自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)

1、自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)上一節(jié)介紹了隨機(jī)過(guò)程的幾種模型。實(shí)際中單憑對(duì)時(shí)間序列的觀察很難確定其屬于哪一種模型，而自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)是分析隨機(jī)過(guò)程和識(shí)別模型的有力工具。1、自相關(guān)函數(shù)定義在給出自相關(guān)函數(shù)定義之前先介紹自協(xié)方差函數(shù)概念。由第一節(jié)知隨機(jī)過(guò)程中的每一個(gè)元素，t = 1, 2, 都是隨機(jī)變量。對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，其期望為常數(shù)，用表示，即，隨機(jī)過(guò)程的取值將以 m 為中心上下變動(dòng)。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差也是一個(gè)常量，用來(lái)度量隨機(jī)過(guò)程取值對(duì)其均值的離散程度。相隔k期的兩個(gè)隨機(jī)變量與的協(xié)方差即滯后k期的自協(xié)方差，定義為： 自協(xié)方差序列：，稱為隨機(jī)過(guò)程的自協(xié)方差函數(shù)。當(dāng)k = 0 時(shí)，。自相關(guān)系數(shù)

2、定義： 因?yàn)閷?duì)于一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程有： 所以，當(dāng) k = 0 時(shí)，有。 以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)列（）稱為自相關(guān)函數(shù)。因?yàn)?，? ，自相關(guān)函數(shù)是零對(duì)稱的，所以實(shí)際研究中只給出自相關(guān)函數(shù)的正半部分即可。2、自回歸過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) （1）平穩(wěn)ar(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)ar(1) 過(guò)程：，|f1| 1。已知（why?）。用同乘上式兩側(cè)上式兩側(cè)同取期望：其中（why?）（由于xt = ut + f1 ut-1 + f12 ut-2 + ，所以xt-k = ut-k + f1 ut-k-1 + f12 ut-k-2 +，而ut是白噪音與其t - k期及以前各項(xiàng)都不相關(guān)）。兩側(cè)同除 g0 得：因?yàn)閞o =

3、1，所以有（） 對(duì)于平穩(wěn)序列有 | f1| f1 0 -1f1 1情形即非平穩(wěn)和強(qiáng)非平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)如下圖。 f1 = 1.1（強(qiáng)非平穩(wěn)過(guò)程） f1 = 1（隨機(jī)游走過(guò)程）（2）ar(p) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)用(k 0) 同乘平穩(wěn)的 p階自回歸過(guò)程 的兩側(cè)，得：對(duì)上式兩側(cè)分別求期望得：，k 0 用 g0分別除上式的兩側(cè)得yule-walker方程： rk = f1 rk -1 + f2 rk -2 + + fp rk -p ， k 0 令，其中l(wèi)為k的滯后算子，這里, i = 1, 2, , p 是特征方程的根。為保證隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性，要求。則：，也即。 可證：（*）其中ai, i = 1,

4、 ，p 為待定常數(shù)。（提示：可把（*）式代入到y(tǒng)ule-walker方程中證明）由（*）式知道會(huì)遇到如下幾種情形。 當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，（*）式中的將隨著k 的增加而幾何衰減至零，稱為指數(shù)衰減。 當(dāng)和表示一對(duì)共軛復(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，= r，則, 的極座標(biāo)形式是：若ar(p) 過(guò)程平穩(wěn)，則，所以必有r 1 時(shí)， 綜合以上三種情形，ma(1)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)為 rk = = q1 0 q1 1時(shí)，rk = 0。 （2） ma(q) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) ma(q) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是 rk = 當(dāng)k q 時(shí)，rk = 0，說(shuō)明 rk , k = 0, 1, 具有截尾特征。例如，對(duì)于ma(2) 過(guò)程，自相關(guān)函數(shù)是 r1=

5、, r2=, rk = 0, k 2。 4、 arma (1, 1) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)arma (1, 1) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)rk 從 r1開(kāi)始指數(shù)衰減。r1的大小取決于 f1和 q1, r1的符號(hào)取決于 (f1 -q1 )。若 f1 0，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負(fù)。若 f1 0，相關(guān)函數(shù)為正負(fù)交替式指數(shù)衰減。對(duì)于arma (p, q) 過(guò)程，p, q 2時(shí)，自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，可能是指數(shù)衰減、正弦衰減或二者的混合衰減。 5、相關(guān)圖（correlogram，或估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，樣本自相關(guān)函數(shù)） 對(duì)于一個(gè)有限時(shí)間序列（x1, x2, , xt）用樣本平均數(shù) = 估計(jì)總體均值 m，用樣本

6、方差 s2 = 估計(jì)總體方差sx2。當(dāng)用樣本矩估計(jì)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，則稱其為相關(guān)圖或估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，記為 rk =, k = 0, 1 , 2, , k, ( k 1時(shí)，。所以ar(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)特征是在k = 1出現(xiàn)峰值（f11 = r1）然后截尾。f11 0 f11 2時(shí)，。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期2以后有截尾特性。對(duì)于ar(p)過(guò)程，當(dāng)k p時(shí)，；當(dāng)k p時(shí)，。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期p以后有截尾特性，因此可用此特征識(shí)別ar(p)過(guò)程的階數(shù)。對(duì)于ma(1)過(guò)程=+ q1 ut-1，有 1/ (1+ q1 l)=， (1- q1 l + q12 l2 - )=， = q1 x t-1 - q12 x t-2 +q13 x t-3 - +