概率1-4 等可能概型(古典概型)

1、第四節(jié)第四節(jié) 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) )古典概型的定義古典概型的定義古典概率的求法舉例古典概率的求法舉例小結(jié)小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè) 我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的研究是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象，通常稱為對(duì)象，通常稱為古典概型古典概型 假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果 假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如 ei，比比任一其它結(jié)果，例如任一其它結(jié)果，例

2、如 ej, 更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即1/n的出現(xiàn)機(jī)會(huì)的出現(xiàn)機(jī)會(huì).e1, e2, ，en ,常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為“等可能的等可能的”.e1, e2, ，en 試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)結(jié)果你認(rèn)為哪個(gè)你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？可能性大？2 3479108615 例如，一個(gè)袋子中裝有例如，一個(gè)袋子中裝有10 個(gè)大小、形狀完全相同的球個(gè)大小、形狀完全相同的球 . 將球編號(hào)為將球編號(hào)為110 .把球攪勻，把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球蒙上眼睛，從中任取一球. 因?yàn)槌槿r(shí)這

3、些球是完因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)全平等的，我們沒有理由認(rèn)為為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得一個(gè)更容易取得 . 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010個(gè)球中的任一個(gè)被取個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)都是出的機(jī)會(huì)都是1/102 3479108615 我們用我們用 i 表示取到表示取到 i號(hào)球，號(hào)球， i =1,2,10 . 稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型古典概型.34791086152且每個(gè)樣本點(diǎn)且每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說(shuō)基本或

4、者說(shuō)基本事件事件)出現(xiàn)的可能性相同出現(xiàn)的可能性相同 .S=1,2,10 ,則該試驗(yàn)的樣本空間則該試驗(yàn)的樣本空間 如如i =2稱這種試驗(yàn)為稱這種試驗(yàn)為等可能隨機(jī)試驗(yàn)等可能隨機(jī)試驗(yàn)或或古典概型古典概型. 若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)； (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.記記 A=摸到摸到2號(hào)球號(hào)球 P(A)=? P(A)=1/10記記 B=摸到紅球摸到紅球 P(B)=? P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6這里實(shí)際上是從這里實(shí)際上是從“比例比例”

5、 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“概率概率”記記 B=摸到紅球摸到紅球 , P(B)=6/10靜態(tài)動(dòng)態(tài) 當(dāng)我們要求當(dāng)我們要求“摸到紅球摸到紅球”的概的概率時(shí)，只要找出它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的率時(shí)，只要找出它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的比例比例.2 3479108615 . , , , neeeSE21 的樣本空間為的樣本空間為設(shè)古典概率設(shè)古典概率 , 即即事件發(fā)生的可能性相同事件發(fā)生的可能性相同由于在試驗(yàn)中每個(gè)基本由于在試驗(yàn)中每個(gè)基本 nePePeP 21 . 于是于是互不相容的互不相容的又由于基本事件是兩兩又由于基本事件是兩兩 SP 1 neeeP 21 nePePeP 21 ienP 所以所以 . , n,inePi211 ,

6、即即個(gè)基本事件個(gè)基本事件包含包含若事件若事件kA kiiieeeA 21 則有則有 AP kiiiePePeP 21 nk 中的基本事件總數(shù)中的基本事件總數(shù)包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)SA . , ii . , . 122APAAPAi求求至少有一次出現(xiàn)正面至少有一次出現(xiàn)正面為為設(shè)事件設(shè)事件求求恰有一次出現(xiàn)正面恰有一次出現(xiàn)正面為為設(shè)事件設(shè)事件將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次例例11 解解 : 此試驗(yàn)的樣本空間為此試驗(yàn)的樣本空間為 . TTT,TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHHS , TTH,THT,HTTA 1而而 所以所以 1AP . 83 2AP . 87 .

7、TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHHA 2 , 3 9 2次次件次品的箱子中任取兩件次品的箱子中任取兩、件正品件正品從有從有例例 : , 試分別以試分別以每次取一件每次取一件 ; : 1后放回后放回即每次抽取的產(chǎn)品觀察即每次抽取的產(chǎn)品觀察有放回抽樣法有放回抽樣法 ; : 2不放回不放回即每次抽取產(chǎn)品觀察后即每次抽取產(chǎn)品觀察后不放回抽樣法不放回抽樣法 兩種抽樣方式求事件兩種抽樣方式求事件 , 取得兩件正品取得兩件正品 A , , 第二次取得次品第二次取得次品第一次取得正品第一次取得正品 B , 取得一件正品一件次品取得一件正品一件次品 C . 的概率的概率 解解 . 1 采取有

8、放回抽樣采取有放回抽樣 , , 取法總數(shù)為取法總數(shù)為每次取一件每次取一件從箱子中任取兩件產(chǎn)品從箱子中任取兩件產(chǎn)品.122 . 12 2本事件數(shù)為本事件數(shù)為即樣本空間中所含的基即樣本空間中所含的基 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 A . 9CC21919 所以所以 12922 AP 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 B . 39CC1319 所以所以 12392 BP . 169 . 163 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 C . 54 9339CCCC19131319 所以所以 12542 CP. 83 . 2 采取不放回抽樣采取

9、不放回抽樣 , , 取法總數(shù)為取法總數(shù)為每次取一件每次取一件從箱子中任取兩件產(chǎn)品從箱子中任取兩件產(chǎn)品 . 1112 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為即樣本空間中所含有的即樣本空間中所含有的 . 1112 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 A . 89CC1819 所以所以 111289 AP 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 B . 39CC1319 所以所以 111239 BP . 116 . 449 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 C . 9339CCCC19131319 所以所以 11129339 CP. 229 3 9 3件產(chǎn)件

10、產(chǎn)件次品的箱子中任取兩件次品的箱子中任取兩、件正品件正品從有從有例例 , 求事件求事件即一次抽取兩件產(chǎn)品即一次抽取兩件產(chǎn)品品品 , 取得兩件正品取得兩件正品 A , 取得一件正品一件次品取得一件正品一件次品 C . 的概率的概率 解解 , 取法總數(shù)為取法總數(shù)為從箱子中任取兩件產(chǎn)品從箱子中任取兩件產(chǎn)品 . 212C 含有的基本事件總數(shù)為含有的基本事件總數(shù)為即試驗(yàn)的樣本空間中所即試驗(yàn)的樣本空間中所 . 212C 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 A . 29C 所以所以 21229CC AP 1211121289 . 116 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件

11、 C . 1319CC 所以所以 2121319CCC P C 12111239 . 229 , 4個(gè)格子個(gè)格子每個(gè)都等可能地落入每個(gè)都等可能地落入個(gè)小球個(gè)小球設(shè)有設(shè)有例例Nn : , 試求下列事件的概率試求下列事件的概率中中Nn ; 1個(gè)格子中各有一球個(gè)格子中各有一球某指定的某指定的 nA . 2個(gè)格子中各有一球個(gè)格子中各有一球任意的任意的 nB 解解 , 應(yīng)有應(yīng)有個(gè)格子中個(gè)格子中個(gè)球都等可能地落入到個(gè)球都等可能地落入到 Nn , 所以所以種可能的方法種可能的方法nN 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為.nN 所含的基本事件數(shù)為所含的基本事件數(shù)為事件事件 A !n 所含的基本事件數(shù)為所含的基本事件

12、數(shù)為事件事件 B !nCnN 故故 , !nNnAP . !nnNNnCBP 求每個(gè)盒子至多有一只球的概率求每個(gè)盒子至多有一只球的概率?生日問題生日問題 假設(shè)每人的生日在一年假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可天中的任一天是等可能的，即都等于能的，即都等于1/365，那么隨機(jī)選取，那么隨機(jī)選取 個(gè)人，他們的生日各不相同的概率為個(gè)人，他們的生日各不相同的概率為因而，因而，n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為365n 0365 364(3651)365nnp01pp 此例可以作為許多問題的數(shù)學(xué)模型，比如用此公式此例可以作為許多問題的數(shù)學(xué)模型，比如用此公式可以得

13、出：可以得出： “在一個(gè)有在一個(gè)有64人的班級(jí)里，至少有兩人生日相同人的班級(jí)里，至少有兩人生日相同”的的概率為概率為 99.7%。np20 23 30 40 50 64 1000.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：類型： 有有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 間房的每一間中，求指定的間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率間房中各有一人的概率.人人房房許多表面

14、上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：類型： 有有n個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)N個(gè)車個(gè)車站，設(shè)每站，設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為個(gè)人在每站下車的概率為1/ N(N n) ，求指，求指定的定的n個(gè)站各有一人下車的概率個(gè)站各有一人下車的概率.旅客旅客車站車站許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：類型： 某城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同車禍的概率相同. 求每天恰好發(fā)生一次車禍求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率的概率.車禍車禍天天 , 4 , 5 5求求只只從中任取從中

15、任取雙不同型號(hào)的鞋子雙不同型號(hào)的鞋子有有例例 ; 4 1只鞋恰好為兩雙只鞋恰好為兩雙取出的取出的 : 下列各事件的概率下列各事件的概率 ; 4 2只鞋都是不同型號(hào)的只鞋都是不同型號(hào)的取出的取出的 . 4 3雙雙只鞋恰好有兩只配成一只鞋恰好有兩只配成一取出的取出的 解解 , 4 A只鞋恰好為兩雙只鞋恰好為兩雙取出的取出的設(shè)設(shè) , 4 B只鞋都是不同型號(hào)的只鞋都是不同型號(hào)的取出的取出的 . 4 C雙雙只鞋恰好有兩只配成一只鞋恰好有兩只配成一取出的取出的 , 4 10 5 取法總數(shù)為取法總數(shù)為只只中任取中任取只只雙鞋子雙鞋子從從 . 410C 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)A . 25

16、C 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)B . 1212121245CCCCC 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)C . 1212242215CCCCC 于是可得于是可得 AP 1 41025CC 1234789101245 . 211 BP 2 4101212121245CCCCCC 21080 . 218 CP 3 4101212242215CCCCCC 210120 . 74 注：在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不注：在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只

17、，這只，這4只鞋子中只鞋子中“至少有兩只配成一雙至少有兩只配成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？）的概率是多少？ 下面的算法錯(cuò)在哪里？下面的算法錯(cuò)在哪里？4102815)(AP錯(cuò)在同樣的錯(cuò)在同樣的“4只配成兩雙只配成兩雙”算了兩次算了兩次.97321456810從從5雙中取雙中取1雙，從剩雙，從剩下的下的 8只中取只中取2只只正確的答案是：正確的答案是：410252815)(AP請(qǐng)思考：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？還有其它解法嗎？ ? 8 , 6 , 20001 6 整除的概率是多少整除的概率是多少也不能被也不能被整除整除整數(shù)既不能被整數(shù)既不能被問取到的問取到的數(shù)數(shù)的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)的整數(shù)中隨

18、機(jī)地取一個(gè)在在例例 解解 . 8 , 6 整除整除取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被整除整除取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被設(shè)設(shè) BA 又又 AP , 2000333 BP , 2000250 所求概率為所求概率為 BAP BAP 1BAP 1ABPBPAP ABP , 200083 故所求概率為故所求概率為200083200025020003331 p . 43 . 3 ; i . 3 15 , 15 7 級(jí)的概率級(jí)的概率名優(yōu)秀生分配在同一班名優(yōu)秀生分配在同一班名優(yōu)秀生的概率名優(yōu)秀生的概率每一個(gè)班級(jí)各分配到一每一個(gè)班級(jí)各分配到一求求名是優(yōu)秀生名是優(yōu)秀生名新生中有名新生中有這這去去到三個(gè)班級(jí)中到三個(gè)班級(jí)中名新生

19、隨機(jī)地平均分配名新生隨機(jī)地平均分配將將例例ii 解解 15級(jí)的分法總數(shù)為級(jí)的分法總數(shù)為名新生平均分到三個(gè)班名新生平均分到三個(gè)班 55510515 5!5!10! 10!5!15! . 5!5!5!15! i優(yōu)秀生的分法為優(yōu)秀生的分法為每一個(gè)班級(jí)各分到一名每一個(gè)班級(jí)各分到一名 4448412 !3 . 4!4!4!12! 3! 于是所求概率為于是所求概率為 5!5!5!15! 4!4!4!12! 3! 1p . 9725 ii班班級(jí)級(jí)的的分分法法為為三三名名優(yōu)優(yōu)秀秀生生分分到到同同一一個(gè)個(gè) 55510212 3 . 2!5!5!12! 3 于是所求概率為于是所求概率為 5!5!5!15! 2!5

20、!5!12!3 2 p . 916 . . 12 , 12 8 規(guī)定的規(guī)定的可以推斷接待時(shí)間是有可以推斷接待時(shí)間是有問是否問是否四進(jìn)行的四進(jìn)行的次接待都是在周二和周次接待都是在周二和周所有這所有這已知已知次來(lái)訪次來(lái)訪待過(guò)待過(guò)某接待站在某一周曾接某接待站在某一周曾接例例 解解 , 而各來(lái)訪者而各來(lái)訪者沒有規(guī)定沒有規(guī)定假設(shè)接待站的接待時(shí)間假設(shè)接待站的接待時(shí)間 . 待站是等可能的待站是等可能的在一周的任一天中去接在一周的任一天中去接 12 次接次接則則 的概率為的概率為待來(lái)訪者都在周二周四待來(lái)訪者都在周二周四 p121272 . 0.0000003 . 這是小概率事件這是小概率事件 . 規(guī)定的規(guī)定的

21、所以認(rèn)為接待時(shí)間是有所以認(rèn)為接待時(shí)間是有例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫在七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：個(gè)英文單詞：C ISN C EE問：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果問：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的

22、概率為：故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為： 這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次次 .42200079. 012601! 74p解解 七個(gè)字母的排列總數(shù)為七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！ 這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù)發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù). 具體地說(shuō)，可以具體地說(shuō)，可以99.9%的把握懷疑這是魔的把握懷疑這是魔術(shù)術(shù).概率論概率論 解解=0.3024允許重復(fù)的排列允許重復(fù)的排列問問錯(cuò)在何處？錯(cuò)在何處？例例2 某城市的電話號(hào)碼由某城市的電話號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從能是從0- -9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話號(hào)碼由五電話號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成個(gè)不同數(shù)字組成的概率的概率. .計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同.從從10個(gè)不同數(shù)字中個(gè)不同數(shù)字中取取5個(gè)的排列個(gè)的排列510510Pp 510510Cp 例例3