數(shù)列求和方法歸納

1、精品文檔數(shù)列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常見的數(shù)列的前n 項和： 1 2 3+n= n(n 1) ，1+3+5+(2n-1)= n22+n2 = n(n1)(2 n1) ，n(n1)2122232132333+n3 =等.62例 1求122232425262L9921002 解：原式(2 212 )(4 232 )(6 252 )L(1002992) 37 11L199 由等差數(shù)列求和公式，得原式50(3199)5050 2變式練習(xí) ：已知 log 3x1，求 xx 2x 3. x n.的前 n 項和 .log 2 31n解：1 2二、倒序相加法此方法源于等差數(shù)列前 n 項和公式的推

2、導(dǎo)，目的在于利用與首末兩項等距離的兩項相加有公因式可提取，以便化簡后求和 .例 2求 2122232L102的和10222922821022131解：設(shè) S122232L102121022292328210212則 S1029282L12102122292328210212兩式相加，得2S11L 110， S5三、裂項相消法常見的拆項公式有：11 ( 11)，11 ( n kn) ，n(n k) k n n kn kn k(2 n11)1 (11)，等.1)(2n22n12n1。1歡迎下載精品文檔例 3已知 1222Ln21 n(n1)(2n1)，35762n1求Ln2 (nN )的和1212

3、221222321222 L解： Q an2n12n16，1222Ln21n(nn( n1)(2n1)1)6Sn611L122n(n1nn13611n1ln .n1小結(jié)： 如果數(shù)列 an 的通項公式很容易表示成另一個數(shù)列 bn 的相鄰兩項的差，即anbn 1 bn ，則有 Snbn1b1 . 這種方法就稱為裂項相消求和法 .變式練習(xí)： 求數(shù)列1，1，1， ，1， 的前 n 項和 S.2435n( n1 32)解：12)=1(11）n( n2nn2n111 111)=1111 )=311S =2(1) ()(132 4n n 222 n 1 n 2 4 2n 2 2n

4、4四、錯位相減法源于等比數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)， 對于形如 anbn 的數(shù)列，其中 an 為等差數(shù)列， bn 為等比數(shù)列，均可用此法 .例 4求 x3x25x3 L(2 n1) xn 的和解：當(dāng) x1 時， Sn1x2x2 (1xn 1 )(2 n1)xn 1；當(dāng) x1 時， Snn2 x(1x)21x小結(jié)：錯位相減法的步驟是：在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列bn 的公比；將兩個等式相減；利用等比數(shù)列的前n 項和公式求和 .。2歡迎下載精品文檔變式練習(xí)： 求數(shù)列 a,2a 2,3a 3,4a 4 , ,na n,(a 為常數(shù) ) 的前 n 項和。解：（1）若 a=0,則 S=0（ 2）若 a=1

5、, 則 S =1+2+3+ +n=n ( n1)nn2（3）若 a0 且 a 1n234nn234n+1則 S =a+2a +3a +4a + + na， aS=a +2 a+3 a+ +naaa n 1n 1(1-a) S n =a+ a2+ a3+ +an- nan+1=naaan1nan 11aSn=(a1)當(dāng) a=0 時，此式也成立。(1a) 21an(n1)( a1)Sn=21n 1aanna(a1)(1a) 21a五、分組求和法若數(shù)列的通項是若干項的代數(shù)和，可將其分成幾部分來求.例 5求數(shù)列21，41，61 ，L ，2n1n1 ， L 的前 n 項和 Sn 48162Sn(246L

6、2n)1111n(n 1)1122324L2n 122n 12變式練習(xí)： 求數(shù)列11,21,31,41,L的前 n 項和392781解：n2n1122 3n數(shù)列求和基礎(chǔ)訓(xùn)練n 2 2 2 2 4 1 1. 等比數(shù)列 an 的前項和 S 2 ，則 a1 a2 a3 an 2. 設(shè) Sn1357L( 1)n (2 n1) ，則 Sn ( 1)n n .3.111n.144L(3n2)(3n1)3n174.111.1=11 1112?4 3?5 4?6( n 1)(n 3)22 3n 2 n 35.數(shù)列 1,(1 2),(1222 ),L ,(1222L2n 1 ),L的通項公式 an 2 n1 ，

7、前 n 項和 Sn2 n1n2。3歡迎下載精品文檔6 .1 ,32,53, 2nn1, ; 的前 n 項和為 Sn32nn322222數(shù)列求和提高訓(xùn)練1數(shù)列 an 滿足： a1 1，且對任意的 m，nN* 都有： am n aman mn，則1111(A)a1a2a3a2008A 4016B 2008C 2007D 20072009200910042008解： am n a a mn， an a a n a 1 n，mn1n1n利用疊加法得到：ann(n1)， 122( 11) ，2ann(n1)nn1 11112(111111) 2(11 )4016a1a2a3a20082232008200

8、920092009數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列，若其首項滿足a1b1 ，a1 b1 ，且 a1 ，25b1 N* ，則數(shù)列 abn 前 10 項的和等于(B )A100B85C70D55n1n1abn1n1111解： a a n 1，b b n 1 a b 1 a ( b n 1) 1 a b n 2 5n 2 n 3則數(shù)列 abn 也是等差數(shù)列，并且前10 項和等于：41310 85答案： B.2設(shè)m nn，則 m等于( A )3=12+23+34+( -1) A.n(n 21)B.1 n nC.1 n nD.1 n n3( +4)(+5)2( +7)223解：因為a n=n2 -

9、n. ，則依據(jù)分組集合即得.答案 ;A.若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，則S17S33 50 等于( A )4+A.1B.-1C.0D.2n1為奇)2( n解：對前n 項和要分奇偶分別解決，即：S=答案： Ann為偶)2( n。4歡迎下載精品文檔5設(shè)an為等比數(shù)列,bn 為等差數(shù)列，且 b1=0,cnanbn若數(shù)列cn是1,1,2,則cn=+ ,的前 10 項和為(A)A.978B.557C.467D.979解由題意可得1=1, 設(shè)公比為q, 公差為d, 則 qd1aq22d22-2=0, 0, =2, n=2n-1,n-1)(-1)=1-n,n=2n-1+1-n, n=978.答

10、案： Aqab=(cSqqqn6. 若數(shù)列 an 的通項公式是 an ( 1) n(3 n2) ，則a1 a2 a10( A)A15B.12C 12D.15解析A 設(shè)bn n ，則數(shù)列bn是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以a1a232 a9a10 ( b1) b2 ( b9 ) b10 ( b2 b1) ( b4 b3) ( b10 b9) 5 315.7一個有 2001 項且各項非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為解： 設(shè)此數(shù)列 n,其中間項為1001,aa則 S=a +a+a + +a =1001a, S=a +a +a + +a =1000a.1001奇1001偶答案 :1

11、352001246200010011000若22n2 an3bn2cn，則 a,b=,c=.81+2+ +( -1) =+ +=解： 原式 = ( n1)n ?(2n 1)2n33n 2n .答案： 1;1;1663269已知等差數(shù)列 an 的首項 a11，公差 d 0，且其第二項、第五項、第十四項分別是等比數(shù)列 bn 的第二、三、四項 (1) 求數(shù)列 an 與 bn 的通項公式；(2) 設(shè)數(shù)列 cn 對任意自然數(shù) n 均有 c1c2c3cnan 1 成立b1b2b3bn求 c1 c2c3 c2014 的值解： (1)由題意得 ( 1 )(1 13) (a14d) 2(d 0)解得 2，n 2

12、n 1，可得bn 3n1a d adda(2)當(dāng) n 1 時， c1 3；當(dāng) n 2 時，由 cnan 1 an ，得 cn 2 3n 1，bn故 cn3(n 1),2).故 c1 c2 c3 c2014 3 23 2 32 2 32002 320152 3n 1 (n。5歡迎下載精品文檔10. 設(shè)數(shù)列 an 為等差數(shù)列， Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項和，已知 S77，S1575，Tn 為數(shù)列Sn的前 n 項和，求 T .nn解析 設(shè)等差數(shù)列 a 的首項為 a1，公差為 d，則 S na112n( n 1) d. S7 7， S15 75，nn7 121 7，a1 3 1，a1 2，n11

13、addS a15a1105d 75，即 a1 7d 5，解得 d 1. n2 ( n 1) d 22( n11) Sn1Sn1Sn11 2 9 12，數(shù)列是首項為 2，公差為 2的等差數(shù)列 Tn 4n 4nnnn.22an11. 已知數(shù)列 an 的首項 a1 3，an 1 an1(1) 證明：數(shù)列11 是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列n的前 n 項和 Sn.a nan解析 (1)an 1 2an，1 an 1 1 1 ，1 1111，又 a1 2，an 1an 12an2 2anan 12an31111a 11111 1 0，n 1 ，數(shù)列1是以 為首項，為公比的等比數(shù)a 1 0，12n1222a1a nan111n11n11nn123n(2) 由 (1)n. 設(shè)