數(shù)學(xué)分析第五章 導(dǎo)數(shù)和微分ppt課件

1、1、知道導(dǎo)數(shù)的構(gòu)造性定義,了解導(dǎo)數(shù)在研討函數(shù)性態(tài)方面的作用.2、知道導(dǎo)數(shù)和延續(xù)的關(guān)系,即可導(dǎo)必延續(xù),延續(xù)不一定可導(dǎo).3、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).1 1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求 學(xué)習(xí)目的學(xué)習(xí)目的 使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念。明確其幾何意義，能使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念。明確其幾何意義，能從從定義出發(fā)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能利用導(dǎo)數(shù)的意義處理某定義出發(fā)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能利用導(dǎo)數(shù)的意義處理某些實(shí)踐運(yùn)用的計(jì)算問題。些實(shí)踐運(yùn)用的計(jì)算問題。第五章第五章 導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)和微分;問題的提出問題的提出:在中學(xué)里我們學(xué)習(xí)過，物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其速度等于位移除以時(shí)間。而物體的運(yùn)動(dòng)往往不能夠總是

2、勻速的，通常人們所說的物體運(yùn)動(dòng)速度是指物體在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度。平均速度不能反映物體的瞬時(shí)速度。假設(shè)我們知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如何計(jì)算它的瞬時(shí)速度?一一 導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義;1 兩個(gè)例子兩個(gè)例子1). 1). 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.).(0其在該時(shí)刻的速度為某一確定的時(shí)刻，求若其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，ttss .,)()(00000）上的平均速度（或是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段的時(shí)刻，則為鄰近于設(shè)tttttttstsvtt;那么物體在時(shí)辰 t 0 的瞬時(shí)速度定義為tsvtvtt000limlim)(ttsttst)()(lim000速度反映了路程對(duì)時(shí)間變化的快慢程度;2). 2).

3、切線的斜率切線的斜率的斜率為因?yàn)楦罹€時(shí)的位置沿曲線無限接近與點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)是割線處的切線在其上一點(diǎn)曲線PQPQPQPTyxPxfy.),()(00 xQ曲線在其上一點(diǎn)),(00yxP,0)0()(xxxfxfk則極限的極限存在時(shí)如果所以當(dāng),0kxx )(xfy 00)()(lim0 xxxfxfkxx即為曲線在點(diǎn) P的切線的斜率.OPTy;xyx00lim)(xf).(,000 xfxfxf記作處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)并稱該極限為函數(shù)處可導(dǎo)在點(diǎn)則稱函數(shù)存在極限,的某鄰某鄰域內(nèi)有定義0 x在點(diǎn) f(x)設(shè)函數(shù)y 0)0()(lim0 xxxfxfxx定義定義1:即 00000 xx)f(xf(x)lim)f(x)

4、f(xlim0 xxxxx.處不可導(dǎo) x在點(diǎn)式極極限不存在，則 若0f上(1)2 導(dǎo)數(shù)的定義;.lim)4(,)3(),()()2(),() 1 (00000 xyxyxfxxfyxxfx，xx求極限作商計(jì)算計(jì)算函數(shù)值改變量給3 求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值;.處的導(dǎo)數(shù) 1在點(diǎn)x)( 求函數(shù) 1例3 xxf3)33(limlim) 1 ()4(33) 3(331)1 () 1 ()1 ()2(331)1 ()1 () 1 (2002323323xxxyfxxxyxxxxfxfyxxxxxfxx解;.處不可導(dǎo) 0在點(diǎn) . 00, 01sin)(證明函數(shù) 2例0 xxxxxxf證 由于 ,1sin1sin

5、0)0()(xxxxxfxf.處不可導(dǎo) 0在點(diǎn)x 所以f ,時(shí)極限不存在0 0 x當(dāng)注注: 利用導(dǎo)數(shù)的定義可證, 常量函數(shù)在任何點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零,即 . 0C;3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 處切線方程為： ,在點(diǎn) 所以曲線 ,處切線的斜率, 在點(diǎn) 等于曲線)( 00000yxxfyyxxfyxf 000 xxxfyy法線方程為: )()(1000 xxxfyy注注:.)0(,0()(,0)(.)0(,0()(,0)(垂直的切線軸可能存在與在點(diǎn)即曲線是無窮大它的導(dǎo)數(shù)可能不可導(dǎo)在因?yàn)楹瘮?shù)可能存在切線在點(diǎn)則曲線不可導(dǎo)在若函數(shù)xxfxxfyxxfxfxxfyxxf;.處的切線方程 ) 1,1 (點(diǎn)并求

6、曲 線,處的導(dǎo)數(shù) 1在點(diǎn)x)( 求函數(shù) 3例2在 xxf解: 由定義求得2)2(lim2limx1x)(1limf(1)f(1lim) 1 (020200 xxxxxxfxxxxx處的切線斜率為) 1,1 ( 在點(diǎn)2 由此知道拋物線xy 2) 1 ( fk所以切線方程為 ) 1(21xy即.12xy; 解 由于 ,203203xxxxxy.203)203203(0lim0 xxxxxxxf方程為的切線 在點(diǎn) 3曲線 ,所以Pxy )0(2030 xxxyy方程為法線的 在點(diǎn) 3曲線 Pxy )0(203130 xxxxy例例4.法線線方處的切線方程與 )0,0(在點(diǎn) 3求曲 線程yxPxy ;

7、。xxfxoxxfy，xxfxyxyxf，xxfx)0()()(0)(lim)()(000000仍成立此外有限增量公式在稱為于是時(shí)的無窮小是則可導(dǎo)在若二 可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系;.為狄利克雷函數(shù) )(其中 ,處可導(dǎo) 0僅在點(diǎn))()( 證明函數(shù) 5例02xDxxDxxf。xfxfxxoxxfy。xf，xf連續(xù)在點(diǎn)可導(dǎo)在點(diǎn)注分析連續(xù)在點(diǎn)則可導(dǎo)在點(diǎn)若定理不一定00000:)0(0)()(:1 . 4;.可導(dǎo)處 在點(diǎn) )(所以 ,處不連續(xù) 0在點(diǎn) )(由歸歸結(jié)原理可 ,時(shí)0 當(dāng) 證000不得xxxfxxfx. 0)(0lim0)0()(0lim)0(,)(,00 xxDxxfxfxfxDx因此得到為有界函數(shù)

8、由于時(shí)當(dāng).0,0sin)(6可導(dǎo)性討論其在連續(xù)在函數(shù)例xxxxf;。xf，xyxxxxxyxxxyxxxfxfxyxxxxxx不可導(dǎo)在即不存在故由于解0lim1sinlim)sin(limlim1sinlimlimsin)0()0(:000000;)0(0 x-x)0f(xf(x)xlim)0f(x)0f(x0lim0 xlim0 xxxxxxy定義定義2:限域若右極 ,有定義上 ),的某鄰 在點(diǎn) )(設(shè)函數(shù)000 xxxxfy. )0(記作 ,的右導(dǎo)0 在點(diǎn) 則稱該極限為 ,存在xfxf數(shù)三 單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念1) 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) ;類似地, 可以定義左導(dǎo)數(shù) 0 x-x)0f(xf(x)xlim)

9、0f(x)0f(x0lim(x)/-f0-xxxx左右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù). 2) 單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系)。(xf = )(x f )都都存在，(xf),(xf存在)(xf 定義的某鄰某 x在點(diǎn) f(x)若函數(shù)y 5.2定理000000且的充要條件是內(nèi)有; 注注:以下函數(shù)個(gè)別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或左右導(dǎo)數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義.(1) 函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)的函數(shù)值單獨(dú)定義的, 其他點(diǎn)的函數(shù)(2) 值用一致解析式定義的(函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)延續(xù)).(2) 求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).例例7.0)(. 0, 0,cos1)(導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)處的左右在討論設(shè)xxfxxxxxfxyxyxy-0 x0 x0 xlimlimlim:存在分析; 解 由

10、于 , 0, 1, 0,cos1)0()0(xxxxxfxf因此 , 0cos10lim)0(xxxf110lim)0(xf.處不可導(dǎo) 0 在 所以 , )0()0( 因 為xfff; .上的可導(dǎo) 為 則稱 ),單側(cè)導(dǎo)數(shù)僅考慮相應(yīng)的 ,對(duì)區(qū)間端點(diǎn)(一點(diǎn)都可導(dǎo)上 若函數(shù)在區(qū)間函數(shù)導(dǎo)每IfI即或記作,dxdyyf.,)()(0lim)(Ixxxfxxfxxf定義定義:。ydxd，dxdyxx，的求導(dǎo)施加于也可理解為看成一個(gè)整體記號(hào)目前注看成變量把看成常量應(yīng)求極限過程中注:;,:四四 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù);特別 例例8證明 (i) nnnxnx,1)(為正整數(shù).(ii) xxxxsin)(cos,cos)(

11、sin(iii) ),0, 1, 0(log1)(logxaaeaxxa.1)(lnxx ;1122110012211)(limlim)()( :nnnnnnxxnnnnnnnnxxxxCxCxyyxxxCxCxxxxxyiproof;xxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxyiixxsin)2sin(22sinlimlim)(cos)2sin(22sin22sin2sin2cos)cos()(00;axexxxxxxxxxxxxxxxxyiiiaxxaxaxxaaaaln1log1)1 (log1lim)(log)1 (log1)1 (log1log)(log)(0).(,sgn)(92x

12、fxxxf求設(shè)例;0202)(0)0(0lim)0()0(lim)0(0lim)0()0(lim)0(02)2(lim)()(lim)()(lim)(02)(,00000sgn)(:20020002200222xxxxxffxxxfxffxxxfxffxxxxxxxxxxfxxfxfxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxx即時(shí)當(dāng)時(shí)時(shí)由于解;.值點(diǎn)稱極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)統(tǒng) ,極值極大值極小值統(tǒng)稱為 .值點(diǎn))小(為極大 稱點(diǎn) ,值)小(取得 極 在點(diǎn) 則稱函數(shù) ),()()( 有)(一切內(nèi) )(的某 鄰某 在點(diǎn) 若函數(shù)0000000極為大對(duì)xxfxfxfxfxfxUxxUxf定義定義3四 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

13、1 極值的概念;.)()(,.0)(, 0)(, 0)(:).()(, 0)()(,00)()(),(, 0,0)()(lim)(:).()(),(, 0, 0)(1100000000000000000000極點(diǎn)不是則存在且不為零若從上例可知的情況用類似方法可證明注即有時(shí)從而推得當(dāng)有對(duì)一切由保號(hào)性證明有使對(duì)任何則存在證明若例xfx，xfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxfxfxxxxxxfxfxfxfxfxxxxfxx;。xfxfxxxxf，xfxfxxxxf，xfxfxxxxf，xfxfxxxxfxfx，xfxfxfxf)()(,),(, 0,0)()()(,),(, 0,0)()()(

14、,),(, 0,0)()()(,),(, 0,0)(.)()(,.0)(, 0)(, 0)(:000000000000000000000時(shí)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)時(shí)極點(diǎn)不是則存在且不為零若從上例可知的情況用類似方法可證明注;0)(,;,3 . 50000 xffxxxf則必有的極值點(diǎn)為若點(diǎn)可導(dǎo)在點(diǎn)且的某鄰域內(nèi)有定義在點(diǎn)設(shè)函數(shù)定理2 定理定理 (費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理);注注2:極值點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)的關(guān)系:1. 極值點(diǎn)不一定是穩(wěn)定點(diǎn),穩(wěn)定點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn).2. 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn). 0)(. 0)(, 0)()(),()()()(lim)(:0000000000 xfxfxfxUxxfxfxxxfx

15、fxfxx分析注1。xf的點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)稱滿足0)(;3 達(dá)布達(dá)布(Darboux)定理定理 (導(dǎo)函數(shù)的介值定理導(dǎo)函數(shù)的介值定理)kfbabfafkbfafbaf)(),(,)(),(),()(,4 . 5使得則至少存在一點(diǎn)之間任一數(shù)于為介且上可導(dǎo)在若函數(shù)定理;),(,)(0)(:,),()(,(*),)(;,)(*)()(),()()(),(0)(, 0)(0)()()()()(,)(,)()(:210201bakfFFemartbaxFbaxFxFbFxFaFxFbUxaUxbFaFkbfkafbFaFbaxFkxxfxF即定理得由內(nèi)取得只能在的最大值點(diǎn)知由最大值與最小值上有在故因而連續(xù)可導(dǎo)因

16、且則分別存在不妨設(shè)且上可導(dǎo)在則設(shè)證明;作業(yè)P94 3,4,6(2),8, 9(2),11,14;2 2 求導(dǎo)法那么求導(dǎo)法那么教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：1. 給出了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么.2. 給出了反函數(shù)的求導(dǎo)法那么,并得到了指數(shù)函數(shù),反三角函數(shù) 的求導(dǎo)公式.3. 給出了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么, 并得到了冪函數(shù)的求導(dǎo)公式.要求要求:1. 掌握求導(dǎo)法那么,尤其是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么.2. 能熟練運(yùn)用求導(dǎo)法那么及根本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式計(jì)算 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).; 上一節(jié)我們講述了導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，從實(shí)際上來講，給了一個(gè)函數(shù)，總可用定義求其導(dǎo)數(shù)只需可導(dǎo)。但用定義計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是比較繁瑣的。 因此，我們不

17、能滿足于只用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，而應(yīng)去尋覓一些求導(dǎo)數(shù)的普通方法，以便能較方便地求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。在給出較普通的方法之前，先看以下函數(shù)如何求導(dǎo)數(shù)：xxxfcossin)(1 xxg2sin)(1xxxfcossin)(2 )sin()(2axxgxxxfalogcos)(3 xxgarcsin)(3xcxfsin)(4 xxgarccos)(4;一一 導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么1 和差運(yùn)算法那么).()()(,)()()(,)()(5 . 500000 xvxuxfxxvxuxfxxvxu且可導(dǎo)在點(diǎn)則函數(shù)可導(dǎo)在點(diǎn)和若函數(shù)定理;)()()()()()()()()()()()(:00

18、0000000000 xvxuxxvxxvxxuxxuxxvxuxxvxxuxxfxxfxy分析nkknkkkxuxf，xuxf，xnkxu10010)()()()()2 , 1)(:且可導(dǎo)則可導(dǎo)在若注;xxxxxxxf。xxxxfxxxxxxxf。xxxf1sin3)5(sin)(ln)(cos)()(:5sinlncos)(2cos2)(sin)()sin()(:sin)(1233222解的導(dǎo)數(shù)求例解的導(dǎo)數(shù)求例;2 乘積運(yùn)算法那么)()()()()(,)()()(,)()(6 . 50000000 xvxuxvxuxfxxvxuxfxxvxu且可導(dǎo)在點(diǎn)則函數(shù)可導(dǎo)在點(diǎn)和若函數(shù)定理;)()()

19、()()()()()()()()()()()()(:000000000000000 xvxuxvxxvxxvxuxxuxxuxxvxxvxuxxvxxuxxfxxfxy分析)()()()()()()()()()( :1xvxuxvxuxvxuxvxuxvxu注;xxxxxxxxxfxfxxxfcoslnsin)(sinlnsin)(ln)(:).(,sinln)(3解求設(shè)例)()()()()(,)()(,)2 , 1)(:2001010110010 xuxuuxuxuxfxxuxfxnkxunkkknknkkk且可導(dǎo)在則可導(dǎo)在若注;2sin82cos1223)2(sincos33)cos()l

20、n3()(:).2(cosln3)(. 4)(|)(,)(:3233000fxxxxxxxxxffxxxxfxcvxcvcxxvxx解求設(shè)例則為常數(shù)可導(dǎo)在若函數(shù)推論;3 相除運(yùn)算法那么)()()()()()(,)()()(0)(,)()(7 . 50200000000 xvxvxuxvxuxfxxvxuxfxvxxvxu且可導(dǎo)在點(diǎn)則函數(shù)且可導(dǎo)在點(diǎn)和若函數(shù)定理?|)(1()()()()(1)()()(:0011xxxvxfxfxuxvxuxvxu轉(zhuǎn)化研究分析;)()(|)(1()()()(1)()()()(1)(1)(1)()(0200100200000001010 xvxvxvxfxvxvxx

21、vxxvxvxxvxxvxxvxxfxxfxx分析;)()()()()()()()()()()()()(1)(|)()(0200000200000 xvxuxvxuxvxvxuxvxuxvxvxuxvxuxvxuxx注故;xxxxxxxxxxxxxxxxxnxxnxxxxx。nxxnnnnnnnnn2222222212121cscsin1sincossinsin)(sincossin)(cos)sincos()(cot:.csc)(cot,sec)(tan6)()1()( :,)(5證明證明例證明其中為正整數(shù)證明例;22222)tan3sin5()sec3cos5()(tan3sin5()ta

22、n3sin5()(:).(,tan3sin5)(8cotcscsincossin)(sin)sin1()(csc:cotcsc)(csc,tansec)(sec7xxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxxxxxxxx解求設(shè)例證明證明例;二二 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理5.8 設(shè)設(shè))(xfy 為)(yx的反函數(shù)，假設(shè))(y在點(diǎn)0y的某鄰域內(nèi)延續(xù)，嚴(yán)厲單調(diào)且0)( 0y，那么)(xf在點(diǎn)0 x)(00yx可)( 1)( 00yxf 。導(dǎo)，且1:yxxy，如出就把這個(gè)變量用下標(biāo)標(biāo)的導(dǎo)數(shù)變量關(guān)于那一個(gè)變量有時(shí)為了清楚標(biāo)明一個(gè)注;)(1lim1limlim)(0)(, 00; 0

23、0,)()(),()(:0000000100000yyxxyxyxfyxyxyyfyxfxxfyyyyxyyx得由時(shí)當(dāng)且時(shí)從而當(dāng)鄰域內(nèi)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)某在故調(diào)某鄰域內(nèi)連續(xù)且嚴(yán)格單在因設(shè)證明;1 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxxaaxaxxxxeeaaeyyayxayaaaaaay)( :lnlog)(log1)(log:.ln)(),1, 0(注反函數(shù)為證明則設(shè);2 反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)),(11)cot()4(),(11)(arctan)3() 1 , 1(11)(arccos)2() 1 , 1(11)(arcsin) 1 (2222xxxarcxxxxxxxxx;2211cos11sin1)(cos1)(

24、arccos), 0(,cos) 1 , 1(,arccos:xyyyxyyxxxy的反函數(shù)為證明;222211cot11sincsc1)(cot1)cot(cotcotxyyyyxarcyxxarcy的反函數(shù)為;三三 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(鏈?zhǔn)椒敲存準(zhǔn)椒敲?()()()()(),()()(100000000 xHxfxxxHxfxfxHxxUxxxf從而使得函數(shù)的連續(xù)內(nèi)存在一個(gè)在點(diǎn)某鄰域的可導(dǎo)的充要條件是在在點(diǎn)引理;)()()()(,)()()()()(lim)(lim)()()()()(,)(”“:00000000000000000 xUxxxxHxfxfxxHxHxfxxxf

25、xfxHxxxfxUxxxxfxfxHxxfxxxx且連續(xù)在所以則因令可導(dǎo)在設(shè)必要性證明;。xHxf，xxfxHxHxxxfxfxUxxxxHxfxfxxUxxHxxxx)()()()()(lim)()(lim)()()()(,)()(”“0000000000000且可導(dǎo)在點(diǎn)所以因且連續(xù)它在點(diǎn)若充分性;2 定理定理5. 9 設(shè)設(shè))(xu在點(diǎn)0 x可導(dǎo)，)(ufy 在點(diǎn))(00 xu可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)fy 在點(diǎn)0 x可導(dǎo)，且)( )( )( )( )()(00000 xxfxufxf。;)()()(),()(. .),(,)()()()()()()(. .),(,)(:0000000000000

26、 xxxxxxxtsxxxxuuUuuuuFufufuFuftsuFuuuf且續(xù)的函數(shù)連同理存在一個(gè)在可導(dǎo)在又由且連續(xù)的函數(shù)在則由引理存在一個(gè)可導(dǎo)在點(diǎn)由證明;)()()()()()(,)()()(,)(,)()()()()()()(0000000000000 xufxxFxHfxfxxxFxHxuFxxxxxFxxxFxfxf且可導(dǎo)在由引理充分性得連續(xù)在所以連續(xù)在連續(xù)在因?yàn)橛谑怯?)()()(| )()(1)(含義不可混淆與注xxfxfufxfxu;dxdddvdvdududydxdyxxJhvvguufydxdududydxdyxuufy導(dǎo)數(shù)為在的復(fù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)函數(shù)可推廣到多個(gè)函數(shù)復(fù)合寫成般

27、可的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式一函數(shù)為鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式也稱注,)(),(),(),(,)(),(,2;x。xxxuxuyxuuyxy。yxy2sincossin2cos2)(sin)(sin,sin:,sin82222故的復(fù)合由解求設(shè)例。xxy為實(shí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求冪函數(shù)例),0(9;1lnln)ln()()(ln,:xxexexexxueyexyxuuxu故的復(fù)合為解).(),1ln()(102xfxxxf求設(shè)例;22222222211)11 (11)1 (1211 11)1(11)1ln()(:xxxxxxxxxxxxxxxxf解.,)(arctan11313yeyx求設(shè)例;223222323313

28、3131333311)(arctan31131)()()(arctan)(,arctan,)(arctan:xeeexevuxevudxdddvdvdududyyxevvuuyeyxxxx的復(fù)合為解;3333333333332232323223232311)(arctan)(11)(arctan31)(11)(arctan31)(arctan)(arctan31)(arctanxxxxxxxxxxxxeexexeeeeeeeeey熟練后;)2cos()2sin(21)21(|)cos()sin(2)cos()sin(2)(sin()sin()()(:21),()sin(1221222222es

29、vttetetetetets。ttesvtttttt解時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度試求為常數(shù)設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為例;xexxxxeyyeyxxx2sin1)1(1cos1sin2:.,131sin221sin1sin222解求設(shè)例;3 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)然后兩邊對(duì)數(shù)則采用兩邊取對(duì)求導(dǎo)時(shí)或冪指函數(shù)冪運(yùn)算表達(dá)的函數(shù)除對(duì)由某些函數(shù)乘x，xuy，、xv)()(;1lnln,)(lnln)(ln1)2()(lnln) 1 ()(yydxdydyyddxyd。xyxyyxfdxdyyxxfyxfy為自變量函數(shù)為中間變量為以這里求導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)如.),1(1) 1(114222yxxxxxy求設(shè)例;)1121

30、1(1) 1(1122112111)1ln(21) 1ln(2)1ln(ln:222222222xxxxxxxxyxxxxyyxxxxxy即求導(dǎo)得兩邊對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得解。y，xvxuxuxuyxv)()()(0)(,)(15求均可導(dǎo)和且其中設(shè)例;)()()()(ln)()()()()()(ln)()()(ln)()()(:1)()()()(ln)()(ln)()(xvxuxuxuxvxuxuxuxvxuxvxuxuxveexuyxvxvxvxuxvxuxvxv解.,16yxyxx求設(shè)例;)ln11(lnln)ln11(lnln1ln11ln1ln1lnlnlnlnlnlnln:xxxxxxxxx

31、yyyxxxxxyyyxxxxyxxyxxxx求導(dǎo)兩邊對(duì)解;例例17.),4() 4(5) 2() 4(2) 5(2131yxxxxxy求設(shè);先對(duì)函數(shù)取對(duì)數(shù), 得解解).4ln(21) 2ln(5) 4ln(31) 5ln(2) 4(5) 2() 4(2) 5(lnln2131xxxxxxxxy再對(duì)上式兩邊分別求對(duì)數(shù), 得.)4(2125)4(3152xxxxyy整理后得到.)4(2125)4(3152)4(5)2()4(2)5(2131xxxxxxxxy; 初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法:1.利用求導(dǎo)的四那么運(yùn)算法那么及復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒敲辞髮?dǎo)； 2.利用反函數(shù)求導(dǎo)法那么求導(dǎo)； 3.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法； 4

32、.利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)； ;1 根本求導(dǎo)法那么1 )(vuvu 2. )(uvvuuv， )(cucu 32)(vuvvuvu，21)1(vv 4反函數(shù)導(dǎo)數(shù) dydxdxdy1 5.復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù) dxdududydxdy;2 根本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式10)(c21)(xx )(R3xxcos)(sinxxsin)(cos4xx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secctgxxxcsc)(csc5aaaxxln)(xxee)(6axxaln1)(logxx1)(ln;7211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cot(xxarc。

33、 P102 2(4)(5)(12), 3(8)(10)(15)(19)(23)(25)4(2),5(4),6;3 3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)給出了由參量方程所確定的參變量函數(shù)的求導(dǎo)法那么.教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):參量方程的求導(dǎo)法那么.要求要求:能熟練求出參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù).;問題的提出問題的提出:如何求由參量方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢?在解析幾何上，我們遇到過曲線的參數(shù)方程。例如，橢圓的參數(shù)方程為)(sin)(costtbyttax )20( t;參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo))()()()(:ttytxxyyC參變量方程一般的表達(dá)形式是平面曲線。

34、ttttC的切線斜率點(diǎn)對(duì)應(yīng)于求曲線)(),(1000;)(000000000000000000000|)()()()()()(lim)()()()(limlimlimtan,0,)()()()(0)(,)(),(txtttxPQdxdyttttttttttttttttxyxyPTPQtPCQttttttxyktttt時(shí)即時(shí)趨于沿則且可導(dǎo)在設(shè);20)()(limcot0)(, 0)(:100000ttyxttt則只要若注光滑曲線。Ctt為光滑曲線這時(shí)稱且存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)在若, 0,)(),(2 2 ;)()()()(:2ttytxxyyC式是參變量方程一般的表達(dá)形平面光滑曲線注) 1 ()()(

35、ttdxdy則例例1試求擺線20),cos1 (),sin(ttayttax所確定的函數(shù))( xyy 的導(dǎo)數(shù).;解解由公式(1)求得2cot)cos1 (sinsin()cos1 (ttatattatadtdxdtdydxdy)()(, 0)(,)()(:)()(211ttdtdxdtdydxdtdtdydxdytxtyCxttx由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法規(guī)有可導(dǎo)且只要?jiǎng)t具有反函數(shù)若;)2(tan)()()(tan)(sin)(cos)(cos)(sin)()cos)()sin)(,)(sin)(sincos)(cos,)(. 3dxdydxdyyxC即則可導(dǎo)若為參數(shù)方程以參量則可轉(zhuǎn)化為給出由極坐標(biāo)曲線

36、;)()(tantan1tantan)tan(tan的正切是的夾角與切線的射線過點(diǎn)MTOHM;。aar徑的極角線與向徑的夾角等于向上任一點(diǎn)的切圓證明例)0(sin2:2tancos2sin2)()(tan:aarr對(duì)圓上每一點(diǎn)都有證明作業(yè) P105 1(1),3,6;4 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：1、給出了高階導(dǎo)數(shù)的定義，并得到冪函數(shù)、給出了高階導(dǎo)數(shù)的定義，并得到冪函數(shù)y=xn、三、三角函數(shù)角函數(shù) y=sinx、y=cosx、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)y=ex的的n階導(dǎo)數(shù)公式。階導(dǎo)數(shù)公式。2、給出了求兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式。、給出了求兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式。3、給

37、出了求由參量方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)、給出了求由參量方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式。算公式。要求：要求： 熟練掌握各類函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及萊布尼茨公式熟練掌握各類函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及萊布尼茨公式的運(yùn)用。的運(yùn)用。;問題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 速度是位移的導(dǎo)數(shù)，而加速度又是速度的速度是位移的導(dǎo)數(shù)，而加速度又是速度的導(dǎo)數(shù)，那么加速度與位移是什么關(guān)系呢？導(dǎo)數(shù)，那么加速度與位移是什么關(guān)系呢？知運(yùn)動(dòng)規(guī)律)(tss ，那么它的一階導(dǎo)數(shù)為)( tsv ，在一段時(shí)間t內(nèi)，速度的ttvttvtv)()(當(dāng)0t時(shí)，極限tvt0lim 就是加速度，即速度，即平均變化率為:;)( ()( )(tstvta說加

38、速度是路程對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。)(ts加速度是路程)( ()( )(tstvta)( lim)(0tvtvtat綜上知：;一一 高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的概念。xfxxfxxfxf，xf，xfxf，xffxx二階可導(dǎo)在同時(shí)稱即記作的二階導(dǎo)數(shù)在導(dǎo)數(shù)為的在則稱可導(dǎo)在的導(dǎo)函數(shù)若函數(shù)定義0000 0 000)()(lim)()(1) 10;)1()()(0 )()(: )(1)()(lim)(),()2xfxfxfnfnf，xxfxxfxfIxxf，If，Ifnnnx函數(shù)階導(dǎo)的階導(dǎo)函數(shù)可定義的由一般地記作上二階導(dǎo)函數(shù)在則可得到上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo)在區(qū)間若;)()()(0)(0)1()(

39、,),(:,|),()()(:)300nnnnxxnxxnnnnnydxydxfnydxydxf，nxfxfxf階導(dǎo)函數(shù)記作記作階導(dǎo)數(shù)處在二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù);二二 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例例1 求冪函數(shù)求冪函數(shù) n 為正整數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)。為正整數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)。 求高階導(dǎo)數(shù)無非是反復(fù)運(yùn)用求一階導(dǎo)數(shù)的方法求高階導(dǎo)數(shù)無非是反復(fù)運(yùn)用求一階導(dǎo)數(shù)的方法,普通來說先求出有限階普通來說先求出有限階,然后總結(jié)出普通規(guī)律然后總結(jié)出普通規(guī)律.; 由此可見，對(duì)于正整數(shù)冪函數(shù)由此可見，對(duì)于正整數(shù)冪函數(shù)xn，每求導(dǎo)一次，其冪次降，每求導(dǎo)一次，其冪次降低低1，第，第 n 階導(dǎo)數(shù)為一常數(shù)，大于階導(dǎo)數(shù)為一常數(shù)，大于

40、 n 階的導(dǎo)數(shù)都等于階的導(dǎo)數(shù)都等于0。解解 由冪函數(shù)的求導(dǎo)公式得由冪函數(shù)的求導(dǎo)公式得;.,cos2)(nyxy求設(shè)例xysin:解)2cos(xxycos )2sin(x)22cos(xxysin )22sin(x)222cos(x)2cos()(nxyn故)2sin(,sin:)(nxyxyn則若類似;.3各階導(dǎo)數(shù)求例xey xxee)(:解xxee )(xnxee)()(;三三 求高階導(dǎo)數(shù)法那么求高階導(dǎo)數(shù)法那么)()()()() 1nnnvuvu2) 萊布尼茨公式萊布尼茨公式2) 萊布尼茨公式萊布尼茨公式萊布尼茨公式：萊布尼茨公式：;解解 令令 由例由例2和例和例3有有運(yùn)用萊布尼茨公式運(yùn)用

41、萊布尼茨公式n=5得得)(cos4nxyx，ey求設(shè)例;.,) 1(15)(nyxxy求設(shè)例111:xxy解)()1(nx)(1)(nx11!) 1(!) 1(nnnnxnxn)()11(nx1) 1(!) 1(nnxn)(ny) 1(11( !) 1(11nnnxxn)()1(nx)()11(nx;3) 分段函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)分段函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)例例5 研討函數(shù)研討函數(shù) 的高階導(dǎo)數(shù)。的高階導(dǎo)數(shù)。解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由左右導(dǎo)數(shù)定義不難求得時(shí)，由左右導(dǎo)數(shù)定義不難求得 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 不存在，整理后得不存在，整理后得 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí);4) 由參量方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)由參

42、量方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)) 1 ()()(, 0)(,)()()(ttdxdytnttytxxyy則且階導(dǎo)數(shù)有直到其中所確定由參數(shù)方程設(shè)函數(shù)確定參數(shù)方程由即)()()()()(ttdxdytxttdxdy;3 22)()()()()()()()()()(ttttttttdtddtdxdxdydtddxdtdxdydtddxdydxddxyd )()( )2()()()()()( 22322ttdxydtttttdxyd 注;。xfyttbytax的一階二階導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)程求由上半橢圓的參數(shù)方例)(0sincos7.cotsincos)cos()sin()2)(1 (:tabtatbtat

43、bdxdy得由公式解.cscsincsc)cos()cot()(32222tabtatabtatabdtdxdxdydtddxyd;5) 復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。xyxgxgfxgxgfxgxgfxgxgfdxdxgxgfdxdxyxgxgfxynIgfIxxgfy數(shù)求導(dǎo)法規(guī)時(shí)對(duì)上式仍采用復(fù)合函從而求則階導(dǎo)數(shù)直到都有在和其中設(shè))()()()()()()()()()()()()()()(,)( 2 ;)(arctan7nyx，y求設(shè)例)(coscostan1111:2222xyyyxy解求導(dǎo)方程兩邊對(duì)x y)2(2sincossincos22yyyyy y2)2(202cos)2(2sinsinco

44、s2yyscyyyysin)2(2sincos)2(2coscos23yyyyy)2(3sincos2)3cos(cos233yyyy;)2(sincos)!1(:)(ynynynn若1)1()2(coscos)2(sinsincos)!1(yynynynyynnynnn)2)(1sin(cos!1ynynn)2(sincos)!1()(ynynynnn求導(dǎo)兩邊對(duì)求導(dǎo)兩邊對(duì)則注由xyxxy，xyxxy0)1 (21)1 (11 222;作業(yè)P109 2,3(3)(4),4(2),5(4),6(1); 5 微微分分教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：1、給出了函數(shù)在一點(diǎn)得微分可微的概念，并證明、給出了函數(shù)在一點(diǎn)

45、得微分可微的概念，并證明了可導(dǎo)與了可導(dǎo)與 可微是等價(jià)的?？晌⑹堑葍r(jià)的。2、微分運(yùn)算法那么以及一階微分方式的不變性。、微分運(yùn)算法那么以及一階微分方式的不變性。3、高階微分的定義與計(jì)算，并闡明高階微分不具有方、高階微分的定義與計(jì)算，并闡明高階微分不具有方式的不變式的不變 性。性。4、微分在近似計(jì)算中的運(yùn)用。、微分在近似計(jì)算中的運(yùn)用。要求要求:1、掌握微分概念，了解微分的分析和幾何意、掌握微分概念，了解微分的分析和幾何意義。義。2、掌握微分與導(dǎo)數(shù)的異同以及它們之間的聯(lián)、掌握微分與導(dǎo)數(shù)的異同以及它們之間的聯(lián)絡(luò)。絡(luò)。; 由兩部分組成：由兩部分組成： 陰影部分陰影部分 它是關(guān)于它是關(guān)于 的高階無窮小量的高

46、階無窮小量因此，當(dāng)給因此，當(dāng)給 一個(gè)微小增量一個(gè)微小增量 時(shí)，由此引時(shí)，由此引起的正方形增量起的正方形增量 可近似地用可近似地用 的線性部分的線性部分 來替代，且來替代，且由此產(chǎn)生的誤差是一個(gè)關(guān)于由此產(chǎn)生的誤差是一個(gè)關(guān)于 的高階無窮小量。的高階無窮小量。例：設(shè)一邊長(zhǎng)為例：設(shè)一邊長(zhǎng)為x的正方形，它的面積的正方形，它的面積 是是 正數(shù)。假設(shè)邊長(zhǎng)由正數(shù)。假設(shè)邊長(zhǎng)由 添加到添加到 ，相應(yīng)地正方，相應(yīng)地正方形形202020)(2)(xxxxxxs2xs 0 xxx0面積地增量面積地增量;一一 微分的概念微分的概念1定義定義1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 定義在點(diǎn)定義在點(diǎn) 的某鄰域的某鄰域 內(nèi)。當(dāng)給內(nèi)。當(dāng)給 一個(gè)增量一個(gè)

47、增量 時(shí)，相應(yīng)地得到函數(shù)的增量為：時(shí)，相應(yīng)地得到函數(shù)的增量為： 假設(shè)存在常數(shù)假設(shè)存在常數(shù)A，使得，使得 能表示成能表示成那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微，并稱可微，并稱1式中的第一項(xiàng)式中的第一項(xiàng) 為為 在在點(diǎn)點(diǎn) 的微分，記作的微分，記作 1或或留意：函數(shù)的微分與增量之間僅相差一個(gè)關(guān)于留意：函數(shù)的微分與增量之間僅相差一個(gè)關(guān)于 的高階無窮的高階無窮 小量。小量。 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微，那么在點(diǎn)可微，那么在點(diǎn) 的小鄰域內(nèi)可的小鄰域內(nèi)可 用切線替代曲線。用切線替代曲線。;2 可導(dǎo)與可微的關(guān)系可導(dǎo)與可微的關(guān)系xxfdyxfAxfxf)()(,10. 50000即而且可導(dǎo)在可微的充要條件是在函數(shù)定理可導(dǎo)可微在必要性分析)0()()(,”“0 xAxxoAxyxoxAyxf)()0, 0()(”“00 xodyxxxxfyxf有限增量公式可導(dǎo)在充分性;PQQR3 微分幾何意義長(zhǎng)小得多比的長(zhǎng)時(shí)即當(dāng)且如圖0000,0, 0)()()0, 0()(:RQQQxxRQQQxfRQQQxfPRQQxdyyQQdyyxxxxfRQy;4 區(qū)間上可微函數(shù)xxxfdxdyxxfyxxxxfdyIfIfIxfy)()(),()(,)(時(shí)當(dāng)也依賴于不僅依賴于上微分記