率/hz);ylabel(振幅/db);grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(h)xlabel(頻率/hz);ylabel(相位/o);grid on;基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真1805101520253035404550-60-40-200一 一 /hz一 一 /db05101520253035404550-250-200-150-100-500一 一 /hz一 一 /o圖-4 例 2 設(shè)計(jì)橢圓低通濾波器的頻率特性上圖：

55、幅頻特性；下圖：相頻特性程序運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)圖 4。在 10hz 以前，衰減小于 1db，在 15hz 以后衰減均大于 15db,即性能指標(biāo)完全滿足濾波器的設(shè)計(jì)要求6。第三章 iir 濾波器的設(shè)計(jì)方法3.1 matlab 簡(jiǎn)介matlab 是由美國(guó) mathworks 公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如 c、fortran

56、）的編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。 matlab 和 mathematica、maple 并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。matlab 可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語(yǔ)言的程序等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真19信號(hào)處理與通訊、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域。 matlab 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用 matlab 來(lái)解算問(wèn)題要比用 c，fortran 等語(yǔ)言完成相同的事情簡(jiǎn)捷得多，并且

57、matlab 也吸收了像 maple 等軟件的優(yōu)點(diǎn),使 matlab 成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。matlab 的應(yīng)用范圍非常廣，包括信號(hào)和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、測(cè)試和測(cè)量、財(cái)務(wù)建模和分析以及計(jì)算生物學(xué)等眾多應(yīng)用領(lǐng)域。附加的工具箱（單獨(dú)提供的專用 matlab 函數(shù)集）擴(kuò)展了 matlab 環(huán)境，以解決這些應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)特定類型的問(wèn)題6。3.2 iir 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計(jì)法3.2.1 iir 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計(jì)法的一般步驟（1） 根據(jù)給定的性能指標(biāo)和方法不同，首先對(duì)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)中的頻率指標(biāo)，如數(shù)字邊界頻率進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)換后的模擬頻率指標(biāo)作為模擬濾波器原型設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)。（2）估計(jì)模擬濾波器最

58、小階數(shù)和截止頻率，利用 matlab 工具函數(shù)buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord 等。（3） 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器原型。利用 matlab 工具函數(shù)buttap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap 等。（4）由模擬原型低通濾波器經(jīng)頻率變換獲得模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻等），利用 matlab 工具函數(shù) lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。（5）將模擬濾波器離散化獲得 iir 數(shù)字濾波器，利用 matlab 工具函數(shù) bilinear或 impinvar。設(shè)計(jì) iir 濾波器時(shí)，給出的性能指標(biāo)通常分?jǐn)?shù)字指標(biāo)和模擬指標(biāo)兩種。數(shù)字性能指

59、標(biāo)給出通帶截止頻率p，阻帶起始頻率s，通帶波紋 rp，阻帶衰減 rs 等。數(shù)字頻率p和s的取值范圍為 0，單位弧度。而 matlab 工具函數(shù)常采用歸一化頻率，p和s的取值范圍為 01，對(duì)應(yīng)于 0，此時(shí)需進(jìn)行轉(zhuǎn)換。模擬性能指標(biāo)給出通帶截止頻率p，阻帶起始頻率s，通帶波紋 rp，阻帶衰減rs 等。模擬頻率p和s單位為弧度/秒（rad/s）10。3.2.2 舉例說(shuō)明【例 3】用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè) butterworth 低通數(shù)字濾波器，使其特征逼近一個(gè)低通 butterworth 模擬濾波器的下列性能指標(biāo)：通帶截止頻率sradp/20002 ，通帶波紋 rp 小于 3db，阻帶邊界頻率為sra

60、ds/30002 ，阻帶衰減大于 15db，采樣頻率 fs=10000hz。假設(shè)一個(gè)信號(hào)tftftx212cos5 . 02sin)(，其中f1=1000hz,f2=4000hz。試將原信號(hào)與通過(guò)該濾波器的輸出信號(hào)進(jìn)行比較。%samp6_5wp=2000*2*pi;ws=3000*2*pi; %濾波器截止頻率基于 matlab 的 iir 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真20rp=3;rs=15; %通帶波紋和阻帶衰減fs=10000; %采樣頻率nn=128; %調(diào)用 freqz 所用的頻率點(diǎn)數(shù)n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s); %模擬濾波器的最小階數(shù)z,p,k=buttap(n);