線性方程組的消元解法

1、文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)1 線性方程組的 消元解法第三章第三章 線性代數(shù)初步線性代數(shù)初步2 矩陣及其運(yùn)算文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 線性代數(shù)線性代數(shù)作為獨(dú)立的學(xué)科分支直到20世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。 最古老的線性代數(shù)問題是線性方程組的求解線性方程組的求解，在中國古代的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)方程章中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 線性代數(shù)線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，比如“以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時一個很自然的想法。此外，很多實(shí)際問題

2、的處理，最后往往歸結(jié)為線性問題，它比較容易處理；同時它也是研究理論物理和理論化學(xué)等不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識。 隨著研究線性方程組線性方程組和變量的線性變換變量的線性變換問題的深入，矩陣在1819世紀(jì)期間應(yīng)運(yùn)而生，為處理線性問題線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數(shù)線性代數(shù)的發(fā)展。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)本節(jié)的主要內(nèi)容本節(jié)的主要內(nèi)容1、線性方程組、線性方程組11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb解的討論及其求解方法解的討論及其求解方法（m, n 未必相等）。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)2、數(shù)表、數(shù)表mnmmnnaaa

3、aaaaaaA212222111211的線性運(yùn)算的線性運(yùn)算（重要的工具）。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)對二元一次方程組二元一次方程組11 1122121 12222a xa xba xa xb我們在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過它的解法，但是實(shí)際問題中會遇到未知量個數(shù)和方程個數(shù)都很多的一次方程組，且未知量個數(shù)和方程個數(shù)未必相同。1 線性方程組的消元解法線性方程組的消元解法 由于二元一次方程表示平面上的一條直線，所以將一次方程稱為線性方程線性方程，將一次方程組稱為線性線性方程組方程組。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)線性方程組的一般形式線性方程組的一般形式否則稱為非齊次線性方程組。則稱方程組為(1)11 11221121 122

4、2221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb其中有 n 個未知量 ，m 個方程，12,nx xx是未知量的系數(shù)，ijaR是常數(shù)項(xiàng)。(1,;1, )im jn若右端常數(shù)項(xiàng) 均為零，1,mbbR12,mb bb齊次線性方程組；文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)1、線性方程組是否有解？將要研究的問題將要研究的問題3、有解時，如何求出全部的解？ 2、若有解，解是否唯一？研究的思路和途徑研究的思路和途徑 1、在中學(xué)代數(shù)中的加減消元法的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體的線性方程組，導(dǎo)出求解一般方程組的通用方法：高斯消元法； 2、從實(shí)際例子出發(fā)，利用高斯消元法觀察解存在與否的判斷方法。文

5、文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)求解線性方程組123123123224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx 解解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1，(-2)(2)+(1)，(-4)(2)+(3) 得 例例1由2323322(4)342(5)xxxx 該方程組比原方程組少一個未知量。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)由(5)-(4) 得由(-1/2)(6) 得32 (7)x 最后，將(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3，由2(7)+(4) 得236 (8)x2323322(4)342(5)xxxx 其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，324(6)x 這比原方程組又少了一個未知量。文文

6、 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)由(-1/3)(8) 得22 (9)x 123123123224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx32 (7)x 236 (8)x將(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, x3，由(-2)(7)+(2)，(2)-(9) 得11x 故原方程組的解為1231, 2, 2xxx 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)從上述求解過程可以看出從上述求解過程可以看出 加減消元法的基本思想就是：利用方程之間的算術(shù)運(yùn)算，每次消去一個未知量，得到一個比原方程組少一個未知量的方程組，一次一次進(jìn)行下去，直至得到便于求解的一個形式簡單的方程。 為了便于將此方法應(yīng)用到任意形式的方程組的求解，仍

7、以例例1為例，完整規(guī)范的寫出它的解題步驟。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 解解：第一步，為了便于運(yùn)算，互換(1)與(2)的位置12312312321(2)224(1)442(3)xxxxxxxxx 第二步，消去第一個方程下面的各個方程中的 x1，(1)-2(2)，(3)-4(2) 得求解線性方程組123123123224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx 例例11文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)123232321 (2) 322 (4) 342(5)xxxxxxx 12312312321(2)224(1)442(3)xxxxxxxxx(1)-2(2)，(3)-4(2) 得 第三步，消去第二個方程下面

8、的各個方程中的 x2，(5)-(4) 得文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 此時方程組中下一個方程比上一個方程少一個未知量，形狀如階梯，稱此方程組為階梯形方程組。123232321 (2) 322 (4) 342(5)xxxxxxx 第三步，消去第二個方程下面的各個方程中的 x2，(5)-(4) 得12323321(2)322 (4)(6)24xxxxxx 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 第四步，使(6)中的 x3 的系數(shù)變?yōu)?，(-1/2)(6) 得12323321(2)322 (4)(6)24xxxxxx 第五步，消去(2)(4)中的 x3，12323321(2)322 (4)(7)2xxxxxx(2)-2(

9、7)，(4)+2(7)文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 第五步，消去(2)(4)中的 x3，12323321(2)322 (4)(7)2xxxxxx(2)-2(7)，(4)+2(7)(-1/3)(9) 得 第六步，使(9)中的 x2 的系數(shù)變?yōu)?，1223 3 (8)3 6 (9)(7) 2xxxx 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)(-1/3)(9) 得 第六步，使(9)中的 x2 的系數(shù)變?yōu)?，1223 3 (8)3 6 (9)(7) 2xxxx 第七步，消去(8)中的x2，1223 3(8) 2 (10)(7)2xxxx (8)-(10) 得文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 第七步，消去(8)中的x2，1223 3(8

10、) 2 (10)(7)2xxxx (8)-(10) 得由此得到了方程組的解。 思考思考：上述求解過程用到了哪些方法，從而逐步對原方程組進(jìn)行消元變簡？123 1 22xxx 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)用到了如下三種變換用到了如下三種變換1、交換兩個方程的順序；3、用一個數(shù)乘某個方程后加到另一個方程上；2、用一個非零常數(shù)乘某個方程；稱上述三種變換為線性方程組的初等變換。初等變換的作用在于初等變換的作用在于 將方程組的形式變的簡單易求，且新方程組與原方程組是同解方程組。用消元法求解線性方程組的實(shí)質(zhì)用消元法求解線性方程組的實(shí)質(zhì) 對方程組施行一系列同解的初等變換，將它逐步化簡以求其解。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)

11、 思考思考：方程組的解和未知量符號有沒有關(guān)系？那和什么有關(guān)呢？沒有和未知量的系數(shù)以及右端的常數(shù)項(xiàng)有關(guān)！ 問題問題：在用初等變換求解方程組時，本質(zhì)上是對什么在運(yùn)算？什么在變化？未知量的系數(shù)以及右端的常數(shù)項(xiàng)！ 基于此，在解題時可將未知量舍去不寫；此時就出現(xiàn)了由未知量系數(shù)以及右端常數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)表： 經(jīng)初等變換求解線性方程組的這一思路，反映了一般線性方程組的求解規(guī)律。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)此數(shù)表是按各數(shù)在方程組中的相對位置排成的。加上常數(shù)項(xiàng)得數(shù)表(1)(2) 稱上述矩形表為矩陣，橫的排稱為行，豎的排稱為列，其中的數(shù)稱為矩陣的元素。 矩陣(1)稱為方程組的系數(shù)矩陣，記為A，矩陣(2)稱為方程組的增廣矩陣

12、，記為.A12312312322421442xxxxxxxxx212112414A212411214142A 定義定義1文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)對于一般的線性方程組對于一般的線性方程組111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 增廣矩陣可以看成線性方程組的簡便寫法，因此對于方程組的加減消元法用到的三種初等變換也只對增廣矩陣進(jìn)行，反映在矩陣上即為3、用一個數(shù)乘矩陣的某一行后加

13、到另一行上，1、交換矩陣的某兩行，記為2、用一個非零常數(shù)乘矩陣的某一行，記為記為12312312322421442xxxxxxxxx212411214142A;ijrr;ik r.ijrk r稱此三種變換為矩陣的行初等變換。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 由此對方程組的消元過程就可寫成對方程組的增廣矩陣的行初等變換。求解線性方程組123123123224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx 例例1 解解：方程組的增廣矩陣212411214142A文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)互換(1)與(2)的位置得123123123224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx212411214142A12

14、312312321224442xxxxxxxxx12112121244142rr (2)-2(1)，(3)-4(1) 得文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)(2)-2(1)，(3)-4(1) 得123232321 322 342xxxxxxx (3)-(2) 得213121121032240342rrrr 12312312321224442xxxxxxxxx12112121244142rr 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)32112103220024rr 123232321 322 342xxxxxxx (3)-(2) 得213121121032240342rrrr 1232332132224xxxxxx （行階梯形

15、矩陣）（階梯形方程組）(-1/2)(3) 得文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)32112103220024rr 1232332132224xxxxxx (-1/2)(3) 得123233213222xxxxxx311211032220012r (1)-2(3)，(2)+2(3) 得文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)123233213222xxxxxx311211032220012r (1)-2(3)，(2)+2(3) 得1223 33 6 2xxxx 132321103030620012rrrr (-1/3)(2) 得文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)1223 33 6 2xxxx 132321103030620012rrrr

16、(-1/3)(2) 得1223 3 22xxxx 211031010230012r(1)-(2) 得文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)12100101020012rr123 1 22xxx 1223 3 22xxxx 211031010230012r(1)-(2) 得（行最簡階梯形矩陣）階梯上第一個元素為1，同列的其它元素都為零。從而原方程組的解為1231, 2, 2xxx 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 上述解法的基本思路和步驟上述解法的基本思路和步驟 反復(fù)利用矩陣的行初等變換，逐步將線性方程組的增廣矩陣化成行最簡階梯形矩陣，從而求出方程組的解。 此種方法稱為高斯消元法，它是解線性方程組的最一般、最有效的方法。

17、將一個矩陣化為行最簡階梯形矩陣共分兩步將一個矩陣化為行最簡階梯形矩陣共分兩步 化行階梯形：從上到下，從左到右； 化行最簡階梯形：從下到上，從右到左。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 在我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作九章算術(shù)(約公元3世紀(jì))第八章“方程”(線性方程組)中有如下一問： 今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)(產(chǎn)量)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗，問上、中、下禾一秉幾何？ 該書中列出了如下的方程組(中國古代的書寫形式是自上而下，從右到左)： 例習(xí)例習(xí)上禾秉數(shù)中禾秉數(shù)下禾秉數(shù)斗數(shù) 試列出此問題的方程組，并用高斯消元法求出其解。文文 科科 數(shù)

18、數(shù) 學(xué)學(xué)上禾秉數(shù)中禾秉數(shù)下禾秉數(shù)斗數(shù)123123123323923342326xxxxxxxxx321392313412326A13123262313432139rr 213112326015180483923rrrr 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)1232601518048393212326015180012334rr 231232601518110014112rr文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)1232601518110014231371120417010411530014rrrr 123710041701041100142rr 上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，二斗四分斗之三。

19、文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 討論下列線性方程組解的情況，并從幾何上給以說明。 思考思考 (1) 無解，12122324)2(1xxxx12122324)6(2xxxx12122023)0(3xxxx12122024)0(4xxxx平行但不重合； (2) 無窮多解，平行且重合； (3) 唯一解，相交但不重合； (4) 同(2) 。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)解線性方程組 例例223123123362537xxxxxxx033 6121 5130 7A12121 5033 6130 7rr 解解：方程組的增廣矩陣文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)2121 51011 23000 0r 121 5033 6130 731

20、121 5033 6011 2rr 32121 51033 63000 0rr 有何特點(diǎn)？12103 12011 2000 0rr 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)則同解方程組為，即則原方程組的解為有何特點(diǎn)？103 1011 2000 01323 31 2xxxx令 x3 = k，1323312xxxx 123312xkxkxk 顯然方程組有無窮多解，稱上述含任意常數(shù)的解為方程組的通解通解。文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)解線性方程組 例例3123412341234134312114232233451xxxxxxxxxxxxxxx 1131 12111423223310451A 解解：方程組的增廣矩陣文文 科科

21、數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)1131 12111423223310451A21314121131 13015600176001762rrrrrr 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)1131 101560017600176232421131 101560001200001202rrrr 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)431131 10156000120000002rr 1131 101560001200001202 同解方程組最后一個方程 0 =2 是矛盾方程！所以方程組無解， 此時稱該方程組是不相容的或矛盾的。有何特點(diǎn)？文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 由以上由以上3例思考例思考 1. 線性方程組都有解嗎？若有解，解一定唯一嗎？ 2. 如何

22、判斷解的各種情況？不一定！唯一解無窮多解無解112103220024121 5033 6000 01131 10156000120000002文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 線性方程組解的判定方法線性方程組解的判定方法將線性方程組的增廣矩陣化為行階梯形矩陣后： 1. 若出現(xiàn) (0, , 0, d) 0 的非零行，則無解； 2. 若不出現(xiàn) (0, , 0, d) 0 的非零行，則有解，且 . 非零行行數(shù)等于未知量個數(shù)，則有唯一解； . 非零行行數(shù)小于未知量個數(shù)，則有無窮多解。無解1131 10156000120000002唯一解無窮多解112103220024121 5033 6000 0文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)求解齊次線性方程組 解解：對系數(shù)矩陣施行行初等變換化為行最簡階梯形齊次線性方程組解的情況齊次線性方程組解的情況 例例41234123412342202220430 xxxxxxxxxxxx122121221143A21312122103640364rrrr 文文 科科 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)12510232401230000rr 齊次線性方程組解的情況齊次線性方程組解的情況12210364036432122103640000rr 2122114012330000r 有何特點(diǎn)？文