概率論課件第4章第2講隨機(jī)變量序列的兩種收斂性

1、4.2 4.2 隨機(jī)變量序列的兩種收斂性隨機(jī)變量序列的兩種收斂性上一節(jié)我們由大數(shù)定理可得上一節(jié)我們由大數(shù)定理可得, ,在貝努里試驗(yàn)中在貝努里試驗(yàn)中, ,事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率, ,即即,?自 然 想 到 的 是 隨 機(jī) 變 量 序 列 是 否 依這 種 方 式 能 穩(wěn) 定 于 一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 呢.這就是我們要講的依概率收斂問(wèn)題1limPnPnnlim|1lim|0)nnnnPP1 1 依概率收斂依概率收斂定義：設(shè)定義：設(shè) 是隨機(jī)變量序列是隨機(jī)變量序列, ,若存在隨機(jī)若存在隨機(jī)變量變量 ( (或常數(shù)或常數(shù)),),對(duì)于任意對(duì)于任意0, ,有有n則稱隨機(jī)變量序列則稱

2、隨機(jī)變量序列 依概率收斂于依概率收斂于 , ,記記n)P(或Plimnnn為為 ,( , )( , ),(,)( , )kkkkab f x ya bff a b 例1:設(shè)依概率收斂于依概率收斂于在點(diǎn)連續(xù) 則依概率收斂于( , )( , ),f x ya b證明:因在點(diǎn)連續(xù) 故對(duì)02220,()()xayb當(dāng)時(shí)有|( , )( , )|f x yf a b于是于是|(,)( , )|kkff a b 222()()ab2222()()22kkab|22kkab故有故有0|(,)( , ) |kkPff a b|22kkPaPb由于由于lim |2kkPalim |02kkPb所以所以|(,)(

3、 , )|0kkPff a b 在上面所講的收斂概念中在上面所講的收斂概念中, ,尚未直接涉尚未直接涉及到隨機(jī)變量序列的分布函數(shù)列及到隨機(jī)變量序列的分布函數(shù)列Fn(x)和和隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)之間的關(guān)系之間的關(guān)系, ,而分而分布函數(shù)又完整地刻劃了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)布函數(shù)又完整地刻劃了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律律, ,因此有必要討論因此有必要討論Fn(x)與與F(x)之間的關(guān)之間的關(guān)系系. .2. .依分布收斂依分布收斂定義定義: :設(shè)設(shè)F(x), F1(x), F2(x),是一列分布函數(shù)是一列分布函數(shù), ,如果對(duì)如果對(duì)F(x)的每個(gè)連續(xù)點(diǎn)的每個(gè)連續(xù)點(diǎn)x x, ,都有都有F(x)(

4、x)Flimnn則稱分布函數(shù)列則稱分布函數(shù)列Fn(x)弱收斂于分布函數(shù)弱收斂于分布函數(shù)F(x),并記作并記作)(nF(x)(x)FWn 如果隨機(jī)變量序列如果隨機(jī)變量序列 的分布函數(shù)列的分布函數(shù)列Fn(x)弱收斂于隨機(jī)變量弱收斂于隨機(jī)變量 的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x),則稱則稱 依分布收斂于依分布收斂于 , ,并記作并記作 n n()Lnn 3. .二種收斂的關(guān)系二種收斂的關(guān)系 依概率收斂依概率收斂依分布收斂依分布收斂 其逆不真其逆不真定理定理: :若隨機(jī)變量序列若隨機(jī)變量序列 依概率收斂于依概率收斂于 , ,則則 依分布收斂于依分布收斂于 . . nn證明證明: :設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列

5、 和隨機(jī)變量和隨機(jī)變量 的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為Fn(x)和和F(x),對(duì)任意的對(duì)任意的x,yR有有 n,nnyxyxy,nnxxy( )lim( )nnF yF x( )( ),nnF yF xPxy,yx如果由依概率收斂的定義可得,|0nnPxyPxy()n 同理,由,nzxz,nnnxxzxz( )( ),nnF xF zPxz有,xz如果由依概率收斂的定義可得,|0nnPxzPzx()n lim( )( )nxFxF z ( )lim( )lim( )( )nnxxF yFxFxF z lim( )( )nxF xF x,( ),yx zxxF x令由 為的連續(xù)點(diǎn) 有時(shí)當(dāng)zx

6、y例例2:2:拋擲一枚均勻的硬幣拋擲一枚均勻的硬幣, ,有兩個(gè)可能結(jié)果有兩個(gè)可能結(jié)果 1 1= =出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面,2 2= =出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面, ,于是有于是有P1=P2=1/2令令121,( )1, 1, 111, 2/11, 0)(xxxxF則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為lim( )( )nnF xF x顯然有YXLn( )( ),( )( )( ).F x 若令則與有相同的分布函數(shù)( )( ),( )( )( )( ).nnnF xF x 再令則與有相同的分布函數(shù)但對(duì)任意的但對(duì)任意的00有有|nPCnnPcPc1()()nnF CF C 由于由于Fn(x)弱收斂于弱收斂

7、于F(x),并注意到并注意到F(x)的表達(dá)式只在的表達(dá)式只在C點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù), ,從而從而lim |0nnPCnC即有依概率收斂于弱收斂的判斷方法弱收斂的判斷方法由于此定理表明了分布函數(shù)與特征函數(shù)的由于此定理表明了分布函數(shù)與特征函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系有連續(xù)性一一對(duì)應(yīng)關(guān)系有連續(xù)性, ,因此該定理稱為因此該定理稱為特征函數(shù)的連續(xù)性定理特征函數(shù)的連續(xù)性定理. .這個(gè)定理的證明只涉及到數(shù)學(xué)分析的這個(gè)定理的證明只涉及到數(shù)學(xué)分析的一些結(jié)果但證明較冗長(zhǎng)，證明略一些結(jié)果但證明較冗長(zhǎng)，證明略. .定理：分布函數(shù)序列定理：分布函數(shù)序列 弱收斂于分布函弱收斂于分布函數(shù)數(shù) 的充要條件是：的充要條件是： 的特征函數(shù)序的特

8、征函數(shù)序列列 收斂于收斂于 的特征函數(shù)的特征函數(shù) .)(tn)(xFn)(xFn)(xF)(xF)(t:)Poisson例3若服從普哇松(證明221lim2txPxedt證明證明:( )exp (1)itte的特征函數(shù)為( ),gt設(shè)的特征函數(shù)為則t)iexpt(t)gti1eexpti有,Rt )1(! 21exp2ottititieti1lim2)1(2lim22tot22)(limtetg) 1 , 0(limNY11 |1li mnknkPan辛欽辛欽,( )nt證明:同分布 它們有相同的特征函數(shù)這個(gè)相同的特征函數(shù)記為定理定理( (辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律):):設(shè)設(shè) 是相互是相互獨(dú)立同分布的的隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布的的隨機(jī)變量序列, ,若有若有數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 ( (k=1,2,),),則對(duì)于任意給定的則對(duì)于任意給定的0, ,恒有恒有kEak辛欽大數(shù)定律證明辛欽大數(shù)定律證明(0)()kaEi)()0()0()(tott1( )iato t ( )nnttn11( )ntiaonn11nnkkn記|1limnnPa 有有,Rt iatnnnenatiatn)1(1lim)(lim課堂練習(xí)課堂練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列 依分布收斂于隨機(jī)量依分布收斂于隨機(jī)量 ，隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列 依概率收斂于依概率收斂于0 ,則則 依依概率收斂于概率收斂于0.nnnnv小結(jié)小