遞推數(shù)列特征方程的來源與應(yīng)用

1、遞推數(shù)列問題能力要求高，內(nèi)在聯(lián)系密切，蘊含著不少精妙的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。無論從思想方法還是從培養(yǎng)能力上來看，重要的是學(xué)會如何去發(fā)現(xiàn)數(shù)列的遞推關(guān)系，學(xué)會如何將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項公式的方法。本文以線性遞推數(shù)列通項求法為例，談?wù)勥@方面的認識。關(guān)于一階線性遞推數(shù)列：其通項公式的求法一般采用如下的參數(shù)法1，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列：設(shè) ，令，即，當(dāng)時可得知數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，將代入并整理，得對于二階線性遞推數(shù)列，許多文章都采用特征方程法2：設(shè)遞推公式為其特征方程為，1、 若方程有兩相異根、，則2、 若方程有兩等根則其中、可由初始條件確定。很明顯，如果將以上結(jié)論作為此類問題的統(tǒng)一解法直接呈現(xiàn)

2、出來，學(xué)生是難以接受的，也是不負責(zé)任的。下面我們結(jié)合求一階線性遞推數(shù)列的參數(shù)法，探討上述結(jié)論的“來源”。設(shè)，則,令 （*）（1） 若方程組（*）有兩組不同的解,則, ,由等比數(shù)列性質(zhì)可得, ,由上兩式消去可得.特別地，若方程組（*）有一對共扼虛根通過復(fù)數(shù)三角形式運算不難求得此時數(shù)列的通項公式為其中、可由初始條件求出。（2） 若方程組（*）有兩組相等的解，易證此時，則，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，所以這樣，我們通過將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法，求得二階線性遞推數(shù)列的通項，若將方程組（*）消去（或）即得此方程的兩根即為特征方程的兩根，讀者不難發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論是完全一致的，這正是特征方程法求遞推數(shù)列通項公式的根源所在。例1、 斐波那契數(shù)列，求通項公式。解 此數(shù)列對應(yīng)特征方程為即，解得， 設(shè)此數(shù)列的通項公式為，由初始條件可知，解之得，所以。例2、 已知數(shù)列且，求通項公式。解 此數(shù)列對應(yīng)特征方程為即，解得， 設(shè)此數(shù)列的通項公式為，由初始條件可知，解之得，所以。例3 已知數(shù)列且，求通項公式。解 此數(shù)列對應(yīng)特征方程為即，解得， 設(shè)此數(shù)列的通項公式為，由初始條件可知，解之得，所以。最后我們指出，上述結(jié)論在求一類數(shù)列通項公式時固然有用，但將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（等差）數(shù)列的方法更為重要。如對于高階線性遞推數(shù)列和分式線性遞推數(shù)列，我們也可借鑒前面的參數(shù)法