行列式及其性質(zhì)課件

1、第二章 行列式 第一節(jié) 行列式的定義 第二節(jié) 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算 第三節(jié) 矩陣的秩 第四節(jié) 克萊姆法則1. 行列式的定義行列式的定義回憶中學(xué)二元及三元方程組的求解. a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1)(2)若a110.)(1121aa+(2)得(1)22(a121121aaa2)x2b11121baa121121221111222aaaabaabx12212211121211aaaababa,22211211221111aaaababa(3)代入(1)得,222112112221211aaaaababx (4)此處.稱為二階行列式bcaddcba同樣，在求解三元

2、線性方程組 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3其解為,3332312322211312113323323222131211aaaaaaaaaaabaabaabx ，3332312322211312113333123221131112aaaaaaaaaabaabaabax.3332312322211312113333122321113113aaaaaaaaabaabaabaax 此處333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa

3、332112aaa322311aaa3332232211aaaaa3331232112aaaaa3231222113aaaaa.131312121111AaAaAa(5)其中A11, A12，A13為的代數(shù)余子式. 三階行列式中去掉第 i 行第 j 列剩下元素按原來(lái)次序組成的2階行列式記為 Mij 稱為 的二階余子式.而 Aij =(1)i+j Mij 稱為 的代數(shù)余子式由(5)知，三階行列式可用其二級(jí)子式(的線性組合)表示. 如果定義一階行列式 | a | = a, 則.|abx 且二階行列式可表示為2112121122211211aaaaaaaa12121111AaAa上述表明二階，三階行

4、列式均可由其子式的組合表示. 也即由低階行列式的組合表示.abx 對(duì)于一元線性方程 ax=b. 其解nnnjnjnnijijiinijijiinjijijaaaaaaaaaaaaaaaaM11111111111111111111111 元素aij的余子式定義為： 即去掉元素aij所在的行和所在的列后，剩下來(lái)的元素所構(gòu)成的比原行列式小一階的行列式。()1111111111111()1111111111( 1)( 1)ijijijijjniijijinijiijijinnnjnjnnAMaaaaaaaaaaaaaaaa 元素aij的代數(shù)余子式定義為： 即在元素aij的余子式前面加上一個(gè)符號(hào)，該符號(hào)

5、是由元素aij的下標(biāo)決定的。定義定義2.1nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211稱為一個(gè) n 階行列式.它可由 n 個(gè) n1 級(jí)行列式（線性）表示：1111121211,nnDa Aa Aa A其中Aij=(1)i+jMij, 而Mij aij的余子式, 稱為行列式的遞歸定義。2212.4 305411D例計(jì)算 111112121313: Da Aa Aa A解1 11 21 30 53 53 02( 1)( 2)( 1)( 1)( 1)1 -14 -14 1 20( 1)5 1( 2) 3( 1)54( 1) 3 104 2( 5)( 2)( 23)( 1)3 59. 課堂

6、練習(xí)課堂練習(xí)1. 計(jì)算三階行列式618753 .294D 根據(jù)定義知,行列式的計(jì)算是按逐步降階的方法,即將n階行列式先化為n-1階行列式,再化為n-2階行列式. 方陣是數(shù)表, 而行列式是數(shù)值 課堂練習(xí)課堂練習(xí)2. 計(jì)算三階行列式542303241D解解：54301)4(5233242031236.72D=還可看出232322222121AaAaAa3542405221)3(4241+ 0= 8412 =72 =D,333332323131AaAaAa230244332150341+36= 24+60=72 =D,313121211111AaAaAa154303542423024+84= 122

7、4=72 =D .以及 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算11det( 1)det (2.8) (1) rrnnjjjjrrjjjrAa AaArn 11det( 1)det (2.9) (1)nniissssiiisiiAa AaAsn :r按第 行展開(kāi):s按第 列展開(kāi)定理定理2.1 行列式行列式 detdetTAnAA是 階方陣11nn()證: 時(shí)成立.假設(shè)對(duì)階矩陣也成立1111det( 1)detnjjjjAaA111, TTjjaAAj的第 行第 列元素是對(duì)應(yīng)的余子矩陣恰好是1111 det( 1)detnTjTjjjAaA11111detdetTTjjjjnAAAA()和都是階矩陣 det

8、detTAA定理2.2 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算11(1) det(, , ) = det(, , )jnjnkkAAAAAA111(2) det(,)det(,) = det(,)njjjnjnAAAAABCBCA (2):,ijijijijijbcbcA證對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式相同,記為11det(,)njnijijiABAb A11det(,)njnijijiACAc A11det(,)()njjnijijijiABCAbcA.證畢定理2.3 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算2.4 定理交換行列式的兩行(列),行列式的值變號(hào).: .證明結(jié)論對(duì)2階行列式成立1 (, )ijnAAAAA考慮1 (

9、 , )nijjiAABAAAA后3 ,nki jk列數(shù)13)nn(假設(shè)對(duì)階行列式成立. 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算1detnrkrkrAa A(1) rkrknBA階矩陣可由交換兩列得到(1r) nrkrkAB detdet , .AB 證畢11detnnrkrkrkrkrrBb Ba B 行列式0；(1) ()行列式有兩行 列 相同(2) 行列式有兩行(列)成比例 行列式0。定理2.4 的推論 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算 行初 等變 換(1) , ijAirrj交換 的第 行和第 行(2) , .iAikkr的第 行乘于非零數(shù)(3) ., ijkAjkirr的第 行乘于數(shù) 加到第 行2

10、.2 定義(1)(2)(3) ; ;.ijijicckcckc列初等變換 mn矩陣 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算2.5: ,iijrrkr定理后 行列式值不變.1 det(, )+nijjkAAAAA11+det( , ) det( , )jnjjinAAAAAkAAA1det(, ) + 0ijnAAAA1det( , )ijnAAAA證明:由定理2.3得 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算.都是計(jì)算行列式的主要根據(jù)0初等變換原則：盡可能多的元素定理2.1、定理2.2、定理2.3 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算2.13 abbbbabbbbbanD 例計(jì)算階行列式 : 解(1)(1)(1)anbb

11、bbanba bbDanbb ba每一每一行元行元素和素和 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算(1)000 000anbbbbababD 各行減去第一行1(1)()nanbab 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算課堂練習(xí)課堂練習(xí). 計(jì)算三階行列式492357816D 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算1232222123111112311112.14 nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD例計(jì)算范德蒙行列式1: a解每行減去前一行的 倍2131122221231311112122123131111100 0nnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aaa aaa aaa aD 2.2 行列式的性

12、質(zhì)及其計(jì)算232131122223111()()()nnnnnnaaaaaaaaaaaa3114222132431()()() ()() () ()()nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaD1()ijj i naa 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算練習(xí)練習(xí)1.計(jì)算2421164214112111D解:法1 (化上三角形法)計(jì)算方法: 化上(下)三角形法;降階法.05103420350021111413122rrrrrrD42rr 3500342005102111 2.2 行列式的性質(zhì)及其計(jì)算232rr 3500314000510211134145rr 145700031400151021115

13、7法2(降階法)1413122rrrrrrD05103420350021111411jjjAa051342350可直接用對(duì)角線法則計(jì)算三階行列式練習(xí)練習(xí)2. 計(jì)算.321321321321nxnxnxnxD解：解：xxxxxxnxD000000321xxxn00000032 x+1+nx+ xx+ xx+ x1000000)2) 1(nxxxnnx).2) 1(1nnxxn練習(xí)練習(xí)3. 計(jì)算.621721744354353274274D621100744310053271004D解：解：62117443153271410017802116013271410017821161100)232178

14、(100.5400yyxxD 1111111111111111練習(xí)練習(xí)4. 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 (加邊法加邊法)解解 當(dāng)當(dāng)x0 或或y0時(shí)，顯然時(shí)，顯然D0，現(xiàn)假設(shè)，現(xiàn)假設(shè)x0，且且y00，則有，則有 yyxxyyxxD 000100010001000111111111101111011110111101111122000000000000000011111yxyyxx 練習(xí)練習(xí)5.5. 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式(遞推公式法遞推公式法) 12211 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1 axaaaaxxxxDnnnn 解解 由行列式由行列式Dn可知可知 111axaxD 將將Dn按第按第1列展開(kāi)列展開(kāi) ,100.0000010001)1(1000.00