山東省自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))

1、線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題一（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)D=M0，則D1= ( B )A.2M B.2M C.6M D.6M2.設(shè) A、B、C為同階方陣，若由AB = AC必能推出 B = C，則A應(yīng)滿足 ( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.設(shè)A，B均為n階方陣，則 ( A )A.|A+AB|=0，則|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.當(dāng)AB=O時(shí)，有A=O或B

2、=O D.(AB)-1=B-1A-14.二階矩陣A，|A|=1，則A-1= ( B ) A. B. C. D.5.設(shè)兩個(gè)向量組與，則下列說(shuō)法正確的是( B )A.若兩向量組等價(jià)，則s = t .B.若兩向量組等價(jià)，則r()= r() C.若s = t，則兩向量組等價(jià).D.若r()= r()，則兩向量組等價(jià).6.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是 ( C )A. 中至少有一個(gè)零向量B. 中至少有兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量成比例C. 中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示D. 可由線性表示7.設(shè)向量組有兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組與，則下列成立的是( C ) A. r與s未必相等 B. r + s = mC. r = s D.

3、 r + s m8.對(duì)方程組Ax = b與其導(dǎo)出組Ax = o，下列命題正確的是( D )A. Ax = o有解時(shí)，Ax = b必有解.B. Ax = o有無(wú)窮多解時(shí)，Ax = b有無(wú)窮多解.C. Ax = b無(wú)解時(shí)，Ax = o也無(wú)解.D. Ax = b有惟一解時(shí)，Ax = o只有零解.9.設(shè)方程組有非零解，則k = ( D )A. 2 B. 3 C. -1 D. 110.n階對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充分必要條件是( D )A. |A|0 B.存在n階方陣C使A=CTCC.負(fù)慣性指標(biāo)為零 D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)

4、填、不填均無(wú)分。11.四階行列式D中第3列元素依次為 -1，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，則D = -15 12.若方陣A滿足A2 = A，且AE，則|A|= 0 .13.若A為3階方陣，且 ，則|2A|= 4 14.設(shè)矩陣的秩為2，則t = -3 15.設(shè)向量(6，8，0)，=(4，3，5)，則(,)= 0 16.設(shè)n元齊次線性方程組Ax = o，r(A)= r n，則基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為 n-r 個(gè).17.設(shè)(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，則=(1，2，3)在此基下的坐標(biāo)為 (1,1,2) .18.設(shè)A為三階方陣，其特征值為1，-1，

5、2，則A2的特征值為 1,1,4 .19.二次型的矩陣A= .20.若矩陣A與B=相似，則A的特征值為 1,2,3 .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.求行列式的值.解：=. 22.解矩陣方程：. 解：令B=.因?yàn)?由23.求向量組=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示. 所以， 24. a取何值時(shí)，方程組有解？并求其通解（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.解：對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換：.若方程組有解，則，故a=5.當(dāng)

6、a=5時(shí)，繼續(xù)施以初等行變換得：，原方程組的同解方程組為：，令，得原方程組的一個(gè)特解：與導(dǎo)出組同解的方程組為：令得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，所以，方程組的全部解為：25.已知,求A的特征值及特征向量，并判斷A能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣P，使P 1AP =（對(duì)角形矩陣）解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：,所以，A的特征值為：對(duì)于，求齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系:,從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為:對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,得基礎(chǔ)解系:,從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為:因?yàn)槿A矩陣A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量所以，A相似于對(duì)角矩陣，且 26.用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形： 解： =

7、= =令得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量，證明向量組是R3空間中的一個(gè)基. 證：因?yàn)樗运韵蛄拷M 線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題二（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.若三階行列式=0, 則k = (C ).A1 B0 C-1 D-22.設(shè)A、B為n階方陣,則成立的充要條件是 ( D ).AA可逆 BB可逆 C|A|=|B| DAB=BA3.設(shè)A是n階可逆矩陣, A*是A的伴隨矩陣, 則 ( A ).A BC D4.矩陣的

8、秩為2，則 = ( B ).A2 B1 C0 D5.設(shè)34矩陣A的秩r(A)=1，是齊次線性方程組Ax=o的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為 (D ).A B C D6.向量線性相關(guān),則( C ).Ak =-4 Bk = 4 Ck =-3 Dk = 3 7.設(shè)u1, u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解, 若是其導(dǎo)出組Ax=o的解, 則有 ( B ).Ac1+c2 =1 Bc1= c2 Cc1+ c2 = 0 Dc1= 2c2 8.設(shè)A為n(n2)階方陣，且A2=E，則必有 ( B ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩陣等于EDA的特征值均為19.設(shè)三階矩陣A的特征值為2

9、, 1, 1， 則A-1的特征值為 ( D ).A1, 2 B2, 1, 1 C, 1 D, 1, 110.二次型是 ( A ).A正定的 B半正定的 C負(fù)定的 D不定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.=_5_12.設(shè)A為三階方陣,且|A|=4，則|2A|=_32_13.設(shè)A=, B =, 則ATB =_14.設(shè)A =,則A-1=_15.向量表示為向量組的線性組合式為_(kāi)16.如果方程組有非零解, 則k =_-1_17.設(shè)向量與正交，則a =_2_18.已知實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A=,寫(xiě)出矩陣A對(duì)應(yīng)的二次型_19.已知矩陣A與對(duì)角矩

10、陣=相似，則A2=_E_20.設(shè)實(shí)二次型的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為_(kāi)三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算行列式的值.原式=22.設(shè)矩陣A=，B=，求矩陣A-1B . 所以， 23.設(shè)矩陣，求k的值，使A的秩r(A)分別等于1，2，3.解：對(duì)矩陣A施行初等變換：當(dāng)時(shí)，矩陣的秩當(dāng)當(dāng) 24.求向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示.解：將所給列向量構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)施初等行變換：所以，向量組的秩，向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：且有25. 求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示其通解.解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩

11、陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為:令方程組的通解為： 26. 已知矩陣，求正交矩陣P和對(duì)角矩陣，使P-1AP=.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：得矩陣A的所有特征值為：對(duì)于求方程組的基礎(chǔ)解系.，得基礎(chǔ)解系為將此線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化，得：.因?yàn)閷⑵鋯挝换?，得?則P是正交矩陣，且 四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，證明：向量組也線性無(wú)關(guān).證：令整理得：因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以故 . 線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題三（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選

12、或未選均無(wú)分。1.當(dāng)( D )成立時(shí)，階行列式的值為零.A.行列式主對(duì)角線上的元素全為零B.行列式中有個(gè)元素等于零C.行列式至少有一個(gè)階子式為零D.行列式所有階子式全為零2.已知均為n階矩陣，E為單位矩陣，且滿足ABC=E，則下列結(jié)論必然成立的是 ( B ).A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E 3.設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是 ( D ).A. (AB)-1=A-1B-1 B. (A+B)-1=A-1+B-1 C. (AB)T=ATBT D. 4.下列矩陣不是初等矩陣的是 ( B ). A. B. C. D.5.設(shè)是4維向量組，則 ( D )

13、. A.線性無(wú)關(guān)B.至少有兩個(gè)向量成比例C.只有一個(gè)向量能由其余向量線性表示D.至少有兩個(gè)向量可由其余向量線性表示6.設(shè)A為mn矩陣，且m0 B. A的每一個(gè)元素都大于零C. D. A的正慣性指數(shù)為n10.設(shè)A，B為同階方陣，且r(A) = r(B)，則 ( C ). A. A與B相似 B. A與B合同C. A與B等價(jià) D.|A|=|B|二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式 24 .12.設(shè)A為三階矩陣，|A|=-2，將矩陣A按列分塊為，其中是A的第j列，,則|B|= 6 .13.已知矩陣方程AX=B，其中A=，B=

14、，則X= .14.已知向量組的秩為2，則k = -2 .15.向量的長(zhǎng)度= .16.向量在基下的坐標(biāo)為 (3,-4,3) .17.設(shè)是4元齊次線性方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系，則矩陣A的秩r(A)= 1 .18.設(shè)是三階矩陣A的特征值，則a = 1 .19.若是正定二次型，則滿足 . 20.設(shè)三階矩陣A的特征值為1,2,3，矩陣B=A2+2A,則|B|= 360 .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)三階矩陣A=，E為三階單位矩陣.求：(1)矩陣A-2E及|A-2E|；(2).解：（1） （2）因?yàn)?2.已知向量組求：(1)向量組的秩；(2) 向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將

15、其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示.解：(1)將所給向量按列構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)施初等行變換：所以，向量組的秩（2）向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：，且有.23. 討論a為何值時(shí)，線性方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求出方程組的通解.解：對(duì)方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換：若方程組有解，則，從而當(dāng)時(shí)，原方程組的通解方程組為：令.導(dǎo)出組的同解方程組為：令分別取得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：所以，方程組的通解為： 24. 已知向量組，討論該向量組的線性相關(guān)性.解：因?yàn)?25.已知矩陣A=，(1)求矩陣A的特征值與特征向量；(2)判斷A可否與對(duì)角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣. 解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為

16、：,所以，A的特征值為：對(duì)于， 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，,從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)于，求齊次線性方程組因?yàn)槿A矩陣A只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以，A不能相似于對(duì)角矩陣.26.設(shè)二次型(1)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(2)求二次型的秩和正慣性指數(shù).解：(1)利用配方法，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形： 令得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：（2） 四、證明題（本大題共6分）27. 已知A是n階方陣，且，證明矩陣A可逆，并求證：由 從而 所以A可逆,且 線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題四（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填

17、寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.三階行列式，則a = ( ).A. 2 B. 3 C. D. -3 2.設(shè)A，B均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是 ( ).A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (AB)-1 = B-1A-1 C. 若AB= O, 則A=O或B=O D. |AB| = |A| |B| 3.設(shè)A，B，AB-BA= ( ).A. B. C. D. 4.設(shè)矩陣的秩為2，則 ( ).A. B.t = -4 C. t是任意實(shí)數(shù) D.以上都不對(duì)5.設(shè)向量，則 ( ).A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0, 5, 4) D

18、.(1, 0, 5, -6)6.向量組線性相關(guān),則( ).A. k =-4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 27.設(shè)u1, u2是非齊次線性方程組Ax = b的兩個(gè)解，若c1u1+c2u2也是方程組Ax = b的解，則 ( ).A. c1+c2 =1 B. c1= c2 C. c1+ c2 = 0 D. c1= 2c2 8.設(shè)mn矩陣A的秩r(A) = n-3(n3)，是齊次線性方程組Ax=o的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系為( ).A. B. C. D. 9.設(shè)三階矩陣A的特征值為1，1，2，則2A+E的特征值為( ). A. 3，5 B. 1，2 C.1

19、，1，2 D. 3，3，5 10.n階對(duì)稱(chēng)矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是 ( ). A. B.存在n階矩陣P，使得A=PTP C.負(fù)慣性指數(shù)為 D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11. . 12.設(shè)A為三階方陣，且|A|=2，A*是其伴隨矩陣，則|2A*| = .13.設(shè)矩陣A，則= .14.設(shè)，則內(nèi)積= .15.若向量不能由線性表示，且r()=2，則r(,)= .16.設(shè)線性方程組有解，則t = .17.方程組的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)是 .18.設(shè)二階矩陣A與B相似，A的特征值為-1，2，則|B

20、|= .19.設(shè)二次型的矩陣,則二次型 . 20.用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為，則矩陣A的最小特征值為 .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算n階行列式. 22.解矩陣方程：. 23.驗(yàn)證是R3的一個(gè)基，并求向量在此基下的坐標(biāo). 24.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，令，試確定向量組的線性相關(guān)性. 25.求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并表示其通解. 26.求矩陣的特征值和全部特征向量. 四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)是三維向量組，證明：線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任一三維向量都可由它線性表示. 線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題五（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分

21、，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.行列式,則k = ( ).A. 1 B. 4 C. -1或4 D. -1 2.設(shè)A，B，C均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是 ( ).A.若AB=AC，則B=C B. (A-C)2 = A2-2AC+C2 C. ABC= BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 3.設(shè)A，B均為n階方陣,則等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要條件是 ( ).A. A=E B. B=O C. A=B D. AB=BA4.若，則初等矩陣P= ( ).A. B. C. D. 5.設(shè)向量,則 ( ).A. (-1, 3, 8, 9 ) B. (1, 3,8, 9) C. (-1, 0, 8, 6) D. (-1, 3, 9, 8) 6.下列結(jié)論正確的是 ( ). A.若存在一組數(shù)k1, k2, ,km, 使得成立，則向量組線性相關(guān).B.當(dāng)k1 = k2 =km=0時(shí)，則向量組線性無(wú)關(guān).C.若向量線性相關(guān)，則線性相關(guān).D.若向量線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān).7. 設(shè)u1, u2是非齊次線性方程組Ax = b的兩個(gè)解，若c1u1+c2u2是其導(dǎo)出組Ax = o的解，則 ( ).A. c1+ c2 = 0 B.