精心整理)特殊四邊形的輔助線

1、特殊四邊形的輔助線一、分割面積1. （2005*郴州）附加題：E是四邊形ABCD中AB上一點（E不與A、B重合）.（1）如圖，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時，AADE. ABCE和ACDE的而積之間有著怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論.（2）若四邊形ABCD是矩形時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？為什么？ ABCD是平行四邊形呢?（1）中的結(jié)論還成立嗎？諳說明理由.二. 補(bǔ)全線段補(bǔ)全線段，如三角形中的五線（角平分線，中線，中垂線，垂線，中位線人四邊形的對角線。2. （2008-山西）如圖，已知AABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD二CE,連接DE并延長至點 F,使 EF二AE,連接 AF、

2、BE 和 CF.（1）請在圖中找岀一對全等三角形，用符號“旦”表示，并加以證明；（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由：（3）若AB二6, BD二2DC,求四邊形ABEF的而積.3. （2007常州）已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6,菱形EFGH的三個頂點E, G, H分別在正方形ABCD邊 AB, CD, DA 上，AH=2,連接 CF（1）當(dāng)DG二2時，求AFCG的而積：（2）設(shè)DG=x,用含x的代數(shù)式表示AFCG的面積；（3）判斷AFCG的而積能否等于1,并說明理由.4. （2007莆陽）在正方形ABCD中，點E是AD上一動點，MN丄AB分別交AB, CD于松N,連接BE

3、交MN于點0,過0作0P丄BE分別交AB, CD于P, Q.探究：（1）如圖，當(dāng)點E在邊AD上時，請你動手測量三條線段AE, MP, NQ的長度，猜測AE與MP+NQ 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你所猜測的結(jié)論：探究：（2）如圖，若點E在DA的延長線上時，AE, HP, NQ之間的數(shù)量關(guān)系又是怎樣請直接寫出結(jié)論： 再探究：（3）如圖，連接并延長BN交AD的延長線DG于H,若點E分別在線段DH和射線HG上時，請在 圖中完成符合題意的圖形，并判斷AE, HP，NQ之間的數(shù)量關(guān)系又分別怎樣？請直接寫岀結(jié)論.圖中線5. 在ZjABCD 中，BC二2AB, CE丄AB 于 E, F 為 AD 的中點，ZAEF

4、=54 ,則 ZB二6. （201P鞍山）已知如圖，D是ABC中AB邊上的中點，AACE和ABCF分別是以AC、BC為斜邊的等腰直角三角形，連接DE、DF.求證：DE二DFE中位線7. （2013*沙坪壩區(qū)模擬）如圖，ZJABCD中，AC與BD相交于點0, ZABD二2ZDBC, AE丄BD于點E.（1）若ZADB二25 ,求ZBAE 的度數(shù)；（2）求證：AB=20E.垂線8. （2013寧夏）在6LBCD中，P是AB邊上的任意一點，過P點作PE丄AB,交AD于E,連結(jié)CE, CP.已知ZA=60 :（1）若BC二8, AB二6,當(dāng)AP的長為多少時，ACPE的而積最大，并求出面積的最大值.（2

5、）試探究當(dāng)厶CPEACPB時，口迢CD的兩邊AB與BC應(yīng)滿足什么關(guān)系？角平分線9. （2007*哈爾濱）如圖1,在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E, AF平分ZBAC,交BD于點F.（1）求證：EFAC二AB：2（2）點G從點C出發(fā)，沿著線段CB向點B運(yùn)動（不與點B重合），同時點A：從點A出發(fā)，沿著BA的延長線 運(yùn)動，點G與A：的運(yùn)動速度相同，當(dāng)動點C：停止運(yùn)動時，另一動點打也隨之停止運(yùn)動.如圖2, AN平 分ZBAG,交BD于點F”過點F,作FE丄AC，垂足為E”請猜想EF，丄人6與AB三者之間的數(shù)量關(guān)2系，并證明你的猜想：（3）在（2）的條件下，當(dāng)AE=3, CE二2時，求BD

6、的長.CD正方形對角線10. （2005-湖州）如圖，四邊形ABCD和BEFG均為正方形，則擔(dān) （結(jié)果不取近似值）11. （2009-r州）如圖，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與 GH交于點P.（1）若 AG二AE,證明：AF=AH；（2）若ZFAH=45 ,證明：AG十AE二FH：（3）若RtAGBF的周長為1,求矩形EPHD的而積.A ED12（2011-防城港）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方 形AEFG,線段EB和GD相交于點H.（1）求證:EB二GD：（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理

7、由：（3）若 AB二2, AG=VZ，求 EB 的長.13（2014安徽）如圖1,正六邊形ABCDEF的邊長為/ P是BC邊上一動點，過P作PM/7AB交AF于吐 作PN/7CD交DE于N（1） ZMPN二:求證：PM+PN=3a：（2）如圖2,點0是AD的中點，連接OM、ON,求證：0M二ON：（3）如圖3,點0是AD的中點，0G平分ZM0N,判斷四邊形OMG是否為特姝四邊形？并說明理由.D三、制造全等三角形14（2012-重慶）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點乩 過M作ME丄 CD 于點 E, Z1=Z2.（1）若CE二,求BC的長：（2）求證：AM二

8、DF+HE.15. （2014-南平）在圖1、圖2、圖3、圖4中，點P在線段BC上移動（不與B、C重合），M在BC的延長 線上.（1）如圖1, AABC和AAPE均為正三角形，連接CE. 求證：ABP9ZXACE. ZECH的度數(shù)為 .（2）如圖2,若四邊形ABCD和四邊形APEF均為正方形，連接CE.則ZECM的度數(shù)為 .如圖3,若五邊形ABCDF和五邊形APEGH均為正五邊形，連接CE.則ZECM的度數(shù)為 .（3）如圖4, n邊形ABC和n邊形APE均為正n邊形，連接CE,請你探索并猜想ZECM的度數(shù)與正多 邊形邊數(shù)n的數(shù)量關(guān)系（用含n的式子表示ZECM的度數(shù)），并利用圖4 （放大后的局部

9、圖形）證明你 的結(jié)論.圖1圖2H16. 已知：四邊形ABCD是正方形，點E在CD邊上，點F在AD邊上，且AF二DE.(1) 如圖1,判斷AE與BF有怎樣的位置關(guān)系？寫出你的結(jié)果，并加以證明；(2) 如圖2,對角線AC與BD交于點0BD, AC分別與AE, BF交于點G,點H. 求證：0G二0H： 連接0P,若AP二4, 0P=V2，求AB的長.17已知 RtAABC 和 RtZXADE, ZACB二ZAED二90 , ZBAC二ZDAE二30 , P 為線段 BD 的中點，連接 PC, PE.(1) 如圖b若AC二AE, C.A.E依次在同一條直線上，則ZCPE二:PC與PE存在的等疑關(guān)系是（

10、2）如圖2,若ACHAE, C. A. E依次在同一條直線上，猜想ZCPE的度數(shù)及PC與PE存在的等量關(guān)系，并寫出你的結(jié)論：（不需要證明）:（3）如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，若將RtAADE繞點A逆時針任意旋轉(zhuǎn)一個角度，使C、A、E不在一條直線上,圖1圖2圖318. （2009-臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點.Z AEF二90 ,且EF交正方形外角ZDCG的平分線CF于點F,求證：AE二EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M,連接ME,則AM二EC,易證 AME仝AECF,所 以AE二EF在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究

11、：（1）小穎提岀：如圖2,如果把點E是邊BC的中點”改為點E是邊BC上（除B, C外）的任意一點”， 其它條件不變，那么結(jié)論“AE二EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程： 如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，英他條件不變，結(jié)論“AE二EF”仍 然成立.你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程：如果不正確，請說明理由.19. （2012-深圳）如圖，RtAABC中，ZC二90 ,以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE,且正方形對角線交于 點0,連接0C,已知AC二5, 006/5，則另一直角邊BC的長為7四. 構(gòu)

12、造四邊形，等腰三角形構(gòu)造平行四邊形20. （2008-旅順口區(qū)）兩個全等的三角形如下圖所示放世，點B、A、D在同一直線上.操作：在圖中，在CB邊上截取CM二AB,連接DH,交AC于N請?zhí)骄縕AND的大小，并證明你的結(jié)論.21則在/JABCD中，ZBAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC于點F.若ZABC=120 , FGCE, FG二CE, 分別連接DB、DG、BG, ZBDG的大小是（）AD22. 如圖，已知6BCD中，DE丄BC于點E, DH丄AB于點乩AF平分ZBAD,分別交DC、DE、DH于點F、G. M, 且DE二AD（1）求證：AADGAFDM（2）猜想AB與DG+CE之間有何數(shù)

13、量關(guān)系，并證明你的猜想.23. （2010-本溪）我們給出如下泄義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形.請解答下列問題：（1）寫岀你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱：（2）探究：當(dāng)?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為60時，這對60角所對的兩邊之和與其中一條 對角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.參考答案一、分割面積7. （2005郴州）附加題：E是四邊形ABCD中AB上一點（E不與A、B重合）.（1）如圖，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時，AADE. ABCE和ACDE的而積之間有著怎樣的關(guān)系？證明你的（2）若四邊形ABCD是矩形時，（1）中的結(jié)論是否仍然

14、成立？為什么？ ABCD是平行四邊形呢?（3）當(dāng)四邊形ABCD是梯形時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.考 正方形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)：梯形.點：專壓軸題：探究型.題：分 正方形，矩形，平行四邊形圖形中的三個三角形都是等高的三角形，它們的面積關(guān)系，就要看底邊的關(guān) 析：系了，由于AE+EB=CD,所以SaAde+Sabce=SaCde在這三個圖形中都成立：梯形不具備這一特征，就 不一定成立.解解：Saade+Sabce=Sacde答：方法1：同底同高Saade+Sabce-aEXX AD二（AE+EB）二X AB二 SADEC方法2：因為過E作EFBC交DC于F,貝9四邊形AEFD和EBCF是

15、矩形 所以 S小aed=Saefd，Saebc=Saefc所以 S厶ADE+SABCE=Sr.EFD+SEFC=S厶DEC 四邊形ABCD是矩形時（1）中結(jié)論成立，方法同上 當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時，結(jié)論還是成立. 當(dāng)四邊形ABCD是梯形時，中結(jié)論當(dāng)E點為AB中點時成立，英它情況不成立不成立.理由如下：設(shè) Sz.ADE=S1, SaBCE=S2 SaDEC=S3,梯形ABCD底為ib下底為b而積為S,如圖.則%誌bh； S2ah2S3=S-S2（a+b）（切也）_*血-軻廣* （ahq+bh?）如果 Saade+Sabce=Sadec 則有丄（bhj= （ah j 4-bh2），a（hi

16、-h2）=b （hi - hz）.2 2如果hi=h2則E為AB中點，如果hiHh2,則世b,四邊形ABCD是平行四邊形.點評:解答本題要充分利用正方形、矩形,平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)：觀察圖形的底與髙的關(guān)系，利用等底，等髙的兩個三角形而積相等,確左三角形的而積關(guān)系.二、補(bǔ)全線段補(bǔ)全線段，如三角形中的五線（角平分線,中線，中垂線，垂線，中位線），四邊形的對角線。5. （2008-山西）如圖，已知AABC是等邊三角形，D. E分別在邊BC、AC上，且CD二CE,連接DE并延長至點 F,使 EF二AE,連接 AF、BE 和 CF.（1）請在圖中找出一對全等三角形，用符號“仝”表示，并加以證明；（

17、2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由；（3）若AB二6, BD二2DC,求四邊形ABEF的而積.考點：平行四邊形的判左：全等三角形的判泄.專題：證明題：壓軸題.分析：（1）從圖上及已知條件容易看出 BDEAFEC, ABCEAFDC, AABEAACF.判左兩個三角形全 等時，必須有邊的參與，所以此題的關(guān)鍵是找岀相等的邊.（2）由（1）的結(jié)論容易證明ABDF, BDAF,兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（3）EFAB, EFHAB,四邊形ABEF是梯形，只要求出此梯形的而積即可.解答：解：（1）（選證一）BDEZkFEC證明：.ABC是等邊三角形，BC二AC, ZACB二60

18、 度.TCD 二 CE,A AEDC是等邊三角形.DE二EC, ZCDE=ZDEC=60ZBDE二ZFEC二 120 度.又 VEF=AE,BD 二 FEAABDEAFEC （選證二）BCE/kFDC 證明：.ABC是等邊三角形，BC二AC, ZACB二60 度.又 TCD 二 CE,EDC是等邊三角形.ZBCE二ZFDC二60 , DE=CETEF 二 AE,EF+DE 二 AE+CE.FD 二 AC 二 BC AABCEAFDC （選證三）ZABE仝 ZXACF.證明：ABC是等邊三角形， AB二AC, ZACB= ZBAC二60 度.TCD二CE, EDC是等邊三角形. ZAEF二 ZC

19、ED二60 度.TEF二AE, AAEF是等邊三角形AE二AF, ZEAF=60 度.AAABEAACF.（2）四邊形ABDF是平行四邊形.理由：由（1）知，AABC、AEDC. ZkAEF都是等邊三角形. ZCDE=ZABC=ZEFA=60 度.ABDF, BD/7AF.四邊形ABDF是平行四邊形.（3）由（2）知，四邊形ABDF是平行四邊形.EFAB, EFHAB .四邊形ABEF是梯形.過E作EG丄AB于G,則EG二2価S N 邊形 gr ）EG（AB+EF） X2a/3 x（6+4） =10a/32點評：此題考查了全等三角形的判怎，平行四邊形的判立，及梯形而積的求解，用到的知識點比較多

20、，較復(fù) 雜.22. （2007常州）已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6,菱形EFGH的三個頂點E, G, H分別在正方形 ABCD 邊 AB, CD, DA 上，AH=2,連接 CF（1）當(dāng)DG=2時，求AFCG的而積：（2）設(shè)DG=x,用含x的代數(shù)式表示AFCG的而積；（3）判斷AFCG的而積能否等于1,并說明理由.考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判左與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).專題：計算題：壓軸題：探究型.分析：(1)要求AFCG的而積，可以轉(zhuǎn)化到而積易求的三角形中，通過證明厶DGHACFG得岀.(2) 欲求AFCG的而積，由已知得CG的長易求，只需求出GC邊的高，通過證明厶AHEAMFG 可得

21、；(3) 若 SAFCG=b 由 SaFcg=6 - X,得 x=5,此時，在DGH 中，HGfjQT相應(yīng)地，在AAHE 中,AE=a/ 37$,即點E己經(jīng)不在邊AB上.故不可能冇Safcg=1 解答：解：(1) 正方形ABCD中，AH=2tDH=4,VDG=2,.HG=2j 即菱形EFGH的邊長為25.在AAHE和厶DGH中，VZA=ZD=90% AH=DG=2, EH=HG=2屈AAAHEADGH (HL),AZAHE=ZDGH,VZDGH+ZDHG=90,AZDHG+ZAHE=90% ZGHE=90%即菱形EFGH是正方形，同理可以證明 DGH9ACFG,A ZFCG=90,即點F在BC

22、邊上,同時可得CF=2,從而Shcg丄4x2=4(2分)2(2)作FM丄DC, M為垂足，連接GE,VAB/7CD,ZAEG=ZMGE,HEGF,ZHEG=ZFGE,ZAEH=ZMGF在公AHE和MFG中，rZA=ZMZAEH=ZFGNHE 二 FGAHE仝MFG (AAS),AFM=HA=2,即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為疋值2.因此 Sg寺 2X 由（2）知 S厶fcg=6 x,得 x=5,在DGH 中.HG=VLAEAAHE中，AE=6,即點E已經(jīng)不在邊AB上.不可能有Safcg=1.（9分）另法：.點G在邊DC上，菱形的邊長至少為DH=4,當(dāng)菱形的邊長為4時：.

23、點E在AB邊上且滿足AE=23，此時，當(dāng)點E逐漸向右運(yùn)動至點B時，HE的長（即菱形的邊長） 將逐漸變大，.最大值為HE=2V10.此時，DG=2麻,故 0x （4 分）VZPQr Q=ZBAE=90% QQf 二AB,AABAEAQQ，P（5 分）Q P=AE,Q P=MP+Qz M=MP+NQ,AAE=MP+NQ（6 分）（2）如圖，若點E在DA的延長線上時，結(jié)論AE=QN - MP. （8分）（3）如圖，若點Ei在線段DH上時，結(jié)論：AEi二MPi+NQi（10分）若點E2在射線HG上時，結(jié)論：AE2=MP2 - NQ2（12分）圖圖圖點評：本題考查全等三角形的判左左理以及正方形的性質(zhì)的綜

24、合運(yùn)用.中線9.（重點題）在口ABCD 中，BC二2AB, CE丄AB 于 E, F 為 AD 的中點，ZAEF二54 ,則ZB二 72考點：平行四邊形的性質(zhì)：等腰三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線.專題：壓軸題.分析：過F作AB、CD的平行線FG,由于F是AD的中點，那么G是BC的中點，即RtABCE斜邊上的中點， 由此可得BC二2EG二2FG,即AGEF、ABEG都是等腰三角形，因此求ZB的度數(shù)，只需求得ZBEG的 度數(shù)即可：易知四邊形ABGF是平行四邊形，得ZEFG二ZAEF,由此可求得ZFEG的度數(shù)，即可得 到ZAEG的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得ZBEG的值，由此得解.解答：解：過F

25、作FGABCD,交BC于G：則四邊形ABGF是平行四邊形，所以AF二BG,即G是BC的中點：BC二2AB,為 AD 的中點，BG 二 AB 二 FG 二 AF,連接EG,在RtABEC中，EG是斜邊上的中線，則BG二GE二FG）BC；2VAE/7FG, ZEFG二ZAEF二ZFEG二54 ,ZAEG二ZAEF+ZFEG二 108。,ZB二ZBEG二 180 -108。=72 點評：此題主要考査了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判泄和性質(zhì)，正確地構(gòu)造出 與所求相關(guān)的等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵.20(2011鞍山)已知如圖，D是AABC中AB邊上的中點，AACE和ABCF分別是以

26、AC、BC為斜邊的等腰直 角三角形，連接DE、DF.求證：DE二DF.考點：平行四邊形的判左與性質(zhì)：全等三角形的判泄與性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線.專題：證明題：壓軸題.分析：分別取AC、BC中點M、N,連接MD、D,再連接EM、FN,利用在直角三角形中：直角三角形斜邊上 的中線等于斜邊的一半和已知條件證明四邊形MDNC為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)和 已知條件證明 EMDADNF即可.解答：證明：分別取AC、BC中點M、N,連接皿、ND,再連接EH、FN,D 為 AB 中點，ZAEC=90 , ZBFC二90 ,VD是AABC中AB邊上的中點, DN是AABC的中位線. dnAc,2.

27、EM二D)AC, FN二MD)BC,2 2VDN/7CM 且 DN=CM,.四邊形MDNC為平行四邊形，A ZCMD=ZCND V ZEMC=ZFNC=90 , ZEMC+ZCMD 二 ZFNC+ZCND, 即 ZEMD=ZFND,EMD仝DNF (SAS) DE 二 DF 點評：本題考查了平行四邊形的判左和性質(zhì)、全等三角形的判左和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)：直角三角形 斜邊上的中線等于斜邊的一半，題目難度中等綜合性不小.中位線12(2013*沙坪壩區(qū)模擬)如圖，6BCD中，AC與BD相交于點0, ZABD二2ZDBC. AE丄BD于點E.(1) 若ZADB二25 ,求ZBAE 的度數(shù)；(2)

28、求證：AB二20EAD考點：平行四邊形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線：三角形中位線泄理.專題：壓軸題.分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得ADBC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得ZDBC二ZADB, 然后求岀ZABD,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可求出ZBAE；（2）取AB的中點F,連接EF、OF,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF二BF）AB,2 根據(jù)等邊對等角可得ZABXZBEF,根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可 得OFBC,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得ZDBC二ZE0F,然后根據(jù)三角形的一個外角等于與 它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出ZEF0二

29、ZE0F,再根據(jù)等角對等邊可得EF二0E,從而得證.解答：（1）解：在彷BCD中，ADBC, ZDBC 二 ZADB,V ZABD=2ZDBC, ZADB=25 ,ZABD二2X25 =50 ,VAEXBD,ZBAE二90 - ZABD=90c 50 二40 :（2）證明：如圖，取AB的中點F,連接EF、0F,VAEXBD,.EF 二 BFAB,2 ZABD 二 ZBEF,VA0=C0,.OF是 ABC的中位線，OFBC, ZDBC 二 ZE0F,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，ZBEF二ZEF0+ZE0F,又 J ZABD二2ZDBC, ZEF0=ZE0F,EF 二 0E, oeAb,2點評：本題考查

30、了平行四邊形的對邊平行，對角線互相平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.三角形的一個外角等于與它不相鄰的 兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵.垂線20. （2013-寧夏）在6BCD中，P是AB邊上的任意一點，過P點作PE丄AB,交AD于E,連結(jié)CE, CP.已知ZA二60 :（1）若BC二8, AB二6,當(dāng)AP的長為多少時，ACPE的而積最大，并求出而積的最大值.（2）試探究當(dāng)厶CPEACPB時，口ABCD的兩邊AB與BC應(yīng)滿足什么關(guān)系？考點：四邊形綜合題.專題：計算題：壓軸題.分析：（1）延長PE交CD的延長線于F,設(shè)AP=

31、x, ACPE的而積為y,由四邊形ABCD為平行四邊形，利用 平行四邊形的對邊相等得到AB二DC, AD二BC,在直角三角形APE中，根據(jù)ZA的度數(shù)求出ZPEA的 度數(shù)為30度，利用直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示岀AE與PE,由AD-AE 表示出DE,再利用對頂角相等得到ZDEF為30度，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示 出DF,由兩直線平行內(nèi)錯角相等得到ZF為直角，表示出三角形CPE的而積，得出y與x的函數(shù) 解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到三角形CPE面積的最大值，以及此時AP的長：（2）由厶CPEACPB,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到BC=CE,

32、ZB=ZPEC=120 , 進(jìn)而得出ZECD二ZCED,利用等角對等邊得到ED二CD,即三角形ECD為等腰三角形，過D作DM垂 直于CE, ZECD二30 ,利用銳角三角形函數(shù)泄義表示岀cos30 ,得岀CM與CD的關(guān)系，進(jìn)而得 出CE與CD的關(guān)系，即可確定岀AB與BC滿足的關(guān)系.解答：解：（1）延長PE交CD的延長線于F,設(shè)AP二x, ACPE的而積為y,四邊形ABCD為平行四邊形，.AB二DC二6, AD二BC二8,VRtAAPE, Z A二60 ,.ZPEA二30 ,.AE二2x, PE=V3x在 RtADEF 中，ZDEF二ZPEA二30 , DE二AD - AE二8 - 2x,DfA

33、e二4 - X,2VAB/7CD, PF丄AB,PF 丄 CD,S5PECF,配方得：y二坐（5） +空捶（0WxW4）,2 2當(dāng)只二4時，y有最大值為12即AP的長為5時，ACPE的而積最大，最大而積是12島：(2)當(dāng)厶CPEACPB 時，有 BC二CE, ZB二ZPEC二 120 , ZCED二 180 - ZAEP - ZPEC=30 ,V ZADC=120 ,A ZECD=ZCED=180 - 120 - 30 二30 ,.DE二CD,即ZEDC是等腰三角形，過D作DM丄CE于M,則CM二Le,2在 RtACMD 中，ZECD=30 ,2CE=V5cD,TBC二CE, AB二CD,BC

34、 二屆B，則當(dāng)ACPE仝ACPB時，BC與AB滿足的關(guān)系為BC=V盈.BC點評：此題考查了四邊形的綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，平行 線的判圧與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道多知識點綜合的探究題.角平分線25(2007哈爾濱)如圖1,在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E, AF平分ZBAC,交BD于 點F.(1) 求證：ef+1ac=ab：(2) 點Ci從點C出發(fā)，沿著線段CB向點B運(yùn)動(不與點B重合)，同時點Ai從點A岀發(fā)，沿著BA的 延長線運(yùn)動，點C1與A1的運(yùn)動速度相同，當(dāng)動點C停止運(yùn)動時，另一動點A1也隨之停止運(yùn)動.如圖2, AiFi平分

35、ZBAiCi,交BD于點Fi,過點Fi作F1E】丄AiCi,垂足為Ei,請猜想EiFi, AiCi與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3) 在(2)的條件下,當(dāng)AiEj=3, CiEi=2時，求BD的長.CD考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判圧與性質(zhì)；勾股左理.專題：證明題：壓軸題：動點型：探究型.（1）過F作FM丄AB于點首先證明厶AMFAAEF,求出MF=MB.即可知道EFAE=AB2（2）連接 FiCi,過點 Fi 作 FiP丄AiB 于點 P, FiQ丄BC 于點 Q,證明 RtAAiEiFiRtAAiPFi, Rt QFiCi仝RlZkEiFiCi 后推出 AiB+BCi =

36、 AiP+PB+QB+C,Q=AiP+CiQ+2EiFi 化簡為 EiFi+1aiCi=AB 2(3)設(shè) PB=x, QB=x, PB=1, ElFl = h 又推出 EiFi+AiCAB,2解答：（1）證明：如圖1,過點F作FM丄AB于點M,在正方形ABCD中，AC丄BD于點E皿撲 ZABD=ZCBD=45,TAF 平分ZBAC,EF=MF,又 VAF=AF,ARtAAMFRtAAEF.AAE=AMtVZMFB=ZABF=45AMF=MB, MB=EF, ef+1ac=mb+ae=mb+am=ab 2(2) EiFi, AiCi與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系：EiFi-4aiCi=AB2 2證明：

37、如圖2,連接FiCi,過點Fi作FiP丄AiB于點P, FiQ丄BC于點Q, VAiFi 平分ZBAiCi, AEiFi=PFi；同理 QFi=PFi, /.EiFi=PFi=QFb 又VAiFAiFu ARtAAiEiFRtAAiPFi，/. AiEi=AiP同理 RtAQFiCiRtAEiFiCi，/.CiQ=CiEb由題意：AiA=CiC AiB+BCi=AB+AiA+BC - CiC=AB+BC=2AB,VPB=PFi=QFi=QB,/. A i B+BC i=A i P+PB+QB+C i Q=A i P+C i Q+2E i F i,即 2AB=AiEi+CiEi+2EiFi=Ai

38、Ci+2EiFi ,（3）解：設(shè) PB=x,則 QB=x,VAiEi=3, QCi=CiEi=2,RtAAiBCi 中，AiB2+BCi2=AiCi2, 即（3+x） 2+ （2+x） 2=52,/. Xl = l, X2= 6 （舍去），APB=hEiFiJ又 VAiCi=5,由（2）的結(jié)論：EiFi+lAiCi=AB,2 AB，2.BD罰.點評：本題考查的是勾股宦理的應(yīng)用，全等三角形的判左以及正方形的性質(zhì)等有關(guān)知識.正方形對角線 5觀5湖州）如圖四邊形ABCD和BEFG均為正方形，則器誓_（結(jié)果不取近似值）考點：正方形的性質(zhì)；相似三角形的判泄與性質(zhì).專題：計算題：壓軸題.分析：易證 ABG

39、sADBF,可得BD： AB=BF：從而得出結(jié)果.解答：解：連接BD,交GF于H：連接BF.四邊形ABCD與BEFG是正方形，ABD： AB=BF： BG=V2，ZABD=ZGBF=45%AZABG=ZDBF,ABGs/DBF, 1 點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).考查了相似三角形的判泄和性質(zhì).15. (2009廣州)如圖，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF 與GH交于點P.(1) 若 AG=AE,證明:AF=AH；(2) 若ZFAH=45% 證明：AG+AE=FH：(3) 若RtAGBF的周長為1,求矩形EPHD的而積.A ED考點： 專題

40、： 分析：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判龍與性質(zhì)：勾股左理. 幾何綜合題：壓軸題.(1) 因為 AG=AE=BF=DH AB=AD, ZABC=ZADH=iAABFAADH(SAS)(2) 將AADH繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后，可得 AFHAAFM然后可求得結(jié)論.(3) 設(shè)BF=x, GB=y,根據(jù)線段之間的關(guān)系利用勾股左理求出xy的值.解答：(1)證明：連接AH、AF.V ABCD是正方形，AD=AB, ZD=ZB=90V ADHG與ABFE都是矩形，ADH=AG, AE=BF,又 TAG二 AE,.DH=BF 在 RtAADH 與 RtAABF 中，TAD二AB, ZD=ZB=90, DH=B

41、F,ARtAADHRtAABF,AF=A H(2)證明：將厶ADH繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90倒ABM的位置. 在 AAMF 與 AAFIF 中，VAM=AH, AF=AF,ZMAF=ZMAH - ZFAH=90 - 45=45=ZFAH,AAAMFAAHF.AMF=HF. MF=MB+BF=HD+BF=AG+AE,(3)解：設(shè) BF=x, GB=y 貝ij FC=1 -x, AG=1 - y, (0xh 0y即 OG=OA+AG=VV2血.EB=GD=/oG 2 + QD 2=Vs72 = Vio.點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長8. （2014

42、安微）如圖1,正六邊形ABCDEF的邊長為a, P是BC邊上一動點，過P作PM/7AB交AF于M,作 PN/CD交DE于N（1） ZMPN二 60：求證：PM+PN=3a：（2）如圖2,點0是AD的中點，連接OH、ON,求證：0M二ON：（3）如圖3,點0是AD的中點.0G平分ZM0N,判斷四邊形0MG7是否為特姝四邊形？并說明理由.圖1圖2圖3考點：四邊形綜合題. 專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1) (D運(yùn)用ZMPN=180 -ZNPC求解，作AG丄MP交MP于點G, BH丄MP于點H, CL丄PN于點 L, DK丄PN 于點 K,利用 MP+PN二MG+GH+HP+PL+LK+KN 求

43、解，(2) 連接OE,由厶OMAAONE證明，(3) 連接OE,由厶OMAAONE,再證出 GOEANOD由()“；是等邊三角形和MOG是等邊三角 形求岀四邊形MONG是菱形.，解答：解：(1)六邊形ABCDEF是正六邊形， ZA=ZB=ZC=ZD=ZE=ZF=120又PNCD,A ZBPM=60 , ZNPC=60 ,A ZMPN=180 - ZBPM - ZNPC=180 -60 60 二60 ,故答案為；60 .如圖1,作AG丄MP交MP于點G, BH丄MP于點H, CL丄PN于點L, DK丄PN于點K,HP+PN二MG+GH+HP+PL+LK+KN正六邊形 ABCDEF 中，PMAB,

44、作 PNCD,VZAMG=ZBPH=ZCPL=ZDNK=60c ,HP)BP, PL=1PC, NK)ND.2 2 2 2TAM二BP, PC=DN,.MG-HP+PL+KN=a, GH=LK=a, MP+PN=MG-GH+HP+PL+LK+KN=3a.(2) 如圖2,連接OE,六邊形ABCDEF是正六邊形，ABHP, PNDC, AM 二 BP 二 EN,V ZMA0=Z0EN=60 , OA=OE,在AONE 和ZkOMA 中，rOA=OE ZMA0=Z0ENAM=EN0MA9Z0NE (SAS)A0M=0N.(3) 如圖3,連接0E,由(2)得.0MA9A0NE ZM0A=ZE0N,VE

45、F/7A0, AF/70E,.四邊形AOEF是平行四邊形，A ZAFE=ZA0E=120 ,A ZM0N=120 ,A ZGON=60 ,V ZGOE=60 -ZEON, ZDON=60 - ZEON, ZGOE=ZDON,TOD二OE, Z0DN=Z0EG.在GOE和ZDON中，rZGOE=ZDON OE=ODZODN=ZOEGAAGOEANOD （ASA）,ON 二 OG,又 V ZGON=60 ,.ONG是等邊三角形，.-.ON=NG,又TOM二04 ZM0G=60 ,.MOG是等邊三角形，MG 二 GO 二 HO,/.MO=ON=NG=MG,.四邊形MONG是菱形.點評：本題主要考査了

46、四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鞒鲚o助線，根據(jù)三角形全等找出相等的線段.三.制造全等三角形5. （2012*重慶）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點過M作 ME丄CD 于點 E, Z1=Z2.（1）若CE=1,求BC的長：（2）求證：AM=DF+ME.考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判左與性質(zhì).專題：綜合題：壓軸題.分析：（1）根據(jù)菱形的對邊平行可得ABCD,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得Z1=ZACD,所以Z ACD=Z2,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得CM=DM,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=DE, 然后求出CD的長度，即為菱形的邊長BC的長度；（2）先利用邊角邊”證明ACEM和ACPM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得ME=MF,延長 AB交DF于點G,然后證明Z1=ZG,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AM