第一章 線性空間

1、第1 頁 共 36 頁第一章 線性空間線性空間是研究客觀世界中線性問題的重要理論，即使對于非線性問題，在經(jīng)過局部化后，就可以運(yùn)用線性空間的理論，或者用線性空間的理論研究線性問題的某一側(cè)面，本章將從最簡單的集合概念入手，詳細(xì)給出線性空間的的概念和相關(guān)理論。 1.1 預(yù)備知識 1.1.1 集合的概念與性質(zhì)集合是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念之一，是把人們直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起，使之成為一個整體的概念。例如：由全體實(shí)數(shù)所組成的集合，稱為實(shí)數(shù)集合或?qū)崝?shù)集；由一個線性方程組解的全體組成集合，稱為該方程組的解集合等等。本節(jié)所介紹的集合概念通常稱為“樸素的集合論”， 即“集合”和“元素”等基本

2、概念是自明的。歷史上曾經(jīng)為集合論產(chǎn)生過一些悖論.而對于我們來說了解樸素集合已是足夠的了，例如，我們只需知道一個集合本身不能是這個集合一個元素即：若A是集合則AA不成立；同時，本節(jié)所介紹的集合的相關(guān)性質(zhì)，以復(fù)習(xí)為主，很多定理不加以證明。定義1 具有某種性質(zhì)的事物的全體稱為集合，組成集合的事物稱為集合中的元素。一般用英文大寫字母A, B, C, X, Y, Z表示集合，用英文小寫字母a, b, c, x, y, z等表示集合的元素。例如：和都表示的是集合。沒有任何元素的集合稱為空集，記為。如果用S表示集合，s表示S的元素，常用記號，讀作s屬于S，而s不屬于S，記為：。常用的特殊集合一般用N, Z,

3、 Q，R和C分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集。此外，和分別代表奇數(shù)集和偶數(shù)集。定義2 若集合 A和集合B有同樣的元素，稱為A和B相等，記為A = B；若集合 A和中的元素都是集合B中的元素，稱為A含于B或者稱B包含A，記為；若，則稱A是B的子集；若，且，則稱A是B的真子集。空集是一個非常特殊的集合，因?yàn)樗缓魏卧兀詫θ魏渭隙及占癁槠渥蛹矗簩τ谌我獾募?，均有：。任何集合A也都是它自己的子集，即，一般稱A與為集合A的平凡子集。若集合含有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個。定理1 設(shè)A, B, C是三個任意集合，則有： (1) 如果B

4、A且A B，則A = B。(2) 如果C B且B A，則C A。 證明略。定義3 由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，稱為集合與的交集，記作，即。定義4 由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為集合與的并集，記作，即。定義5 由所有屬于集合且不屬于集合的元素組成的集合，稱為集合與的差集，記作，即；特別的，若，差集又叫做中關(guān)于子集的補(bǔ)集，記作，即。當(dāng)我們在研究問題所涉及到的集合都是一個相對“大”的集合的子集時候，在這種情況下，常常稱這個包含所有需要討論的“大”集合為基礎(chǔ)集。例如，所有平面圖形都可以看成是整個平面這個大集合的子集。當(dāng)為基礎(chǔ)集時，若,則一般記為。定理2 設(shè)A，B，C為三個

5、集合則以下等式成立：（1）冪等律：AAA AA=A；（2）交換律：ABBAAB=BA；（3）結(jié)合律：(AB)CA(BC) (AB)CA(BC) ；（4）分配律：(AB)C(AC)(BC) (AB)C(AC)(BC)；（5）DeMongan律： 。 上述定理可以推廣到有限個集合上，例如DeMongan律的推廣如下：設(shè)與是個集合，則有。集合還有其他一些簡單性質(zhì)，在此不加以敘述。1.1.2 映射的概念與性質(zhì)在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)概念是我們所熟知的概念，包括近世代數(shù)中的同態(tài)等概念，這些概念事實(shí)上都有賴于下面所要給出的映射的概念。定義6 設(shè)是兩個集合，如果按照某一對應(yīng)法則，對于中的每一個元素，有中唯一確定的

6、元素與之對應(yīng)，則稱法則為由集合到集合的映射，記為： 對，稱為在映射下的像，為原像。集合稱為在下的像集，顯然。我們通常稱A為映射的定義域，稱為映射的值域。定義7 設(shè)是兩個集合，是由到的映射，則有：（1）當(dāng)時，稱映射為滿射；（2）對，當(dāng)時有，稱映射為單射；（3）稱既單且滿的映射為雙射或者一一映射。定理3 設(shè)是三個集合，是由到的映射，是由到的映射，對于中的每一個元素，有中唯一確定的元素滿足：。即存在一個的映射，記為：；顯然，對任意的。定義8 定理2中的映射稱為映射與映射的復(fù)合映射。1.1.3 其他概念定義9 設(shè)是由一些數(shù)所構(gòu)成的集合，其中包含0和1，如果對中的任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）

7、，仍是中的數(shù)，則稱為數(shù)域。 常用的數(shù)域：有理數(shù)域；實(shí)數(shù)域；復(fù)數(shù)域。而自然數(shù)集N和整數(shù)集Z都不是數(shù)域。定理5 任何數(shù)域都包含有理數(shù)域?yàn)樽钚?shù)域。 證明 設(shè)F為任一數(shù)域，由數(shù)域的定義知，,由此可得，對任一正整數(shù)，均有：，所以，任意的，而，由有理數(shù)可以表示成兩個互質(zhì)整數(shù)的商可知，有理數(shù)域是最小數(shù)域。定義10 設(shè)是一個非空集合，是一個數(shù)域，（1）在中定義一個“+”運(yùn)算，使得對,有唯一的，則稱集合對“+”運(yùn)算是唯一和封閉的，并稱“+”為中的加法運(yùn)算； （2）在和數(shù)域中定義一個“*”運(yùn)算，使得對；，有唯一的，則稱集合對“*”運(yùn)算是唯一和封閉的，并稱“*”為和中的數(shù)乘運(yùn)算。 我們經(jīng)常將集合和數(shù)域中定義的加法

8、和數(shù)乘運(yùn)算合起來稱為線性運(yùn)算。 本節(jié)作為預(yù)備知識給出的內(nèi)容，只是為了本書后續(xù)所學(xué)知識需要用到的基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)內(nèi)容，并沒有給出相關(guān)概念的全部性質(zhì)，同時也省略了相關(guān)的例題。1.2 線性空間 線性空間是線性代數(shù)中所涉及到的向量空間在元素和線性運(yùn)算上的推廣和抽象，也是全書的理論基礎(chǔ)，本節(jié)將給出線性空間、子空間、基底和維數(shù)等相關(guān)概念。 1.2.1 線性空間的概念與性質(zhì)定義1 設(shè)是一個非空集合，是一個數(shù)域，在和上定義了唯一封閉的 “+”和“*”運(yùn)算，如果對和，滿足如下八條法則：1) ；2) ；3) 在中存在元素,使得,有（稱為的零元素）；4)對,在中存在元素，使得 (稱為的負(fù)元素，記為)；5) ；6) ；

9、7) ；8) ；則稱為數(shù)域上的線性空間，記作， 集合中的元素，稱為線性空間中的元素或向量?？梢钥吹剑粋€線性空間的構(gòu)成，需要一個非空集合和一個數(shù)域，同時還維系著兩種滿足要求的運(yùn)算，所以，一般談到集合是線性空間時，需要說明是哪一個數(shù)域的線性空間，但有時，在不需要特別強(qiáng)調(diào)數(shù)域時，線性空間也簡記為。例如，線性代數(shù)中的維向量空間，就是實(shí)數(shù)域上的線性空間，也是一個非常重要的線性空間。例1 全體n維復(fù)向量所構(gòu)成的集合，對通常向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成復(fù)數(shù)域上的線性空間。稱為復(fù)向量空間，記為：。 例2 所有復(fù)矩陣，對通常矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成復(fù)數(shù)域上的線性空間，稱為矩陣空間。記為：。例3 數(shù)域F上次數(shù)小于的

10、多項(xiàng)式的全體構(gòu)成的集合對通常多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成數(shù)域上的線性空間，稱為多項(xiàng)式空間。記為： 其中：。而僅由n次多項(xiàng)式的全體構(gòu)成的集合不構(gòu)成線性空間。其中：。例4 區(qū)間上連續(xù)實(shí)函數(shù)全體所構(gòu)成的集合，對通常函數(shù)的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成相應(yīng)實(shí)數(shù)域上的線性空間，稱為函數(shù)空間，記為。對于數(shù)域上的線性空間，當(dāng)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域時， 稱為實(shí)線性空間；數(shù)域?yàn)閺?fù)數(shù)域時，稱為復(fù)線性空間。 以上給出的線性空間的舉例，是常見的一些線性空間，在一個線性空間中，所研究的對象，如中的向量、中的矩陣、中的多項(xiàng)式和中的連續(xù)函數(shù)等在其對應(yīng)的線性空間中都可以稱為“向量”。所以，在本書中的“向量”，不局限于和中的元素，也有其拓展性的含義。

11、另外，在線性空間中定義的“加法”和“數(shù)乘”運(yùn)算，已不再局限在數(shù)的加法、數(shù)乘的概念中，下面舉例說明。例5 在集合全體正實(shí)數(shù)，對和，定義其“加法”及“數(shù)乘”運(yùn)算為： , ，試證明：是實(shí)數(shù)域上的線性空間。證明 唯一性顯然；若, ，則有， 封閉性得證。下證八條性質(zhì)：（1）；（2） ；（3） 所以，存在是零元素； （4） 所以， 是的負(fù)元素 ；（5） ； （6） ； （7） ； （8） 。 由此知，是實(shí)數(shù)域上的線性空間。例6 設(shè)集合，對于通常上的加法和數(shù)乘 ，試驗(yàn)證是否是實(shí)數(shù)域上的線性空間。證明 任取，其中，則：,對加法運(yùn)算不封閉，所以不是上的線性空間。 在例6中，也可以通過中沒有零元素等其他理由來說明

12、不是線性空間。下面給出線性空間的簡單性質(zhì)。定理1 設(shè)為線性空間，則有如下性質(zhì)： （1）零元素是唯一的，任一元素的負(fù)元素也是唯一的。（2），。（3）。（4）若，則一定有或。（5）對任意的，如果，則必有：。 定理1中的性質(zhì)證明略。 1.2.2 中的向量組的相關(guān)概念和性質(zhì) 在線性代數(shù)中，向量空間是線性空間的特例，由中的一些向量構(gòu)成的的子集稱為中的向量組，伴隨著這個概念的產(chǎn)生，自然也有中向量組的若干個諸如線性相關(guān)和線性無關(guān)等概念和性質(zhì)產(chǎn)生，我們在前面已經(jīng)說過，線性空間中的元素也稱為“向量”，雖然中的向量比中的向量的含義更為廣泛，但向量組和線性相關(guān)等概念和結(jié)論卻與其類似，下面對中的這些概念做簡單的敘述。

13、定義2 設(shè)是線性空間，是中的一組向量，若對于中向量，存在，使得： （1-1）則稱是的線性組合，也稱可由線性表示。定義3 設(shè)是線性空間， 是中的一組向量，若存在，使得： （1-2）則稱線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。 從定義可以看出，中的一組向量線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)如果（1-2）式成立，必有。中含有零向量的向量組必線性相關(guān)；由一個向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)該向量是零向量，而線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)該向量是非零向量。定理2 設(shè)為線性空間，若線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則可由唯一的線性表出。例7 在中，向量可由向量組，線性表示，即： 。例8 在中，是線性無關(guān)的，而是線性相關(guān)的。在線性空間中的向量組之間，也有如下的幾個

14、定義。定義4 設(shè)為線性空間，；為中的兩個向量組，如果A中任一向量可由B組向量線性表示，則稱向量組A可由向量組B線性表示，如果向量組A和向量組B可以互相線性表示，則稱向量組A和向量組B等價。定義5 設(shè)為線性空間，為中的向量組，如果A中有個向量線性無關(guān)。而任意（如果有的話）都線性相關(guān)，則稱這個向量為向量組A的一個極大無關(guān)組。 在中，向量組的極大無關(guān)組未必唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等。定義6 設(shè)為中的向量組，如果A的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)為，則稱為的秩，記為。例9 在中，是的一個極大無關(guān)組，也是的一個極大無關(guān)組， 。定理3 線性空間中的向量組具有如下性質(zhì)： (1)向量組線性相關(guān)的充要條件是其中

15、有某個向量可由其他向量線性表示。(2)若向量組有某一個子向量組線性相關(guān)，則向量組線性相關(guān)。(3)若向量組線性無關(guān)，則其任意非空子向量組也線性無關(guān)。1.2.3 線性空間的基底、維數(shù)與坐標(biāo)以上已經(jīng)給出了線性空間的基本概念，為了對線性空間有更進(jìn)一步的刻畫，下面依賴于空間中向量組的線性相關(guān)和無關(guān)性給出基底與維數(shù)的定義。定義7 設(shè)是線性空間，若滿足： (1)，線性無關(guān)；(2)，任意的，都可由線性表示。則稱為線性空間基底（簡稱基），并稱基底所含向量的個數(shù)為線性空間的維數(shù)，記作：。此時稱作有限維線性空間，簡記為或。顯然，有限維線性空間的基底不唯一，但維數(shù)唯一。 如果對于任意的，均可在線性空間中找到個線性無關(guān)

16、的向量，則稱是無限維的線性空間。只含有零向量的線性空間的維數(shù)為0。 如果把線性空間就看成是一個大的向量組，那么的基底就相當(dāng)是這個向量組的一個極大無關(guān)組，對于有限維線性空間，其個數(shù)與維數(shù)相同的極大無關(guān)組都可以作為的基底。例10 復(fù)數(shù)域上的向量空間中，與都是的基。的維數(shù)。一般稱為的自然基底。例11 在矩陣空間中，令：則中的這個向量為的一組基（自然基底）， 。例12 在多項(xiàng)式空間中，是的一個基，。也是的一個基。其中為的自然基底。例13 區(qū)間上連續(xù)實(shí)函數(shù)全體所構(gòu)成函數(shù)空間，對任意的正整數(shù)，總能找到個中的線性無關(guān)的向量，所以，是無限維的。如果將線性空間用維數(shù)來分類，則分有限維和無限維兩大類，（只含零向量

17、的0維線性空間 屬于有限維）。定義8 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是的基底，對，可由基唯一表示，表達(dá)式為：稱為向量在基下的坐標(biāo)。在線性空間中，向量在基坐標(biāo)為數(shù)域F上的維向量，即。并且，向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相同的。 例14 在例7的中，向量在中的自然基底，下的坐標(biāo)為：。 1.2.4 基變換與坐標(biāo)變換我們知道，有限維線性空間的基底是不唯一的，而對于線性空間的任意一個向量，在不同基底下會有不同的坐標(biāo)，下面將研究有限維線性空間不同基底之間的聯(lián)系和向量在不同基底下的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。 設(shè)是維線性空間，和為的兩組基，用來表示中的每一個如下： （1-3）可以看到，是在基底下的坐標(biāo)，將式（1-3）寫成如下形式

18、： （1-4） 由此得到如下定義。定義9 稱（1-4）為基變換公式。稱(1-4)中的為由基到基的過渡矩陣。其中P的第列，是在基下的坐標(biāo)。定理4 過渡矩陣是可逆的。證明 因?yàn)槭堑幕?，所以是線性無關(guān)的，所以只有零解，而由得到：，再由線性無關(guān)可得，即只有零解，所以，過渡矩陣P是可逆的。例14 設(shè)的兩個基是， ,求由基到基的過渡矩陣。解答 由可得： ,所以，。即由基到基的過渡矩陣。例15 設(shè)線性空間中的兩組基分別為：，；，求第一組基到第二組基的過渡矩陣。解答 根據(jù)公式有 ，又由于構(gòu)成過渡矩陣的列就是在基下的坐標(biāo)，所以，過渡矩陣為： 。定理5 設(shè)與是維線性空間的兩組基，為由到的過渡矩陣，對中向量，它在

19、兩組基下的坐標(biāo)分別為與，則： = （1-5）證明 因?yàn)榍宜杂?（1-6）而，將其代入（1-6）得到 （1-7）對比（1-7）式的兩端，又由線性無關(guān)性，從而得到=。（1-5）式給出了中向量在不同基下坐標(biāo)之間的關(guān)系，稱為坐標(biāo)變換公式例16 設(shè)的兩個基分別是（）：；（）：（1） 求由基底（）到基底（）的過渡矩陣；（2） 若，在（）下的坐標(biāo)為，求在基（）下的坐標(biāo)。 解答：設(shè)為自然基底，即：，則 （1-8） （1-9）（1）設(shè)由基底（）到基底（）的過渡矩陣為P，根據(jù)定理可得： （1-10）將（1-8）和（1-9）帶入（1-10）中得到：由此得到過渡矩陣。 （2）設(shè)在基（）下的坐標(biāo)為則如上的例題告訴我們

20、，求有限維線性空間的由基（）到基（）的過渡矩陣時，可以采用“中介”的辦法，即首先選取中的簡單基，使得基底（）和（）中的元素在該基下的坐標(biāo)可以直接寫出，然后寫出由簡單基改變?yōu)榛ǎ┖突ǎ┑倪^渡矩陣。例17 已知是3維線性空間的一組基，向量組滿足，（1） 證明：也是的一組基；（2） 求由基到基的過渡矩陣；（3） 求向量在基下的坐標(biāo)。解答 （1） 由于向量組，滿足，因此因?yàn)椋钥赡?，且。于是，故，則。因此線性無關(guān)，且為的一組基。（2） 由（1）知，則基到基的過渡矩陣為。（3） 由因此，向量在基下的坐標(biāo)是。定理6 任何有限維線性空間中的向量（ ）線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)在同一基底下的坐標(biāo)是線性無關(guān)的。例1

21、8 驗(yàn)證，是的一組基，并求在該組基下的坐標(biāo)。解答 向量組在自然基底下的坐標(biāo)分別為，且線性無關(guān)，則線性無關(guān)。又由于是4維空間，則是的一組基。設(shè)，即得方程組求解方程組可得在該組基下的坐標(biāo)為。例19 驗(yàn)證是實(shí)多項(xiàng)式空間的一組基，并求在該組基下的坐標(biāo)。解答 由即在自然基底下的坐標(biāo)構(gòu)成了一個可逆矩陣，則是的一組基。設(shè)又由，得到。解得，即在基下的坐標(biāo)為。1.2.5 線性空間的同構(gòu)設(shè)是數(shù)域上的維線性空間， 是的一組基，在這組基下，中每個向量都有確定的坐標(biāo)，即，在下的坐標(biāo)可以看成向量空間中的元素，因此，可以說向量與它在基底下的坐標(biāo)之間實(shí)質(zhì)上就是有一個到的對應(yīng)關(guān)系，即映射，顯然這個映射是單射與滿射，換言之，線性

22、空間中的向量在給定一組基下的坐標(biāo)給出了線性空間與的一個雙射，這個對應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它與運(yùn)算的關(guān)系上，設(shè)，在基下：向量的坐標(biāo)分別是,，則；。于是向量，的坐標(biāo)分別是和,以上的式子說明對于有限維線性空間，在同一基底下，將向量用坐標(biāo)表示之后，它們之間的運(yùn)算可以歸結(jié)為它們的坐標(biāo)運(yùn)算；下面給出同構(gòu)的概念，用以來說明任何有限維線性空間與同維數(shù)的向量空間之間的一種關(guān)系。定義10 設(shè)與為數(shù)域上的兩個有限維線性空間， 若存在一個雙射，對和，有：1）；2) 。則稱線性空間與為同構(gòu)的，映射稱為同構(gòu)映射。由此可見，在維線性空間中，取定一組基后，向量與它的坐標(biāo)之間的對應(yīng)就是到的一個同構(gòu)映射。因而，有如下結(jié)論：定理7 數(shù)域

23、上任一個維線性空間與同構(gòu)。定理8 設(shè)與為數(shù)域上的兩個有限維線性空間，是同構(gòu)映射，則有：（1） ；（2）；（3） 線性空間中向量組線性相關(guān)的充要條件為它們在同構(gòu)映射下的象線性相關(guān)。定理9 同構(gòu)映射的逆映射以及兩個同構(gòu)映射的乘積仍是同構(gòu)映射。同構(gòu)作為線性空間之間的一種關(guān)系，具有反身性、對稱性與傳遞性。既然數(shù)域上任意一個維線性空間都與同構(gòu)，數(shù)域上任意兩個維線性空間都同構(gòu)。定理10 兩個有限維線性空間同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù)。在抽象的線性空間討論中，并沒有考慮線性空間的元素是什么，也沒有考慮其中運(yùn)算是如何定義的，而只涉及線性空間在所定義的運(yùn)算下的代數(shù)性質(zhì)。從這個觀點(diǎn)看來，同構(gòu)的線性空間可以不加

24、區(qū)別。并且，對于維線性空間來說，很多性質(zhì)都可以通過向量空間來討論。1.3 線性子空間1.3.1 線性子空間的概念與性質(zhì)定義1 設(shè)是線性空間的一個非空子集，如果對上的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域上的線性空間. 則稱為的一個線性子空間。線性子空間有時經(jīng)常簡稱為子空間。在驗(yàn)證的一個非空子集是否是子空間時，是否一定要對于上的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算在上逐一驗(yàn)證線性空間定義中的封閉唯一性和八條法則呢？如下定理將給出結(jié)論。定理1 數(shù)域上線性空間的一個非空子集是的一個子空間充要條件是對有。由定理1可見，只需對非空子集驗(yàn)證對加法和數(shù)乘運(yùn)算的封閉性即可。線性空間中的由單個的零向量所組成的子集是一個子空間，稱為的零子空

25、間；線性空間本身也是的一個子空間。零子空間和線性空間本身這兩個子空間稱為的平凡子空間， 的其它子空間稱為的非平凡子空間。由于線性子空間本身也是一個線性空間，所以，子空間和整個空間共有零元素，同時，上節(jié)引入的維數(shù)、基、坐標(biāo)等概念都可以應(yīng)用到子空間上。顯然，線性空間無論是有限維還是無限維，其子空間的維數(shù)不可能超過整個空間的維數(shù)。 例1證明是的子空間，并求及一組基。解答 證明是的子空間略。因?yàn)?所以非空，下證對中的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足封閉性。任取和，則有，并且，從而由本節(jié)定理1知V是的子空間。下面求及的一個基。對，有，即中任一元素A都可由線性表示，而容易證明線性無關(guān)，所以；為的一個基?？梢娎? 齊次線

26、性方程組的全部解向量組成一個子空間，這個子空間叫做齊次線性方程組的解空間。是線性空間的子空間，解空間的基就是方程組的基礎(chǔ)解系，它的維數(shù)等于，其中為系數(shù)矩陣的秩。例3設(shè)為的一個子集，驗(yàn)證是的子空間，并求維數(shù)和一組基。解答 由于，即非空；對和 ，,所以是的子空間； 又由于，而且線性無關(guān)，所以，為的一組基。例4 判斷的下列子集是否構(gòu)成子空間，若是，求子空間的維數(shù)和一組基。（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。解答 （1） 取，有， ，因?yàn)椋?，故不是子空間。（2） 取，則有，從而，因?yàn)?，所以，故不是子空間。（3） 因?yàn)?，所以非空。任取，設(shè)，且，。則且，則；且，則。所以是的子空間。任取，則由于線性無

27、關(guān)，所以是的一組基，且。（4） 設(shè)，則，因?yàn)椋裕?對數(shù)乘運(yùn)算不封閉， 不是子空間。定義2 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，稱由這組向量所有可能的線性組合所成的集合為由生成的子空間，記為：或。顯然，作為的子集對兩種運(yùn)算封閉且是非空的，滿足子空間的要求，因而是的一個子空間。有了生成子空間的定義，任何維線性空間，都可以看成是由其一組基所生成。即若是的一組基，則有。線性空間的生成子空間，是一類非常重要的子空間，也有很多重要而實(shí)用的性質(zhì)，下面給出定理。定理2 設(shè)為維線性空間，與是中的兩組向量，則有如下結(jié)論：（1）的充要條件為向量組與向量組等價。（2） 證明 （1）必要性，假設(shè)，則對 ，顯然有，即可由線性表示，

28、所以，向量組可由向量線性表示。同理可證明向量組可由向量組線性表示。即向量組與向量組等價。充分性：假設(shè)向量組與等價，取，則可由向量組線性表示，由充分假設(shè)，每個都可由向量組線性表示，所以可由線性表示，；同理可以證明：。（2）設(shè)向量組的秩為,不妨假設(shè)為向量組的一個極大無關(guān)組，則由（1）知，由此可見，就是的一個基，即。定理3 （基擴(kuò)充原理）設(shè)是的子空間，若是的一組基，則在中存在個向量使得是的一組基。 證明 對采用歸納法：當(dāng)時，就是的一組基，結(jié)論正確；假設(shè)當(dāng)nmk時結(jié)論成立，往證 nmk1 的情形：因?yàn)槭堑幕?，則線性無關(guān)，又由于，且，則在V中必有向量使得線性無關(guān)，由此得到維的生成子空間。由于n(m1)(

29、nm)1(k1)1k，由歸納假設(shè)的基可以擴(kuò)充到整個空間的一組基，由歸納原理定理得證。例5 證明是的子空間，并求與的一個基。解答 對于和，滿足，并且：，從而可知，V是的子空間。，并且的一組基為，和。例6 求齊次線性方程組的解空間的維數(shù)和一組基。解答 對系數(shù)矩陣 A 作初等行變換,將其變?yōu)樾凶詈喰尉仃囉纱说玫酵夥匠蹋航獾茫海?所以，解空間的維數(shù)為2，為其一組基。定理4 設(shè)，則（1）為的子空間；（2）為的子空間；（3）為階方陣時，則為的子空間。證明（1）因?yàn)?，即，非空；對，? 所以，為的子空間。 （2）因?yàn)椋?，非空；，有：?，所以，為的子空間。（3）因?yàn)?，即，非空；對，有，所以，即：；任?。?/p>

30、即，所以，為的子空間。定義3 稱和分別為為矩陣的值域與核。而稱為矩陣的相對于特征值的特征子空間。 又被稱為矩陣A的列空間；又被稱為矩陣A的化零子空間。定理5 設(shè)，且，則有如下結(jié)論：（1）；（2）；（3）。證明 （1） 可見中的元素都是的線性組合，即。（2）由（1）知，則由定理2和線性代數(shù)知識知： ，即：。（3）由于是方程組的解空間，所以，由（2）知，即。例7 設(shè) ，（1）求生成子空間的基及維數(shù)；（2）設(shè)，求的基及維數(shù)；（3）求的基及維數(shù)。解答 （1）由定理5（1）知 得,所以，由于是的一個極大無關(guān)組。故是的一組基。（2）由于是的解空間，并且，即取，則 ，從而是的一組基，且。（3）由于，又由（1

31、）得到的一組基是且。 從定理5我們看到，給定一個矩陣，所謂的值域，就是將看成個中的向量后，由這些向量所生成的的子空間，而即是以矩陣為系數(shù)矩陣的齊線性方程組的解空間，并且的維數(shù)和的維數(shù)之和等于矩陣的列。1.3.3 子空間的運(yùn)算定理6 設(shè)、是線性空間的兩個子空間，則： （1）集合為的子空間； （2）集合為的子空間。證明（1）因?yàn)?、都是子空間，所以，即非空；， ，所以；對加法運(yùn)算封閉；， 所以，對數(shù)乘封閉，所以是的一個線性子空間。（2）因?yàn)?、都是子空間，所以，即非空； ，使得：，由于，所以；即對加法滿足封閉性 ，使得， 由于，所以 對數(shù)乘滿足封閉性，是的子空間。定義4 設(shè)、是線性空間的兩個子空間，則

32、子空間、分別稱為子空間和的交子空間與和子空間。顯然，不僅僅是的子空間，也是和的子空間；而兩個子空間和的并只是的子集未必是的子空間。例8 在中，令，則顯然，但。關(guān)于交空間與和空間的維數(shù)與基底問題，我們給出如下常用的定理。定理7 設(shè)V是數(shù)域上的線性空間， 和為V中的兩組向量，令；，則： 。證明 ，而和分別可由和線性表示，則可由線性表示，即，；反之，則使得：，即， ，所以。 定理7給出了已知子空間，求的一種方法。定理8 設(shè)V是數(shù)域上的線性空間， 、是的子空間，則有：證明 設(shè)，只需證設(shè)是的一個基，根據(jù)基擴(kuò)定理存在：，使得成為的一個基；，使得成為的一個基；即有：;,由定理7，下證 線性無關(guān)，假設(shè)等式：成

33、立，令： （1-13）則有即可由線性表示，再令，則，即 ，由于線性無關(guān)所以有；因而，。由（1-13）得到，由線性無關(guān)，得到：，由此證明了線性無關(guān)，并為的一個基，即，于是：。例9 設(shè)，其中， ，,求與的交與和的維數(shù)和基。解答 由定理知，考慮向量組的秩和極大線性無關(guān)組，對矩陣作初等變換，則為向量組的極大線性無關(guān)組，故 ，是的一組基；又因?yàn)?，由維數(shù)定理知，設(shè)，則有：，即，求其通解為，為任意常數(shù).則，故，是的一組基。例10 設(shè)的兩個子空間為，（1） 將表示為生成子空間；（2） 求的基和維數(shù)；（3） 求的基與維數(shù)。解答 （1） 先將表示成生成子空間，因?yàn)辇R次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：，。所以的一組基為，。

34、于是，從而有。（2） 向量組在的自然基，下的坐標(biāo)依次為，。向量組，的一個極大無關(guān)組為，從而向量組的一個極大無關(guān)組為，它們構(gòu)成的一組基，且。（3） 設(shè)，則有數(shù)組，使得，即：比較上式等號兩端矩陣的對應(yīng)元素可得求得該齊次線性方程組的通解為于是可得：故的一組基為，且。對于數(shù)域上維線性空間，若與是它的兩個子空間，且由定理我們知道，故的一個極大線性無關(guān)組就是子空間的一個基， 從而的基底核維數(shù)是容易確定的，現(xiàn)在的問題是如何由的生成元和求出的一個基，并由此得到的維數(shù)，例9和例10給出了一種子空間交的基與維數(shù)的確定方法。但是，例9和例10可以看出，我們是通過解齊次線性方程組求出組合系數(shù)作為交子空間中的向量，進(jìn)而

35、確定的基與維數(shù)，而且在上述兩個例題中，的維數(shù)都是是1，這是否為必然呢？答案是否定的。進(jìn)一步分析如下，設(shè)令 顯然，的充要條件是存在，使（I），即是向量方程；（II）的解，也就是與之等價的含個未知數(shù)個方程的齊次線性方程組 （III）的解；反之，齊次線性方程組（III）的任一解所確定的向量必屬于，因此只要求得（III）的一個基礎(chǔ)解系是（III）的解空間的維數(shù)就得到了的一組生成元 或 顯然：（III）的未知數(shù)的個數(shù)的生成元的個數(shù)的生成元的個數(shù)（III）的系數(shù)矩陣的秩=秩（III）的解空間的維數(shù)=（III）的未知數(shù)的個數(shù)系數(shù)矩陣的秩=。所以，當(dāng)生成元的個數(shù)=秩；生成元的個數(shù)=秩時，即與都線性無關(guān)，正好分

36、別是與的基時，（III）的解空間的維數(shù)正好等于的維數(shù)，這樣只要求出了（III）的一個基礎(chǔ)解系，就可以立即寫出的一個基。在上倆例中，由于的生成元的個數(shù)，的生成元的個數(shù)，即和正好是與的基，這個條件決定了方程組中的解空間維數(shù)與交空間的維數(shù)相等，如果沒有這個條件，則（III）的解空間的維數(shù)，就不等于交空間的維數(shù)，為說明這一點(diǎn)，再看一例：例11 設(shè), ，求的基與維數(shù)。 解答 令，則存在，使得，即由此得到即有： （1-14）（1-14）的系數(shù)矩陣，經(jīng)行的初等變換可化為：，因?yàn)樗裕?-14）的解空間維數(shù)是3，易知， , 是（1-14）的一個基礎(chǔ)解系，故有：， ，由此可知是的一組生成元，即，容易算出， 而。根據(jù)維數(shù)定理，可以得到，求得的一個極大線性無關(guān)組就是的一個基。綜上所述，一般情形下的解空間的維數(shù)不一定就等于空間的維數(shù)，但由（II）的一個基礎(chǔ)解系：可以求得中的一組向量（或而交空間中任一向量都是它們的給性組合故只要求出的一個極大線性無關(guān)組，就可