二階線偏微分方程的分類ppt課件

1、 本章將引見(jiàn)二階線性偏微分方程的根本概念、分類方法和偏微分方程的規(guī)范化. 特別對(duì)于常系數(shù)的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)方法也進(jìn)展了詳細(xì)討論，這對(duì)后面的偏微分方程求解是非常有用的. 10.1 根本概念根本概念(1) 偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，如含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，如22222( , , ,)0uuuuuF x yuxyxyx y 其中其中( , ,)u x y 是未知多元函數(shù)，而是未知多元函數(shù)，而 , ,x y 是未知變量；是未知變量； ,uuxy為為u的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 有時(shí)為了書有時(shí)為了書寫方便，通常記寫方便，通常記22,xyxxuuuuuuxyx(2

2、)方程的階方程的階 偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階程的階(3)方程的次數(shù)方程的次數(shù) 偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微分方程的次數(shù)分方程的次數(shù)(4)線性方程線性方程 一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的一切組合偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就數(shù)的一切組合偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方程程(5)準(zhǔn)線性方程準(zhǔn)線性方程 一個(gè)偏微分方程，假設(shè)僅對(duì)方程中一切最一個(gè)偏微分方程，假設(shè)僅對(duì)方程

3、中一切最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，那么稱方程為準(zhǔn)線性方程高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，那么稱方程為準(zhǔn)線性方程(6)自在項(xiàng)自在項(xiàng) 在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自在項(xiàng)項(xiàng)稱為自在項(xiàng)例如例如 ： 方程的通解和特解概念方程的通解和特解概念二階線性非齊次偏微分方程二階線性非齊次偏微分方程 2xyuyx的通解為的通解為221( , )( )( )2u x yxyx yF xG y其中其中( ),( )F x G y是兩個(gè)獨(dú)立的恣意函數(shù)由于方程為是兩個(gè)獨(dú)立的恣意函數(shù)由于方程為二階的，所以是兩個(gè)恣意的函數(shù)假設(shè)給函數(shù)二階的，所以是兩個(gè)恣意的函數(shù)假設(shè)給函數(shù) ( ),(

4、)F x G y指定為指定為 特殊的特殊的 4( )25,( )2sinF xxG yy，那么得到的解，那么得到的解2241( , )252sin2u x yxyx yxy稱為方程的特解稱為方程的特解 n階常微分方程的通解含有階常微分方程的通解含有n個(gè)恣意常數(shù)，而個(gè)恣意常數(shù)，而n階偏微分方階偏微分方程的通解含有程的通解含有n個(gè)恣意函數(shù)個(gè)恣意函數(shù)10.2 數(shù)學(xué)物理方程的分類數(shù)學(xué)物理方程的分類 在數(shù)學(xué)物理方程的建立過(guò)程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：動(dòng)搖方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程這三類方程描寫了不同物理景象及其過(guò)程，后面我們將會(huì)看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點(diǎn)我們?cè)诮馕鰩缀沃兄缹?duì)于二

5、次實(shí)曲線我們?cè)诮馕鰩缀沃兄缹?duì)于二次實(shí)曲線220axbxycydxeyf其中其中 , , , , ,a b c d e f為常數(shù)，且設(shè)為常數(shù)，且設(shè) 24bac那么當(dāng)那么當(dāng)0,0,0 時(shí)，上述二次曲線分別為雙時(shí)，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓受此啟發(fā)，下面我們來(lái)對(duì)二階線性偏曲線、拋物線和橢圓受此啟發(fā)，下面我們來(lái)對(duì)二階線性偏微分方程進(jìn)展分類微分方程進(jìn)展分類. 下面主要以含兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程為例，進(jìn)展實(shí)際分析而對(duì)于更多個(gè)自變量的情形雖然要復(fù)雜一些，但討論的根本方法是一樣的兩個(gè)自變量?jī)蓚€(gè)自變量(x, y)的二階線性偏微分方程所具有的普遍方式為的二階線性偏微分方程所具有的普遍方式為2

6、2222( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )uuuuuA x yB x yC x yD x yE x yF x y uG x yxx yyxy 10.2.1 其中其中 , ,A B C D E F G為為( , )x y的知函數(shù)的知函數(shù) 定理定理10.2.1 假設(shè)假設(shè) 0( , ) = x yC是方程是方程22(d )d d + (d )0AyB y x Cx(10.2.2)的普通積分，那么的普通積分，那么 ( , )x y是方程是方程22()+ ()0ABCxxyy (10.2.3)的一個(gè)特解的一個(gè)特解在詳細(xì)求解方程在詳細(xì)求解方程(10.2.10)時(shí)，需求分

7、三種情況討論判別式時(shí)，需求分三種情況討論判別式 24BAC 1. 當(dāng)判別式當(dāng)判別式 240BAC 以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解 時(shí)，從方程時(shí)，從方程(10.2.10)可可12( , ) ( , ) x yCx yC及也就是說(shuō)，偏微分方程也就是說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)有兩條實(shí)的特征線于是，令有兩條實(shí)的特征線于是，令( , ), ( , )x yx y即可使得即可使得 0ac同時(shí)，根據(jù)同時(shí)，根據(jù)(10.2.4)式，就可以斷定式，就可以斷定 0b 所以，方程所以，方程(10.2.6) 即為即為 2( , , ,)0uuuu (10.2.4)或者進(jìn)一步作變換或者進(jìn)一步作變換, = 于是有

8、于是有, 所以所以22222 uuu 又可以進(jìn)一步將方程又可以進(jìn)一步將方程(10.2.11)化為化為22122( , , ,)0uuuuu 這種類型的方程稱為雙曲型方程我們前面建立的動(dòng)搖方程就屬于此類型2當(dāng)判別式當(dāng)判別式 240BAC 時(shí)：這時(shí)方程時(shí)：這時(shí)方程(10.2.10)一定有重根一定有重根dd2yBxA因此只能求得一個(gè)解，例如，因此只能求得一個(gè)解，例如， 0( , )x yC，特征線為，特征線為 一條實(shí)特征線作變換一條實(shí)特征線作變換 ( , )x y就可以使就可以使 0a 由由(10.2.4)式可以得出，一定有式可以得出，一定有 240bac，故可推出，故可推出 0b 這樣就可以恣意選

9、取另一個(gè)變換，這樣就可以恣意選取另一個(gè)變換， ( , )x y只需它和只需它和 ( , )x y彼此獨(dú)立，即雅可俾式彼此獨(dú)立，即雅可俾式(,)0(,)xy即可這樣，方程即可這樣，方程(10.2.6)就化為就化為22( , , ,)0uuuu 此類方程稱為拋物型方程熱傳導(dǎo)分散方程就屬于這種類型3. 當(dāng)判別式當(dāng)判別式 240BAC 面的討論，只不過(guò)得到的面的討論，只不過(guò)得到的 時(shí)：這時(shí)，可以反復(fù)上時(shí)：這時(shí)，可以反復(fù)上( , )x y和和 ( , )x y是一是一對(duì)共軛的復(fù)函數(shù)，或者說(shuō)，偏微分方程對(duì)共軛的復(fù)函數(shù)，或者說(shuō)，偏微分方程(10.2.1)的兩條特征線是的兩條特征線是一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族于是一對(duì)共

10、軛復(fù)函數(shù)族于是( , ), ( , )x yx y是一對(duì)共軛的復(fù)變量進(jìn)一步引進(jìn)兩個(gè)新的實(shí)變量是一對(duì)共軛的復(fù)變量進(jìn)一步引進(jìn)兩個(gè)新的實(shí)變量, =i()于是于是i, i所以所以 22222 uuu 方程方程(10.2.11)又可以進(jìn)一步化為又可以進(jìn)一步化為22222( , , ,)0uuuuu 這種類型的方程稱為橢圓型方程拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都屬于這種類型 綜上所述，要判別二階線性偏微分方程屬于何種類型，只綜上所述，要判別二階線性偏微分方程屬于何種類型，只需討論判別式需討論判別式 24BAC 即可即可. 10.3 二階線性偏微分方程規(guī)范

11、化二階線性偏微分方程規(guī)范化對(duì)于二階線性偏微分方程對(duì)于二階線性偏微分方程 22222( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )uuuuuAx yB x yC x yDx yE x yF x y u G x yxx yyxy (10.3.1)假設(shè)判別式為假設(shè)判別式為 2( , )4 ( , ) ( , )B x yA x y C x y ，那么二階，那么二階線性偏微分方程分為三類：線性偏微分方程分為三類：0 時(shí)，方程稱為雙曲型時(shí)，方程稱為雙曲型;0 時(shí)，方程稱為拋物型時(shí)，方程稱為拋物型; 0 時(shí)，方程稱為橢圓型時(shí)，方程稱為橢圓型; 1.雙曲型偏微分方程雙曲型偏微分方程

12、由于雙曲型方程對(duì)應(yīng)的判別式由于雙曲型方程對(duì)應(yīng)的判別式 240BAC 所以特征曲線是兩族不同的實(shí)函數(shù)曲線，所以特征曲線是兩族不同的實(shí)函數(shù)曲線，2dd()0ddyyABCxx設(shè)特征方程的解為設(shè)特征方程的解為 12( , ), ( , )x ycx yc令令 ( , ),( , )x yx y (10.3.2)進(jìn)展自變量變換，那么原偏微分方程變?yōu)橐韵路绞竭M(jìn)展自變量變換，那么原偏微分方程變?yōu)橐韵路绞?1111( , )( , )( , )( , )uDuEuFuG (10.3.3) 上式稱為雙曲型偏微分方程的第一種規(guī)范方式，再作變量上式稱為雙曲型偏微分方程的第一種規(guī)范方式，再作變量代換，令代換，令,

13、或或 ,22那么偏微分方程又變?yōu)槟敲雌⒎址匠逃肿優(yōu)?2*111122( , )( , )( , )( , )uuDuEuFuG (10.3.4)上式稱為雙曲型偏微分方程的第二種方式上式稱為雙曲型偏微分方程的第二種方式 注：上式中的注：上式中的“*號(hào)不代表共軛，僅闡明是另外的函數(shù)。如號(hào)不代表共軛，僅闡明是另外的函數(shù)。如 *1D1D與與是兩個(gè)不同的函數(shù)。是兩個(gè)不同的函數(shù)。 2拋物型偏微分方程拋物型偏微分方程由于拋物型偏微分方程的判別式由于拋物型偏微分方程的判別式 0 線是一族實(shí)函數(shù)曲線線是一族實(shí)函數(shù)曲線 ，所以特征曲，所以特征曲其特征方程的解為其特征方程的解為( , )x yc (10.3.5)

14、因此令因此令 ( , ), x yy進(jìn)展自變量變換，那么原偏微分方程變?yōu)檫M(jìn)展自變量變換，那么原偏微分方程變?yōu)?22222( , )( , )( , )( , )uDuEuFuG (10.3.6)上式稱為拋物型偏微分方程的規(guī)范方式上式稱為拋物型偏微分方程的規(guī)范方式3.橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程的判別式橢圓型偏微分方程的判別式 0 ，所以特征曲線是，所以特征曲線是一組共軛復(fù)變函數(shù)族其特征方程的解為一組共軛復(fù)變函數(shù)族其特征方程的解為12( , ) i ( , ); ( , ) i ( , )x yx ycx yx yc (10.3.7)假設(shè)令假設(shè)令 ( , ), ( , )x

15、yx y(10.3.8) 作自變量變換，那么偏微分方程變?yōu)樽髯宰兞孔儞Q，那么偏微分方程變?yōu)?2333322( , )( , )( , )( , )uuDuEuFuG (10.3.9)上式稱為橢圓型偏微分方程的規(guī)范方式上式稱為橢圓型偏微分方程的規(guī)范方式10.4 二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 假設(shè)二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù)，那么規(guī)范方式的方程還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)下面按三種類型分別引見(jiàn)化簡(jiǎn)的方法1.雙曲型雙曲型 對(duì)于以下含常系數(shù)的第一種規(guī)范方式的雙曲型規(guī)范方程還可進(jìn)一步化簡(jiǎn)21111( , )uuudef uG 111, ,d e f1( , )G 11( ,

16、 )( , )edue v注：上式中用小寫字母注：上式中用小寫字母代表常系數(shù)，以便與代表常系數(shù)，以便與我們無(wú)妨令我們無(wú)妨令 大寫字母代表某函數(shù)區(qū)別開(kāi)來(lái)大寫字母代表某函數(shù)區(qū)別開(kāi)來(lái), 例如例如為了化簡(jiǎn)，為了化簡(jiǎn)，從而有從而有211( ,)hJ vv(10.4.2)其中其中 11()11 1111, ( , )( , )edhd efJGe 由第二種規(guī)范方式的雙曲型偏微分方程含常系數(shù)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn) 22*111122( , )uuuudef u G (10.4.3) 式中式中 *111,def均為常系數(shù)假設(shè)令均為常系數(shù)假設(shè)令*11( , )( , )edue v 那么有那么有(10.4.4)22*1

17、122( , )hJ vvv (10.4.5)其中其中 *11()*2*2* *11111 1112, ( , )( , )edhfededJGe對(duì)于含常系數(shù)的拋物型偏微分規(guī)范方程含常系數(shù)對(duì)于含常系數(shù)的拋物型偏微分規(guī)范方程含常系數(shù)222222( , )uuudef uG 10.4.6 還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)上式中小寫字母還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)上式中小寫字母 222,d ef均為常系數(shù)均為常系數(shù) 為了化簡(jiǎn)，無(wú)妨令為了化簡(jiǎn)，無(wú)妨令 22( , )( , )edue v從而有從而有2222(,)hJ vv (10.4.7)2.拋物型拋物型3.橢圓型橢圓型 對(duì)于以下第一種規(guī)范方式的橢圓型規(guī)范方程對(duì)于以下第一種規(guī)范

18、方式的橢圓型規(guī)范方程(含常系數(shù)含常系數(shù)) 22333322( , )uuuudef uG (10.4.8)還可以進(jìn)一步進(jìn)展化簡(jiǎn)上式中小寫字母的還可以進(jìn)一步進(jìn)展化簡(jiǎn)上式中小寫字母的 333,d ef為常系數(shù)為常系數(shù)為了化簡(jiǎn)，無(wú)妨令為了化簡(jiǎn)，無(wú)妨令 33( , )( , )edue v從而有從而有233( , )hJ vv (10.4.9)其中其中 33()2333333() , ( , )( , )edhfedJGe 含有兩個(gè)自變量的線性偏微分方程的普通方式也可以寫成下面的方式： ( , )L uG x y其中其中 L 是二階線性偏微分算符，是二階線性偏微分算符，G是是x,y的函數(shù)的函數(shù)線性偏微分算符有以下兩個(gè)根本特征：線性偏微分算符有以下兩個(gè)根本特征： 1 1221122 ; ;L cucL uL cuc uc L uc L u10.5 線性偏微分方程解的特征線性偏微分方程解的特征其中其中 12,c c c均為常數(shù)進(jìn)一步有如下結(jié)論：均為常數(shù)進(jìn)一步有如下結(jié)論：