信號與系統(tǒng)第二章

1、第二章第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一般是采用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一般是采用高階微分方程高階微分方程進(jìn)行描述。進(jìn)行描述。時(shí)域分析：時(shí)域分析：指對系統(tǒng)的分析與計(jì)算全部指對系統(tǒng)的分析與計(jì)算全部在時(shí)間變量領(lǐng)域內(nèi)在時(shí)間變量領(lǐng)域內(nèi) 進(jìn)行，不通過任何變換。進(jìn)行，不通過任何變換。 經(jīng)典分析：經(jīng)典分析：求解系統(tǒng)模型（微分方程）求解系統(tǒng)模型（微分方程） 卷積分析：卷積分析：利用單位沖激響應(yīng)求得利用單位沖激響應(yīng)求得零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)兩種方式兩種方式輸入輸入- -輸出法（端口描述法）輸出法（端口描述法）2.2 2.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（微分方程）的建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（微分方程）的建立 元件約

2、束特性：元件約束特性：表征元件特性的關(guān)系式。表征元件特性的關(guān)系式。 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系，由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系， 即即KVLKVL或或KCLKCL。電感電感電阻電阻 tvRtiR1 d1tLvLti電容電容 ttvCtiCdd根據(jù)根據(jù)KCLKCL titititiCLRS將元件關(guān)系代入，并化簡將元件關(guān)系代入，并化簡 ttitvLttvRttvCdd1dd1dds22二階微分方程二階微分方程例例2-2-1 2-2-1 求并聯(lián)電路的端電壓求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵(lì)與激勵(lì) 間的關(guān)系。間的關(guān)系。 tv tis解：以解：以 作變量，各元件的電壓電流關(guān)系

3、為：作變量，各元件的電壓電流關(guān)系為： tv tisRRiLLiCciab tv)(tiR)(tiL)(tiC 不同性質(zhì)的系統(tǒng)可能具有相同的數(shù)學(xué)模型不同性質(zhì)的系統(tǒng)可能具有相同的數(shù)學(xué)模型。 對于復(fù)雜系統(tǒng)，可以用高階微分方程描述。對于復(fù)雜系統(tǒng)，可以用高階微分方程描述。 機(jī)械位移系統(tǒng)機(jī)械位移系統(tǒng) ttFtkvttvfttvmddddddS22msFfk二階微分方程二階微分方程 與剛體運(yùn)動(dòng)速度與剛體運(yùn)動(dòng)速度 間的關(guān)系可由推導(dǎo)得到：間的關(guān)系可由推導(dǎo)得到： tFS tv)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmm

4、mmmmnnnnnn 若線性系統(tǒng)的若線性系統(tǒng)的激勵(lì)信號為激勵(lì)信號為 ，響應(yīng)為，響應(yīng)為 ，其數(shù)學(xué)模，其數(shù)學(xué)模型可用如下高階微分方程來描述：型可用如下高階微分方程來描述：)(te)(tr 若系統(tǒng)若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則為時(shí)不變的，則C、E均為常數(shù)均為常數(shù)，此方程為，此方程為常常系數(shù)的系數(shù)的n階線性常微分方程。階線性常微分方程。2.3 2.3 用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程0)(d)(dd)(dd)(d11110trCttrCttrCttrCnnnnnn令令 ，代入上式。由于，代入上式。由于 ，且對任意時(shí)間，且對任意時(shí)間t均均成立，因此有：成立，因此有：tAetr)(0nC 齊次解齊次

5、解是齊次微分方程的解，是齊次微分方程的解，是形式為是形式為 的一些指的一些指數(shù)函數(shù)的線性組合。數(shù)函數(shù)的線性組合。tAe01110nnnnCCCC特征方程特征方程 對應(yīng)的對應(yīng)的n個(gè)根個(gè)根 為微分方程的為微分方程的特征根。特征根。n,21 一、齊次解一、齊次解 若若n個(gè)特征根各不相同，則微分方程的齊次解：個(gè)特征根各不相同，則微分方程的齊次解：tntthneAeAeAtr 2121)(nitiieA1 由初始條件決定。由初始條件決定。nAAA ,21 若若有重根，如有重根，如 為為 階重根階重根，則相應(yīng)于，則相應(yīng)于 的重根部分的重根部分將有將有 項(xiàng)：項(xiàng)：1k1ktkiikitkkkketBeBtBt

6、BtB11112211)( 特征方程特征方程 求出特征根求出特征根 齊次解齊次解01216723 0322 3 , 221 重重根根 tthAAtAtr33221ee特征根特征根齊次解齊次解 的的齊齊次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233例例2-32-3：解：解：系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的特征方程二、特解二、特解 特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān)。將激勵(lì)特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān)。將激勵(lì) 代入微分方程的右端，化簡后右端的表達(dá)式稱為代入微分方程的右端，化簡后右端的表達(dá)式稱為“自由自由項(xiàng)項(xiàng)”。根據(jù)自由項(xiàng)的形式可設(shè)定特解的函數(shù)表達(dá)式根據(jù)自由項(xiàng)的形式可

7、設(shè)定特解的函數(shù)表達(dá)式，之后，之后代入方程中，求出特解中的待定系數(shù)。代入方程中，求出特解中的待定系數(shù)。 )(te激勵(lì)函數(shù)激勵(lì)函數(shù) e(t)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解的特解)(常常數(shù)數(shù)E)(常常數(shù)數(shù)Bpt1121ppppBtBtBtBtetBetcostsintBtBsincos21tttpsinetttpcosetDtDtDtDtBtBtBtBtpppptppppsinecose11211121 與幾種典型激勵(lì)函數(shù)對應(yīng)的特解形式與幾種典型激勵(lì)函數(shù)對應(yīng)的特解形式 tettetrttrttrdd3dd2dd22已知：已知： 分別求方程的特解。分別求方程的特解。 ,e 2 ; 12ttette例例

8、2-42-4 給定微分方程給定微分方程 3221pBtBtBtr為使等式兩端為使等式兩端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端將將平衡，特解表達(dá)式為：平衡，特解表達(dá)式為： 代入方程代入方程ttBBBtBBtB2322 34323212121解：解：根據(jù)等式兩端對應(yīng)冪次的系數(shù)相等，有根據(jù)等式兩端對應(yīng)冪次的系數(shù)相等，有032223413321211BBBBBB2710 ,92 ,31321BBB 271092312ptttr 為待定系數(shù)為待定系數(shù)321,BBB ， 特解特解tttttBBBeee3e2e31B trAtrnitip1ie代入方程代入方程tte31)(r p

9、齊次解和特解相加即為方程的完全解齊次解和特解相加即為方程的完全解 tteetpBetr)(三、借助初始條件求待定系數(shù)三、借助初始條件求待定系數(shù) 對于對于n階微分方程，若激勵(lì)階微分方程，若激勵(lì) 是是 時(shí)刻加入的，時(shí)刻加入的，則求解區(qū)間為則求解區(qū)間為 。一組邊界條件可以給定為。一組邊界條件可以給定為響應(yīng)及響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間內(nèi)任一時(shí)刻其各階導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間內(nèi)任一時(shí)刻 處的值處的值，即，即)(te0t t00t)(),(),(),(01102200trdtdtrdtdtrdtdtrnn iA通常取通常取 ，有，有00t)0(),0(),0(),0(1122rdtdrdtdrdtdrnn 記為記為)

10、1, 1 , 0()0( nkrk初始條件初始條件由由 trAtrnitip1ie 借助初始條件，即可建立聯(lián)立方程組，確定系數(shù)借助初始條件，即可建立聯(lián)立方程組，確定系數(shù) ，從而獲得惟一解。從而獲得惟一解。iA 從系統(tǒng)的角度來看，從系統(tǒng)的角度來看， 是系統(tǒng)的是系統(tǒng)的完全響應(yīng)完全響應(yīng)，由兩部分，由兩部分組成。特征方程的特征根被稱為系統(tǒng)的組成。特征方程的特征根被稱為系統(tǒng)的“固有頻率固有頻率”,因因此可以說此可以說齊次解齊次解的函數(shù)形式僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，而的函數(shù)形式僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，而與激勵(lì)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的與激勵(lì)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)自由響應(yīng)或或固有響應(yīng)固有響應(yīng)；特解

11、特解的形式由激勵(lì)信號確定，稱為的形式由激勵(lì)信號確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)。 )(tr完全響應(yīng)完全響應(yīng)自由響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)解：解： 列寫微分方程列寫微分方程+ -+ -+ -)(1tv)(2tv)(te1R2R1C2CF21F3111)0()2sin(6)(6)(7)(22222tttvdttdvdttvd 求齊次解求齊次解 特征方程特征方程0672 特征根特征根6, 121 齊次解齊次解tteAeA621例例2-52-5 如圖所示電路，已知激勵(lì)信號如圖所示電路，已知激勵(lì)信號 ， 初始時(shí)刻電容端電壓均為零初始時(shí)刻電容端電壓均為零，求輸出信號，求輸出信號 的表達(dá)式。的表達(dá)式。)()2s

12、in()(tutte)(2tv 查表可知特解查表可知特解+ -+ -+ -)(1tv)(2tv)(te1R2R1C2CF21F3111例例2-5 2-5 如圖所示電路，已知激勵(lì)信號如圖所示電路，已知激勵(lì)信號 ， 初始時(shí)刻電容端電壓均為零初始時(shí)刻電容端電壓均為零，求輸出信號，求輸出信號 的表達(dá)式。的表達(dá)式。)()2sin()(tutte)(2tv)2cos()2sin(21tBtB 代入方程代入方程)0()2sin(6)(6)(7)(22222tttvdttdvdttvd求得求得5021,50321BB特解：特解：)2cos(5021)2sin(503tt + -+ -+ -)(1tv)(2tv

13、)(te1R2R1C2CF21F3111例例2-5 2-5 如圖所示電路，已知激勵(lì)信號如圖所示電路，已知激勵(lì)信號 ， 初始時(shí)刻電容端電壓均為零初始時(shí)刻電容端電壓均為零，求輸出信號，求輸出信號 的表達(dá)式。的表達(dá)式。)()2sin()(tutte)(2tv 完全完全解解)2cos(5021)2sin(503)(6212tteAeAtvtt確定初始條件確定初始條件0)0(2v電容無電流2, 0)0(dtdv02536050212121AAAA25121A5032A)0()2cos(5021)2sin(5035032512)(2622ttBteAetvtt完全解完全解= =齊次解齊次解+ +特解特解(

14、A(A待定）待定）已定系數(shù)已定系數(shù)A A的完全解的完全解 系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng) 應(yīng)用元件電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律應(yīng)用元件電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律列寫微分方程列寫微分方程將聯(lián)立微分方程化為一元高階微分方程將聯(lián)立微分方程化為一元高階微分方程 經(jīng)典法對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析經(jīng)典法對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析齊次解齊次解 ( (系數(shù)系數(shù)A A待定待定） 特解特解tAe初始條件初始條件 為了區(qū)分跳變前后的狀態(tài)，以為了區(qū)分跳變前后的狀態(tài)，以“ ”“ ”表示激勵(lì)信號接表示激勵(lì)信號接入之前入之前的瞬時(shí)，以的瞬時(shí)，以“ ”“ ”表示激勵(lì)接入以后表示激勵(lì)接入以后的瞬時(shí)。的瞬時(shí)。00相對應(yīng)地，有兩組狀態(tài)

15、：相對應(yīng)地，有兩組狀態(tài)： 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr 激勵(lì)信號激勵(lì)信號 在在 時(shí)刻加入系統(tǒng)，響應(yīng)的求解區(qū)間時(shí)刻加入系統(tǒng)，響應(yīng)的求解區(qū)間為為 。由于。由于激勵(lì)信號的作用，響應(yīng)激勵(lì)信號的作用，響應(yīng) 及其各階導(dǎo)及其各階導(dǎo)數(shù)有可能在數(shù)有可能在 時(shí)刻發(fā)生跳變。時(shí)刻發(fā)生跳變。0t t00t)(te)(tr) 1, 1 , 0( nk2.4 2.4 起始點(diǎn)的跳變起始點(diǎn)的跳變- -從從 到到 狀態(tài)轉(zhuǎn)換狀態(tài)轉(zhuǎn)換00起始狀態(tài)（起始狀態(tài)（ 狀態(tài)）狀態(tài)）0初始條件（初始條件（ 狀態(tài)）狀態(tài)）0 由于激勵(lì)的影響，從由于激勵(lì)的影響，

16、從 到到 ，相應(yīng)的狀態(tài)可能，相應(yīng)的狀態(tài)可能發(fā)生了變化，這兩組狀態(tài)值有可能是不一樣的。發(fā)生了變化，這兩組狀態(tài)值有可能是不一樣的。 0t 0t “ “ 狀態(tài)狀態(tài)”包含了系統(tǒng)的全部過去信息，一般在題目包含了系統(tǒng)的全部過去信息，一般在題目中會(huì)給出。中會(huì)給出。0如何根據(jù)已知的如何根據(jù)已知的“ “ 狀態(tài)狀態(tài)”和激勵(lì)信號來求得和激勵(lì)信號來求得“ “ 狀態(tài)狀態(tài)”？00 確切地說，確切地說，響應(yīng)的求解區(qū)間應(yīng)該是從響應(yīng)的求解區(qū)間應(yīng)該是從 開始開始。因此，。因此，應(yīng)使用應(yīng)使用“ 狀態(tài)狀態(tài)”作為初始條件來確定響應(yīng)中的系數(shù)作為初始條件來確定響應(yīng)中的系數(shù) 。00iA 一般情況下，換路期間電容兩端的電壓和流過電感中一般情況

17、下，換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變，即的電流不會(huì)發(fā)生突變，即00 ,00LLCCiivv 對于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的對于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的 狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況。能元件的儲能情況。0 當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從 到到 狀態(tài)有沒狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)中是否包含有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)中是否包含 及其各及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。 0 0 t 有沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫作用于有沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫作用于電感時(shí)，電感時(shí)， 到到 狀態(tài)會(huì)發(fā)生跳變。狀態(tài)會(huì)發(fā)生跳變

18、。 00系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性解：解：根據(jù)根據(jù)KVLKVL 及元件特性，有及元件特性，有+ -+ -)(teRC)(tvR例例2-62-6 RC RC一階電路，一階電路，無儲能，起始電壓和電流都為無儲能，起始電壓和電流都為0 0。 ，求，求 系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng) 。)()(tute0t)(tvRtRRtedRvCtv)()(1)(即即dttdetvRCdttdvRR)()(1)(采用時(shí)域經(jīng)典法，齊次解為采用時(shí)域經(jīng)典法，齊次解為RCtAe 由于由于)()(tdttde在在 時(shí)為時(shí)為0，故，故特解為特解為0。0t因此因此RCtRAetv)(+ -+ -)(teRC)(tvR例例2

19、-6 RC2-6 RC一階電路，一階電路，無儲能，起始電壓和電流都為無儲能，起始電壓和電流都為0 0。 ，求，求 系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng) 。)()(tute0t)(tvR0)0(, 0)0(CRvv1)0(Rv 由由RCtRAetv)(求得求得1A 因此因此)0()(tetvRCtR0)0(Cv ttrtrt33dd 0,0rr求求已已知知例例： 在在 中中 時(shí)刻有時(shí)刻有 tr0 t tu 9 t 3方程右端含方程右端含 tttr 3dd中必含中必含 ttr 3中包含中包含 t 方程右端不含方程右端不含 ttrtttr 939dd中的中的以平衡以平衡必含必含 中的中的 trtdd t 9 根據(jù)微

20、分方程左、右兩端的各階奇異函數(shù)應(yīng)保持平衡根據(jù)微分方程左、右兩端的各階奇異函數(shù)應(yīng)保持平衡來確定初始條件。來確定初始條件。900rr 表示表示 到到 的一個(gè)單位跳變。的一個(gè)單位跳變。00)(tut012在在 中中 時(shí)刻有時(shí)刻有 根據(jù)前面所推根據(jù)前面所推 tr0 t tu 9900rr意味著意味著 如圖所示：在如圖所示：在 和和 時(shí)都為常數(shù)，只在時(shí)都為常數(shù)，只在 時(shí)刻有一個(gè)單位跳變，時(shí)刻有一個(gè)單位跳變，求導(dǎo)后即為求導(dǎo)后即為 。0t0t0t t )(tu 可可知知由由方方程程ttrtrt 33dd 項(xiàng)，項(xiàng)，方程右端含方程右端含t ttubtatuctbta333900brr tuctbtatrtdd令

21、令 tubtatr則則代入方程代入方程因此因此900rr03033bcaba2793cba與左端的最高階項(xiàng)與左端的最高階項(xiàng) 對應(yīng)對應(yīng))(trdtd兩邊系數(shù)平衡相等兩邊系數(shù)平衡相等dttdetvRCdttdvRR)()(1)( 有有)()(1)(ttvRCdttdvRR可知左端最高階項(xiàng)可知左端最高階項(xiàng) 中應(yīng)包含中應(yīng)包含dttdvR)( t 意味著意味著 在在0時(shí)刻發(fā)生了跳變，且跳變值為時(shí)刻發(fā)生了跳變，且跳變值為1。)(tvR 因此因此11)0()0(RRvv+ -+ -)(teRC)(tvR將將 代入方程代入方程)()(tute解：根據(jù)解：根據(jù)KCLKCL及元件關(guān)系，及元件關(guān)系，列寫方程并化簡列

22、寫方程并化簡例例2-72-7 并聯(lián)電路并聯(lián)電路, ,系統(tǒng)無儲能，即系統(tǒng)無儲能，即 ，求，求 。 0)0()0()0(LCRiii)()(ttiS)(tiL )(11dd1dd22tLCtiLCttiRCttiLLL 特征方程特征方程0112LCRC 有兩個(gè)不同的特征根有兩個(gè)不同的特征根21,齊次解齊次解tteAeA2121方程右端方程右端 在在 時(shí)為時(shí)為0，因此，因此特解為特解為0。)(1tLC0tttLeAeAti2121)( tisRRiLLiCciab tv)(tiL)(tiC)(tiR )(11dd1dd22tLCtiLCttiRCttiLLL求初始條件以確定求初始條件以確定21, A

23、A包含包含 22ddttiL)(1tLC ttiLdd在在 時(shí)刻有跳變值時(shí)刻有跳變值0tLC1 在在 時(shí)無跳變，即時(shí)無跳變，即)(tiL0t0)0()0(LLii即即LCLCdtditiLL11)0(d0d為為0 tisRRiLLiCciab tv)(tiL)(tiC)(tiR例例2-72-7 并聯(lián)電路并聯(lián)電路, ,系統(tǒng)無儲能，即系統(tǒng)無儲能，即 ，求，求 。 0)0()0()0(LCRiii)()(ttiS)(tiL 激勵(lì)為零時(shí)，激勵(lì)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)（僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)（ 狀態(tài)）引起的狀態(tài)）引起的響應(yīng)響應(yīng)，記為，記為 。滿足方程。滿足方程0)(trzi0)(d)(dd)(dd)(d1

24、1110trCttrCttrCttrCzinzinnzinnzin一、一、零輸入零輸入響應(yīng)響應(yīng)及起始狀態(tài)及起始狀態(tài) ，是齊次解的一部分。，是齊次解的一部分。) 1, 1 , 0()0( nkrk nktzikzikeAtr1 由于沒有激勵(lì)的作用，因此系統(tǒng)狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化，由于沒有激勵(lì)的作用，因此系統(tǒng)狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化，即即 ，系數(shù)，系數(shù) 可由可由 確定。確定。)0()0(kkrrzikA)0(kr2.5 2.5 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)二、二、零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng) 不考慮起始狀態(tài)，即認(rèn)為起始狀態(tài)為零，不考慮起始狀態(tài)，即認(rèn)為起始狀態(tài)為零，僅由外加激僅由外加激勵(lì)勵(lì) 所引起的響應(yīng)所

25、引起的響應(yīng)，記為，記為 。滿足方程。滿足方程)(te)(trzs)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmzsnzsnnzsnnzsn及及起始狀態(tài)起始狀態(tài) ，由一部分齊次解和，由一部分齊次解和特解組成。特解組成。) 1, 1 , 0(0)0( nkrk tBeAtrnktzskzsk1 tBeAeAnktzsknktzikkk11 = 暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)+ 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(Transient+Steady-state)自由響應(yīng)自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng) (Natural + forced)

26、 tBeAtrnktkk1零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)(Zero-input + Zero-state)系統(tǒng)完全響應(yīng)的分解系統(tǒng)完全響應(yīng)的分解 自由響應(yīng)和零輸入響應(yīng)都是齊次方程的解。自由響應(yīng)和零輸入響應(yīng)都是齊次方程的解。 二者的系數(shù)各不相同：二者的系數(shù)各不相同： 僅由系統(tǒng)的僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)起始狀態(tài)決定，而決定，而 卻由卻由初始條件初始條件（即起始狀態(tài)和激勵(lì)信號）確定。（即起始狀態(tài)和激勵(lì)信號）確定。zikAkA 若系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，則零輸入響應(yīng)為零若系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，則零輸入響應(yīng)為零。但在激勵(lì)。但在激勵(lì)信號的作用下，自由響應(yīng)并不為零，即自由響應(yīng)中包含了信號的作用下，自由響應(yīng)并不

27、為零，即自由響應(yīng)中包含了零輸入響應(yīng)和一部分的零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)和一部分的零狀態(tài)響應(yīng)。 零輸入響應(yīng)與外加激勵(lì)無關(guān)零輸入響應(yīng)與外加激勵(lì)無關(guān)。不管外加激勵(lì)如何變化，。不管外加激勵(lì)如何變化，一個(gè)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是固定的、不變的，且從一個(gè)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是固定的、不變的，且從 時(shí)刻到時(shí)刻到 時(shí)刻不跳變。時(shí)刻不跳變。00解：解： 特征根特征根3齊次解為齊次解為tAe3完全響應(yīng)完全響應(yīng)1)(3 tAetr例例2-8:2-8: 已知系統(tǒng)已知系統(tǒng))(3)(3)(tetrdttdr起始狀態(tài)起始狀態(tài)23)0(r ，求系統(tǒng)的自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入、零狀，求系統(tǒng)的自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入、零狀態(tài)及完全響應(yīng)。態(tài)

28、及完全響應(yīng)。)()(tute 在在 時(shí)無跳變，即時(shí)無跳變，即)(tr0t23)0()0(rr231A21A完全響應(yīng)完全響應(yīng)121)(3 tetr自由響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)特解為特解為1B零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 根據(jù)定義根據(jù)定義 tzieAtr31由起始狀態(tài)得由起始狀態(tài)得231A tzietr323根據(jù)定義根據(jù)定義 ，滿足起始狀態(tài)為，滿足起始狀態(tài)為0 0 132 tzseAtr 已知已知 在在 時(shí)無跳變，即時(shí)無跳變，即)(tr0t0)0()0(zszsrr12A 13 tzsetr完全響應(yīng)完全響應(yīng)123)(33tteetr1213 te例例2-8:2-8: 已知系統(tǒng)已知系統(tǒng))(3)(3)(t

29、etrdttdr起始狀態(tài)起始狀態(tài)23)0(r ，求系統(tǒng)的自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入、零狀，求系統(tǒng)的自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入、零狀態(tài)及完全響應(yīng)。態(tài)及完全響應(yīng)。)()(tute零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的響應(yīng)分量。隨著時(shí)間增：完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的響應(yīng)分量。隨著時(shí)間增 長，將趨近于零。（長，將趨近于零。（瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)）121)(3 tetr暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：完全響應(yīng)中去掉暫態(tài)響應(yīng)，保留下來的響應(yīng)分：完全響應(yīng)中去掉暫態(tài)響應(yīng)，保留下來的響應(yīng)分 量。量。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零起始

30、狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時(shí)不變的，且是因果的。的條件下，系統(tǒng)才是線性時(shí)不變的，且是因果的。三、對系統(tǒng)三、對系統(tǒng)線性、時(shí)不變性線性、時(shí)不變性的進(jìn)一步認(rèn)識的進(jìn)一步認(rèn)識 如果起始狀態(tài)不為零，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)中如果起始狀態(tài)不為零，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)中存在零輸存在零輸入響應(yīng)入響應(yīng)分量，導(dǎo)致完全響應(yīng)對外加激勵(lì)分量，導(dǎo)致完全響應(yīng)對外加激勵(lì) 不滿足疊加性不滿足疊加性與均勻性，也不滿足時(shí)不變性，因而是非線性時(shí)變系統(tǒng)。與均勻性，也不滿足時(shí)不變性，因而是非線性時(shí)變系統(tǒng)。同樣，由于零輸入響應(yīng)分量的存在，導(dǎo)致同樣，由于零輸入響應(yīng)分量的存在，導(dǎo)致響應(yīng)并不完全都響應(yīng)并不完全都是由激勵(lì)來引發(fā)是由激勵(lì)來引發(fā)的，因而系統(tǒng)也是

31、非因果的。的，因而系統(tǒng)也是非因果的。)(te 響應(yīng)可分解性響應(yīng)可分解性 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 可對線性系統(tǒng)的定義加以可對線性系統(tǒng)的定義加以擴(kuò)展擴(kuò)展。由常系數(shù)線性微分方。由常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)在程描述的系統(tǒng)在起始狀態(tài)不為零起始狀態(tài)不為零時(shí)，也可以是時(shí)，也可以是線性線性的，只的，只要滿足以下條件：要滿足以下條件：時(shí)不變特性只是針對零狀態(tài)響應(yīng)而言時(shí)不變特性只是針對零狀態(tài)響應(yīng)而言 滿足零狀態(tài)線性滿足零狀態(tài)線性 當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài) 響應(yīng)對于各激勵(lì)信號呈線性。響應(yīng)對于各激勵(lì)信號呈線性。 滿足零輸入線性滿足零輸入線性 當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的

32、零輸入響應(yīng)當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 對于各起始狀態(tài)呈線性。對于各起始狀態(tài)呈線性。 )()()(zszi1trtrtr)()2sin(2e 3tutt解解： 設(shè)零輸入響應(yīng)為設(shè)零輸入響應(yīng)為 ，激勵(lì)為，激勵(lì)為 時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng) 為為 ，則，則)(trzi)(trzs)(te)()2sin(e23tutt)(2)()(zszi2trtrtr)()()(0zszi3ttrtrtr)()22sin(e)(e300)(330ttutttuttt tuttutt2sine5 . 0e3233解得解得)(e3)(3zitutrt)()2sin(e)(3zstuttrt tutt2sin5 .

33、0e5 . 53)(5 . 0)(2)(zszi4trtrtr)()(zszitrtr)()2sin(e23tutt)(2)(zszitrtr)()2sin(2e 3tutt 起始狀態(tài)增大起始狀態(tài)增大1倍，激勵(lì)為倍，激勵(lì)為 時(shí)的全響應(yīng)為時(shí)的全響應(yīng)為)(5 . 0te起始狀態(tài)不變，激勵(lì)為起始狀態(tài)不變，激勵(lì)為 時(shí)的全響應(yīng)時(shí)的全響應(yīng) 為為)(0tte)(3tr一、定義一、定義單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)在單位階躍信號：系統(tǒng)在單位階躍信號 作用下產(chǎn)生的作用下產(chǎn)生的 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，簡稱，簡稱“階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)”，記為，記為 。)(tu)(tg2.6 2.6 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)

34、單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)：系統(tǒng)在單位沖激信號：系統(tǒng)在單位沖激信號 作用下產(chǎn)生的作用下產(chǎn)生的 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，簡稱，簡稱“沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)”，記為，記為 。)(th)(t響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)( (最高階為最高階為n次次) )對于線性時(shí)不變系統(tǒng)對于線性時(shí)不變系統(tǒng), ,可以用一個(gè)可以用一個(gè)高階微分方程高階微分方程描述描述: : 激勵(lì)及其各階導(dǎo)數(shù)激勵(lì)及其各階導(dǎo)數(shù)( (最高階為最高階為m次次) )令令 e(t)= (t) 則則 r(t)=h(t)二、沖激響應(yīng)的求解二、沖激響應(yīng)的求解)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110tEttEttEttEthCt

35、thCtthCtthCmmmmmmnnnnnn)(d)(dd)(dd)(d11110trCttrCttrCttrCnnnnnn)(d)(dd)(dd)(d11110teEtteEtteEtteEmmmmmm若特征根為簡單根（若特征根為簡單根（無重根的單根無重根的單根）)(e)(1tuAthnitii是是 時(shí)的響應(yīng)時(shí)的響應(yīng)0t 與特征根有關(guān)與特征根有關(guān) 由于由于 及其導(dǎo)數(shù)在及其導(dǎo)數(shù)在 時(shí)都為零，因而方程式右時(shí)都為零，因而方程式右端的端的自由項(xiàng)恒等于零自由項(xiàng)恒等于零，這樣系統(tǒng)的，這樣系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。的形式相同。 具體表達(dá)式與兩個(gè)因素有關(guān)：具體表達(dá)式與兩個(gè)因

36、素有關(guān)：0t t )(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110tEttEttEttEthCtthCtthCtthCmmmmmmnnnnnn 時(shí)都為時(shí)都為0 00t :及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)包含時(shí)，當(dāng)；中應(yīng)包含時(shí)，當(dāng)及其各階導(dǎo)數(shù)；不含時(shí)，當(dāng)tthmntthmntthmn 與與n、m相對大小有關(guān)相對大小有關(guān) )(),(),(1tttnmnm )(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110tEttEttEttEthCtthCtthCtthCmmmmmmnnnnnn 把把 的表達(dá)式直接代入方程中，利用兩端奇異函數(shù)的表達(dá)式直接代入方程中，利用兩端奇異

37、函數(shù)系數(shù)匹配可直接確定相應(yīng)系數(shù)系數(shù)匹配可直接確定相應(yīng)系數(shù) ，無需使用，無需使用 狀態(tài)。狀態(tài)。)(th0例例2-92-9 已知系統(tǒng)已知系統(tǒng))(2)()(3)(4)(22tedttdetrdttdrdttrd求沖激響應(yīng)求沖激響應(yīng) 。)(th解：解：22( )( )43 ( )( )2 ( )d h tdh th tttdtdt特征根特征根 ，且，且3, 121mn 因此因此)()()(321tueAeAthtt)()()()3()(321321teAeAtueAeAthtttt)()()()3(21321tAAtueAeAtt)()9()()3()()()(3212121 tueAeAtAAtAA

38、thtt代入方程并比較兩邊的系數(shù)，可得代入方程并比較兩邊的系數(shù)，可得21,2121AA)()(21)(3tueethtt特征根特征根 ，且，且 ，方程兩邊階次相同，方程兩邊階次相同5mn 代入方程，有代入方程，有解：解：dttdthdttdh)(2)(5)(因此因此)()()(251tAtueAtht)(2)(5)(5)()()(52512151ttAtueAtAtAtueAtt205221AAA求得求得2,1021AA)(2)(10)(5ttuetht例例2-6-1 2-6-1 已知系統(tǒng)已知系統(tǒng) ，求沖激響應(yīng)，求沖激響應(yīng) 。dttdetrdttdr)(2)(5)()(th 根據(jù)階躍響應(yīng)的定義

39、，可知階躍響應(yīng)滿足方程根據(jù)階躍響應(yīng)的定義，可知階躍響應(yīng)滿足方程三、階躍響應(yīng)的求解三、階躍響應(yīng)的求解)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110tuEttuEttuEttuEtgCttgCttgCttgCmmmmmmnnnnnn及起始狀態(tài)及起始狀態(tài)) 1, 1 , 0(0)0( nkgk 在方程右端的自由項(xiàng)中除在方程右端的自由項(xiàng)中除 及其各階導(dǎo)數(shù)外，及其各階導(dǎo)數(shù)外，還有還有 階躍函數(shù)，因此在階躍響應(yīng)的表示式中，階躍函數(shù)，因此在階躍響應(yīng)的表示式中，除齊次解外，還除齊次解外，還應(yīng)有特解項(xiàng)。應(yīng)有特解項(xiàng)。)(t1.1.直接求解直接求解0 時(shí)都為時(shí)都為0 00t tudtd

40、t )( tgdtdth)(線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微、積分微、積分特性特性2.2.借助沖激響應(yīng)求解借助沖激響應(yīng)求解ttud)()(或或或或thtgd)()(對于因果系統(tǒng)，對于因果系統(tǒng)，積分下限為積分下限為0 因果系統(tǒng)的充要條件：因果系統(tǒng)的充要條件： 時(shí)，沖激響應(yīng)（或階躍響應(yīng)）為零。時(shí)，沖激響應(yīng)（或階躍響應(yīng)）為零。0t2.7 2.7 卷積卷積一、定義一、定義 兩個(gè)函數(shù)兩個(gè)函數(shù) 和和 ，卷積積分為卷積積分為)(1tf)(2tf d)(2121tfftftf d)(1212tfftftf或或 d)(2121tfftftf二、利用卷積求系統(tǒng)二、利用卷積求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 激勵(lì)信號

41、可用沖激信號的組合表示激勵(lì)信號可用沖激信號的組合表示 dtete 作用到作用到?jīng)_激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 的線性時(shí)不變系統(tǒng)，的線性時(shí)不變系統(tǒng)，則系統(tǒng)響應(yīng)則系統(tǒng)響應(yīng))(th teHtr)( dteH dtHe dthe線性變換線性變換 thte trzs三、卷積運(yùn)算三、卷積運(yùn)算 d)(2121tfftftf 將將 沿沿 軸平移，平移量為軸平移，平移量為 ，得，得 。 的定義的定義區(qū)間為區(qū)間為 ，因此因此 是沿著是沿著 軸的正方向由軸的正方向由 向向 平移平移，在移動(dòng)過程中，與，在移動(dòng)過程中，與 相乘、積分。相乘、積分。)(2ft)(2tftt)(2tf)(1f 自變量代換，由自變量代換，由 改為改為t

42、)()()()(2211ftfftf， 反褶、移位反褶、移位)()()(222tfff移位反褶 兩信號重疊部分相乘兩信號重疊部分相乘)()(21tff 乘積積分乘積積分d)(. )(21tfft需要分情況確定積需要分情況確定積分的上下限，積分分的上下限，積分結(jié)果為結(jié)果為 的函數(shù)的函數(shù)tOt tf1111 O 1f111 t例例2-7-12-7-1Ot tf2323O 2f3 23)30(2)(1011)(21tttftttfO tf2233ttttt ：移位量：移位量 未移動(dòng)未移動(dòng))(2f0t0t0t 右移右移)(2f 左移左移)(2fO 1f111 的定義區(qū)間為的定義區(qū)間為 ，因此因此 是沿

43、著是沿著 軸軸的正方向的正方向從左向右平移，從左向右平移，得到得到 。tt)(2f)(2tf3 tt tf2兩波形沒有重疊部分，二者乘積為兩波形沒有重疊部分，二者乘積為0 0，即積分為，即積分為0 0 021tff 0)(21tftftg1t d)(2121tfftftfO 1f111 3 tt tf2O 1f111 d)()()(211tfftgtd211tt1422tt41242tt11t d)(2121tfftftf3 tt tf2O 1f111 3 tt tf2O 1f111 3 tt42t21ttttgd21)(11d)(21)(13ttgt2242ttO 1f111 0tg4t d

44、)(2121tfftftf3 tt tf2elsetttttttttg04222421114124)(22Ot tf1111 )(tgtO2421 1 卷積中積分限的確定取決于兩個(gè)圖形重疊部分的范圍。卷積中積分限的確定取決于兩個(gè)圖形重疊部分的范圍。 卷積結(jié)果所占有的時(shí)寬等于兩個(gè)信號各自時(shí)寬的總和。卷積結(jié)果所占有的時(shí)寬等于兩個(gè)信號各自時(shí)寬的總和。Ot tf2323解：解：d)()()( thetrd)(e)2()(e)(21tuuut例例2-7-2:2-7-2: 已知已知 ，求，求 。 )2()(e)( ,2tututetuethtt tethd)()2(ed)()(ee22tuuetuutt

45、tutt02deed)()(ee2tuut)2(dee22tuttd)()2(e2tuuet )2(deedee2202tututttt)2(ee2)(ee2)1(22tututtttd)()2(ed)()(ee)(22tuuetuutrtt 分配律分配律)()()()()()()(3121321tftftftftftftf)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)(th)()()()()(21thtfthtftr)()()(21ththtf)()(1thtf)()(2thtf)()(thtf thth21 交換律交換律)()()()(1221tftftftf一、代數(shù)運(yùn)算一

46、、代數(shù)運(yùn)算2.8 2.8 卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì) 結(jié)合律結(jié)合律 )()()()()()(321321tftftftftftf 串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激的沖激響應(yīng)等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。響應(yīng)的卷積。)(th)(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf )()()(21ththtf )()(1thtf)()()()(21ththtftr)()(thtf)()(21thth二、微分與積分二、微分與積分)()(21tftfdtd或或)()()()(2121tfdttdftftfdtd 兩信號卷積后求導(dǎo)等于其中一信號的導(dǎo)數(shù)與另一信號兩信號卷積后求

47、導(dǎo)等于其中一信號的導(dǎo)數(shù)與另一信號的卷積。的卷積。 微分性微分性dttdftf)()(21dtffdtd)()(21ddttdff)()(21 微積分性微積分性 兩信號卷積后求積分等于其中一信號的積分與另一信兩信號卷積后求積分等于其中一信號的積分與另一信號的卷積。號的卷積。 積分性積分性dttdfdfdfdttdftftftt)(*)()(*)()()(212121用于求導(dǎo)的信號不能為常數(shù)用于求導(dǎo)的信號不能為常數(shù)若若)()()(21tftfts 則則)()()()(2)(1)(tftftsjiji 取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次，取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次，取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分次數(shù)。次數(shù)。j

48、i,ttdftfdff)()()()(2121tdftf)()(12推廣：推廣：)()()(2121tttfttttf )()()(tfttfkk)()()(00ttftttf tftftfttfd d )()()(00ttftttfkk三、與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積三、與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積)( )()()()(tfttfdtdttftttdfdfdtftutf)()()()()()()( 為整數(shù)：正求導(dǎo)、負(fù)積分為整數(shù)：正求導(dǎo)、負(fù)積分k)()()(ttututu) 1() 1()() 1(tuttutu)()()(ttt)(2tf例例2-8-12-8-1 已知已知 、 ，求，求 ，畫出其

49、波形。，畫出其波形。)(1tf )(21tftf)(1tf110-1t)(2tf03t(1)(1)解：解：則則 ) 3()()()() 3()()()(11121ttfttftttftftf) 3()()(2tttf) 3()(11tftf110-1t243例例2-8-22-8-2 已知波形如圖，求已知波形如圖，求 ，并畫出其波形。，并畫出其波形。解：解：)()(thte)(te20123t)(th1-1012t)()( )()()1(thtethte(2)( te0123t(2)(1th012tt2 )()(thte0123-245解：解：例例2-8-32-8-3 已知波形如圖，求已知波形如圖，求 ，并畫出其波形。，并畫出其波形。)