新現(xiàn)代普通測(cè)量6

1、第第6 6章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí) 周志易周志易合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院測(cè)量工程系合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院測(cè)量工程系 2013.3.25現(xiàn)代普通測(cè)量學(xué)現(xiàn)代普通測(cè)量學(xué) 內(nèi)容提要內(nèi)容提要1.1.概述概述2.2.測(cè)量誤差的種類測(cè)量誤差的種類3.3.偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)4.4.衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)5.5.誤差傳播定律誤差傳播定律6.6.同精度直接觀測(cè)平差同精度直接觀測(cè)平差7.7.不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差8.8.點(diǎn)位誤差點(diǎn)位誤差 9.9.最小二乘法原理及其應(yīng)用最小二乘法原理及其應(yīng)用

2、 教學(xué)要求教學(xué)要求了解測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因和評(píng)了解測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因和評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)，掌握偶然誤差定精度的標(biāo)準(zhǔn)，掌握偶然誤差的特性、誤差傳播定律及其在的特性、誤差傳播定律及其在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用方法。測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用方法。 本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)偶然誤差的特性、評(píng)定精度的標(biāo)偶然誤差的特性、評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)，誤差傳播定律及其應(yīng)用。準(zhǔn)，誤差傳播定律及其應(yīng)用。 6.16.1測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述觀測(cè)與觀測(cè)值觀測(cè)與觀測(cè)值通過一定的儀器、工具和方法對(duì)某量進(jìn)行量測(cè)，稱為通過一定的儀器、工具和方法對(duì)某量進(jìn)行量測(cè)，稱為觀測(cè)觀測(cè)，獲，獲得的數(shù)據(jù)稱為得的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值觀測(cè)值。觀測(cè)觀測(cè)與觀測(cè)值的分類與觀測(cè)值的分類1.

3、等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè) 構(gòu)成測(cè)量工作的構(gòu)成測(cè)量工作的要素要素包括包括觀測(cè)者觀測(cè)者、測(cè)量?jī)x器測(cè)量?jī)x器和和外界條件外界條件，通，通常將這些測(cè)量工作的要素統(tǒng)稱為常將這些測(cè)量工作的要素統(tǒng)稱為觀測(cè)條件觀測(cè)條件。 在相同的方法和在相同的方法和外界條件外界條件下，同一精度等級(jí)的下，同一精度等級(jí)的儀器儀器，由具，由具有大致有大致相同技術(shù)水平的人相同技術(shù)水平的人所進(jìn)行的觀測(cè)稱為所進(jìn)行的觀測(cè)稱為同精度觀測(cè)同精度觀測(cè)，其觀，其觀測(cè)值稱為測(cè)值稱為同精度觀測(cè)值或等精度觀測(cè)值同精度觀測(cè)值或等精度觀測(cè)值。反之，稱為。反之，稱為不同精度不同精度觀測(cè)觀測(cè)，其觀測(cè)值稱為，其觀測(cè)值稱為不同（不等）精度觀測(cè)

4、值不同（不等）精度觀測(cè)值。 6.16.1測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述2.2.直接觀測(cè)和間接觀測(cè)直接觀測(cè)和間接觀測(cè) 為確定某未知量而直接進(jìn)行的觀測(cè)，即被觀測(cè)量就是所求為確定某未知量而直接進(jìn)行的觀測(cè)，即被觀測(cè)量就是所求未知量本身，稱為未知量本身，稱為直接觀測(cè)直接觀測(cè)。觀測(cè)值稱為。觀測(cè)值稱為直接觀測(cè)值直接觀測(cè)值。通過。通過被觀測(cè)量與未知量的被觀測(cè)量與未知量的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系來確定未知量的觀測(cè)稱為來確定未知量的觀測(cè)稱為間接間接觀測(cè)觀測(cè)，觀測(cè)值稱為，觀測(cè)值稱為間接觀測(cè)值間接觀測(cè)值。 3.3.獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè) 各觀測(cè)值之間無(wú)任何依存關(guān)系，是相互獨(dú)立的觀測(cè)稱為各觀測(cè)值之間無(wú)任何依存關(guān)系，

5、是相互獨(dú)立的觀測(cè)稱為獨(dú)獨(dú)立觀測(cè)立觀測(cè)。反之，有一定的幾何或物理?xiàng)l件的約束，為。反之，有一定的幾何或物理?xiàng)l件的約束，為非獨(dú)立非獨(dú)立觀測(cè)觀測(cè) 。 6.16.1測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差及其來源測(cè)量誤差及其來源 測(cè)量中的被觀測(cè)量，客觀上都存在著一個(gè)真實(shí)值，簡(jiǎn)稱測(cè)量中的被觀測(cè)量，客觀上都存在著一個(gè)真實(shí)值，簡(jiǎn)稱真值真值。對(duì)該量進(jìn)行觀測(cè)得到對(duì)該量進(jìn)行觀測(cè)得到觀測(cè)值觀測(cè)值。觀測(cè)值與真值之差，稱為。觀測(cè)值與真值之差，稱為真誤差真誤差（誤差），即（誤差），即真誤差真誤差觀測(cè)值真值觀測(cè)值真值 測(cè)量中不可避免地存在著測(cè)量誤差，觀測(cè)值進(jìn)行測(cè)量中不可避免地存在著測(cè)量誤差，觀測(cè)值進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)重復(fù)觀測(cè)（多余（多余觀測(cè)

6、），觀測(cè)），“多余觀測(cè)多余觀測(cè)”導(dǎo)致的差異事實(shí)上就反映了導(dǎo)致的差異事實(shí)上就反映了測(cè)量誤差測(cè)量誤差。 產(chǎn)生產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因測(cè)量誤差的原因很多，其很多，其來源來源概括起來有以下三方面：概括起來有以下三方面：（1 1）測(cè)量?jī)x器測(cè)量?jī)x器：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2 2）觀測(cè)者觀測(cè)者：判斷力、分辨力的限制及經(jīng)驗(yàn)等。：判斷力、分辨力的限制及經(jīng)驗(yàn)等。（3 3）外界環(huán)境條件外界環(huán)境條件：溫度變化、風(fēng)和大氣折光等。：溫度變化、風(fēng)和大氣折光等。), 2 , 1(iniXli 6.16.1測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述研究測(cè)量誤差的研究測(cè)量誤差的指導(dǎo)原則指導(dǎo)原則 測(cè)量工作的目

7、標(biāo)測(cè)量工作的目標(biāo)并不是并不是簡(jiǎn)單地使測(cè)量誤差越小越好，簡(jiǎn)單地使測(cè)量誤差越小越好，而而是是要在一定的觀測(cè)條件下，設(shè)法將誤差限制在與測(cè)量目的要在一定的觀測(cè)條件下，設(shè)法將誤差限制在與測(cè)量目的相適應(yīng)的范圍內(nèi)。通過分析測(cè)量誤差，求得未知量的最合相適應(yīng)的范圍內(nèi)。通過分析測(cè)量誤差，求得未知量的最合理最可靠的結(jié)果，并對(duì)觀測(cè)成果的質(zhì)量進(jìn)行理最可靠的結(jié)果，并對(duì)觀測(cè)成果的質(zhì)量進(jìn)行評(píng)定評(píng)定。 6.26.2測(cè)量誤差的種類測(cè)量誤差的種類 按測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可將測(cè)量誤差分按測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可將測(cè)量誤差分為為粗差粗差、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和和偶然誤差偶然誤差三類三類 1 1 粗差也稱粗差也稱錯(cuò)

8、誤錯(cuò)誤，是由于觀測(cè)者使用儀器不正確或疏忽，是由于觀測(cè)者使用儀器不正確或疏忽大意，如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、聽錯(cuò)、算錯(cuò)等造成的錯(cuò)誤，或因外大意，如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、聽錯(cuò)、算錯(cuò)等造成的錯(cuò)誤，或因外界條件意外的顯著變動(dòng)引起的差錯(cuò)。界條件意外的顯著變動(dòng)引起的差錯(cuò)。 在測(cè)量中是在測(cè)量中是不允許不允許有粗差的，一旦發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值中有粗差，有粗差的，一旦發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值中有粗差，應(yīng)將它應(yīng)將它剔除剔除。在工作中，遵守測(cè)量規(guī)范且仔細(xì)謹(jǐn)慎，并對(duì)。在工作中，遵守測(cè)量規(guī)范且仔細(xì)謹(jǐn)慎，并對(duì)觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行檢核。粗差是可以避免和被發(fā)現(xiàn)的。觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行檢核。粗差是可以避免和被發(fā)現(xiàn)的。 2 2 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行的一系列在相同

9、的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行的一系列觀測(cè)中，數(shù)值大小和正負(fù)符號(hào)固定不變，或按一定規(guī)律變化的觀測(cè)中，數(shù)值大小和正負(fù)符號(hào)固定不變，或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為誤差，稱為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差具有系統(tǒng)誤差具有累積性累積性，隨著觀測(cè)次數(shù)的，隨著觀測(cè)次數(shù)的增多而積累。它的存在給觀測(cè)結(jié)果帶來系統(tǒng)的偏差，反映了觀增多而積累。它的存在給觀測(cè)結(jié)果帶來系統(tǒng)的偏差，反映了觀測(cè)結(jié)果的測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度。 準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度是指觀測(cè)值對(duì)真值的偏離程度或接近程度。是指觀測(cè)值對(duì)真值的偏離程度或接近程度。為了提高觀測(cè)成果的準(zhǔn)確度，首先用為了提高觀測(cè)成果的準(zhǔn)確度，首先用數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法判斷是否有方法判斷是否有系統(tǒng)誤差，其大小

10、是否在允許的范圍內(nèi)，然后系統(tǒng)誤差，其大小是否在允許的范圍內(nèi)，然后消除或減弱消除或減弱。系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差消除消除或或減弱減弱( (計(jì)算改正計(jì)算改正、觀測(cè)方法觀測(cè)方法、儀器檢校儀器檢校) )。（1 1）測(cè)定系統(tǒng)誤差的大小，）測(cè)定系統(tǒng)誤差的大小，通過計(jì)算通過計(jì)算對(duì)觀測(cè)值加以改正。如鋼對(duì)觀測(cè)值加以改正。如鋼尺尺長(zhǎng)誤差尺尺長(zhǎng)誤差 l ld d ，鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 l lt t。（2 2）采用）采用對(duì)稱觀測(cè)對(duì)稱觀測(cè)，使系統(tǒng)誤差在觀測(cè)值中以相反的符號(hào)出現(xiàn)。，使系統(tǒng)誤差在觀測(cè)值中以相反的符號(hào)出現(xiàn)。如水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差如水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i i，操作時(shí)抵消，操作時(shí)抵消( (前后視等距前后視等距) )；經(jīng)緯儀

11、視準(zhǔn)；經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差軸誤差C C 操作時(shí)抵消操作時(shí)抵消( (盤左盤右取平均盤左盤右取平均) )（3 3）檢校儀器檢校儀器，將儀器存在的系統(tǒng)誤差限制在允許范圍甚至降，將儀器存在的系統(tǒng)誤差限制在允許范圍甚至降低到最小限度。另外，系統(tǒng)誤差還取決于我們對(duì)它的低到最小限度。另外，系統(tǒng)誤差還取決于我們對(duì)它的認(rèn)識(shí)程度認(rèn)識(shí)程度。3 偶然誤差偶然誤差 在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，單個(gè)誤差單個(gè)誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號(hào)都不的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號(hào)都不固定，表現(xiàn)出偶然性，但固定，表現(xiàn)出偶然性，但大量的誤差大量的誤差卻具有一定

12、的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，卻具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這種誤差稱為這種誤差稱為偶然誤差偶然誤差，又稱為，又稱為隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差。例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差生誤差 。 偶然誤差反映了觀測(cè)結(jié)果的精密度。精密度簡(jiǎn)稱偶然誤差反映了觀測(cè)結(jié)果的精密度。精密度簡(jiǎn)稱精度精度，精密度精密度（精度）（精度）是指在同一觀測(cè)條件下，用同一觀測(cè)方法對(duì)某量多次觀是指在同一觀測(cè)條件下，用同一觀測(cè)方法對(duì)某量多次觀測(cè)時(shí)，各觀測(cè)值之間相互的測(cè)時(shí)，各觀測(cè)值之間相互的離散程度離散程度。精度的精度的評(píng)定評(píng)定: : 評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)觀測(cè)誤差大小觀測(cè)誤差大小的問題。的問題

13、。 若觀測(cè)值誤差中若觀測(cè)值誤差中中小中小誤差誤差比例較比例較大大，則反映，則反映 誤差分布較誤差分布較密集密集，表明觀測(cè)，表明觀測(cè)精度精度比較比較高高；若觀測(cè)值誤差中若觀測(cè)值誤差中大誤差大誤差比例較比例較大大，則反映誤差分布較，則反映誤差分布較離散離散，表明，表明觀測(cè)觀測(cè)精度精度比較比較低低。 精度是一組觀測(cè)成果質(zhì)量好壞的標(biāo)志。精度是一組觀測(cè)成果質(zhì)量好壞的標(biāo)志。4 4 系統(tǒng)誤差和偶然誤差的關(guān)系：系統(tǒng)誤差和偶然誤差的關(guān)系：（1 1）兩者同時(shí)存在，當(dāng)系統(tǒng)誤差顯著時(shí)，偶然誤差就居于次要）兩者同時(shí)存在，當(dāng)系統(tǒng)誤差顯著時(shí)，偶然誤差就居于次要地位，觀測(cè)誤差呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質(zhì)；反之，呈現(xiàn)出偶然的性質(zhì)。地位，觀

14、測(cè)誤差呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質(zhì)；反之，呈現(xiàn)出偶然的性質(zhì)。（2 2）對(duì)剔除了粗差的觀測(cè)值，首先應(yīng)尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤）對(duì)剔除了粗差的觀測(cè)值，首先應(yīng)尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或?qū)⑵淇刂圃谠试S的范圍內(nèi)，然后根據(jù)偶然誤差的性質(zhì)，對(duì)差，或?qū)⑵淇刂圃谠试S的范圍內(nèi)，然后根據(jù)偶然誤差的性質(zhì)，對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出未知量的最或是值，評(píng)定觀測(cè)精度。觀測(cè)值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出未知量的最或是值，評(píng)定觀測(cè)精度。 最或是值：最接近未知量真值的估值。最或是值：最接近未知量真值的估值。評(píng)定精度：評(píng)定觀測(cè)結(jié)果的優(yōu)劣。評(píng)定精度：評(píng)定觀測(cè)結(jié)果的優(yōu)劣。測(cè)量平差：評(píng)定精度的工作在測(cè)量上稱為測(cè)量平差，簡(jiǎn)稱平差。測(cè)量平差：評(píng)定精度的工作在測(cè)量

15、上稱為測(cè)量平差，簡(jiǎn)稱平差。 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 偶然誤差單個(gè)出現(xiàn)時(shí)不具有規(guī)律性，但在相同條件下重復(fù)觀測(cè)偶然誤差單個(gè)出現(xiàn)時(shí)不具有規(guī)律性，但在相同條件下重復(fù)觀測(cè)某一量時(shí)，所出現(xiàn)的大量的偶然誤差具一定的規(guī)律性。可根據(jù)某一量時(shí)，所出現(xiàn)的大量的偶然誤差具一定的規(guī)律性?？筛鶕?jù)概率原理，用概率原理，用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來分析研究。來分析研究。舉例舉例: : 在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了358358個(gè)三角形的內(nèi)角之和，得到個(gè)三角形的內(nèi)角之和，得到358358個(gè)三角形閉合差個(gè)三角形閉合差 ii( (偶然誤差，也即真誤差偶然誤差，也即真誤

16、差) ) ，然后對(duì)三角，然后對(duì)三角形閉合差形閉合差 ii 進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。 分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出出統(tǒng)計(jì)學(xué)上統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性規(guī)律性越明顯。越明顯。 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 表表6-1 6-1 誤差統(tǒng)計(jì)表誤差統(tǒng)計(jì)表誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d 負(fù)負(fù) 誤誤 差差正正 誤誤 差差個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)k k相對(duì)個(gè)數(shù)相對(duì)個(gè)數(shù)個(gè)個(gè) 數(shù)數(shù)k k相對(duì)個(gè)數(shù)相對(duì)個(gè)數(shù)0.00.20.00.20.20.40.20.40.40.60.40.60

17、.60.80.60.80.81.00.81.01.01.21.01.21.21.41.21.41.41.61.41.61.61.6以上以上4545404033332323171713136 64 40 00.1260.1260.1120.1120.0920.0920.0640.0640.0470.0470.0360.0360.0170.0170.0110.0110.0000.0004646414133332121161613135 52 20 00.1280.1280.1150.1150.0920.0920.0590.0590.0450.0450.0360.0360.0140.0140.006

18、0.0060.0000.000總和總和1811810.5050.5051771770.4950.495 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) (1)(1)在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值會(huì)超過一定的限值( (有界性有界性) )；(2)(2)絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多會(huì)多( (趨向性趨向性) )；(3)(3)絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等等( (對(duì)稱性對(duì)稱性) )；(4)(4)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶

19、然誤差的算術(shù)平當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零均值趨近于零 ( (抵償性抵償性) )。偶然誤差的特性偶然誤差的特性: 0limlim21nnnnn 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 誤差統(tǒng)計(jì)直方圖誤差統(tǒng)計(jì)直方圖 ：相對(duì)個(gè)數(shù)：相對(duì)個(gè)數(shù) 稱為稱為頻率頻率，組距組距d橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)：偶然誤差的大小；：偶然誤差的大??；縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)：長(zhǎng)方條的長(zhǎng)方條的面積面積為偶然誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)為偶然誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)頻率頻率。若觀測(cè)次數(shù)若觀測(cè)次數(shù)n n，并將區(qū)，并將區(qū)間分得無(wú)限?。ㄩg分得無(wú)限?。╠d00），），直方圖就變?yōu)橹狈綀D就變?yōu)閷?duì)稱光滑曲線對(duì)稱光滑曲線（

20、高斯高斯偶然誤差分布曲線），偶然誤差分布曲線），概率論中稱為概率論中稱為正態(tài)誤差分布正態(tài)誤差分布曲線曲線。nk組距頻率 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 誤差正態(tài)分布曲線誤差正態(tài)分布曲線 實(shí)踐證明，偶然誤差實(shí)踐證明，偶然誤差不能不能用計(jì)算來改正或用一定的觀測(cè)方法用計(jì)算來改正或用一定的觀測(cè)方法簡(jiǎn)單地加以消除，簡(jiǎn)單地加以消除，只能只能根據(jù)其特性來合理地處理觀測(cè)數(shù)據(jù)，以根據(jù)其特性來合理地處理觀測(cè)數(shù)據(jù)，以提高觀測(cè)成果的質(zhì)量提高觀測(cè)成果的質(zhì)量 。22)(hehfceh 6.46.4衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo) 在測(cè)量中，常用在測(cè)量中，常用精確度精確度來

21、評(píng)價(jià)觀測(cè)成果的優(yōu)劣。來評(píng)價(jià)觀測(cè)成果的優(yōu)劣。精確度精確度是是準(zhǔn)確度與精密度的總稱。準(zhǔn)確度與精密度的總稱。準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度主要取決于主要取決于系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的大小；的大小；精密度（精度）精密度（精度）主要取決于主要取決于偶然誤差偶然誤差的分布。的分布。 對(duì)基本不包含系統(tǒng)誤差，而主要含有對(duì)基本不包含系統(tǒng)誤差，而主要含有偶然誤差偶然誤差的一組觀測(cè)值，的一組觀測(cè)值，可用可用精密度精密度（精度）來評(píng)價(jià)該組觀測(cè)值質(zhì)量的高低。（精度）來評(píng)價(jià)該組觀測(cè)值質(zhì)量的高低。 為了衡量觀測(cè)值精度的高低，需要建立一個(gè)統(tǒng)一的衡量精為了衡量觀測(cè)值精度的高低，需要建立一個(gè)統(tǒng)一的衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)度的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)精度精度給出一個(gè)數(shù)值概念，

22、該標(biāo)準(zhǔn)及其數(shù)值大小應(yīng)給出一個(gè)數(shù)值概念，該標(biāo)準(zhǔn)及其數(shù)值大小應(yīng)能反映出誤差分布的離散或密集的程度，稱為能反映出誤差分布的離散或密集的程度，稱為衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)。精度指數(shù)精度指數(shù)h 22)(hehfceh h h值越大，曲線兩側(cè)坡度越陡，表示偶然誤差分布較為密值越大，曲線兩側(cè)坡度越陡，表示偶然誤差分布較為密集，說明小誤差出現(xiàn)的概率較大，觀測(cè)結(jié)果的精度較高；反集，說明小誤差出現(xiàn)的概率較大，觀測(cè)結(jié)果的精度較高；反之，之，h h值越小，曲線兩側(cè)坡度越緩，表示偶然誤差的分布較值越小，曲線兩側(cè)坡度越緩，表示偶然誤差的分布較為離散，說明小誤差出現(xiàn)的概率較小，觀測(cè)結(jié)果的精度較低，為離散，說明小誤差出現(xiàn)

23、的概率較小，觀測(cè)結(jié)果的精度較低，因此稱因此稱h h為觀測(cè)值的精度指數(shù)為觀測(cè)值的精度指數(shù)。 由于由于精度指標(biāo)精度指標(biāo)h h計(jì)算上的困難計(jì)算上的困難，不能直接用來衡，不能直接用來衡量觀測(cè)值的精度，因此要設(shè)法通過量觀測(cè)值的精度，因此要設(shè)法通過h h來尋找另來尋找另外外計(jì)算方便的指標(biāo)計(jì)算方便的指標(biāo)來衡量來衡量觀測(cè)值的精度觀測(cè)值的精度，這就，這就是是中誤差中誤差。評(píng)定精度的評(píng)定精度的指標(biāo)指標(biāo)：1 1、中誤差、中誤差2 2、相對(duì)誤差、相對(duì)誤差3 3、極限誤差、極限誤差1 中誤差中誤差 設(shè)在同精度觀測(cè)下出現(xiàn)一組設(shè)在同精度觀測(cè)下出現(xiàn)一組偶然誤差偶然誤差 , 其其相應(yīng)的相應(yīng)的概率概率為為 ,精度指數(shù)為精度指數(shù)為

24、 即即 n,21)(,),(),(21nPPPhhhhn21nhnhhdehPdehPdehPn222222122211)()()(21nPPPPnhndddehPn2112202212)1()1(121221222122nhehnhehehdhdPnhnnhnhnnnn2112nhnnmn1221mhnm各偶然誤差在一組觀測(cè)值中同時(shí)出現(xiàn)的概率各偶然誤差在一組觀測(cè)值中同時(shí)出現(xiàn)的概率p p等于各偶然誤差概率的乘積，即等于各偶然誤差概率的乘積，即將上式對(duì)將上式對(duì)h h求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，認(rèn)為在一次觀測(cè)中求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，認(rèn)為在一次觀測(cè)中某一組偶某一組偶然誤差然誤差出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率P

25、P最大最大，即，即稱稱m m為為中誤差中誤差 此式是此式是中誤差中誤差與與精度指數(shù)精度指數(shù)的關(guān)系式，表明了中的關(guān)系式，表明了中誤差誤差m與精度指數(shù)與精度指數(shù)h成成反比反比，即中誤差，即中誤差m愈大，精度指數(shù)愈大，精度指數(shù)愈小，表示該組觀測(cè)值的精度愈低，反之，精度愈高。愈小，表示該組觀測(cè)值的精度愈低，反之，精度愈高。21mhm m1 1小于小于m m2 2，認(rèn)為第一組觀測(cè)值的精度較第二組高，認(rèn)為第一組觀測(cè)值的精度較第二組高 此式求得的同精度觀測(cè)值的中誤差代表了此式求得的同精度觀測(cè)值的中誤差代表了該組該組觀測(cè)觀測(cè)值的精度，即該組觀測(cè)值結(jié)果中任意一個(gè)觀測(cè)值的精度。值的精度，即該組觀測(cè)值結(jié)果中任意一個(gè)

26、觀測(cè)值的精度。22)(hehfy對(duì)式對(duì)式 取二階導(dǎo)數(shù)令其等于零，便可求得誤差取二階導(dǎo)數(shù)令其等于零，便可求得誤差分布分布曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)nm中誤差中誤差m m的的幾何意義幾何意義為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)12mh 2232221222hehdydh2 極限誤差極限誤差2221( )0.6832mmmmmPmmfdedm 22222221 22 ( )0.9542mmmmmPmmfdedm 22332331 33 ( )0.9972mmmmmPmmfdedm 極=3|m|極=2|m|從上式可以看出絕對(duì)值大于一倍、二倍中誤差的偶然誤差概率從上

27、式可以看出絕對(duì)值大于一倍、二倍中誤差的偶然誤差概率分別為分別為31.7%31.7%，4.6%4.6%；絕對(duì)值大于三倍中誤差的偶然誤差概率為；絕對(duì)值大于三倍中誤差的偶然誤差概率為0.3%0.3%，這是概率接近于零的，這是概率接近于零的小概率事件小概率事件。故通常以。故通常以三倍三倍中誤差中誤差作為偶然誤差的估值，即作為偶然誤差的估值，即 3 3 相對(duì)誤差相對(duì)誤差有時(shí)單靠中誤差還有時(shí)單靠中誤差還不能完全不能完全表達(dá)觀測(cè)結(jié)果的質(zhì)量，這時(shí)可采用表達(dá)觀測(cè)結(jié)果的質(zhì)量，這時(shí)可采用另一種另一種衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)相對(duì)誤差相對(duì)誤差。相對(duì)誤差相對(duì)誤差是是誤差的絕對(duì)值誤差的絕對(duì)值與與相應(yīng)觀測(cè)值相應(yīng)觀測(cè)值之比

28、，在測(cè)量上通常將之比，在測(cè)量上通常將其其分子分子化為化為1 1，即用，即用K=1/NK=1/N的形式來表示。若分子采用中誤差，的形式來表示。若分子采用中誤差，則則K K可稱為相對(duì)中誤差。相對(duì)誤差的分子也可以是可稱為相對(duì)中誤差。相對(duì)誤差的分子也可以是閉合差閉合差或或容容許誤差許誤差，這時(shí)分別稱為，這時(shí)分別稱為相對(duì)閉合差相對(duì)閉合差及及相對(duì)容許誤差相對(duì)容許誤差。絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差：與相對(duì)誤差對(duì)應(yīng)，中誤差、極限誤差、容許誤差稱：與相對(duì)誤差對(duì)應(yīng)，中誤差、極限誤差、容許誤差稱為為絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差K K2 2 K K1 1 ，所以所以S S2 2精度精度較高較高（相對(duì)中誤差（相對(duì)中誤差愈小愈?。＃?。例：用鋼

29、尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得例：用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得S S1 1=100=100米米， mm1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米， mm2 2=0.02m=0.02m。計(jì)算。計(jì)算S S1 1、S S2 2的相對(duì)誤差。的相對(duì)誤差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解： 6.56.5誤差傳播定律誤差傳播定律 在實(shí)際測(cè)量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測(cè)的，在實(shí)際測(cè)量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測(cè)的，而是通過其他觀測(cè)值而是通過其他觀測(cè)值間接求得間接求得的的, ,即觀測(cè)其它未知量，并通即觀測(cè)其它未知量，并

30、通過一定的過一定的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系計(jì)算求得的。計(jì)算求得的。 表述觀測(cè)值表述觀測(cè)值函數(shù)的中誤差函數(shù)的中誤差與與觀測(cè)值中誤差觀測(cè)值中誤差之間關(guān)系的之間關(guān)系的定律稱為定律稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。 6.56.5誤差傳播定律誤差傳播定律 誤差傳播定律公式推導(dǎo)誤差傳播定律公式推導(dǎo)令 的系數(shù)為 ， (c)式為：iiixffnnxfxfxf2211(c)得:對(duì)(a)泰勒級(jí)數(shù)展開，取近似值：(b)設(shè)有函數(shù)：)(21nxxxfZ，為獨(dú)立變量ix設(shè) 有真誤差 ，函數(shù) 也產(chǎn)生真誤差iZ(a)ix)(2211nnZxxxfZ，nnnZxfxfxfxxxfZ221121)(，)()(22)(11)()2()2(22

31、)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnfffffffff對(duì)xi觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(d)對(duì)上式取平方：jijinnfffffffff2223131212122222221212(e)對(duì)k個(gè)(e)式取總和： njijijijinnfffff1,222222212122(f)nnfff2211 njijijijinnfffff1,222222212122(f)(g)(f)式兩邊除以k，得(g)式： njijijijinnkffkfkfkfk1,222222212122 kfkfkfknn22222221212即：22222221212nnzmfmfmf

32、m(h)由偶然誤差的抵償性知：0limkjik(g)式最后一項(xiàng)各偶然誤差的交叉項(xiàng)總和均趨向于零，則：前面各項(xiàng)22222221212nnzmfmfmfm(h)考慮考慮 ，代入上式，得，代入上式，得觀測(cè)值函數(shù)觀測(cè)值函數(shù)中誤差關(guān)系式：中誤差關(guān)系式：iixff2222222121nnZmxfmxfmxfm上式為一般函數(shù)的中誤差公式，稱上式為一般函數(shù)的中誤差公式，稱中誤差傳播公式中誤差傳播公式，也稱為，也稱為誤誤差傳播定律差傳播定律。 1.1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式設(shè)有函數(shù)式 (x (x為觀測(cè)值，為觀測(cè)值，K K為為x x的系數(shù)的系數(shù)) ) 全微分全微分 得中誤差式得中誤差式xxZ

33、KmmKmKdxdZKxZ22例：量得 地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度 =168.5mm0.2mm, 計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離 S及其中誤差 ms。l1000:1解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS 6.56.5誤差傳播定律誤差傳播定律 幾種常用函數(shù)的中誤差幾種常用函數(shù)的中誤差2.2.線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式全微分中誤差式 nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：設(shè)有某線性函數(shù) 其中 、 、 分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差

34、分別為 ， 求Z的中誤差 。314121491144xxxZ321xxxmm6 , mm2 , mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得：3.3.算術(shù)平均值的中誤差式算術(shù)平均值的中誤差式 對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均，是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。 函數(shù)式 全微分 中誤差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmmM由于等精度觀測(cè)時(shí)， 代入上式： 得： mmmmn21nmmnnmX2

35、21n由此可知，由此可知，算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差比比觀測(cè)值的中誤差觀測(cè)值的中誤差縮小了縮小了 倍。倍。 M4.4.和或差函數(shù)的中誤差和或差函數(shù)的中誤差 函數(shù)式： 全微分： 中誤差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：上式可寫成：mmmmmn321nmmZ 例：測(cè)定A、B間的高差 ，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量每站高差的中誤差 ，求總高差 的中誤差 。 解： 則：ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh 觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式函數(shù)式 函數(shù)的中誤差函數(shù)的中誤差一般函數(shù)一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)和差函

36、數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)算術(shù)平均值函數(shù)算術(shù)平均值函數(shù) ),(21nxxxfZ2222222121nnZmxfmxfmxfm22 ZxxZKxmK mKm nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmM誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測(cè)4個(gè)測(cè)回取平均，可使得三角形閉合差 m容15 。例：要求三角形最大閉合差，m閉容15，問用DJ6經(jīng) 緯儀觀測(cè)三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測(cè)回？ (容許誤差為二倍中誤差) 123三角形閉合差函數(shù)：=(1+2+3)-180解：由題意：2m閉= m

37、閉容= 15,則 m閉= 7.5每個(gè)角每個(gè)角的測(cè)角中誤差的測(cè)角中誤差：3 . 435 . 7xm測(cè)回即 43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于由于DJDJ6 6一測(cè)回一測(cè)回角度角度（兩個(gè)方向）（兩個(gè)方向）中誤差中誤差為：為：由角度測(cè)量n測(cè)回取平均值取平均值的中誤差公式：5 . 826m觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值) 觀測(cè)值改正數(shù) v 的特性 評(píng)定精度 -觀測(cè)值的中誤差 (白塞爾公式) 6.66.6同精度直接觀測(cè)平差同精度直接觀測(cè)平差 一一. .觀測(cè)值的算術(shù)平均值觀測(cè)值的算術(shù)平均值( (最或是值、最可靠值最或是值、最可靠值) ) 證明算術(shù)平均值為該量的最或是值： 設(shè)該

38、量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差真誤差為 1= 1 - X 2= 2 - X n= n - X對(duì)某未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值1,2,n,則該量的算術(shù)平均值L為：x= =1+2+nnn上式等號(hào)兩邊分別相加得和： nXl L=當(dāng)觀測(cè)無(wú)限多次時(shí)：Xnlnnnlimlim 由正負(fù)誤差的由正負(fù)誤差的抵償性抵償性得 Xnlnlim兩邊除以n：由 nXl Xnln當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值最接近最接近真值。所以，算術(shù)平算術(shù)平均值均值是最或是值最或是值（最或然值最或然值），用最或是值作為該未知量真值的估值。每一個(gè)觀測(cè)值觀測(cè)值與最或是值最或

39、是值之差，稱為最或是值誤差最或是值誤差。最或是值最或是值與每一個(gè)觀測(cè)值觀測(cè)值之差，稱為該觀測(cè)值的改正數(shù)改正數(shù)。L X二二. .觀測(cè)值改正數(shù)觀測(cè)值改正數(shù)v v的特性的特性(a)以以算術(shù)平均值算術(shù)平均值為為最或是值最或是值，并據(jù)此計(jì)算各觀測(cè)值的改正數(shù)，并據(jù)此計(jì)算各觀測(cè)值的改正數(shù)v v，符合符合vv=min vv=min 的的“最小二乘原則最小二乘原則”。vi = L - i (i=1,2,n)特點(diǎn)特點(diǎn)1 1 改正數(shù)總和改正數(shù)總和為為零零：(a)取和：以 代入：(b)通常用于計(jì)算檢核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特點(diǎn)特點(diǎn)2 2 vv vv符合符合“最小二乘原則最小二乘原則”（觀測(cè)值改

40、正數(shù)平方（觀測(cè)值改正數(shù)平方 和最?。汉妥钚。?c)則:即:vv = min=2v=2v=2(L-)=0dvv dv(L-)=0nL-=0L= n比較這兩個(gè)式子，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的相等的1nvvnnmnvvm1即在 與 中：三三. .精度評(píng)定精度評(píng)定用觀測(cè)值的改正數(shù)改正數(shù)v(或者最或是誤差最或是誤差)計(jì)算觀測(cè)值中誤差觀測(cè)值中誤差的公式稱為貝塞爾公式貝塞爾公式。1 nvvmnm 1.計(jì)算公式： (d)用觀測(cè)值真誤真誤差差計(jì)算中誤差中誤差用觀測(cè)值改正改正數(shù)數(shù)計(jì)算中誤差中誤差)(XLvXLviiii得(e)由上二式相減：對(duì)上式取 n 式總和)(XLnv得)()(XLnXLn即(f)

41、1nvvn證明如下：LlvXlLlvXlLlvXlnnnn22221111真誤差：最或是誤差：0v又由而由(f)式： 兩邊平方可得：)(XLn21,221312122222122222)(2)(1)(nnnnnnXLjinjijinnn* 有正負(fù)抵消性，可忽略不計(jì)。*ji對(duì)(e)式 平方：)(XLvii2)()(2XLXLvvviiiii取n式總和2)()( 2XLnXLvvv即：2)(XLnvv(g)代入(g)式，上式變?yōu)椋簄vvnvv由 ：1vvnn1nvvn證畢得:公式nm(h)1nVVm公式(i)使用場(chǎng)合為：已知已知觀測(cè)值 的真值真值X X，用真誤差真誤差 計(jì) 算中誤差中誤差。Xlii

42、使用場(chǎng)合為：觀測(cè)值的真真 值值未知未知，根據(jù)算術(shù)平均值算術(shù)平均值， 用改正數(shù)改正數(shù)v v計(jì)算中誤差中誤差。iilLv解：該水平角真值未知真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)算術(shù)平均值的改正數(shù)V V計(jì) 算其中誤差中誤差：例：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表， 求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。2.算例:權(quán)權(quán)是一個(gè)表示觀測(cè)結(jié)果質(zhì)量是一個(gè)表示觀測(cè)結(jié)果質(zhì)量可靠程度可靠程度的相對(duì)性數(shù)值的相對(duì)性數(shù)值(P)(P)權(quán)的概念權(quán)的概念 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 在對(duì)某量進(jìn)行在對(duì)某量進(jìn)行不同精度不同精度觀測(cè)時(shí)，各觀測(cè)結(jié)果的中誤差不同。觀測(cè)時(shí)，各觀測(cè)結(jié)果的中誤差不同。顯然，顯然，不能不

43、能將具有不同可靠程度的各觀測(cè)結(jié)果簡(jiǎn)單地取算將具有不同可靠程度的各觀測(cè)結(jié)果簡(jiǎn)單地取算術(shù)平均值作為最或是值并評(píng)定精度。此時(shí)，需要選擇某一術(shù)平均值作為最或是值并評(píng)定精度。此時(shí)，需要選擇某一個(gè)個(gè)比值比值來比較各觀測(cè)值的可靠程度，此比值就是權(quán)。來比較各觀測(cè)值的可靠程度，此比值就是權(quán)。權(quán)的概念權(quán)的概念-權(quán)的定義 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 2iimP設(shè)一組不同精度觀測(cè)值為 ，相應(yīng)的中誤差為 ，選定任一大于零的常數(shù) ，定義權(quán)定義權(quán) 為： 稱Pi為觀測(cè)值li的權(quán)。對(duì)一組已知中誤差的觀測(cè)值而言，選定一個(gè) 值，就有一組對(duì)應(yīng)的權(quán)?？梢远ǔ鲇^測(cè)值的權(quán)之間的比例關(guān)系為il),.,2 , 1(n

44、imiiP2222122221211:.:1:1 :.:.:nnnmmmmmmPPP權(quán)的概念權(quán)的概念-權(quán)的性質(zhì) 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 （1）權(quán)權(quán)和中誤差中誤差都是用來衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)精度的指標(biāo)，但中誤差中誤差是絕對(duì)性絕對(duì)性數(shù)值，表示觀測(cè)值的絕對(duì)精度絕對(duì)精度，權(quán)權(quán)是相對(duì)性相對(duì)性數(shù)值，表示觀測(cè)值的相對(duì)精度相對(duì)精度。（2）權(quán)與中誤差平方成反比反比，中誤差越小小，權(quán)越大大，表示觀測(cè)值越可靠可靠，精度越高高。（3）權(quán)始終取正號(hào)正號(hào)。（4）由于權(quán)是一個(gè)相對(duì)性數(shù)值，對(duì)于單一觀測(cè)值單一觀測(cè)值而言，權(quán)無(wú)無(wú)意義意義。（5）權(quán)的大小隨的不同而不同，但權(quán)之間的比例關(guān)系不變比例關(guān)系不

45、變。（6）在同一同一個(gè)問題中只能只能選定一個(gè)一個(gè)值，不能不能同時(shí)選用幾個(gè)不幾個(gè)不同同的值，否則否則就破壞破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。常用的常用的確定權(quán)的方法確定權(quán)的方法 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 設(shè)一次觀測(cè)的中誤差為 ，則 次同精度觀測(cè)值算術(shù)平均值算術(shù)平均值的 中誤差 ，定義 ，則一次觀測(cè)值的權(quán)為：m2mnnmM 1.1.同精度觀測(cè)值算術(shù)平均值的權(quán)同精度觀測(cè)值算術(shù)平均值的權(quán)1222mmmP 則算術(shù)平均值的權(quán)為：nnmmnmPL/222 可見權(quán)與觀測(cè)次數(shù)成正比可見權(quán)與觀測(cè)次數(shù)成正比常用的確定權(quán)的方法常用的確定權(quán)的方法 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差

46、設(shè)一次觀測(cè)的中誤差為 ,其權(quán)為 ，并設(shè) ，則m2m0P1220mmP 等于1的權(quán)稱為單位權(quán)，而權(quán)等于1 的中誤差稱為單位權(quán)中誤差，用 表示。22iimP則中誤差為 的觀測(cè)值，其權(quán) 為：iiPm1iPim 設(shè)每一次測(cè)站每一次測(cè)站觀測(cè)高差觀測(cè)高差的精度相同，其中誤差為 ，則不同測(cè)站數(shù)的水準(zhǔn)路線水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的中誤差觀測(cè)高差的中誤差為：站m為各水準(zhǔn)路線的測(cè)站數(shù)，站iiiNniNmm ),.,2 , 1( iiiNcmP22 可見各水準(zhǔn)路線的權(quán)各水準(zhǔn)路線的權(quán)與測(cè)站數(shù)（路線長(zhǎng)度）測(cè)站數(shù)（路線長(zhǎng)度）成反比反比常用的確定權(quán)的方法常用的確定權(quán)的方法 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 2.

47、 2. 權(quán)在水準(zhǔn)測(cè)量中的應(yīng)用權(quán)在水準(zhǔn)測(cè)量中的應(yīng)用則各各水準(zhǔn)路線的權(quán)水準(zhǔn)路線的權(quán)為：即c個(gè)測(cè)站的高差中誤差高差中誤差為單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差取站 mc各水準(zhǔn)路線水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度同理可得iiiLLcP 設(shè)單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度（一公里）距離測(cè)量中誤差為 ，則長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為s s公里公里的距離測(cè)量中誤差為：m smmsscmPss22 可見距離測(cè)量的權(quán)與長(zhǎng)度成反比可見距離測(cè)量的權(quán)與長(zhǎng)度成反比常用的確定權(quán)的方法常用的確定權(quán)的方法 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 3.3.權(quán)在距離測(cè)量中的應(yīng)用權(quán)在距離測(cè)量中的應(yīng)用則距離測(cè)量的權(quán)為：為單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差公里的距離測(cè)量公里的距離測(cè)量中誤差即

48、長(zhǎng)度為取, ccm 設(shè)對(duì)某量進(jìn)行 次不同精度觀測(cè)，觀測(cè)值為 ，其相應(yīng)的權(quán)為 ，則其加權(quán)算術(shù)平均值為該量的最或是值最或是值，即：nnlll,.,21.212211PPlPPPlPlPlPLnnnnPPP,.,21LlviiLPlPvPiiiiiLPPlPv0Pv求不同精度觀測(cè)值的最或是值求不同精度觀測(cè)值的最或是值 -加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 最或是誤差為：nnPPP,.,21nlll,.,21nnPPP,.,21nlll,.,21nnPPP,.,21nlll,.,21nnPPP,.,21nnlll,.,21nPPP,.,21n即：nnlP

49、PlPPlPPPPlL.22111. 1. 最或是值的中誤差最或是值的中誤差).(1222222212122nnmPmPmPPM式中 為相應(yīng)觀測(cè)值的中誤差。若令單位權(quán)中誤差等于第一個(gè)觀測(cè)值li的中誤差，即=m1，則各觀測(cè)值的權(quán)為代入上式得則 為不同精度觀測(cè)值最或是值中誤差計(jì)算公式。nmmm,.,2122iimP).(122222122PPPPPMnPM不同精度觀測(cè)的精度評(píng)定不同精度觀測(cè)的精度評(píng)定 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 不同精度觀測(cè)值最或是值為：由誤差傳播定律，最或是值L的中誤差：22iimP22iimP2222222112 nnmPmPmP22222112Pmm

50、mPmPmPnnnnPmmnPn 差，則時(shí)，用真誤差代替中誤當(dāng))1(PnPvvPM2.2.單位權(quán)觀測(cè)值中誤差單位權(quán)觀測(cè)值中誤差不同精度觀測(cè)的精度評(píng)定不同精度觀測(cè)的精度評(píng)定 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 此式為用真誤差真誤差計(jì)算單位權(quán)觀測(cè)值中誤差公式。也可用觀測(cè)值改正數(shù)改正數(shù)來計(jì)算單位權(quán)中誤差1nPvv將上式代入 即為用觀測(cè)值改正數(shù)觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算不同精度觀測(cè)值不同精度觀測(cè)值最或是值中誤差最或是值中誤差公式PM例題：例題： 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 測(cè)段高程觀測(cè)值 (m)水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度(km)權(quán)PiviPvPvvA-EB-EC-E42.3474

51、2.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6p=1.15pv=0 pvv=123.0330.4240. 050. 025. 0332.4240. 0320.4250. 0347.4225. 0EH例題：例題： 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 測(cè)段高程觀測(cè)值 (m)水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度(km)權(quán)PiviPvPvvA-EB-EC-E42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6p=1.15pv=0 p

52、vv=123.0例題：例題： 6.76.7不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接觀測(cè)平差 mmnpvvu8 . 7130 .1231mmPuM3 . 715. 18 . 7 6.86.8點(diǎn)位誤差點(diǎn)位誤差在測(cè)量中，點(diǎn)P的平面位置常用平面直角坐標(biāo) 來表示。為了確定待定點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，通常將待定點(diǎn)待定點(diǎn)與已知點(diǎn)已知點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)測(cè)，進(jìn)而通過已知點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)、角度和邊長(zhǎng)等觀測(cè)值，用一定的數(shù)學(xué)方法（如極坐標(biāo)法、平差方法等）求出待定點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)。 PPyx,由于觀測(cè)條件觀測(cè)條件的存在，觀測(cè)值觀測(cè)值總是帶有觀測(cè)誤差，因而根據(jù)觀測(cè)值計(jì)算所獲得的待定點(diǎn)待定點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)，并不是真正的坐標(biāo)值，而是待定

53、點(diǎn)待定點(diǎn)的真坐標(biāo)值真坐標(biāo)值 的估值 。也就是說待定點(diǎn)的點(diǎn)位含有誤差。討論點(diǎn)位誤差和評(píng)定點(diǎn)位精度方法。 ,ppxyPPyx,ppxyPPyx,點(diǎn)位（真）誤差點(diǎn)位（真）誤差 6.86.8點(diǎn)位誤差點(diǎn)位誤差1點(diǎn)位真誤差的概念 （ 或然點(diǎn)位）或然點(diǎn)位） 點(diǎn)位真誤差點(diǎn)位真誤差 （真點(diǎn)位）（真點(diǎn)位）xppyppxxyy ）（AAyx ,222pxy 由于 和 的存在而產(chǎn)生的距離 稱為 P點(diǎn)的點(diǎn)位真誤差，簡(jiǎn)稱真位差。 xyP點(diǎn)位真誤差點(diǎn)位真誤差 6.86.8點(diǎn)位誤差點(diǎn)位誤差2點(diǎn)位真誤差的隨機(jī)性 xppyppxxyy ）（AAyx ,222pxy P點(diǎn)的最或然坐標(biāo)最或然坐標(biāo)是由一組帶有觀測(cè)誤差的觀測(cè)值通過計(jì)算計(jì)算所求得的結(jié)果，因此，它們是觀測(cè)值的函數(shù)。隨著觀測(cè)值的隨著觀測(cè)值的不同而不同不同而不同。所以說點(diǎn)位真誤差隨觀測(cè)值不同而變化變化，由于觀測(cè)值誤差具有隨機(jī)性，點(diǎn)位真誤差也具有隨機(jī)性。 點(diǎn)位方差與點(diǎn)位中誤差點(diǎn)位方差與點(diǎn)位中誤差 6.86.8點(diǎn)位誤差點(diǎn)位誤差1點(diǎn)位方差方差定義 2222pp22xppppx22yppppy= ExE xExx= E= EyE yEyy= E 22222()()()pppxyxyEEE222pppxy22pppxy 22pppxymmm 式中 是P點(diǎn)真位差平方真位差平方的