數(shù)學(xué)建模：汽車剎車距離

1、數(shù)學(xué)建模一周論文論文題目：汽車剎車距離 姓名1： 李志健 學(xué)號(hào)： 09014262 姓名2： 程鑫瑜 學(xué)號(hào)： 09014261 姓名3： 武彥勝 學(xué)號(hào)： 09014263 專 業(yè)：地理信息系統(tǒng)班 級(jí)：090142指導(dǎo)教師：嚴(yán)蘭蘭 2012年 6月 21日論文摘要汽車剎車距離有兩方面：反應(yīng)距離和制動(dòng)距離。本文從這兩方面入手來(lái)研究汽車剎車距離，進(jìn)而得出距離的函數(shù)模型，提車駕車建議。在模型的建立過(guò)程中，本文主要從影響汽車剎車距離的兩個(gè)主要因素：司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間、汽車的車速入手。對(duì)于影響剎車距離的其他因素如：路面類型和狀況、天氣狀況、駕駛員的操作技巧和身體狀況等都視為相同的狀態(tài)。在對(duì)于剎車過(guò)程的具體分析

2、，主要分成兩個(gè)階段：第一階段稱為“反應(yīng)階段”即勻速直線運(yùn)動(dòng)階段，利用公式d1=t1v求得；第二階段稱為“制動(dòng)階段”即勻減速直線運(yùn)動(dòng)階段,利用功能原理及牛頓第二定律得出：fd2=mv2/2；進(jìn)而得出剎車的距離公式d2=+kv2。再者從所收集得來(lái)的數(shù)據(jù)中運(yùn)用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)，得出k值，代入公式d=t1v+kv2得出剎車的速度與距離關(guān)系式。進(jìn)而得出剎車距離的函數(shù)模型并給駕駛者提出安全駕駛建議。1. 問(wèn)題提出與分析1.1 背景與問(wèn)題美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：正常駕駛條件下, 車速每增10英里/小時(shí)，后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長(zhǎng)度。又云，實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是 “2秒準(zhǔn)則” ：后車司機(jī)

3、從前車經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開始默數(shù)，即后車司機(jī)從前車經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開始默數(shù)2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何。試判斷“2秒規(guī)則”與上述規(guī)則是一樣的嗎？這個(gè)規(guī)則的合理性如何？是否有更好的規(guī)則？建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。1.2 問(wèn)題分析1.2.1 兩秒規(guī)則的合理性根據(jù)常識(shí)我們知道，10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車速下2秒鐘行駛的距離為29英尺(9米)，此距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于車身的平均長(zhǎng)度15英尺(4.6米)。這說(shuō)明了“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同。“2秒規(guī)則”和“車身規(guī)則”不同也就意味著司機(jī)處在兩個(gè)選擇中，而兩個(gè)選擇的對(duì)錯(cuò)也未知，這就給駕駛員帶來(lái)了疑惑。所以兩個(gè)規(guī)則的合理性有待驗(yàn)證。1

4、.2.2 數(shù)學(xué)模型的分析此模型問(wèn)題的要求是建立剎車距離與車速之間的數(shù)量關(guān)系。一方面，車速是剎車距離的主要影響因素，車速越快，剎車距離越長(zhǎng)；另一方面，還有其它很多因素會(huì)影響剎車距離，包括車型、車重、剎車系統(tǒng)的機(jī)械狀況、輪胎類型和狀況、路面類型和狀況、天氣狀況、駕駛員的操作技術(shù)和身體狀況等。為了建立剎車距離與車速之間的函數(shù)關(guān)系可以從以下分析入手：經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析剎車的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，剎車要經(jīng)歷兩個(gè)階段：第一階段，司機(jī)意識(shí)到危險(xiǎn)，做出剎車決定，并踩下剎車踏板使剎車系統(tǒng)開始起作用，汽車在反應(yīng)時(shí)間段行駛的距離為“反應(yīng)距離”；第二階段，從剎車踏板被踩下、剎車系統(tǒng)開始起作用，到汽車完全停住，汽車在制動(dòng)過(guò)程“行駛”

5、（輪胎滑動(dòng)摩擦地面），此距離為“制動(dòng)距離”。進(jìn)而可得出：剎車距離=反應(yīng)距離+制動(dòng)距離 下面對(duì)各階段具體分析：反應(yīng)距離階段：根據(jù)常識(shí)，可以假設(shè)汽車在反應(yīng)時(shí)間內(nèi)車速?zèng)]有改變，也就是說(shuō)在此瞬間汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，反應(yīng)時(shí)間取決于駕駛員狀況（包括反應(yīng)、警覺性、視力等）和汽車制動(dòng)系統(tǒng)的靈敏性,而正常情況下，汽車制動(dòng)系統(tǒng)的靈敏性都非常好，與駕駛員狀況相比，可以忽略。可以假設(shè)反應(yīng)距離的數(shù)學(xué)模型為d1 =t1v 。制動(dòng)距離階段：在制動(dòng)過(guò)程，汽車的輪胎產(chǎn)生滾動(dòng)摩擦，車速?gòu)膙迅速減慢，直到車速變?yōu)?，汽車完全停止。用物理的語(yǔ)言來(lái)陳述，那就是：汽車制動(dòng)力使汽車做減速運(yùn)動(dòng)，汽車制動(dòng)力做功導(dǎo)致汽車動(dòng)能的損失。fd2=mv

6、2/2；進(jìn)而得出剎車的距離公式d2=+kv2。換言之，需要測(cè)試汽車在不同車速下的剎車距離（當(dāng)然要盡量保持道路、天氣、駕駛員、載重等條件一樣），然后利用測(cè)試數(shù)據(jù)擬合出模型 d=t1v+kv中的系數(shù)k 值，那么就能所得到剎車距離與車速之間的二次函數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式。此數(shù)學(xué)模型對(duì)于所有在相同的道路、天氣和駕駛員等條件下，既沒有超載，也沒有故障的汽車都是有參考作用的。2. 假設(shè)與建模2.1 模型的假設(shè)表2-1 符號(hào)說(shuō)明符號(hào)單位名稱說(shuō)明m/s車速剎車過(guò)程的速度變化值m剎車距離從司機(jī)決定剎車到車完全停住汽車行駛距離d1m反應(yīng)距離從司機(jī)決定剎車到踩下踏板汽車行駛距離d2m制動(dòng)距離從司機(jī)踩下剎車踏板到車完全停住汽車行

7、駛距離t1s反應(yīng)時(shí)間從司機(jī)決定剎車到踩下剎車踏板的時(shí)間fn制動(dòng)力汽車制動(dòng)過(guò)程的制動(dòng)力mkg汽車質(zhì)量汽車的凈重ks/m比例系數(shù)k=1/(2a)（1）、假設(shè)道路、天氣和駕駛員等條件相同，汽車沒有超載，也沒有故障；（2）、假設(shè)汽車在平直道路上行駛，駕駛員緊急剎車，一腳把剎車踏板踩到底，汽車在剎車過(guò)程沒有轉(zhuǎn)方向；（3）、假設(shè)汽車在反應(yīng)階段做勻速直線運(yùn)動(dòng)；（4）、假設(shè)汽車在制動(dòng)過(guò)程做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a只與車型有關(guān)，同車型時(shí)為常數(shù)，制動(dòng)力所做的功只等于汽車動(dòng)能的損失；（5）、假設(shè)剎車距離等于反應(yīng)距離加上制動(dòng)距離。2.2 模型的建立與求解2.2.1 模型的建立由前面的分析和假設(shè)可知：剎車距離d等于反應(yīng)

8、距離d1與制動(dòng)距離d2之和，即d=d1+d2 （公式2-1）；反應(yīng)距離 d1與車速 v成正比d1=t1v （公式2-2）（式中的t1為反應(yīng)時(shí)間）;剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力f，f作功等于汽車動(dòng)能的改變;fd2=mv2/2（公式2-3）(式中的fm,即f與車的質(zhì)量m成正比)。因此由（公式2-3）推出下面距離的關(guān)系式：,再根據(jù)（公式2-1）和（公式2-2）可以得到d=t1v+kv2 （公式2-4）因此模型可以定為：d=t1v+kv2 2.2.2 模型的求解參數(shù)估計(jì)： 反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒，利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合k。表2-2 交通部門車速和剎車距離數(shù)據(jù)車速(英里/小時(shí)) (英

9、尺/秒)實(shí)際剎車距離（英尺）計(jì)算剎車距離（英尺）剎車時(shí)間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3公式為：則剎車距離與速度的關(guān)系為： 計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間模 型為 （公式2-5）圖2-1 車速與剎車距離的擬合圖求出各個(gè)車速下的剎車時(shí)間，如下表：表2-3 車速與剎車時(shí)間關(guān)系表車速(英里/小時(shí))剎車時(shí)間（秒）201.5301.840

10、2.1502.5603.0703.6804.3根據(jù)實(shí)際的要求和表2-3，得出“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則”，即后車司機(jī)從前車經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開始默數(shù)t秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志。表2-4 不同車速下對(duì)時(shí)間t的要求車速（英里/小時(shí)）010104040606080t（秒）12343. 模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn)通過(guò)模型的建立讓我們對(duì)“2秒準(zhǔn)則”有了新的認(rèn)識(shí)，是與車速有關(guān)的，不是任何車輛默數(shù)2秒后直至停車都是安全的，根據(jù)不同的車速，時(shí)間不同。模型通過(guò)很理論的假設(shè)，對(duì)實(shí)際情況、人為因素等都為考慮，得出的應(yīng)該是一個(gè)理論的一般性結(jié)果，對(duì)于駕駛?cè)吮旧?，我們還應(yīng)考慮自身的情況。參考文獻(xiàn)1.姜啟源、謝金星、葉俊數(shù)學(xué)模型（第三版）,北京:高等教育出版社.2.任善強(qiáng) 雷寧 數(shù)學(xué)模型 高等教育出版社 2003年 附錄mathematica程序代碼plot0.75v+0.0255v2 , v, 20, 120,frame-true,ticks-20,40,60,80,100,120,0,50,100,150,200,250,300,