機(jī)械工程測(cè)試技術(shù) 第1章信號(hào)及其描述

1、第一節(jié)第一節(jié) 信號(hào)的分類與描述信號(hào)的分類與描述一一概述概述二二信號(hào)的分類信號(hào)的分類三三信號(hào)的時(shí)域和頻域描述信號(hào)的時(shí)域和頻域描述交通信號(hào)燈信息信號(hào)信息的載體是光信號(hào)紅燈亮黃燈亮綠燈亮停止通行注意一、概述一、概述信號(hào)的定義：信號(hào)的定義：物理角度，物理角度，數(shù)學(xué)角度，數(shù)學(xué)角度，工程角度。工程角度。信號(hào)就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號(hào)就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號(hào)就是函數(shù)，就是某一變量隨時(shí)間或頻率或其他變信號(hào)就是函數(shù)，就是某一變量隨時(shí)間或頻率或其他變量而變化的函數(shù)。量而變化的函數(shù)。信號(hào)表現(xiàn)為一組數(shù)據(jù)或波形，這組數(shù)據(jù)通常是由某一信號(hào)表現(xiàn)為一組數(shù)據(jù)或波形，這組數(shù)據(jù)通常是由某一

2、檢測(cè)儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測(cè)得到的，檢測(cè)儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測(cè)得到的，以數(shù)據(jù)的形式記錄在紙上，或存儲(chǔ)在某種磁性介質(zhì)上，以數(shù)據(jù)的形式記錄在紙上，或存儲(chǔ)在某種磁性介質(zhì)上，或以波形形式顯示在儀器的顯示屏上。或以波形形式顯示在儀器的顯示屏上。簡(jiǎn)諧振動(dòng)信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖簡(jiǎn)諧振動(dòng)信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖n如心電圖，就是利用儀器從人體上獲得的心臟跳如心電圖，就是利用儀器從人體上獲得的心臟跳動(dòng)的數(shù)據(jù)，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之用，動(dòng)的數(shù)據(jù)，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之用，或記錄在紙上作為病人病例記錄?；蛴涗浽诩埳献鳛椴∪瞬±涗洝Ｉ镝t(yī)學(xué)信號(hào)處理應(yīng)用生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理應(yīng)用濾波以前干擾嚴(yán)

3、重濾波以前干擾嚴(yán)重濾波以后干擾去除濾波以后干擾去除n 再比如飛機(jī)上的黑匣子，就是將各種傳感器采集再比如飛機(jī)上的黑匣子，就是將各種傳感器采集下來(lái)的有關(guān)飛機(jī)飛行狀態(tài)、發(fā)動(dòng)機(jī)工作狀態(tài)等數(shù)下來(lái)的有關(guān)飛機(jī)飛行狀態(tài)、發(fā)動(dòng)機(jī)工作狀態(tài)等數(shù)據(jù)記錄下來(lái)，以備將來(lái)分析事故之用。據(jù)記錄下來(lái)，以備將來(lái)分析事故之用。 信號(hào)的分類主要是依據(jù)信號(hào)波形特征來(lái)劃分信號(hào)的分類主要是依據(jù)信號(hào)波形特征來(lái)劃分的，在介紹信號(hào)分類前，先建立信號(hào)波形的概念。的，在介紹信號(hào)分類前，先建立信號(hào)波形的概念。 信號(hào)波形：信號(hào)波形：被測(cè)信號(hào)的幅度隨時(shí)間的變化的歷被測(cè)信號(hào)的幅度隨時(shí)間的變化的歷程稱為信號(hào)波形。程稱為信號(hào)波形。信號(hào)波形信號(hào)波形電容傳聲器電容

4、傳聲器齒輪嚙合振動(dòng)齒輪嚙合振動(dòng)二、信號(hào)的分類二、信號(hào)的分類 常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)波形常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)波形0 信號(hào)波形圖：信號(hào)波形圖：用被測(cè)物理量的強(qiáng)度作為縱坐標(biāo)，用被測(cè)物理量的強(qiáng)度作為縱坐標(biāo)，用時(shí)間做橫坐標(biāo)，記錄被測(cè)物理量隨時(shí)間的變化情用時(shí)間做橫坐標(biāo)，記錄被測(cè)物理量隨時(shí)間的變化情況。況。 為深入了解信號(hào)的物理實(shí)質(zhì)，將其進(jìn)行分類研究為深入了解信號(hào)的物理實(shí)質(zhì)，將其進(jìn)行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號(hào)，可分為：是非常必要的，從不同角度觀察信號(hào)，可分為：n從信號(hào)描述上：從信號(hào)描述上：確定性信號(hào)與非確定性信號(hào)；確定性信號(hào)與非確定性信號(hào)；n從信號(hào)幅值和能量：從信號(hào)幅值和能量：能量信號(hào)與功率信號(hào)；能量信號(hào)與功率

5、信號(hào)；n從分析域：從分析域：時(shí)域與頻域；時(shí)域與頻域；n從連續(xù)性：從連續(xù)性：連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)；連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)；n從可實(shí)現(xiàn)性：從可實(shí)現(xiàn)性：物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)與物理不可物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)與物理不可實(shí)現(xiàn)信號(hào)。實(shí)現(xiàn)信號(hào)。1 、確定性信號(hào)與非確定性信號(hào)、確定性信號(hào)與非確定性信號(hào) 可以用明確數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號(hào)稱為可以用明確數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號(hào)稱為確定性信號(hào)確定性信號(hào)。 不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號(hào)稱為不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號(hào)稱為非確定性信號(hào)非確定性信號(hào)。信號(hào)非確定性信號(hào)確定性信號(hào)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)非周期信號(hào)周期信號(hào)簡(jiǎn)單周期信號(hào)一般周期信號(hào)準(zhǔn)周期信號(hào)瞬態(tài)信號(hào)a) 周期信號(hào)：按一定時(shí)間間

6、隔周而復(fù)始出現(xiàn)的信號(hào) x ( t ) = x ( t + nT )簡(jiǎn)單周期信號(hào)一般周期信號(hào) 00sintmkXtx諧波信號(hào)諧波信號(hào)頻率單一的正弦或余弦信號(hào)。頻率單一的正弦或余弦信號(hào)。簡(jiǎn)單周期信號(hào)：簡(jiǎn)單周期信號(hào)：信號(hào)的信號(hào)的“波形波形”+=x1(t)=A1Sin(1t+1) =A1Sin(21t+1) =10Sin(23t+/6) x2(t)=A2Sin(2t+2) =A2Sin(2 2t+2) =5Sin(22t+/3) x3(t)=10Sin(23t+/6) +5Sin(22t+/3) +=由多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)頻率成分疊加而成，疊加后存在公共周期的信號(hào)一般周期信號(hào):00.511.522.53-

7、10-50510(a)mm00.511.522.53-505(b)mm00.511.522.53-10010(c)mmt t t 00.511.522.53-10-50510mm00.511.522.53-505(b)mmt t 00.511.522.53-10-50510(a)mmtb) 非周期信號(hào)：再不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)。 準(zhǔn)周期信號(hào):由多個(gè)周期信號(hào)合成，其中至少有一對(duì)頻率比不是有理數(shù)。)3sin()2sin()(2211tAtAtx瞬態(tài)信號(hào):在有限時(shí)間段內(nèi)存在，或隨著時(shí)間的增加而幅值衰減至零的信號(hào)。 00sintmkxetxt0(a)錘擊物體的力信號(hào)錘擊物體的力信號(hào)(b)T段為汽車加速過(guò)程

8、信號(hào)段為汽車加速過(guò)程信號(hào)(c)半個(gè)正弦信號(hào)半個(gè)正弦信號(hào)(d)矩形窗信號(hào)矩形窗信號(hào)c)非確定性信號(hào)：不能用數(shù)學(xué)式描述，其幅值、相位變化不可預(yù)知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機(jī)過(guò)程。 平穩(wěn)與非平穩(wěn)噪聲信號(hào)(平穩(wěn))噪聲信號(hào)(非平穩(wěn))統(tǒng)計(jì)特性變異)()()()(均離散信號(hào)的幅值和獨(dú)立變量數(shù)字信號(hào)獨(dú)立變量離散一般離散信號(hào)離散信號(hào)獨(dú)立變量連續(xù)一般連續(xù)信號(hào)均連續(xù)信號(hào)的幅值與獨(dú)立變量模擬信號(hào)連續(xù)信號(hào)信號(hào)2.連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)時(shí)間時(shí)間幅值幅值連續(xù)連續(xù)離散離散被采樣信號(hào)被采樣信號(hào)模擬信號(hào)模擬信號(hào)連續(xù)連續(xù)離散離散量化信號(hào)量化信號(hào)數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)(a)汽車速度連續(xù)信號(hào)汽車速度連續(xù)信號(hào) (b)開(kāi)水房鍋爐水溫度的變開(kāi)水房鍋爐水

9、溫度的變化連續(xù)信號(hào)化連續(xù)信號(hào) (c)每日股市的指數(shù)變化 （離散信號(hào)） (d)某地每日的平均氣溫變化（離散信號(hào)）(e)每隔5分鐘測(cè)定開(kāi)水房鍋爐水的溫度變化（離散信號(hào)） (f)每隔2微妙對(duì)正弦信號(hào)采樣獲得的離散信號(hào) 3.能量信號(hào)與功率信號(hào) a)能量信號(hào) 當(dāng)信號(hào)x(t)在所分析的區(qū)間（-，），能量為有限值的信號(hào)稱為能量信號(hào)，滿足條件： 一般持續(xù)時(shí)間有限的瞬態(tài)信號(hào)是能量信號(hào)。dttx)(2b)功率信號(hào)功率信號(hào) 當(dāng)信號(hào)當(dāng)信號(hào)x(t)在所分析的區(qū)間（在所分析的區(qū)間（-，），能量），能量。此時(shí)，在有限區(qū)間。此時(shí)，在有限區(qū)間(t1,t2)內(nèi)的平均功率是有限的。內(nèi)的平均功率是有限的。一般一般持續(xù)時(shí)間無(wú)限持續(xù)時(shí)間

10、無(wú)限的信號(hào)都屬于功率信號(hào)。的信號(hào)都屬于功率信號(hào)。噪聲信號(hào)噪聲信號(hào)一般周期信號(hào)一般周期信號(hào)dttx)(221)(1212ttdttxtt)3102sin(10)2sin()sin()(0000tftAtAtxl信號(hào)的時(shí)域描述：以時(shí)間為獨(dú)立變量，其強(qiáng)調(diào)信號(hào)的幅值隨時(shí)間變化的特征。l信號(hào)的頻域描述：以角頻率或頻率為獨(dú)立變量，其強(qiáng)調(diào)信號(hào)的幅值和相位隨頻率變化的特征。三、信號(hào)的時(shí)域和頻域描述信號(hào)的信號(hào)的“域域”時(shí)域頻域0220)()()(000tTATtAtxnTtxtx時(shí)域描述：時(shí)域描述：直接觀測(cè)或記錄到的信號(hào)，以時(shí)直接觀測(cè)或記錄到的信號(hào)，以時(shí)間為獨(dú)立變量的，稱其為信號(hào)的時(shí)域描述。間為獨(dú)立變量的，稱其

11、為信號(hào)的時(shí)域描述。 頻域描述：頻域描述：以頻率作為變量的，稱其為信號(hào)的頻域以頻率作為變量的，稱其為信號(hào)的頻域描述。描述。周期信號(hào)的頻域描述周期信號(hào)的頻域描述第二節(jié)第二節(jié) 周期信號(hào)與離散頻譜周期信號(hào)與離散頻譜一一傅立葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)展開(kāi)傅立葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)展開(kāi)二二傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)時(shí)域分析時(shí)域分析反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間的變化情況，反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間的變化情況，頻域分析頻域分析反映信號(hào)的頻率組成和各頻率分量大小反映信號(hào)的頻率組成和各頻率分量大小。 圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào)圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào) 信號(hào)頻域分析是采用傅立葉變換將時(shí)域信號(hào)x(t)變換為頻域信號(hào)

12、X(f)，從另一個(gè)角度來(lái)了解信號(hào)的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里葉傅里葉變換變換一一. 周期信號(hào)的頻譜分析周期信號(hào)的頻譜分析傅立葉級(jí)數(shù)三角展開(kāi)傅立葉級(jí)數(shù)三角展開(kāi)時(shí)間幅值頻率時(shí)域分析頻域分析 信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜X(f)代表了信號(hào)在不代表了信號(hào)在不同頻率分量處信同頻率分量處信號(hào)成分的大小，號(hào)成分的大小，它能夠提供比時(shí)它能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直域信號(hào)波形更直觀，豐富的信息。觀，豐富的信息。 u時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系譜線 在有限區(qū)間上，一個(gè)周期信號(hào)x（t）當(dāng)滿足狄里赫利條件時(shí)可展開(kāi)正交函數(shù)線性組合的無(wú)窮正交函數(shù)線

13、性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)，如三角函數(shù)集的傅里葉級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)，如三角函數(shù)集的傅里葉級(jí)數(shù)。式中，T周期，周期，0基波圓頻率，基波圓頻率， 。v注意： an是n或n0的偶函數(shù)，a-n=an；v bn是n或n0的奇函數(shù)，b-n=-bn 。 0001( )(cossin)nnnx taantbnt2/2/0cos)(2TTntdtntxTa2/2/0sin)(2TTntdtntxTb/ 20/ 21( )TTax t d tT02/T 狄里赫利條件狄里赫利條件:（1）函數(shù)在一周期內(nèi)極大值與極小值為有限個(gè)。）函數(shù)在一周期內(nèi)極大值與極小值為有限個(gè)。（2）函數(shù)在一周期內(nèi)間斷點(diǎn)為有限個(gè)。）函數(shù)在一周期內(nèi)間斷點(diǎn)為有限個(gè)。（

14、3）在一周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)值積分為有限值）在一周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)值積分為有限值 。 dttfT0)(即即信號(hào)x（t）的另一種形式的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式： 式中， An稱信號(hào)頻率成分的幅值，n稱初相角。v注意：An是n或n0的偶函數(shù)，A-n=An；v bn是n或n0的奇函數(shù)，-n=-n 。v 并可知 ：001( )cos()nnnx taAnt)(22nnnnnnabarctgbaA n1,2, nnnnnnAbAasincosn1,2,小結(jié)與討論1.式中第一項(xiàng)a0為周期信號(hào)中的常值或直流分量；2.從第二項(xiàng)依次向下分別稱信號(hào)的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、n次諧波 ；3.將信號(hào)的角頻率0作為橫坐標(biāo)，可

15、分別畫出信號(hào)幅值A(chǔ)n和相角n隨頻率0變化的圖形，分別稱之為信號(hào)的幅頻譜和相頻譜圖。 例1 求圖所示的周期方波信號(hào)x（t）的傅里葉級(jí)數(shù)及其頻譜。解：信號(hào)x（t）在它的一個(gè)周期中的表達(dá)式為： 有：;sin)(;cos)(;)(2/2/022/2/022/2/10000000000TTTnTTTnTTTtdtntxbtdtntxadttxa圖周期方波信號(hào) 20, 102, 1)(TttTtx2/2/00cos)(2TTntdtntxTa注意：本例中x(t)為一奇函數(shù)，而cosn0t為偶函數(shù)，兩者的積x(t)cosn0t也為奇函數(shù)，而一個(gè)奇函數(shù)在上、下限對(duì)稱區(qū)間上的積分值等于零。 可得周期方波信號(hào)的傅

16、里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為： ;sin)(;cos)(;)(2/2/022/2/022/2/10000000000TTTnTTTnTTTtdtntxbtdtntxadttxa6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4cos12)cos(1cos12sinsin) 1(2sin)(22/00002/002/0002/02/2/0nnnnntnntnnTtdtntdtnTtdtntxTbTTTTTTn)5sin513sin31(sin4)(000ttttx周期方波信號(hào)的頻譜圖周期函數(shù)的奇偶特性周期函數(shù)的奇偶特性若周期函數(shù)若周期函數(shù)x(t)為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，即x(t)=-x(-t) 0/24000

17、;0;( )sin;nTnTaabx tntdt/2200/2400( );( )cos;0TTTnTnax t dtax tntdtb1000sincos)(nnntnbtnaatx10sin)(nntnbtx100cos)(nntnaatx 若若周期函數(shù)周期函數(shù)x(t)偶函數(shù)，即偶函數(shù)，即x(t)=x(-t);sin)(;cos)(;)(2/2/022/2/022/2/10000000000TTTnTTTnTTTtdtntxbtdtntxadttxa周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)周期信號(hào)頻譜特點(diǎn) 1、由于、由于 為整數(shù)，各頻率分量?jī)H在為整數(shù)，各頻率分量?jī)H在 的頻率處取值，因的頻率處取值，因而得到的是關(guān)于

18、幅值而得到的是關(guān)于幅值 和相角和相角 的離散譜線的離散譜線 2、諸分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍、諸分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍 3、各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值和相位角，工程、各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值和相位角，工程上常見(jiàn)的信號(hào)，其諧波幅值總的趨勢(shì)是隨諧波次數(shù)的增高而上常見(jiàn)的信號(hào)，其諧波幅值總的趨勢(shì)是隨諧波次數(shù)的增高而減小的。減小的。nnA0nn1000100)sin()()sincos()(nnnnnntnAatxtnbtnaatx周期信號(hào)的頻譜具有周期信號(hào)的頻譜具有離散性離散性、諧波諧波 性性和和收斂性收斂性三個(gè)特點(diǎn)。三個(gè)特點(diǎn)。v歐拉公式歐拉公式 則那么令二、傅里葉級(jí)數(shù)的

19、復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式：二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式：an是n的偶函數(shù)，a-n=an；bn是n的奇函數(shù)，b-n=-bn 。 000cossin(1)jntentjntj0001cos()2jntjntntee000sin()2jntjntjntee0001( )cossinnnnx taantbnt000001()()22jntjntjntjntnnnabaeejee000122jntjntnnnnnajbajbaee00Ca1()2nnnCajb1()2nnnCajb00011( )jntjntnnnnx tCC eC e000011jntjntjntnnnnnnC eC eC e即即)(21

20、nnnjbaC2/2/0000cos)(2TTntdtntxTa2/2/0000sin)(2TTntdtntxTb2/2/002/2/000000sin)(2cos)(2212TTTTnnntdtntxTjtdtntxTjbaC2/2/0000)(1TTtjnndtetxTC由所以即即2/2/00000sincos)(1TTdttnjtntxT0( )0, 1, 2,jntnnx tC en 一般情況下，一般情況下，Cn是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)njnnInRneCjCCC| 22nInRnCCCnRnInCCarctgCn與與C-n共軛共軛*nnCCnn把周期函數(shù)把周期函數(shù)x(t)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)以后，作

21、關(guān)系圖展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)以后，作關(guān)系圖 CnR0稱為實(shí)頻圖稱為實(shí)頻圖 CnI0稱為虛頻圖稱為虛頻圖 |Cn|0稱為稱為雙邊幅頻雙邊幅頻圖，圖，n=-+，n=-+， n0稱為稱為雙邊雙邊相頻圖相頻圖2/2/0000)(1TTtjnndtetxTC例例2:畫出正弦函數(shù)畫出正弦函數(shù)sin0t的頻譜圖。的頻譜圖。0nRC2jCn)(2sin000tjtjeejt, 2, 1, 0)(0neCtxtjnnntjtjtjnnnejejeCt0001)1(02121sin在 0處： 0nRC21nIC21nC2n0nRC21nIC21nC2n在 0處： 2jCn一般周期函數(shù)實(shí)頻譜總是偶對(duì)稱的，虛頻譜總是奇對(duì)稱

22、的。一般周期函數(shù)實(shí)頻譜總是偶對(duì)稱的，虛頻譜總是奇對(duì)稱的。 實(shí)頻圖虛頻圖雙邊幅頻圖雙邊相頻圖單邊幅頻圖一一傅里葉變換傅里葉變換二二傅里葉變換的主要性質(zhì)傅里葉變換的主要性質(zhì)三三幾種典型信號(hào)的頻譜幾種典型信號(hào)的頻譜第三節(jié)第三節(jié) 瞬變瞬變非周期非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜信號(hào)與連續(xù)頻譜非非周周期期信信號(hào)號(hào)準(zhǔn)周期信號(hào)準(zhǔn)周期信號(hào) 信號(hào)中各簡(jiǎn)諧成分信號(hào)中各簡(jiǎn)諧成分 的的頻率比為無(wú)理數(shù)頻率比為無(wú)理數(shù) 具有具有離散頻譜離散頻譜瞬變信號(hào)瞬變信號(hào) 在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi) 存在或隨時(shí)間的增存在或隨時(shí)間的增 長(zhǎng)長(zhǎng)衰減至零衰減至零準(zhǔn)周期信號(hào)準(zhǔn)周期信號(hào)x(t)0tx(t)0t瞬變瞬變信號(hào)信號(hào)I0tx(t)瞬變瞬變信號(hào)信號(hào)

23、IItAtAtx31sin9sin)(ttxtsine)(一一.瞬變非周期信號(hào)頻譜的求取方法瞬變非周期信號(hào)頻譜的求取方法周期信號(hào)周期信號(hào)x(t)，在，在-T/2, T/2區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi), 2, 1, 0)(0neCtxtjnnn式中，式中，當(dāng)當(dāng)T時(shí)，時(shí)， 積分區(qū)間由積分區(qū)間由-T/2,T/2變?yōu)樽優(yōu)?-,)； 0lim( )j tnTCTx t edt 0=2/T 0， 離散頻率離散頻率n0連續(xù)變量連續(xù)變量。 0/2/21( )TjntnTCx t edtT X()為單位頻寬上的諧波幅值，具有為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度密度”的的含義，故把含義，故把X()稱為瞬態(tài)信號(hào)的稱為瞬態(tài)信號(hào)的“頻譜

24、密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)”，或簡(jiǎn)稱或簡(jiǎn)稱“頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)”。 0( )limlimnnTfCXCTf一般為復(fù)數(shù)，用一般為復(fù)數(shù)，用X()表示表示為：為：X()稱為信號(hào)稱為信號(hào)x(t)的的傅立葉變換。傅立葉變換。 ( )( )j tXx t edtlim( )j tnTCTx t edtu傅立葉逆變換傅立葉逆變換當(dāng)當(dāng)T時(shí)，時(shí)，0=2/T0 ， 0=d離散頻率離散頻率n0連續(xù)變量連續(xù)變量 求和求和積分。則：積分。則：, 2, 1, 0)(0neCtxtjnnn0001( )limlim2jntjntnnTTnnx tTC eTC eT1( )( )2j tx tXedx(t)為為X()的的傅立葉傅立葉

25、逆變換逆變換（反變換）（反變換） ( )( )j tXx t edt0/2/21( )TjntnTCx t edtT周期信號(hào)周期信號(hào)瞬變非周期信號(hào)瞬變非周期信號(hào)u傅立葉變換對(duì)傅立葉變換對(duì)由于=2 ( )( )j tXx t edt1( )( )2j tx tXed( )( )FTIFTx tX2( )( )jftX fx t edt2( )( )jftx tX fedf()()()jfXfXfe22( )Re ( ) Im ( )Im ( )( )Re ( )X fX fX fX ffarctgX f- -f 連續(xù)連續(xù)幅值譜幅值譜-f 連續(xù)連續(xù)相位譜相位譜 fX f2211( )( )(2)2

26、( )22j tjftjftx tXedXfedfX fedf矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù)fTfTTeefjfTjfTjsin)(212( )( )jftX fx t edt0(2)( )1 (22)0(2)RtTw tTtTtT 矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù) 2( )( )jftRRWfw t edt222222211TTftjTTftjefjdte)(sinfTCT例例:矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù) 的頻譜的頻譜f( )Rw t( )Rw t矩形窗函數(shù)頻譜( )RW f例：?jiǎn)芜呏笖?shù)衰減函數(shù)的頻譜例：?jiǎn)芜呏笖?shù)衰減函數(shù)的頻譜2( )( )jftX fx t edtu周期和非周期信號(hào)幅值譜的區(qū)別周期和非周期信號(hào)幅值譜的

27、區(qū)別 |X ()|為連續(xù)頻譜，而為連續(xù)頻譜，而|Cn|為離散頻譜；為離散頻譜；|Cn|的量綱和信號(hào)幅值的量綱一致，即的量綱和信號(hào)幅值的量綱一致，即振幅，而振幅，而|X ()|的量綱相當(dāng)于的量綱相當(dāng)于|Cn|/，為單，為單位頻寬上的幅值，即位頻寬上的幅值，即“頻譜密度頻譜密度函數(shù)函數(shù)”，振幅振幅/頻率（如頻率（如cm/Hz）。）。 非周期信號(hào)幅值譜|X ()|與周期信號(hào)幅值譜|Cn|之間的區(qū)別： 二二.傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)a.若若x(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù)a1.若若x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則為實(shí)偶函數(shù)，則ImX()=0，而，而X()是實(shí)偶函數(shù)；是實(shí)偶函數(shù)； a2.若若x(t)為實(shí)奇函數(shù)，則

28、為實(shí)奇函數(shù)，則ReX()=0，而，而X()是虛奇函數(shù)；是虛奇函數(shù)；b.若若x(t)是虛函數(shù)是虛函數(shù)b1.若若x(t)為虛偶函數(shù)，則為虛偶函數(shù)，則ReX()=0，而，而X()是虛偶函數(shù)；是虛偶函數(shù)；b2.若若x(t)為虛奇函數(shù)，則為虛奇函數(shù)，則ImX()=0，而，而X()是實(shí)奇函數(shù)。是實(shí)奇函數(shù)。2( )( )( )cos2( )sin2( )+( )jftemX fx t edtx tftdtjx tftdtR X fjIX f1.奇偶虛實(shí)性( )cos2( )( )sin2( )emx tftdtR X fjx tftdtjI X f( )cos2( )( )sin2( )mex tftdtj

29、I X fjx tftdtR X f21 122221 1221122( )( )( )( )( )( )jftjftjftc x tc x t edtc x t edtc x t edtc Xfc Xf如果有 則 11( )( )x tXf22( )( )x tXf1 1221122( )( )( )( )c x tc x tc Xfc Xf2.線性疊加性證明 例子：求下圖波形的頻譜例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡(jiǎn)化用線性疊加定理簡(jiǎn)化3.對(duì)稱性 若若:(時(shí)域信號(hào)時(shí)域信號(hào)) x(t) X() (頻域信號(hào)頻域信號(hào))，則，則 X (t) x (-) ( )X f( )X

30、tTT2T2T1T1T1T1T2T2T對(duì)稱性對(duì)稱性：X(t) x(-f )證明：證明： 互換互換 t 和和 f從而：從而：X(t) x(-f)ffXtxftjde )()(2fefXtxftd)()(2jttXfxftjde )()(22( )( )jftX fx t edt4.時(shí)間尺度改變特性時(shí)間尺度改變特性 若若 ，則則對(duì)于實(shí)常數(shù) ，有 62()( )xtX f1()fx ktXkkk當(dāng)時(shí)域尺度壓縮( 1)時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻域展寬且幅頻譜譜線高度減?。划?dāng)時(shí)域尺度展寬( 1)，則信號(hào)的頻寬壓縮，則信號(hào)的頻寬壓縮k倍，而倍，而幅值變?yōu)樵底優(yōu)樵瓉?lái)的來(lái)的k倍倍。 sin()( )RfTWfTfTk=

31、1-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=1)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=1)13k 時(shí)間尺度改變性時(shí)間尺度改變性 證明：證明：j2j2() ()()ed11(

32、)d()()ftfktkF x ktx kttfx kt ektXkkk2j2j1()( )ed11( )edfkfkF x ktxkfxXkkk（k 0）（k 1，變化速，變化速度加快）等效于在頻域擴(kuò)展（頻帶加寬）；反之亦然。度加快）等效于在頻域擴(kuò)展（頻帶加寬）；反之亦然。5.時(shí)移性若若 ，則在時(shí)域中信號(hào)沿時(shí)間軸平移一常值，則在時(shí)域中信號(hào)沿時(shí)間軸平移一常值t0（時(shí)時(shí)移移） ，則，則020()( )jftx tteX f對(duì)應(yīng)如果信號(hào)在時(shí)域中如果信號(hào)在時(shí)域中延遲了時(shí)間延遲了時(shí)間t0，其頻譜幅值不會(huì)改變，而，其頻譜幅值不會(huì)改變，而相頻譜中各次諧波的相頻譜中各次諧波的相移相移-2t0，與，與頻率成正

33、比。頻率成正比。 ( )( )x tX f例 求圖所示矩形脈沖函數(shù)的頻譜。解：該函數(shù)可視為一個(gè)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的矩形脈沖時(shí)移至t0點(diǎn)位置所形成，則其傅里葉變換及幅頻譜和相頻譜分別為 02( )sin ()jftX fTcfT e00( )sin ()2,sin () 0( )2, sin () 0X fTcfTt fcfTft fcfT證明：證明： 若若 t0為常數(shù)為常數(shù) 則則 時(shí)移結(jié)果時(shí)移結(jié)果只改變信號(hào)的相頻譜，不改變信號(hào)的幅頻譜只改變信號(hào)的相頻譜，不改變信號(hào)的幅頻譜時(shí)移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì) 02j0e )()(ftfXttx000j200j2 ()j200j2 ()()ed()eed()( )ef

34、tf t tftftF x ttx tttx ttttX f0j201 ()()eftafF x attXaatfjetxffX020)()( )()x tXf圖 x(t)cos0t的頻譜 6.頻移性若若 ，在頻域中信號(hào)沿頻率軸平移一，在頻域中信號(hào)沿頻率軸平移一常值常值0（頻移頻移），則），則證明：證明： 若若 f0為常數(shù)為常數(shù) 則則 頻移性質(zhì)頻移性質(zhì) 100101010j2010j2()11j2j211j2j211j2()()ed ()()ed()eede()ede( )ftfftf tf tf tf tf tFX ffX ffffffX ffX ffX ffx t令68tfjetxffX0

35、20)()(時(shí)域表達(dá)式時(shí)域表達(dá)式例例:求被截取的余弦信號(hào)的頻譜函數(shù)求被截取的余弦信號(hào)的頻譜函數(shù)000|0|cos)(TtTtttx697.卷積定理對(duì)于任意兩個(gè)對(duì)于任意兩個(gè)函數(shù)函數(shù)x1(t)和和x2(t)，定義它們的卷積為：定義它們的卷積為： dtxxtxtx)()()(*)(2121若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 則則1.兩個(gè)函數(shù)在兩個(gè)函數(shù)在時(shí)域中的卷積時(shí)域中的卷積，對(duì)應(yīng)于，對(duì)應(yīng)于頻域中的乘積頻域中的乘積2.兩個(gè)函數(shù)在兩個(gè)函數(shù)在時(shí)域中的乘積時(shí)域中的乘積，對(duì)應(yīng)于，對(duì)應(yīng)于頻域中的卷積頻域中的卷積 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2(

36、)時(shí)域卷積特性證明時(shí)域卷積特性證明 對(duì)于對(duì)于x1(t)和和x2(t)，定義它們的卷積為：定義它們的卷積為： dtxxtxtx)()()(*)(2121若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 則則x1(t)* x2(t) X1()X2()()()()()()()()()()()(*)(212212)(22122122121fXfXdefXxddteetxxddtetxxdtedtxxtxtxFfjfjtfjftjftj 1X（f）頻域卷積特性證明頻域卷積特性證明 對(duì)于對(duì)于 和和 ，定義它們的卷積為：定義它們的卷積為： 1212( )*( )( )()XfXfXXfd若若x1(t) X1

37、()，x2(t) X2()， 則則x1(t) x2(t) X1()*X2() 1212122122 ()21222122112( )*( )( )()( )()( )()( )( )( )( )( )( )jftjftjftjtjtjtFXfXfXXfdedfXXfedf dXXfeedf dXx t edx tXedx t x t 721( )Xf2()Xfnnttxd)(d)(2 jfXfnffXtxftde )()(2jffXfttxftde )()2 j (d)(d2jd ( )(j2 )( )dx tFf X ftd( )(j2 )( )dnnnx tFfX ft8.8.微分特性：微

38、分特性：證明：證明：同理：同理：三、幾種典型信號(hào)的頻譜三、幾種典型信號(hào)的頻譜在在時(shí)間內(nèi)激發(fā)時(shí)間內(nèi)激發(fā)矩形矩形脈沖脈沖 （或（或三角三角脈沖、脈沖、雙邊指雙邊指數(shù)數(shù)脈沖，脈沖，鐘形鐘形脈沖）所包含的脈沖）所包含的面積為面積為1；1.單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)(t)及其頻譜及其頻譜0lim( )( )tt0t)(tS單位面積10t0t211)(t)(tS1各種單位面積為1的脈沖 矩形脈沖到函數(shù)函數(shù) 當(dāng)當(dāng)0時(shí)，時(shí)， 的極限就稱為的極限就稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)，記作，記作(t)，即（單位脈沖函數(shù)）。即（單位脈沖函數(shù)）。 (1)(t)的定義的定義( ) t( ) t( ) t( ) t從極限角度從極

39、限角度: : (2)(t)的特性000)(ttt從面積角度從面積角度: : 1)(lim)(0dttSdtt0t0t211)(t)(tS1矩形脈沖到矩形脈沖到函數(shù)函數(shù) ( ) t(3)(t)乘積性乘積性0( ) ( )(0) ( )( ) ()x ttxtx ttt000)(ttt00() ()xttt0( )lim( )1t dtt dt)0()()0()()0()()(xdttxdttxdtttx(4)(t)的篩選性的篩選性)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t0000000( )()( )()()()()x tt t d

40、tx tt t dtx tt t dtx t)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t00( )lim( )1t dtt dtv令令t-=t，則，則=t- t，d=-d t，代入則，代入則)()0(dtttx)()()()(*)(txdtxttx)()()()()()()(*)(dttttxdttttxdtxttx結(jié)果：結(jié)果：x(t)與與(t)的卷積等于的卷積等于x(t)。 函數(shù)的卷積特性函數(shù)的卷積特性 (5)(t)與其它信號(hào)的卷積與其它信號(hào)的卷積 )()()()(*)(000ttxdttxtttx 結(jié)果：結(jié)果：(tt0)時(shí)卷積，

41、就是將函數(shù)時(shí)卷積，就是將函數(shù)x(t)在發(fā)生脈在發(fā)生脈沖函數(shù)的坐標(biāo)位置上重新作圖沖函數(shù)的坐標(biāo)位置上重新作圖 當(dāng)脈沖函數(shù)為(tt0)時(shí)，與函數(shù)x(t)的卷積 函數(shù)的卷積特性函數(shù)的卷積特性2 (6)(t)的頻譜的頻譜2( )( )jftft edt逆變換：逆變換： dfetftj21)(t) 1 據(jù)對(duì)稱性：據(jù)對(duì)稱性：1() 0t)(t0)( f1函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜 10 e直流分量的頻譜直流分量的頻譜 (t) 1 1() 根據(jù)時(shí)移特性根據(jù)時(shí)移特性 ：020)()(ftjefXttx對(duì)應(yīng)tfjetxffX020)()(020()jfttte020()jf teff根據(jù)頻移特性根據(jù)頻移特性 ：2.周期函數(shù)的頻譜 周期函數(shù)x(t) 的傅里葉級(jí)數(shù)形式：式中x(t)的傅立葉變換為：v一個(gè)周期函數(shù)的傅里葉變換由無(wú)窮多個(gè)位于各諧一個(gè)周期函