18.獨立重復試驗的應用類型

1、 高考數(shù)學母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數(shù)學叢書,給您一個智慧的人生！高考數(shù)學母題 母題(三-18):獨立重復試驗的應用類型(788) 0227 獨立重復試驗的應用類型 母題(三-18):(2014年四川高考試題)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需要擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.()設每盤游戲獲得的分數(shù)為x,求x的分布列;()玩三盤游戲,

2、至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？()玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分數(shù)相比,分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析分數(shù)減少的原因.解析:()設擊鼓三次出現(xiàn)音樂的次數(shù)為,則p(=k)=c3k()k(1-)3-k(k=0,1,2,3)p(x=-200)=p(=0)=,p(x=10)=p(=1)=,p(x=20)=p(=2)=,p(x=100)=p(=1)=x的分布列為:()由每盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率p=玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率=1-(1-)3=;()由ex=-4.25,即每盤所得分數(shù)的期望為負數(shù)玩得越多所得分數(shù)越少的可能性更大.點評:由獨立重復

3、試驗引發(fā)了二項分布,實質(zhì)上,由獨立重復試驗,通過:令=ak+b(k為成功的次數(shù));截取獨立重復試驗的部分;令=ak+bt(k,t分別為成功的次數(shù))等手段,構(gòu)造概率分布的有關問題. 子題(1):(2010年江蘇高考試題)某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)甲產(chǎn)品一等品80%,二等品20%;生產(chǎn)乙產(chǎn)品,一等品90%,二等品10%.生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品,如果是一等品可獲利4萬元,若是二等品則要虧損1萬元;生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品,如果是一等品可獲利6萬元,若是二等品則要虧損2萬元.設生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立.()記x(單位:萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤,求x的分布列;()求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于1

4、0萬元的概率。解析:()設生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品是一等品的事件分別為a、b,則a與b相互獨立,且p(a)=0.8,p(b)=0.9;x的的取值為-3,2,5,10,p(x=-3)=p()=p()p()=0.02,p(x=2)=p(a)=p(a)p()=0.08,p(x=5)=p(b)=p()p(b)=0.18,p(x=10)=p(a)=p(a)p(b)=0.72的分布列是:()設4件甲產(chǎn)品中一等品的件為,生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤為,則p(=k)=c4k0.8k(1-0.8)4-k(k=0,1,2,3,4),=4-(4-)=5-4p(10)=p(3)=p(=3)+p(=4)=0.8192. 注:關

5、于隨機變量=ak+b(k為成功的次數(shù))的問題,應通過建立變量關系:=ak+b,把關于的問題轉(zhuǎn)化為k的問題. 子題(2):(2005年浙江高考試題)袋子a和b中裝有若干個均勻的紅球和白球,從a中摸出一個紅球的概率是,從b中摸出一個紅球的概率為p.()從a中有放回地摸球,每次摸出一個,有3次摸到紅球即停止.(i)求恰好摸5次停止的概率;(ii)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為,求隨機變量的分布率及數(shù)學期望e;()若a、b兩個袋子中的球數(shù)之比為1:2,將a、b中的球裝在一起后,從中摸出一個紅球的概率是,求p的值.解析:()(i)恰好摸5次停止的概率p=c42()2(1-)2=;(ii)的取值為0

6、,1,2,3;p(=k)=c5k()k(1-)5-k(k=0,1,2)p(=3)=1-p(=0)p(=1)-p(=2)=的分布列是:e=; 0228 母題(三-18):獨立重復試驗的應用類型(788) ()設袋子a中有m個球,則a中有m個紅球,袋子b中有2m個球袋子b中有2mp個紅球,由=p=. 注:若b(n,p),取k=0,1,m(mn)時,p(=k)(km)適合重復試驗的概率公式,利用分布列的性質(zhì)求p(=m). 子題(3):(2004年全國高考試題)一接待中心有a、b、c、d四部熱線電話.己知某一時刻電話a、b占線的概率均為0.5,電話c、d占線的概率均為0.4,各部電話是否占線相互之間沒

7、有影響.假設該時刻有部電話占線,試求隨機變量的概率分布和它的期望.解析:設某一時刻電話a、b占線的個數(shù)為x,電話c、d占線的個數(shù)為y,則p(x=k)=c2k0.5k(1-0.5)2-k,p(y=k)=c2k0.4k(1-0.4)2-k(k=0,1,2)x、y的分布列分別是:由=x+yp(=0)=p(x=0)p(y=0)=0.09,p(=1)=p(x=1)p(y=0)+p(x=0)p(y=1)=0.3,p(=2)=p(x=2)p(y=0)+p(x=0)p(y=2)+p(x=1)p(y=1)=0.37,p(=3)=p(x=2)p(y=1)+p(x=1)p(y=2)=0.2,p(=4)=p(x=2)

8、p(y=2)=0.04的概率分布是:e=00.09+10.3+30.37+30.2+40.04=1.8. 注:關于=ak+bt(k,t分別為成功的次數(shù))的問題,首先列出關于k,t的二項分布,由此得的分布列解決問題. 子題系列:1.(2010年全國高考試題)投到某雜志的稿件,先由兩位初審專家進行評審,若能通過兩位初審專家的評審,則予以錄用;若兩位初審專家都未予通過,則不予錄用;若恰能通過一位初審專家的評審,則再由第三位專家進行復審,若能通過復審專家的評審,則予以錄用,否則不予錄用.設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5,復審的稿件能通過評審的概率為0.3.各專家獨立評審.()求投到該雜志的1

9、篇稿件被錄用的概率；()記x表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù),求x的分布列及期望.2.(2004年全國高考試題)某同學參加科普知識競賽,需回答三個問題.競賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分.假設這名同學每題回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.()求這名同學回答這三個問題的總得分的概率分布和數(shù)學期望;()求這名同學總得分不為負分(即0)的概率.3.(2009年江西高考試題)某公司擬資助三位大學生自主創(chuàng)業(yè),現(xiàn)聘請兩位專家,獨立地對每位大學生的創(chuàng)業(yè)方案進行評審.假設評審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個“支持”,則給予10萬元

10、的創(chuàng)業(yè)資助;若只獲得一個“支持”,則給予5萬元的資助;若未獲得“支持”,則不予資助,令表示該公司的資助總額.()寫出的分布列;()求數(shù)學期望e.4.(2005年福建高考試題)甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為與,投中得1分,投不中得0分.()甲、乙兩人在罰球線各投球一次,求兩人得分之和的數(shù)學期望;()甲、乙兩人在罰球線各投球二次,求這四次投球中至少一次命中的概率. 子題詳解:1.解:()記a表示事件:“稿件能通過兩位初審專家的評審”,b表示事件:“稿件恰能通過一位初審專家的評審”,c表示事件:“稿件能通過復審專家的評審”,d表示事件:“稿件被錄用”;則p(a)=0.25,p(b)=c210

11、.5(1-0.5)=0.5,p(c)=0.3,由d=a+bcp(d)=p(a+bc)=p(a)+p(bc)=0.4;()由p(x=k)=c4k0.4k(1-0.4)4-k(k=0,1,2,3,4)x的分布列為:ex=1.6.2.解:()設這名同學回答這三個問題正確的個數(shù)為x,則p(x=k)=c3k0.8k(1-0.8)3-k(k=0,1,2,3),且=100x-100(3-x)=200x-300p(=-300)=p(x=0)=0.008,p(=-100)=p(x=1)=0.096,p(=100)=p(x=2)=0.384,p(=300)=p(x=3)=0.512的概率分布為:e=-3000.008-1000.096+1000.384+3000.512=180;()p(0)=p(=100)+p(=300)=0.896.3.解:()設三位大學生獲得“支持”的個數(shù)為x,則p(x=k)=c6k()k(1-)6-k(k=0,1,2,3,4,5,6)p(=0)=p(x=0)=, 母題(三-18):獨立重復試驗的應用類型(788) 0229 p(=5)=p(x=1)=,p(=10)=p(x=2)=,p(=15)=p(x=3)=,p(=20)=p(x=4)=,p(=25)=p(x=5),p(=30)=p(x=6)=的分布列為:()e=15.4.解:()設“