通信原理-Ch3-隨機信號

1、通信原理-Ch3-隨機信號嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)n3.1 引言n3.2 概率論的基本概念復(fù)習(xí)n3.3 隨機過程的基本概念n3.4 平穩(wěn)隨機過程的概念n3.5 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度n3.6 高斯過程和高斯白噪聲n3.9 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.1 引言n為什么學(xué)習(xí)隨機信號？噪聲是一種隨機信號；通信中傳遞的信息，對接收者來說是事先不知道的，也就是隨機的；有的時候信道的傳輸特性也是隨機變化的（例如短波、微波傳輸?shù)乃p受天氣的影響很大）。嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章

2、 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.2 概率論的基本概念復(fù)習(xí)n1、隨機變量的概念（1）樣本空間的概念：在隨機實驗中，所有可能的結(jié)果的集合（例如拋1次硬幣，其樣本空間為正面,反面）（2）隨機變量的概念：對于一個樣本空間，若每一個元素有一個隨機的單值與之對應(yīng)，則稱之為隨機變量（例如，拋硬幣如果是正面我們用+1表示，反面用-1表示，+1或-1就是這個實驗的隨機變量，通常記為）嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號2、隨機變量的統(tǒng)計特性（即概率分布）n（1）離散型隨機變量常用分布律來表示，如拋硬幣的分布律為n（2）連續(xù)型隨機變量只能用分布函數(shù)和概率密度函數(shù)來描述+1 -1

3、0.5 0.5)( xPxF分布函數(shù))()( xFxf概率密度函數(shù)嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3、隨機變量的數(shù)字特征n（1）數(shù)學(xué)期望E(即平均值)對于離散隨機變量：對于連續(xù)隨機變量：n（2）方差D對于離散隨機變量：對于連續(xù)隨機變量：)()(1是常數(shù)記為axPxEniiidxxxfE)(niiixPaxD12)(dxxfaxD)()(2嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3、隨機變量的數(shù)字特征(續(xù))n（3）相關(guān)函數(shù)無論是離散的還是連續(xù)的隨機變量，兩個隨機變量的相關(guān)函數(shù)統(tǒng)一定義為),(2121 ER請同學(xué)們將教材公式請同學(xué)們將教材公式

4、3.2.10右面右面的逗號改為乘號的逗號改為乘號嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.3 隨機過程的基本概念n3.3.1 隨機過程n測度論中給出了隨機過程的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，可是非常抽象、不易理解n因此我們從一個隨機過程的實例，及其樣本空間，來描述隨即過程嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號通過拋硬幣的例子來理解什么是隨機過程n我們都知道，拋1次硬幣作為1次實驗，得到的結(jié)果可能是正或反，所以其樣本空間為正，反n設(shè)想我們連續(xù)拋連續(xù)拋3次次硬幣作為1次實驗，那么，其可能結(jié)果為：(正,正,正) (正,正,反) (正,反,正) (反,正,正)(反

5、,反,反) (反,反,正) (反,成,反) (正,反,反)所以這個實驗樣本空間為上述8個情況的集合嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號通過拋硬幣的例子來理解什么是隨機過程n我們知道“拋1次硬幣”的結(jié)果對應(yīng)的值稱作“隨機變量”n而“連續(xù)拋3次硬幣”，每次實驗都會對應(yīng)3個隨機變量（第一次、第二次、第三次），因此不能再稱作隨機變量了n我們稱這種實驗叫做“隨機過程”，記為(t)嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號通過熱噪聲的例子來理解隨機過程這是在一個電阻上測量到的熱噪聲，它也屬于一種這是在一個電阻上測量到的熱噪聲，它也屬于一種“隨機過程隨機過程

6、”。圖中畫出了其。圖中畫出了其3個樣本，這種隨機過個樣本，這種隨機過程的樣本空間有無窮多個。程的樣本空間有無窮多個。注意：每一個樣本都是一個關(guān)于時間的函數(shù)注意：每一個樣本都是一個關(guān)于時間的函數(shù)嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號隨機變量和隨機過程的區(qū)別與關(guān)系n區(qū)別：隨機變量與隨機過程的樣本空間是不同的這中區(qū)別體現(xiàn)在樣本空間的數(shù)量上和性質(zhì)上n關(guān)系：隨機過程在某一固定時刻的取值是一個隨機變量嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.3.2 隨機過程的統(tǒng)計特性n由于隨機過程由一系列隨機變量組成n所以無法用某一隨機變量的統(tǒng)計特征來描述整個隨機的統(tǒng)計

7、特性n于是人們定義了一維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)二維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。N維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號一維概率分布函數(shù)和密度函數(shù)n因為隨機過程在任一時刻對應(yīng)1個隨機變量)(11tt對應(yīng)隨機變量記為把隨機過程在時刻)(),(1111xtPtxFt義為的一維概率分布函數(shù)定則該隨機過程在時刻xtxFtxf),(),(1111義為其一維概率密度函數(shù)定嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號二維概率分布函數(shù)和密度函數(shù))(11tt對應(yīng)隨機變量記為把隨機過程在時刻)()(),;,(2121221ytxtPtty

8、xFtt且義為的二維概率分布函數(shù)定、則該隨機過程在時刻yxttyxFttyxf),;,(,;,212221）（數(shù)定義為對應(yīng)的二維概率密度函)(22tt對應(yīng)隨機變量記為把隨機過程在時刻嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號我國的降雨量分布圖就是典型的二維密度函數(shù)的例子嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.3.3 隨機過程的數(shù)字特征n1、數(shù)學(xué)期望（均值函數(shù)）由于隨機過程是由一系列隨機變量組成的)()(111tatt有一個均值對應(yīng)隨機變量所以在時刻)()(222tatt有一個均值對應(yīng)隨機變量所以在時刻的函數(shù)的均值是一個關(guān)于時間可以看出隨機過程)

9、(t)()(tEta或記為)(tEdxtxxftE),()()(t1則都是是連續(xù)的隨機變量若每一時刻對應(yīng)的嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號2、隨機過程的方差n同理，隨機過程的方差也是一個關(guān)于時間的函數(shù)，可由下式計算)()( )()(22tatEtDt)(),()()(t2122tadxtxfxt則是連續(xù)的隨機變量若每個時刻對應(yīng)的嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3、隨機過程的自相關(guān)函數(shù)n定義為：)()(),(2121ttEttRdxdyttyxxyfttR),;,(),(,21221則量都是連續(xù)的隨機過程對應(yīng)的隨機變?nèi)绻恳粫r刻嚴(yán)謹(jǐn)

10、 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號例3.1(續(xù))21()21(EE21021121)2sin(E函數(shù)定義再由隨機變量的自相關(guān))()(),(2121ttEttR)41()21()41,21(ER)4sin()2sin( E嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號例3.1(續(xù))212120的分布律為2121022)4sin()2sin(的分布律為)41()21()41,21(ER)4sin()2sin( E420212221嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.4 平穩(wěn)隨機過程的概念n3.4.1 平穩(wěn)隨機過程的分類和定

11、義n嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)過程任意n維分布與時間起點無關(guān),而只與這n點的時間間隔有關(guān)n寬(廣義)平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程,但具有嚴(yán)平穩(wěn)過程的某些特征通信中遇到的絕大部分隨機過程屬于這一類嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)隨機過程n隨機過程任意n維聯(lián)合密度與時間起點無關(guān),只與時間間隔有關(guān)1 維分布與時間起點無關(guān),則無關(guān)與時間111),(ttxf.),(),(),(312111txftxftxf即)(,),(11xfttxf可以記為無關(guān)的函數(shù)為一與即)()()(1為一常數(shù)該隨機過程的均值函數(shù)adxxxfta)()()(,2122tadxxfxt其方差函數(shù)同時)

12、,()(2212無關(guān)與為一常數(shù)tadxxfx嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)隨機過程(續(xù))n隨機過程任意n維聯(lián)合密度與時間起點無關(guān)2維聯(lián)合分布與時間起點無關(guān),則無關(guān)與時間111212),;,(tttxxf.),;,(),;,(2221211212ttxxfttxxf即);,(),;,(21211212xxfttxxf可記為即21112122111),;,(),(dxdxttxxfxxttR)();,(2121221有關(guān)只與dxdxxxfxx)(R嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號由嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)引出寬(廣義)平穩(wěn)n如果

13、一個隨機過程滿足下列條件則稱之為“寬（或廣義）平穩(wěn)過程”（1）均值函數(shù)為常數(shù)（2）方差函數(shù)均為常數(shù)（3）自相關(guān)函數(shù)只與兩個時間點之間的時間差有關(guān)，而與時間起點無關(guān)以后，以后，“平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程”均指均指“寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)過程過程”嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號例3.2若X(t)和Y(t)為平穩(wěn)過程，證明Z(t)=X(t)+Y(t)也是平穩(wěn)過程,設(shè)X(t)、Y(t)相互獨立)()()()()() 1 (tYEtXEtYtXEtZE均為常數(shù)與為平穩(wěn)過程與)()()()(tYEtXEtYtX)()(,)()(符合第一條為常數(shù)即為常數(shù)tZEtYEtXE)()()()2(t

14、YtXDtZD)()()()(22tYtXEtYtXE常數(shù)常數(shù))()(2)()()()(222tYtXEtYEtXEtYtXE而)()(2)()(22tYEtXEtYEtXE常數(shù)常數(shù)嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號例3.2（續(xù)）)()()()(22tXEtXEtXDtX常數(shù)平穩(wěn)常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)為常數(shù)同理)(2tYE為常數(shù))()(22tYEtXE)(tZD為常數(shù))()()()(2 )()(222tYtXEtYEtXEtYEtXE即，符合平穩(wěn)第即，符合平穩(wěn)第2條件條件嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號例3.2（續(xù)）)()()()( )(

15、)()()(tXtYEtYtXEtYtYEtXtXERX()RY()常數(shù))()(tYEtXE常數(shù))()(tXEtYE)3(條件符合平穩(wěn)第有關(guān)只與可見ZR)()() 3(tZtZERZ)()()()(tYtXtYtXE也是平穩(wěn)過程可得綜合)() 3)(2)(1 (tZ獨立和)()(tYtX嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號作業(yè)n課后習(xí)題 3.1 & 3.3n(3.3要求寫出過程)嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.4.2 平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）n簡單地說，一個隨機過程如果做1次實驗，在時間上的統(tǒng)計特征等于做無數(shù)次試驗的統(tǒng)計特征

16、，稱這種過程具有遍歷性n用數(shù)學(xué)表示即)()(時間平均值統(tǒng)計平均值aa)()(_22時間方差統(tǒng)計方差)( )()(某一樣本的自相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計的自相關(guān)函數(shù)RR具有遍歷性的過程一定是平穩(wěn)過程，但反之不一定具有遍歷性的過程一定是平穩(wěn)過程，但反之不一定嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.5 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度n3.5.1 平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)StER)()0() 1 (2的平均功率)(t)()()2(2tER的直流功率)(t222)()()()0()3(tEtERR的交流功率)(t)()()4( RR為偶函數(shù)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù))0()()5(RR自相

17、關(guān)函數(shù)是有界的嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.5.2 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的關(guān)系n同樣符合維納-辛欽定理，即)(R)(P平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對付立葉變換平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對付立葉變換同學(xué)們可參閱例3.5.1嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.6 高斯過程和高斯白噪聲n一、高斯過程的定義若一隨機過程的任意n維分布都是高斯分布，稱為高斯過程（這個條件過于嚴(yán)格，很少使用）n二、高斯過程的性質(zhì)對高斯過程而言，嚴(yán)平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)等價于寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)對高斯過程而言，不相關(guān)不相關(guān)等價于獨立獨立高斯過程通

18、過線性系統(tǒng)仍為高斯過程通過線性系統(tǒng)仍為高斯過程這些性質(zhì)在考研試題中經(jīng)常使用這些性質(zhì)在考研試題中經(jīng)常使用;在本課考試中在本課考試中,也常以也常以填空形式出現(xiàn)填空形式出現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.6 高斯過程和高斯白噪聲（續(xù)）n三、與高斯隨機變量有關(guān)的重要函數(shù)：Q函數(shù)) 1 , 0()(Nxfx)(xQ圖中陰影的面積定義為x)2(21)(xerfcxQ的關(guān)系是補誤差函數(shù)它與嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.6 高斯過程和高斯白噪聲（續(xù)）n四、高斯白噪聲通信中經(jīng)常遇到這樣一類噪聲，具有以下性質(zhì)：n1、在時域上，任一時刻，該隨

19、機過程對應(yīng)的隨機變量是一個高斯隨機變量n2、在頻域上，其功率譜是一個常數(shù)我們稱這種噪聲為高斯白噪聲)(P20n002nn為則，單邊帶功率譜密度率譜密度為要注意的是：雙邊帶功嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號3.9 平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)（重要章節(jié)）（重要章節(jié)）n平穩(wěn)過程通過線形系統(tǒng)（如R/L/C/加法器/延時器等組成的電路）時,線性系統(tǒng))(ti)(tO輸出隨機過程與輸入隨機過程的關(guān)系?)( th的單位沖擊響應(yīng)為設(shè)該線性系統(tǒng))(H嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號關(guān)系1：n文字描述即：輸出隨機過程的均值函數(shù)等于輸入隨機過程的均值函數(shù)乘以該

20、線性系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)H()在=0時的值)0()()(HtEtEiO)()(,)(常數(shù)即平穩(wěn)時當(dāng)atEtii)(0()(也是常數(shù)則HatEO)()()(0dthEtEiO證明：dtEhi0)()(dah0)(dha0)(dehHtj0)()(而另一方面dhH0)()0(代入即證畢嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號關(guān)系2和關(guān)系3 （證明略）關(guān)系2：若輸入過程平穩(wěn)，則輸出過程也平穩(wěn)關(guān)系3（最重要，考試常用）：2)()()(HPPiO嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號例3.3（綜合利用維納-辛欽定理和平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)的性質(zhì)）密度。的自相關(guān)函數(shù)和功率譜求后，輸出它通過下圖的線性系統(tǒng)自相關(guān)函數(shù)為是平穩(wěn)過程，設(shè)已知其若)()()()(ttRtOOii延時T)(ti)(tO嚴(yán)謹(jǐn) 嚴(yán)格 求實 求是第三章 隨機信號通信原理-Ch3-隨機信號例3.3（此題有2種解法）)()()(TtttiiO由題圖可知：解法一：從時域入手，先求輸出過程的自相關(guān)函數(shù)解法一：從時域入手，先求輸出過程的自相關(guān)函數(shù))()()()( )()()(TttTttEttERiiiiOOO)()()()(