中考數(shù)學專題復習(一)一元二次方程[共22頁]

1、專題一：一元二次方程知識要點掃描歸納一 基本概念1. 方程定義：含有未知數(shù)的等式叫方程。2. 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。3. 解方程：求方程的解的過程叫做解方程。4. 一元二次方程的定義只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . 一2 bx c 般形式為 0ax （ a 0）.二、一元二次方程的解法1直接開方法（1）用直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法 . 如果一個一元二次方程,左邊是一個含有未知數(shù)的完全平方式,右邊是一個非負數(shù),就可以用直接開平方法求解 .2配方法（1）用配方法解方程是以配方為手段,以直接開平方法為

2、基礎(chǔ)的一種解題方法 . 是中學數(shù)學中常用的數(shù)學方法 .（2）配方的關(guān)鍵步驟是：在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方 . 理論根據(jù)是：a2 2ab b (a b)22（3）配方的結(jié)果是使方程的一邊化為一個完全平方式, 另一邊為非負實數(shù), 再利用直接開平方法求解 .3公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法 .2 bx c a（2）一元二次方程 0( 0)ax 求根公式是：xb2b2a4ac2 ac（3）在解一元二次方程時,先把方程化為一般開式,確定 a,b, c 的值,在 4 0b 的情況下：代入求根公式即可求解 .4. 因式分解法1 對于在一元二次方程的一邊是 0,而另

3、一邊易于分解成兩個一次因式的積時,可用因式分解法來解這個方程。2 理論依據(jù)： 兩個因式的積等于零, 那么這兩個因式中至少有一個等于零。 例如：如果 (x 1)( x 5) 0 ,那么 x1=0 或 x5=0。因式分解法簡便易行,是解一元二次方程的最常用的方法。3 因式分解法解一元二次方程的一般步驟（1）將方程的右邊化為零；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積；（3）令每個因式分別為零,得兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解。b4形如 ax2 bx 0 a 0 的方程,可用提公因式法求方程的根： 0 0x1 ,x a 。2a 2 bx n 2 2 b5形如 a

4、x m 0 ( ) a 的方程,可用平方差公式把左邊分解。2三、一元二次方程根的判別式：2 bx c a 2一元二次方程 0( 0)ax 的根的判別式 b 4ac：（1） 0 方程有兩個不等實數(shù)根（2） 0 方程有兩個相等實數(shù)根（3） 0 方程無實數(shù)根（4） 0 方程有兩個實數(shù)根 運用根的判別式時要注意 ：關(guān)于 x 的方程 ax2 bx c 0 有兩個實數(shù)根和實數(shù)根的區(qū)別在于：若有兩個實數(shù)根,則 0,且a 0若有實數(shù)根,則分兩種情況： a 0, 0 ； a 0四、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系（韋達定理）1 若一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的兩個實數(shù)根為x1 , x ,則2bx x ,

5、x xaca2 以2 x x x x xx1 , x 為根的一元二次方程可寫成 x 1 2 1 2 022 bx c 23 使用一元二次方程 0ax a 0 的根的判別式 b 4ac解題的前提是二次項系數(shù)a 04 不解方程,求關(guān)于一元二次方程的兩個實數(shù)根x1 ,x 的對稱式的值的方法是先將式子化成只含2x1 x , x1 x2的形式,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求值要特別注意如下公式：22 2 2（1） x1 x x x 2x1x2 ； （2）2 1 21x11x2xx12x x1 2；（3）2 2x1 x x x 4x x ； （4）2 1 2 1 23 3 3x1 x x x 3x x x

6、x ；2 1 2 1 2 1 22 2（5） x1 x x x 4x1 x2 ； （6） x1 x x x 4x1x2 ；2 1 2 2 1 2（7）2 2x1x x x x x x x ； （8）2 1 2 1 2 1 22x1 x x x 2x x 2 x x 2 1 2 1 2 1 2五、實際應(yīng)用：1、知識結(jié)構(gòu)2、知識要點歸納由實際情景加工整理成抽象實際的問題,通過數(shù)學化變成數(shù)學問題 .經(jīng)過求解、檢驗、修正改進等進而產(chǎn)生的問題稱為數(shù)學應(yīng)用問題,數(shù)學應(yīng)用題是經(jīng)過加工的數(shù)學應(yīng)用問題,是呈現(xiàn)在我們中學生面前的數(shù)學應(yīng)用問題 .從數(shù)學應(yīng)用問題到數(shù)學應(yīng)用題作了以下幾個方面的“加工” .（1） 加工“

7、背景” ：讓背景材料為學生所熟悉的材料；讓背景材料較為簡潔 .（2） 加工“數(shù)學”：讓“數(shù)學化”的過程較為簡單,讓各環(huán)節(jié)中使用的數(shù)學思想、方法和知識都是學生所能接受的 .（3） 加工“檢驗”：在問題中的檢驗和討論“實際化”即檢驗數(shù)學結(jié)果是否合乎實際問題,有驗證的意識就可以了 .3 解一元二次方程的數(shù)學應(yīng)用題的一般步驟（1） 找找出題中的等量關(guān)系（2） 設(shè)設(shè)未知數(shù)（3） 列列出方程,即根據(jù)找出的等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式（4） 解解出所列的方程（5） 驗將方程的解代入方程中檢驗,回到實際問題中檢驗（6） 答作答下結(jié)論4、中考改革趨勢一元二次方程的應(yīng)用是中考數(shù)學重點考查的內(nèi)容之一,它的試題背景與

8、二元一次方程組的應(yīng)用、簡單分式方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用一樣,隨著改革的繼續(xù)而更富有時代的氣息,更宣于生活化,更貼近學生的實際 .考點回放1 考察一元二次方程概念1(年鄂爾多斯 )下列方程不是整式方程的是（ ）1A、 3 x 2B、2x 7 0 C、 2 y xy z2 y xy z2x733x122D、 7m 12(年湖北隨州 )下列方程不是一元二次方程的是（ ）1 2 32 yA、 6y 2 1 0 B、 m 1 m2 51 2 1 3p D、x C、 p 010 6 4m3(年陜西西安 )方程 (m 2)x 3m x 1 0是關(guān)于 x 的一元二次方程,則 m 的值為（ ）A、 m 2

9、 B、 m 2 C、m =-2 D、m 22 x4(年武漢 )一元二次方程 5x 3 0,把二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),且使方程的根不變的是（ ）2 x 2 x 2 x 2 xA、 5x 3 0 B、5x 3 0 C、5x 3 0 D、5x 3 02 考察一元二次方程根的概念21.( 江蘇蘇州 ) 若一元二次方程 x (a+2)x+2a=0 的兩個實數(shù)根分別是 3、b,則 a+b= 2 mx n2（ 河北） 已知 x = 1 是一元二次方程 x 0 的一個根,則2 2mn n2m 的值為 2 mx3. （ 廣東珠海） 已知 x1=-1 是方程 5 02。x 的一個根,求 m的值及方程的另一根 x3 考

10、察一元二次方程解法1（四川眉山） 一元二次方程22x 6 0 的解為 _ 2（江蘇無錫） 方程2 3 1 0x x 的解是 3（年上海） 方程 x + 6 = x 的根是 _.4（湖南常德） 方程2 5 6 0x x 的兩根為 ( )A 6 和-1 B-6 和 1 C-2 和-3 D2 和 325（云南楚雄） 一元二次方程 x 40 的解是（ ）A x12,x22 Bx2 Cx2 D x12,x206（河南） 方程2 3 0x 的根是(A) x 3 (B)x1 3, x2 3(C) x 3 （D）x x1 3, 2 37（四川內(nèi)江） 方程 x(x1)2 的解是Ax1 Bx2 Cx11,x22

11、Dx1 1,x228( 江蘇蘇州 )解方程：2x 1 x 12x x2 04 考察一元二次方程判別式2 x1（甘肅蘭州） 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 1) 1 0（m x 有實數(shù)根,則m的取值范圍是 2（ 江蘇連云港）若關(guān)于 x 的方程 x2 mx30 有實數(shù)根,則m 的值可以為_(任意給出一個符合條件的值即可 )23（湖北荊門）如果方程 ax+2x+1=0 有兩個不等實數(shù)根,則實數(shù) a 的取值范圍是4（江蘇蘇州）下列四個說法中,正確的是A一元二次方程2 2x 4x 5 有實數(shù)根； B一元二次方程22 3x 4x 5 有實數(shù)根；2C一元二次方程2 5x 4x 5 有實數(shù)根； D一元二次方程

12、x2+4x+5=a(a 1)有實數(shù)根35（安徽蕪湖）關(guān)于 x 的方程 (a 5)x24x10 有實數(shù)根,則a滿足（）Aa 1 Ba1 且 a5 Ca 1 且 a5 Da56（10 湖南益陽） 一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 有兩個不相等的實數(shù)根,則b 4ac2滿足（ ）2 b 4ac20 b 4ac02 b 4ac20 b 4ac 0 2 + x 1 = 0,下列判斷正確的是（ ）7（年上海） 已知一元二次方程 xA .該方程有兩個相等的實數(shù)根 B.該方程有兩個不相等的實數(shù)根C.該方程無實數(shù)根 D.該方程根的情況不確定8（山東濰坊） 關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 6x2k0

13、有兩不等實根,則實數(shù) k 的取值范圍是（ ）A k92Bk92Ck92Dk929（四川攀枝花） 下列關(guān)于 x的一元二次方程中,有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（ ）2 2 2 2 A x +1=0 B9 x 6x+1=0 Cx Dx10（北京） 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2-4 x+m-1=0 有兩個相等實數(shù)根,求的 m值及方程的根2 x m11（廣東中山） 已知一元二次方程 2 0x （1）若方程有兩個實數(shù)根,求 m 的范圍；（2）若方程的兩個實數(shù)根為x , x2 ,且 x1+3 x2 =3,求 m 的值。112（ 四川成都） 若關(guān)于 x 的一元二次方程2 4 2 0x x k 有兩個實數(shù)

14、根,求 k 的取值范圍及 k 的非負整數(shù)值 .13（年貴州畢節(jié)） 已知關(guān)于 x 的一元二次方程2 (2 1) 2 0x m x m 有兩個實數(shù)根 x1 和 x2 （1）求實數(shù) m 的取值范圍；（2）當2 2x1 x2 0 時,求 m 的值14（ 四川南充） 關(guān)于 x 的一元二次方程2 3 0x x k 有兩個不相等的實數(shù)根（1）求 k 的取值范圍（2）請選擇一個 k 的負整數(shù)值,并求出方程的根15（廣東廣州, 19,10 分） 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2 bx 1 0(a 0) 有兩個相等的實數(shù)根,求2 ab的值。2 2(a 2) b 4216（ 廣西玉林、防城港） （6 分）當實數(shù)

15、 k 為何值時,關(guān)于 x 的方程 x 4x3k0 有兩個相等的實數(shù)根？并求出這兩個相等的實數(shù)根。5 考察一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系1（安徽蕪湖 ）已知 x1、x2為方程 x23x10 的兩實根,則 x138x220_2（ 四川成都） 設(shè)x , x2 是一元二次方程12 3 2 0x x 的兩個實數(shù)根,則2 2x1 3x1x2 x2 的值為_23（湖北鄂州） 已知 、 是一元二次方程 x-4x-3=0 的兩實數(shù)根,則代數(shù)式（ -3）（-3）= 2+4x3=0 的兩個根, 2x1(x22+5x23)+a =2,則 a= 4（江蘇南通） 設(shè) x1、x2 是一元二次方程 x25（山東煙臺） 方程 x -

16、2x-1=0 的兩個實數(shù)根分別為 x1,x2,則（ x1-1 ）（x1-1 ）=_。6 （ 四 川 瀘 州 ） 已 知 一 元 二 次 方 程2 3 1 3 1 0x x 的 兩 根 為 x1 、 x2 , 則1 1x x1 2_.7（ 云南玉溪） 一元二次方程 x 1,x 2, 則 x1+x2 等于2-5x+6=0 的兩根分別是 xA. 5 B. 6 C. -5 D. -68（湖南婁底） 閱讀材料：2若一元二次方程 ax 、x2,則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系： +b x+c=0( a0的) 兩個實根為 x1bax1+x2= ,x1x2=ca根據(jù)上述材料填空：2+4 x+2=0 的兩個實數(shù)根

17、,則 1已知 x1、x2 是方程 xx11+x2=_.29（廣西百色） 方程 x 2x-1 的兩根之和等于 . 2+ px+ q=0 的兩根分別為 x1=2,x2=1,那么 p,q 的值分別是10（山東日照） 如果關(guān)于 x 的一元二次方程 x（A ）3,2 （B）3,-2 （C）2,3 （D）2,311( 四川眉山） 已知方程2 5 2 0x x 的兩個解分別為 x1 、 x2 ,則 x1 x2 x1 x2 的值為A 7 B 3 C7 D32 x 2 m a n n212（ 嵊州市） 已知 m,n是方程 2 1 0 m ,則 a 的 x 的兩根,且 (7 14 )(3 6 7) 8值等于 （

18、）A5 B.5 C.-9 D.913（四川樂山） ：若關(guān)于 x的一元二次方程 x2 2(2 k )x k2 12 0有實數(shù)根 、 （1） 求實數(shù) k 的取值范圍；（2） 設(shè)t ,求 t 的最小值k2 = 2（1m）xm2 的兩實數(shù)根為 x1,x2 14（ 四川綿陽） 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x（1）求 m 的取值范圍；（2）設(shè) y = x1 + x2,當 y 取得最小值時,求相應(yīng) m 的值,并求出最小值2 k x k 2 k15（ 山東淄博） 已知關(guān)于 x 的方程 2( 3) 4 1 0x （1）若這個方程有實數(shù)根,求 k 的取值范圍；（2）若這個方程有一個根為 1,求 k 的值；（3）

19、若以方程 x2 2(k 3) x k2 4k 1 0 的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數(shù)my 的圖象上,求滿足條件的 m 的最小值x6實際應(yīng)用1. (年蘭州市 ) 上海世博會的某紀念品原價 168 元,連續(xù)兩次降價 a %后售價為128 元. 下列所列方程中正確的是2 2A 168(1 a %) 128 B 168 (1 %) 128a2C 168(1 2a %) 128 D 168 (1 %) 128a2（年鐵嶺市）為了美化環(huán)境,某市加大對綠化的投資年用于綠化投資20 萬元,年用于綠化投資25 萬元,求這兩年綠化投資的年平均增長率設(shè)這兩年綠化投資的年平均增長率為x ,根據(jù)題意所列方程

20、為（ ）A220x 25 B 20(1 x) 25C220(1 x) 25 D 220(1 x) 20(1 x) 253（年安徽） 某市年國內(nèi)生產(chǎn)總值（ GDP）比年增長了 12%,由于受到國際金融危機的影響,預(yù)計今年比年增長7%,若這兩年 GDP 年平均增長率為x%,則x%滿足的關(guān)系是 【 】A 12% 7% x% B (1 12%)(1 7%) 2(1 x%)C12% 7% 2 x% D2(1 12%)(1 7%) (1 x%)4（ 青海） 在一幅長為80cm,寬為50cm 的矩形風景畫的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如圖5 所示,如果要使整個掛圖的面積是 5400cm2

21、,設(shè)金色紙邊的寬為x cm,那么 x滿足的方程是（ ） 圖5A2 130 1400 0x x B2 65 350 0x xC2 130 1400 0x x D2 65 350 0x x5（年甘肅慶陽） 如圖3,在寬為20 米、長為30 米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路,余下部分作為耕地若耕地面積需要 551 米2,則修建的路寬應(yīng)為（ ）A 1 米 B1.5 米 C2 米 D 2.5 米6.(年鄂州 )10、某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件 50 萬個,第二季度共生產(chǎn)零件 182 萬個 .設(shè)該廠五、六月份 平均每月的增長率為x,那么 x滿足的方程是（ ） 22A、 B 50 50(1 x) 50 (1

22、x) 18250(1 x) 182C、 50(1+2x) 182 D 50 50(1 x) 50(1 2x) 1827.（江西）為了讓江西的山更綠、水更清,年省委、省政府提出了確保到年實現(xiàn)全省森林覆蓋率達到 63%的目標,已知年我省森林覆蓋率為 60.05%,設(shè)從年起我省森林覆蓋率的年平均增長率為 x,則可列方程（ ）A 60.05 1 2x 63% B60.05 1 2x 63C260.05 1 x 63% D260.05 1 x 638.(寧夏)某旅游景點三月份共接待游客 25 萬人次,五月份共接待游客 64 萬人次,設(shè)每月的平均增長率為 x ,則可列方程為（ ）A225(1 x) 64

23、B225(1 x) 64C264(1 x) 25 D264(1 x) 259.（年蘭州） 年爆發(fā)的世界金融危機, 是自上世紀三十年代以來世界最嚴重的一場金融危機。受金融危機的影響,某商品原價為 200 元, 連續(xù)兩次降價 a% 后售價為 148 元, 下面所列方程正確的是A 2200(1 a%) 148 B2200(1 a%) 148C200(1 2a%) 148 D2200(1 a %) 14810（山西省太原市） 某種品牌的手機經(jīng)過四、 五月份連續(xù)兩次降價, 每部售價由 3200 元降到了 2500 元設(shè)平均每月降價的百分率為 x ,根據(jù)題意列出的方程是 11.（年江蘇?。?某縣年農(nóng)民人均

24、年收入為 7 800 元,計劃到年,農(nóng)民人均年收入達到 9 100 元設(shè)人均年收入的平均增長率為 x ,則可列方程 12.某果農(nóng) 2006 年的年收入為 5 萬元,由于黨的惠農(nóng)政策的落實,年年收入增加到 7.2 萬元,則平均每年的增長率是 _.13.（年包頭） 將一條長為 20cm 的鐵絲剪成兩段,并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形,則這兩個正方形面積之和的最小值是 cm214.(年本溪 )由于甲型 H1N1 流感（起初叫豬流感）的影響,在一個月內(nèi)豬肉價格兩次大幅下降由原來每斤 16 元下調(diào)到每斤 9 元,求平均每次下調(diào)的百分率是多少？設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為 x ,則根據(jù)題意可列方程

25、為 15（臨沂） 某制藥廠兩年前生產(chǎn) 1 噸某種藥品的成本是 100 萬元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步,現(xiàn)在生產(chǎn) 1 噸這種藥品的成本為 81 萬元,則這種藥品的成本的年平均下降率為 _16（ 安徽省中中考 ）在國家下身的宏觀調(diào)控下,某市的商品房成交價由今年 3 月分的 14000 元/2m 下降2到 5 月分的 12600 元/m問 4、5 兩月平均每月降價的百分率是多少？（參考數(shù)據(jù)： 0.9 0 .95 ）如果房價繼續(xù)回落,按此降價的百分率,你預(yù)測到 7 月分該市的商品房成交均價是否會跌破 10000 元/2m ？請說明理由。17. ( 年 浙 江 省 紹 興 市 ) 某公司投資新建了一商場 ,共

26、有商鋪 30 間.據(jù)預(yù)測 ,當每間的年租金定為 10 萬元時,可全部租出 .每間的年租金每增加 5 000 元,少租出商鋪 1 間.該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用 1 萬元,未租出的商鋪每間每年交各種費用 5 000 元.（1）當每間商鋪的年租金定為 13 萬元時 ,能租出多少間？（2）當每間商鋪的年租金定為多少萬元時 ,該公司的年收益（收益租金各種費用）為 275 萬元？18.(年山東聊城 )年我市實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值為 1376 億元,計劃全市國民生產(chǎn)總值以后三年都以相同的增長率一實現(xiàn),并且年全市國民生產(chǎn)總值要達到 1726 億元（1）求全市國民生產(chǎn)總值的年平均增第率（精確到 1%）（

27、2）求年至年全市三年可實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值多少億元？（精確到 1 億元）19（年包頭） 某商場試銷一種成本為每件 60 元的服裝,規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價,且獲利不得高于 45%,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量 y（件）與銷售單價 x（元）符合一次函數(shù) y kx b ,且 x 65 時,y 55； x 75時, y 45（1）求一次函數(shù) y kx b 的表達式；（2）若該商場獲得利潤為 W 元,試寫出利潤 W 與銷售單價 x 之間的關(guān)系式；銷售單價定為多少元時,商場可獲得最大利潤,最大利潤是多少元？（3）若該商場獲得利潤不低于 500 元,試確定銷售單價 x 的范圍20. (年湖州 )隨著人民生活水平的不斷提高,我市家庭轎車的擁有量逐年增加 .據(jù)統(tǒng)計,某小區(qū) 2006 年底擁有家庭轎車 64 輛,年底家庭轎車的擁有量達到 100 輛 .（1） 若該小區(qū) 2006 年底到年底家庭轎車擁有量的年平均增