廈門大學第十二屆(2015)景潤杯數(shù)學競賽試卷答案(理工類)評分標準

1、廈門大學第十二屆(2015)景潤杯數(shù)學競賽試卷答案(理工類)評分標準 導讀：就愛閱讀網(wǎng)友為您分享以下“廈門大學第十二屆(2015)景潤杯數(shù)學競賽試卷答案(理工類)評分標準”的資訊，希望對您有所幫助，感謝您對92to 的支持!4ab3c4abc32同理 ?ydxdydz?. .2分 ,?zdxdydz?1515?2 所求的轉(zhuǎn)動慣量為I?2?ddxdydz? ?4abc(1?2)a2?(1?2)b2?(1?2)c2 1分 15 （2）設(shè)考慮目標函數(shù)(1?2)a2?(1?2)b2?(1?2)c2在約束條件?2?2?2?1下的條件極值. 設(shè)拉格朗日函數(shù)為 L(?,?,?,?)?(1?2)a2?(1?2

2、)b2?(1?2)c2?(?2?2?2?1) .1分 ?L?2?(?a2)?0，?2?L?2?(?b)?0,令?. 求得極值點為 Q1(?1,0,0,a2)，Q2(0,?1,0,b2)，Q3(0,0,?1,c2). 2?L?2?(?c)?0, 222?1. .3分 通過比較可知，當(?,?,?)?(0,0,?1)時，即繞旋轉(zhuǎn)軸L軸轉(zhuǎn)動慣量最大，即 Imax?4abc2(a?b2)， .1分 15 當(?,?,?)?(?1,0,0)時，即繞旋轉(zhuǎn)軸L軸轉(zhuǎn)動慣量最小，即 Imin?4abc22(b?c). .1分 15 十一、（8分）在不斷抽打下，陀螺會飛快地旋轉(zhuǎn)，但當一旦停止對它進行抽打，它也就不

3、再轉(zhuǎn)動而停下來.設(shè)陀螺材質(zhì)均勻，且旋轉(zhuǎn)體所占的立體區(qū)域為 2?(x,y,z)|(x2?y2)?z?2a,a?0， a 試求當陀螺停止轉(zhuǎn)動后，在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下它的中心軸與水 平地面的夾角?. 如圖（軸截面）(其中A為陀螺停止轉(zhuǎn)動 后，在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下與地平面的接觸點) . 解：首先求陀螺的質(zhì)心坐標.由于陀螺材質(zhì)均勻的旋轉(zhuǎn)體，所以它的質(zhì)心就是幾何體的形心，根據(jù)對稱性可知，必有?0. 由于 ?dv?2a0dz?dxdy?Dz2a022a2aazaz43dz?a，?zdv?zdz?dxdy?dz?a4. 00223?Dz 所以?zdv? ?dv ?44a，即陀螺的質(zhì)心坐標為G(0,0,a). .2分

4、33 當陀螺停止轉(zhuǎn)動后，在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下時，它的質(zhì)心到水平地面的距離應(yīng)達到最短. 如圖軸截面，設(shè)陀螺在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下，它與水平地面的切點為A(y,z). 于是問題就轉(zhuǎn)化為一個條件極值問題，其目標函數(shù)為 32L?(GA)2?y2?(z?a)2，約束條件為z?y2（陀螺側(cè)面的軸截線） 4a 22322將其代入目標函數(shù)，有L?y?(y?a),0?y?a. .1分 a4 令 1dL2y?2(8y2?2a2)?0，得y0?a. 2dya 1111dLdLa時，?0，當a?y?a時，?0，從而得到點A的坐標為(a,a). 2222dydy 2分 當0?y?軸截線z?2211y與y軸在點A(a,a)處的切線

5、與y軸的夾角為 a22 ?arctan( ?dz4y)|1?arctan()|1?arctan2 .2分 dyy?2aay?2a111?，tan?tan(?)?cot?，?arctan .1分 22tan?22廈門大學第十二屆“景潤杯”數(shù)學競賽 試卷（理工類）參考答案 一、求下列各題極限（每小題4分，共8分） (3?2sinx)x?3x （1） 求極限 lim. 2x?0tanx 2x (1?sinx)?1(3?2sinx)?3x解一：lim .1分 ?lim3?lim2x?0x?0x?0tan2xx x x ?lim x?0 e 2 xln(1?sinx) 3 ?1 x2 .2分 2 xln

6、(1?sinx) .1分 ?lim2x?0x2sinx 2?lim? .1分 x?0x3 (3?2sinx)x?3xexln(3?2sinx)?exln3?lim解二：lim .1分 x?0x?0tan2xx2 xln(3?2sinx)?ln3 2分 2x?0x 2 xln(1?sinx) .1分 ?lim2x?0x 2sinx 2?lim? .1分 x?0x3?lime? 其中?在xln(3?2sinx)與xln3之間. (2)設(shè)x1?1,x2?2,xn?xn?1?xn?2(n?2,3,?)，求極限lim 1 . n?xn 解一：由題設(shè)條件知，對?n?2，xn?0，且xn?xn?1?xn?2?0，即xn嚴格單增，所以, xn?xn?1?xn?2?2xn?1，xn?1?故 xn?xn?1?xn?2? 33 xn?1?()