兩個(gè)重要極限

1、上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)鈴2021/6/161一、準(zhǔn)則一、準(zhǔn)則 I 及第一個(gè)重要極限及第一個(gè)重要極限二、準(zhǔn)則二、準(zhǔn)則 II 及第二個(gè)重要極限及第二個(gè)重要極限1.6 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/162一、準(zhǔn)則一、準(zhǔn)則 I 及第一個(gè)重要極限及第一個(gè)重要極限 如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I （夾逼定理）（夾逼定理）準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且li

2、m f(x)=A (2)aynn=lim aznn=lim 下頁(yè)那么數(shù)列xn 的極限存在 且nlimxn=a 那么數(shù)列xn 的極限存在 且nlimxn=a 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/163第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限 顯然 BC AB AD(因此 sin x x tan x DB1OCAx1sinlim0=xxx 簡(jiǎn)要證明簡(jiǎn)要證明 參看附圖 設(shè)圓心角AOB=x (2 0 x) 從而 1sincosxxx (此不等式當(dāng) x0 時(shí)也成立) 因?yàn)?coslim0=xx 根據(jù)準(zhǔn)則 I 1sinlim0=xxx 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/164應(yīng)注意的問(wèn)題應(yīng)注意的問(wèn)題 這是因?yàn)?

3、令u=a(x) 則u 0 于是 第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限1sinlim0=xxx 在極限)()(sinlimxxaa中 只要a(x)是無(wú)窮小 就有 1)()(sinlim=xxaa )()(sinlimxxaa1sinlim0=uuu 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/1651sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例1 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxx 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00

4、=xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxx 解解 例例2 例例 2 求20cos1limxxx 解解 20cos1limxxx2112122sinlim21220=xxx20cos1limxxx=220220)21(2sinlim212sin2limxxxxx=2112122sinlim21220=xxx 下頁(yè)220sin12lim22xxx=上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/1661sinlim0=xxx 1)()(sinli

5、m=xxaa(a(x)0) 例例3 解解 解解 例例4 )0, 0.(sinsinlim0nmnxmxx求nxnxnxmxmxmxnxmxxxsinsinlimsinsinlim00=.nm=.sintanlim30 xxxx求2030cos1tanlimsintanlimxxxxxxxxx=200cos1limtanlimxxxxxx=21=下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/1671sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例5 解解 .arcsinlim0 xxx求,arcsinxy =令,sinyx =則, 0,0yx時(shí)當(dāng)yyxxyxsinlimar

6、csinlim00=1=下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/1681sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例6 解解 首頁(yè).5tan3sinlimxxx求, tx=令, 0, tx時(shí)當(dāng)53=)55tan()33sin(lim5tan3sinlim0ttxxtx=ttt5tan3sinlim0=535tan533sinlim0ttttt=上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/169二、準(zhǔn)則二、準(zhǔn)則 II 及第二個(gè)重要極限及第二個(gè)重要極限單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 如果數(shù)列xn滿足條件x1x2x3 xnxn1 就稱數(shù)列xn是單調(diào)增加的 如果數(shù)列x n滿足條件x1x2x3

7、 xnxn1 就稱數(shù)列xn是單調(diào)減少的 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/1610準(zhǔn)則準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 前面曾證明 收斂的數(shù)列一定有界 但有界的數(shù)列不一定收斂 現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明 如果數(shù)列不僅有界 并且是單調(diào)的 那么這個(gè)數(shù)列一定是收斂的 說(shuō)明說(shuō)明下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/1611 可以證明數(shù)列xn是單調(diào)有界的 根據(jù)準(zhǔn)則II 數(shù)列xn必有極限 這個(gè)極限我們用e來(lái)表示 即 第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限 e是個(gè)無(wú)理數(shù) 它的值是e=2 718281828459045 指數(shù)函數(shù)y=ex及對(duì)數(shù)函數(shù)y=ln x 中的底就是常數(shù)e 設(shè)nnn

8、x)11 ( = ennn=)11 (lim 我們還可以證明exxx=)11 (lim 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/1612第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限應(yīng)注意的問(wèn)題應(yīng)注意的問(wèn)題exxx=)11 (lim 在極限)(1)(1limxxaa中 只要a(x)是無(wú)窮小 就有 exx=)(1)(1limaa 這是因?yàn)?令)(1xua= 則 u 于是 )(1)(1limxxaaeuuu=)11 (lim 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/1613 例例7 解解 原式原式)0.()1 (limkkxkxx為自然數(shù)，求ke=kkxxxk)1 (lim=下頁(yè)exxx=)11 (lim exx=)(1)(1limaa(a(x)0) kkxxxk)1(lim= 例例8 解解 原式原式.)13(lim1xxxx求4e=2441)141 (lim=xxx2441)141 (lim)141(lim=xxxxx上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2021/6/1614 例例9 解解 原式原式.)1 (lim30 xxx求3= e)3(10)(1 lim=xx