概率論(第二版) 多維隨機變量及其分布課件

1、第三章 多維隨機變量及其分布3.3.1 多維隨機變量 定義3.1.1 若X, Y是兩個定義在同一個樣本空間上的 隨機變量，則稱(X, Y) 是二維隨機變量. 同理可定義 n 維隨機變量 (隨機向量).3.1 多維隨機變量及其聯(lián)合分布在研究四歲至六歲兒童的生長發(fā)育情況時，我們感興趣的是每個兒童（樣本點 ）的身高 和體重 ，這里 一個二維隨機變量。)(1X)(2X),(21XX在研究每個家庭的支出情況時，我們感興趣于每個家庭（樣本點 ）的衣食住行四個方面。若用 ， ， ， 分別表示衣食住行的花費占其家庭收入的百分比，則 就是一個四維隨機變量。)(1X)(2X)(4X)(3X),(4321XXXX

2、定義3.1.2 3.1.2 聯(lián)合分布函數(shù)F(x, y) = P( X x, Y y)為(X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù). (以下僅討論兩維隨機變量)任對實數(shù) x 和 y, 稱注意：F(x, y)為(X, Y)落在點(x, y)的左下區(qū)域的概率.x1x2(x1, x2)聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1) F(x, y) 關(guān)于 x 和 y 分別單調(diào)增.(2) 0 F(x, y) 1，F(xiàn)(, y) = 0，F(xiàn)(x, ) =0，F(xiàn)(+, +) = 1.(3) F(x, y) 關(guān)于 x 和 y 分別右連續(xù).(4) 當(dāng)ab, cd 時，有F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.注意：

3、上式左邊 = P(aXb, cY d).(單調(diào)性)(有界性)(右連續(xù)性)(非負性) 二維離散隨機變量 3.1.3 聯(lián)合分布列若(X, Y) 的可能取值為有限對、或可列對，則稱(X, Y)為二維離散隨機變量.二維離散分布的聯(lián)合分布列稱pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ., 為(X,Y) 的聯(lián)合分布列，其表格形式如下:Yy1 y2 yj x1x2xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j 聯(lián)合分布列的基本性質(zhì)(1) pij 0, i, j = 1, 2,(2) pij = 1. (非負性)(正則性)確定聯(lián)合分布列的方法 (1) 確定

4、隨機變量 (X, Y) 的所有取值數(shù)對. (2) 計算取每個數(shù)值對的概率. (3) 列出表格.例3.1.1 將一枚均勻的硬幣拋擲4次，X表示正面向上的次數(shù)，Y表示反面朝上次數(shù)。求 (X, Y) 的聯(lián)合分布列.X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0, Y=4)=1340.5 0.5C P(X=2, Y=2)=22240.50.5C =1/4=6/16 P(X=3, Y=1)=33140.50.5C =1/4 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16P(X=1, Y=3)=0.54=1/16解：概率非零的(X,Y) 可能取值對為:其對應(yīng)的概率分別為：X01234Y 0 1 2 3

5、 4列表為： 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0課堂練習(xí)設(shè)隨機變量 X 在 1，2，3 ， 4 四個整數(shù)中等可能地取值，另一個隨機變量 Y 在 1到X 中等可能地取一整數(shù)值。試求（X, Y）的聯(lián)合分布列.設(shè)二維隨機變量(X, Y) 的分布函數(shù)為 F(x, y)，若存在非負可積函數(shù) p(x, y)，使得3.1.4 聯(lián)合密度函數(shù)則稱 (X, Y) 為二維連續(xù)型隨機變量。-( , y) = ( , ) xyF xp u v dvdu稱p(x, y) 為聯(lián)合密度函數(shù)。聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)(1) p(x, y) 0

6、. (非負性) (2) -( , ) d d1p x y x y 注意：( , )( , )d dDP X YDp x yx y(正則性)例3.1.3 若 (X, Y) (23 ),0, 0( , )0,xyAexyp x y其 它試求常數(shù) A.解:1( , )d dp x y x y (23 )00d dxyAex y 所以, A=62300ddxyAexey23110023xyAee =A/6例3.1.4 若 (X, Y) (23 )6,0, 0( , )0,xyexyp x y其 它試求 P X 2, Y 1.解: P X2, Y1212, 1( , )d dxyp x yx yx2,

7、y3時，有Pij=0. 當(dāng)i+j3時，事件x=i,Y=j表示取出的3件產(chǎn)品中有i件一等品，j件二等品，3-i-j件三等品，所以有.1.03.06.0)!3( !33jijiijjijip由以上公式，就可以具體算出（X,Y）的聯(lián)合分布列。X0123Y 0 1 2 3 列表為： 0.001 0.009 0.027 0.027 0.018 0.108 0.162 0 0.108 0.324 0 0 0.216 0 0 0二、多維超幾何分布從中任取 n 只，記 Xi 為取出的n 只球中，第i 種球的只數(shù).口袋中有 N 只球，分成 r 類 。第 i 種球有 Ni 只， N1+N2+Nr = N.則 (X

8、1, X2, , Xr)的聯(lián)合分布列為：12121122(, , ., ) = rrrNNNnnnNnP XnXnXn 例例 一批產(chǎn)品共有100件，其中一等品60件、二等品30件、三等品10件。從這批產(chǎn)品中地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布列。 解解 記i與j分別為X和Y的取值。 當(dāng)i+j3時，有Pij=0. 當(dāng)i+j3時，事件x=i,Y=j表示取出的3件產(chǎn)品中有i件一等品，j件二等品，3-i-j件三等品，所以有.31003103060CCCCpjijiij由以上公式，就可以具體算出（X,Y）的聯(lián)合分布列。X0123Y 0 1

9、2 3 列表為： 0.0007 0.0083 0.0269 0.0251 0.0167 0.1113 0.1614 0 0.1095 0.3284 0 0 0.2116 0 0 0三、二維均勻分布設(shè)D為R2中的有界區(qū)域，其面積為SD 若二維連續(xù)隨機變量 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為：則稱 (X, Y) 服從 D 上的二維均勻分布，記為 (X, Y) U (D) .1,( , )( , )0DSx yDp x y，其 它其中SD為D的面積.二維均勻分布所描述的隨機現(xiàn)象就是向平面區(qū)域D中隨機投點，如果G是D中的一個子區(qū)域，那么。的面積的面積D1),(),(GdxdySdxdyyxpGYXPGDG

10、例例 設(shè)D為平面上以(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)為頂點的正方形區(qū)域。如今向該區(qū)域內(nèi)隨機投點，其坐標(biāo)(X,Y)服從D上的均勻分布，試求概率P(YX2) .解解 區(qū)域D的面積為1，所以二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為其他。, 0, 1),(Dyxyxp)(2XYP101021yxxydydx10 021xdydx.3110331102xdxx四、二維正態(tài)分布若二維連續(xù)隨機變量 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為：21222121222212121( , )21()()()()1exp22(1)p x yxyxy 則稱 (X, Y) 服從二維正態(tài)分布，記為 (X, Y) N

11、 ( ) .221212, , , , 練習(xí) 1 設(shè)二維離散型隨機變量X，Y的分布律為：X01Y 0 1 2 0.2 0. 3 0. 1 0.1 A 0.1 其中A為常數(shù)，那么P（X=0|Y1）=練習(xí) 2設(shè)隨機變量Xi，i=1，2的分布列如下，且滿足P(X1X2=0)=1，試求P(X1=X2).PXi -1 0 1 0.25 0. 5 0. 25 3.2 邊際分布與隨機變量的獨立性二維聯(lián)合分布函數(shù)（分布列、密度函數(shù)）含有豐富的信息，主要有以下三個方面信息：每個分量的分布（邊際分布）。兩個分量之間的關(guān)聯(lián)程度（相關(guān)系數(shù)）。給定一個分量時，另一個分量的分布（條件分布）。3.2.1 邊際分布函數(shù)巳知

12、(X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x, y)，則 Y 的分布函數(shù)為FY (y) = F(+ , y)，稱為Y的邊際分布。 X 的分布函數(shù)為FX (x) = F(x, +),稱為X的邊際分布。例例 設(shè)二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為這個分布被稱為二維指數(shù)分布，其中參數(shù)0.求X與Y的邊際分布函數(shù)。., 0. 0, 0,1),(其他yxeeeyxFxyyxyx3.2.2 邊際分布列巳知 (X, Y) 的聯(lián)合分布列為 pij，則 X 的分布列為： 1()ijjiiippP Xxp Y 的分布列為： 1 ()ijijjjppP YypXY12jyyy12ixxx111212122212jjiii

13、jppppppppp ip12ipppjp12jppp3.2.3 邊際密度函數(shù)巳知 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 p(x, y)，則 X 的密度函數(shù)為 ： ( )( , )dp xp x y y Y 的密度函數(shù)為 ： ( )( , )dp yp x y x 由聯(lián)合分布可以求出邊際分布. 但由邊際分布一般無法求出聯(lián)合分布. 所以聯(lián)合分布包含更多的信息.注 意 點 (1) 二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)： 若 (X, Y) N ( )，注 意 點 (2)221212, , , , 則 X N ( )，211, Y N ( ).222, 二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.設(shè) (X, Y

14、)服從區(qū)域 D=(x, y), x2+y2 1時，p(x, y)=0，所以 p(x)=0當(dāng)|x|1時,22111d( )xxyp x221x不是均勻分布 設(shè)二維隨機變量 (X, Y) 的密度函數(shù)為,0( ,)0 ,yexyp x y其他求(1)概率PX+Y1.解解: PX+Y1=y=xx+y=11/21/210ddxyxxey11212ee(2)邊際密度函數(shù)PX(x)和PY(y). 若滿足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 則稱 X 與Y 是獨立的，3.2.4 隨機變量間的獨立性(1) X

15、 與Y是獨立的其本質(zhì)是：注 意 點 , P aXb cYdP aXb P cYd任對實數(shù)a, b, c, d，有(2) X 與Y 是獨立的，則g(X)與h(Y)也是獨立的.例3.2.3 (X, Y) 的聯(lián)合分布列為:X01Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1問 X與Y 是否獨立？解: 邊際分布列分別為:X 0 1P 0.7 0.3Y 0 1P 0.5 0.5因為(0, 0)0.3P XY(0) (0)0.70.50.35P XP Y所以不獨立例3.2.4已知 (X, Y) 的聯(lián)合密度為 ,0, 0;( , )0 ,.xyexyp x y 其 他問 X 與Y 是否獨立？()0d0( )00

16、 x yxeyexp xx, 0( ) 0,0yeyp yy所以X 與Y 獨立。注意：p(x, y) 可分離變量.解解: 邊際分布密度分別為:注 意 點 (1) (1) (X, Y) 服從矩形上的均勻分布，則X與Y 獨立. (2) (X, Y) 服從單位圓上的均勻分布，則 X與Y 不獨立. 見前面例子 (3) 聯(lián)合密度 p(x, y) 的表達式中，若 x 的取值與 y 的 取值有關(guān)系，則 X與Y 不獨立.注 意 點 (2) (4) 若聯(lián)合密度 p(x, y) 可分離變量，即 p(x, y) = g(x)h(y) 則 X與Y 獨立。(習(xí)題3.2 16題) (5) 若 (X, Y) 服從二元正態(tài)

17、N ( ) 則 X與Y 獨立的充要條件是 = 0.221212, , , , 3.3 多維隨機變量函數(shù)的分布問題：已知n維隨機變量 (X1, X2,Xn) 的分布，如何求出 Z=g (X1, X2,Xn)的分布？(1) 設(shè)(X1, X2, , Xn) 是n維離散隨機變量， 則 Z = g(X1, , Xn) 是一維離散隨機變量.3.3.1 多維離散隨機變量函數(shù)的分布(2) 多維離散隨機變量函數(shù)的分布求解方法： i) 對(X1, X2, , Xn)的各種可能取值， 寫出 Z 相應(yīng)的取值. ii) 對Z的 相同的取值，合并其對應(yīng)的概率.練習(xí) 設(shè)二維離散型隨機變量X，Y的分布律為：X01Y 0 1

18、2 0.2 0. 3 0.1 0.1 0.2 0.1 試求：（1）Z1=2X+Y;（2）Z3=maxX,Y的分布列。3.3.2離散場合的卷積公式設(shè)離散隨機變量 X 與 Y 獨立，則 Z=X+ Y 的分布列為1).()()(iiixkYPxXPkZP這個概率等式被稱為離散場合下的卷積公式卷積公式。泊松分布的可加性若 X P(1) ，Y P(2)，注意： X Y 不服從泊松分布.且獨立，則 Z = X+ Y P(1+2).二項分布的可加性若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，注意：若 Xi b(1, p)，且獨立，則 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).且獨立，則 Z

19、= X+ Y b(n1+n2, p).3.3.3 連續(xù)場合的卷積公式定理3.3.1 設(shè)連續(xù)隨機變量X與Y 獨立， 則 Z=X+ Y 的密度函數(shù)為( )( )()d =()( )dZXYXYpzpx pzxxpzy pyy 設(shè) X 與 Y 獨立，XU(0, 1), YExp(1). 試求 Z = X+Y 的密度函數(shù).解:11, 01( )0, xXp x其 它2, 0( ) 0,0yeyYpyy12( )( )()dZp zp x p zx x被積函數(shù)的非零區(qū)域為：0 x0用卷積公式：(見下圖)xz1z = x因此有(1) z 0 時pZ(z) = 0 ;(2) 0 z 1 時()0d1zz x

20、zexe pZ(z) =(3) 1 z 時pZ(z) =1()0d(1)z xzexee1卷積公式的應(yīng)用 X與Y 是獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變 量，求 Z = X+ Y 的分布.( )( )()dZXYpzpx pzxx解：2211()expexp2222dxzxx21exp2222z所以 Z = X+ Y N(0, 2).進一步的結(jié)論見后dxxzxz)(exp22212正態(tài)分布的可加性若 X N( )，Y N( ) ，注意： X Y 不服從 N( ).211, 222, 且獨立，則 Z = X Y N( ).221212, 221212, X Y N( ).221212, 獨立正態(tài)變量的線性組合

21、仍為正態(tài)變量. (見下)獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 間相互獨立, 實數(shù) a1, a2, ., an 不全為零, 則22111 , iiinniiiniiiaaa XN3.3.4 最大值與最小值分布 設(shè)X與Y 獨立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.解:X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2Z = max(X, Y) 的取值為: 0, 1P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4P(Z=1) = P(X=0, Y=1) +

22、P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1)= 3/4設(shè) X1, X2, Xn, 獨立同分布，其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為 FX(x) 和 pX(x).一般情況若記Y = max (X1, X2, Xn),Z = min (X1, X2, Xn)則 Y 的分布函數(shù)為:FY (y) = FX(y)n Y 的密度函數(shù)為:pY(y) = nFX(y)n1 pX(y) Z 的分布函數(shù)為:FZ(z) = 11 FX(z)n Z 的密度函數(shù)為:pZ(z) = n1 FX(z)n1 pX(z) 例例 設(shè)某段道路上有5個路燈，每個路燈平均壽命是2000 小時，若每只燈泡每天用10個小時，則30天內(nèi)需要換燈

23、泡的概率是多少？后來此段道路改建，加裝了15個路燈，則30天內(nèi)需要換燈泡的概率是多少？.5276. 011)300(75. 030051eeTP解解 設(shè)所有燈泡的使用壽命是相互獨立，同分布的隨機變量，其共同分布為指數(shù)分布Exp()，其中=1/2000.5個燈泡中第一個燈泡燒壞的時間T1=minX1,X5.則T1 Exp(5)，30天需要換燈泡的概率為道路改建后，燈泡變成了20個，則30天需要換燈泡的概率為.9502. 011)300(3300201eeTP本節(jié)主要給出 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)3.4 多維隨機變量的特征數(shù)3.4.1 多維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理 3.4.1 設(shè) (X, Y) 是

24、二維隨機變量， Z = g(X, Y)，則E(Z) = Eg(X, Y) =(,)(,)(,)d dijijijg xypg xyp xyx y 在長為 a 的線段上任取兩點 X 與 Y，求兩點間的平均長度. 因為X與Y都服從(0,a)上的均勻分布，且X與Y相互獨立，所以(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為., 0,0),(21其他ayxyxpa aadxdyayxYXE0021|)(|)()(10002 axaaxdydxxydydxyxa所以兩點間的平均長度為.3)(102222adxaxxaaa3.4.2 數(shù)學(xué)期望與方差的運算性質(zhì)1. E(X+Y)=E(X)+E(Y)2. 當(dāng)X與Y獨立時，E(XY

25、)=E(X) E(Y), (性質(zhì)3.4.1) (性質(zhì)3.4.2)討論 X+Y 的方差1. Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2EXE(X)YE(Y)3. 當(dāng)X與Y獨立時，EXE(X)YE(Y) = 0.4. 當(dāng)X與Y獨立時， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) .2. EXE(X)YE(Y) = E(XY) E(X)E(Y)注意：以上命題反之不成立.課堂練習(xí)1 X 與 Y 獨立，Var(X) = 6，Var(Y) = 3， 則 Var(2XY) = ( ). 27課堂練習(xí)2 X P(2)，Y N(2, 4)， X與Y獨立， 則 E( XY) = ( ); E

26、( XY)2 = ( ).4223.4.3 協(xié)方差定義3.4.1 稱 Cov(X, Y) = EXE(X)YE(Y) 為 X 與 Y 的協(xié)方差.協(xié)方差的性質(zhì)(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性質(zhì)3.4.7)(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性質(zhì)3.4.4)(2) 若 X 與 Y 獨立，則 Cov(X, Y) = 0. (性質(zhì)3.4.5)(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性質(zhì)3.4.9)(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y) (性質(zhì)3.4.6)(5) Cov(X, a

27、) = 0. (性質(zhì)3.4.8)(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性質(zhì)3.4.10)3.4.4 相關(guān)系數(shù)定義3.4.2 稱 Corr(X, Y) =為 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù).Cov(,)Var()Var( )X YXY若記注 意 點*, ()( )Var()Var( )XYXE XYE YXY則*Corr(, )Cov(, )XYXY相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)(1) 施瓦茨不等式 Cov(X, Y) 2 Var(X)Var(Y). 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(2)(2) 1 Corr(X, Y) 1. (3) Corr(X, Y) = 1X 與 Y 幾乎處處有

28、線性關(guān)系。(性質(zhì)3.4.11)(性質(zhì)3.4.12)P(Y=aX+b)=1Corr(X, Y) 的大小反映了X與Y之間的線性關(guān)系：注 意 點 Corr(X, Y) 接近于1， X 與 Y 間 正相關(guān). Corr(X, Y) 接近于 1， X 與 Y 間 負相關(guān). Corr(X, Y) 接近于 0， X 與 Y 間 不相關(guān).沒有線性關(guān)系例3.4.1 設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合分布列為X1 0 1Y 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求 X, Y 的相關(guān)系數(shù).解:()iijijE Xx p()ijijijE XYx y p= 0同理22()iijijE X

29、x p= 3/4E(Y) = E(X) = 0另一方面= 1/81/81/8+1/8 = 0所以 Cov(X, Y)即 Corr(X, Y) = 0E(Y2) = E(X2) = 3/4= E(XY)E(X)E(Y) = 0例3.4.2 (X, Y) p(x, y) =1(), 02, 0280 x yxy 其 它求 X, Y 的相關(guān)系數(shù)解:()()E XE Y22001()d d8xxyx y = 7/6222001()d d8xxyx y = 5/322()()E XE Y所以, Var(X) = Var(Y) = 11/36()E XY 22001()d d8xyxyx y = 4/34/37/67/6Corr(,)11/36X Y111 二維正態(tài)分布的特征數(shù)122212( ,) (