MINITAB培訓_假設檢驗_方差_回歸_DOE_MSA

1、一、假設檢驗一、假設檢驗*編編SIX SIGMA 培訓培訓二、方差分析二、方差分析三、質量工具三、質量工具四、試驗設計四、試驗設計假設檢驗假設檢驗& 假設檢驗的理解假設檢驗的理解(Hypothesis Test)對總體參數(shù)分布做假設對總體參數(shù)分布做假設,根據(jù)樣本根據(jù)樣本(Sample)觀測值運用統(tǒng)計技術分析方法檢驗這種觀測值運用統(tǒng)計技術分析方法檢驗這種假設是否正確，從而選擇接受或拒絕假設的過程。假設是否正確，從而選擇接受或拒絕假設的過程。假設假設 :特定某總體是特定某總體是 , , , ex) 制造部男員工的平均制造部男員工的平均 身高是身高是172 cm. 原假設原假設(Ho, Null H

2、ypothesis) : 肯定肯定 對立假設對立假設(H1 or Ha, Alternative Hypothesis) : 否定原假設否定原假設某總體某總體(N)Sample根據(jù)根據(jù)Sample的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)檢驗已設定的該總體的假設檢驗檢驗已設定的該總體的假設檢驗 原假設原假設(Ho)設定設定 : 制造部男員工身高是制造部男員工身高是172cm 設定對立假設設定對立假設(H1 or Ha) : 不是不是172cm(或或0.05時，接受原假設，拒絕對立假設；時，接受原假設，拒絕對立假設； PBasic Statistics1-Sample Z,4、比較比較P0.05的大小，判定的大小，判定:接受

3、接受H0, 11 -7/22出現(xiàn)對話框后：出現(xiàn)對話框后：Variables欄中選外園直徑數(shù)值；欄中選外園直徑數(shù)值；SIGMA：欄中填欄中填0.016（總體（總體）TEST MEAN欄中填欄中填5.50（目標均值）（目標均值）GRAPHS對話框可填可不填對話框可填可不填OPTIONS 對話框對話框:CONFIDENCE LEVEL:95.0（置信度水置信度水平）平）ALTERNATIVE: not equal(對立假設）對立假設）One-Sample Z: sample實施結果：實施結果：Test of mu = 5.5 vs mu not = 5.5The assumed sigma = 0.

4、016Variable N Mean StDev SE Meansample 35 5.50143 0.02390 0.00270Variable 95.0% CI Z Psample ( 5.49613, 5.50673) 0.53 0.597假設檢驗事例假設檢驗事例1 Sample T Test& 1 Sample T Test實例：實例：Height66.0072.0073.5073.0069.0073.0072.0074.0072.0071.0074.0072.0070.0067.0071.0072.0069.0073.0074.0066.00 確認確認HeightHeight的平均個

5、子是否的平均個子是否70.(70.(單單, ,不知道母體的標準偏差不知道母體的標準偏差.).) - - 原假設原假設 : : 平均個子平均個子 = 70 - = 70 -對立假設對立假設 : : 平均個子平均個子 70 70 Test of mu = 70 vs mu not = 70Variable N Mean StDev SE MeanHeight 20 71.175 2.561 0.573Variable 95.0% CI T PHeight (69.976, 72.374) 2.05 0.054平均平均:71.175 :71.175 標準偏差標準偏差:2.561:2.561平均的標準

6、偏差平均的標準偏差:0.573 :0.573 母平均的母平均的95% 95% 置信區(qū)間置信區(qū)間 :69.976 72.374 :69.976 72.374p-value:0.054p-value:0.054p-valuep-value比比0.050.05大，接受大，接受0 0假設假設. .即即, ,可以平均個子看作可以平均個子看作70707070包含在置信區(qū)間里面。包含在置信區(qū)間里面。Minitab Menu : Stat / Basic Statistics/ 1 Sample T Test* 注意注意 : 在在Option 上各上各 greater than, less than, not

7、 equal的含義是什么的含義是什么 ? 11 -8/22目標均值目標均值假設檢驗事例假設檢驗事例2 Sample T Test& 2 Sample T Test實例：實例：例例3：A、B兩種不同情況下測得某兩種不同情況下測得某PCB焊點拉拔力數(shù)據(jù)如下：焊點拉拔力數(shù)據(jù)如下：A：5.65 5.89 4.37 4.28 5.12 ; B:5.99 5.78 5.26 4.99 4.88;問兩種條件下問兩種條件下PCB的焊點拉拔的焊點拉拔力是否有顯著區(qū)別？力是否有顯著區(qū)別？ H0：A=B；H1：AB Minitab Menu : Stat / Basic Statistics/ 2 Sample T

8、 Test兩樣本數(shù)據(jù)存于一欄兩樣本數(shù)據(jù)存于一欄兩樣數(shù)據(jù)存于不同欄兩樣數(shù)據(jù)存于不同欄對分散的同質性與否的對分散的同質性與否的check(在這里不是同質的在這里不是同質的 no-check) 11 -9/22數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)標注標注數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)假設檢驗事例假設檢驗事例2 Sample T Test& 實施結果：實施結果： P值比值比0.05大，接受大，接受H0；即即2種條件下的種條件下的PCB板焊點拔取力沒有差異板焊點拔取力沒有差異 從平均值看從平均值看B比比A 拔取力大拔取力大 總體均值的置信區(qū)間：（總體均值的置信區(qū)間：（-1.278,0.642)Two-sample T for A vs B N Mean

9、 StDev SE MeanA 5 5.062 0.729 0.33B 5 5.380 0.487 0.22Difference = mu A - mu BEstimate for difference: -0.31895% CI for difference: (-1.278, 0.642)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0.81 P-Value = 0.448 DF = 6 11 -10/22AB4.55.05.56.0Boxplots of A and B(means are indicated by solid circl

10、es)假設檢驗事例假設檢驗事例&成對數(shù)據(jù)的假設檢驗成對數(shù)據(jù)的假設檢驗 英語分數(shù)向上程序運營后，比較程序實施前和實施后的英語分數(shù)，檢討向上程序是否實際上很有用英語分數(shù)向上程序運營后，比較程序實施前和實施后的英語分數(shù)，檢討向上程序是否實際上很有用 程序實施前程序實施前/ /后的分數(shù)入以下時，檢討程序是否有利于英語分數(shù)向上后的分數(shù)入以下時，檢討程序是否有利于英語分數(shù)向上.( .(各各 10 10個隨意抽出個隨意抽出) )Before after7681605285875870918675778290646379858883Paired T-Test and CI: before, afterPair

11、ed T for before - after N Mean StDev SE Meanbefore 10 75.80 11.64 3.68after 10 77.40 12.18 3.85Difference 10 -1.60 6.38 2.0295% CI for mean difference: (-6.16, 2.96)T-Test of mean difference=0(vs not=0):T-Value=-0.79 P-Value=0.448-10010DifferencesBoxplot of Differences(with Ho and 95% t-confidence i

12、nterval for the mean)X_HoMinitab Menu : Stat / Basic Statistics/ Paired T Paired T : CI Mean Difference 2 Sample T : CI DifferencePaired T 11 -11/22假設檢驗事例假設檢驗事例1-Proportion1-Proportion DID DID 事業(yè)部為了確認事業(yè)部為了確認A A 廠家的廠家的6 6sigmasigma的的PJTPJT成果，調查了成果，調查了300300個個samplesample，出現(xiàn)了出現(xiàn)了1515個不良品個不良品. . A A 廠家交

13、貨部品的目標不良率為廠家交貨部品的目標不良率為15% 15% ，能不能看做目標達成了，能不能看做目標達成了 ? ?Minitab Menu : stat /Basic StatisticsMinitab Menu : stat /Basic Statistics/ /1-Proportion1-ProportionClickClickTest of p = 0.15 vs p not = 0.15 Sample X N Sample p 95.0% CI P-Value1 15 300 0.050 (0.028251,0.081127) 0.000 實行結果實行結果 11 -12/22假設檢驗

14、事例假設檢驗事例2-Proportion DIDDID事業(yè)部為了比較事業(yè)部為了比較 A,BA,B兩個兩個lineline上發(fā)生的不良率，收集了上發(fā)生的不良率，收集了DataData. .其結果其結果A LineA Line上上10001000個當中有個當中有7575個不良個不良, , B Line B Line 上上15001500個當中發(fā)現(xiàn)了個當中發(fā)現(xiàn)了120120個不良。能不能看作個不良。能不能看作LineLine間不良率有差異間不良率有差異? ?Minitab Menu : stat /Basic StatisticsMinitab Menu : stat /Basic Statisti

15、cs/2/2-Proportion-ProportionTest and CI for Two ProportionsSample X N Sample p1 75 1000 0.0750002 120 1500 0.080000Estimate for p(1) - p(2): -0.00595% CI for p(1) - p(2): (-0.0263305, 0.0163305)Test for p(1)-p(2)=0(vs not=0): Z=-0.46 P-Value=0.646P-value : 0.646(64.6%)P-value : 0.646(64.6%)P-valueP-

16、value值大，因此可以說值大，因此可以說0 0假設是對的。假設是對的。 即即, ,可以說可以說A ,BA ,B兩個兩個lineline上所發(fā)生的不良率上所發(fā)生的不良率 沒有差異。沒有差異。 11 -13/22假設檢驗事例假設檢驗事例 需同時檢驗多個樣本均值有無差異時，需要用到方差分析需同時檢驗多個樣本均值有無差異時，需要用到方差分析建立假設：建立假設：H0H0：膠水膠水A A粘接力均值粘接力均值= =膠水膠水B B粘接力均值粘接力均值= =膠水膠水C C的粘接力均值的粘接力均值H1H1：膠水膠水A A粘接力均值粘接力均值膠水膠水B B粘接力均值粘接力均值膠水膠水C C的粘接力均值的粘接力均值

17、確定顯著水平：確定顯著水平：=0.05=0.05選擇假設檢驗類別選擇假設檢驗類別: :單變量方差分析單變量方差分析Minitab Minitab 計算計算P P值。值。 11 -14/22例：想了解三種不同膠水對元件粘接力的影響，分別測得不同膠水粘接力如下：例：想了解三種不同膠水對元件粘接力的影響，分別測得不同膠水粘接力如下：膠水A膠水B膠水C5.674.884.895.345.365.214.984.995.365.565.755.895.86.216.116.716.075.29問三種膠水粘接力均值有無差異？問三種膠水粘接力均值有無差異？假設檢驗事例假設檢驗事例 11 -15/22Stat

18、 ANOVA One-way(Unstacked)注：注：Unstacked 指不同條件的數(shù)據(jù)存儲在不同列指不同條件的數(shù)據(jù)存儲在不同列的狀態(tài)的狀態(tài)實施結果：實施結果：One-way ANOVA: A, B, CAnalysis of VarianceSource DF SS MS F PFactor 2 0.145 0.073 0.26 0.778Error 15 4.273 0.285Total 17 4.419 Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev -+-+-+-A 6 5.6767 0.58

19、23 (-*-) B 6 5.5433 0.5558 (-*-) C 6 5.4583 0.4547 (-*-) -+-+-+-Pooled StDev = 0.5338 5.25 5.60 5.95假設檢驗事例假設檢驗事例2-Proportion 11 -16/22P0.05，因此接受零假設因此接受零假設H0A、B、C膠水粘接力膠水粘接力均值數(shù)據(jù)置信區(qū)間有重均值數(shù)據(jù)置信區(qū)間有重合部分合部分假設檢驗事例假設檢驗事例2VARIANCES 11 -17/22對兩個總體的分布狀況進行比較，如對兩個車床所加工出來的零件尺寸精度的比較，這時會用到對兩個總體的分布狀況進行比較，如對兩個車床所加工出來的零件

20、尺寸精度的比較，這時會用到F檢檢驗。驗。例：兩臺車床加工一批零件，為了解兩臺車床加工精度方面有無差異，各抽取例：兩臺車床加工一批零件，為了解兩臺車床加工精度方面有無差異，各抽取10個零件測得尺寸個零件測得尺寸A數(shù)數(shù)值如下：車床值如下：車床1：25.3,25.2,25.2,25.5,25.52,25.51,25.54,25.55,25.5,25.52;車床車床2: 25.5,25.55,25.56,25.49,25.48,25.53,25.52,25.54,25.5,25.47;問問:兩臺車床加工精度有無差異兩臺車床加工精度有無差異?步驟步驟:H0:車床車床1加工的工件尺寸加工的工件尺寸A的標準

21、差的標準差=車床車床2加工的工件尺寸加工的工件尺寸A的標準差的標準差H1:車床車床1加工的工件尺寸加工的工件尺寸A的標準差的標準差車床車床2加工的工件尺寸加工的工件尺寸A的標準差的標準差確定確定=0.05選擇假設檢驗類別選擇假設檢驗類別F檢驗法檢驗法;例用例用MINITAB 計算計算PMinitab StatBasic Statistics2 Variances假設檢驗事例假設檢驗事例2-Proportion 11 -18/22假設檢驗事例假設檢驗事例2-Proportion 11 -19/220.050.100.1595% Confidence Intervals for Sigm asCH

22、E2CHE125.325.425.5Boxplots of Raw DataF-TestTest Statistic: 5.422P-Value : 0.019Levenes TestTest Statistic: 0.077P-Value : 0.785Factor LevelsCHE1CHE2Test for Equal VariancesTest for Equal VariancesTest for Equal VariancesLevel1 CHE1Level2 CHE2ConfLvl 95.0000 Bonferroni confidence intervals for stand

23、ard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels4.66E-02 7.13E-02 0.143584 10 CHE12.00E-02 3.06E-02 0.061664 10 CHE2F-Test (normal distribution)Test Statistic: 5.422P-Value : 0.019Levenes Test (any continuous distribution)Test Statistic: 0.077P-Value : 0.785接受零假設，兩臺車床加工精度沒接受零假設，兩臺車床加工精度沒有差異有差異假設檢驗事例

24、假設檢驗事例2-Proportion 11 -20/22在需要同時比較多個方差的場合，需進行多樣本方差檢驗在需要同時比較多個方差的場合，需進行多樣本方差檢驗四臺設備同時加工一種工件，為了解四臺設備同時加工一種工件，為了解4 4臺設備的精度有無差異，每臺設備抽樣臺設備的精度有無差異，每臺設備抽樣1010PCSPCS測得尺寸如測得尺寸如下下（略），問四臺設備精度是否有差異？（略），問四臺設備精度是否有差異？H0H0：。；：。；H1H1：。：。MINTAB MINTAB 工工作表數(shù)據(jù)：作表數(shù)據(jù)：Stat ANOVA Test for Equal VariancesStat ANOVA Test fo

25、r Equal Variances 假設檢驗事例假設檢驗事例2-Proportion 11 -21/22271295% Confidence Intervals for SigmasBartletts TestTest Statistic: 3.055P-Value : 0.383Levenes TestTest Statistic: 0.295P-Value : 0.829Factor LevelsABCDTest for Equal Variances for SIZEResponse SIZEFactors EQUIPConfLvl 95.0000 Bonferroni confiden

26、ce intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels 1.84368 2.94581 6.5147 10 A 3.29134 5.25885 11.6301 10 B 3.13351 5.00666 11.0723 10 C 2.76454 4.41714 9.7686 10 DBartletts Test (normal distribution)Test Statistic: 3.055P-Value : 0.383Levenes Test (any continuous distribution)Te

27、st Statistic: 0.295P-Value : 0.829假設檢驗事例假設檢驗事例2-Proportion 11 -22/22根據(jù)上圖結果根據(jù)上圖結果BartlettBartlett檢驗法和檢驗法和LeveneLevene檢驗法得出一致結論，檢驗法得出一致結論，P P值大于值大于0.05,0.05,所以所以認為四臺車床加工的工件精度沒有顯著差異認為四臺車床加工的工件精度沒有顯著差異. .有時會存在有時會存在BartlettBartlett檢驗法和檢驗法和LeveneLevene檢驗法得出的結論不一致的問題檢驗法得出的結論不一致的問題, ,這時可檢驗這時可檢驗數(shù)據(jù)的正態(tài)性數(shù)據(jù)的正態(tài)性,

28、 ,如為正態(tài)分布數(shù)據(jù)如為正態(tài)分布數(shù)據(jù), ,則以則以BartlettBartlett檢驗法為結論檢驗法為結論. .如為非正態(tài)分布如為非正態(tài)分布, ,則則以以LeveneLevene檢驗法為準檢驗法為準. . 2.3 統(tǒng)計技術方法 2.3.1 方差分析 2.3.2 回歸分析 2.3.3 試驗設計2.3.1 方差分析方差分析 一、幾個概念一、幾個概念二、單因子方差分析二、單因子方差分析 三、重復數(shù)不等的情況三、重復數(shù)不等的情況一、幾個概念一、幾個概念 在試驗中改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫在試驗中改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫英文字母英文字母A、B、C、等表示。等表示。 因子在試驗中所處的狀態(tài)稱

29、為因子的水平。因子在試驗中所處的狀態(tài)稱為因子的水平。用代表因子的字母加下標表示，記為用代表因子的字母加下標表示，記為A1，A2，Ak。 試驗中所考察的指標（可以是質量特性也可試驗中所考察的指標（可以是質量特性也可以是產(chǎn)量特性或其它）用以是產(chǎn)量特性或其它）用Y表示。表示。Y是一個隨機變是一個隨機變量。量。單因子試驗：單因子試驗：若試驗中所考察的因子只有一個。若試驗中所考察的因子只有一個。例例2.1-1 現(xiàn)有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一種零現(xiàn)有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一種零件，為了了解不同工廠的零件的強度有無明顯的差件，為了了解不同工廠的零件的強度有無明顯的差異，現(xiàn)分別從每一個工廠隨機抽取四個零件測

30、定其異，現(xiàn)分別從每一個工廠隨機抽取四個零件測定其強度，數(shù)據(jù)如表所示，試問三個工廠的零件的平均強度，數(shù)據(jù)如表所示，試問三個工廠的零件的平均強度是否相同？強度是否相同？ 工廠工廠 量件強度量件強度 甲甲 乙乙 丙丙 103 101 98 110 113 107 108 116 82 92 84 86三個工廠的零件強三個工廠的零件強度度 在這一例子中，考察一個因子：在這一例子中，考察一個因子： 因子因子A：工廠：工廠該因子有三個水平：甲、乙、丙該因子有三個水平：甲、乙、丙試驗指標是：零件強度試驗指標是：零件強度 這是一個單因子試驗的問題。每一水平下這是一個單因子試驗的問題。每一水平下的試驗結果構成一

31、個總體，現(xiàn)在需要比較三個總的試驗結果構成一個總體，現(xiàn)在需要比較三個總體均值是否一致。如果每一個總體的分布都是正體均值是否一致。如果每一個總體的分布都是正態(tài)分布，并且各個總體的方差相等，那么比較各態(tài)分布，并且各個總體的方差相等，那么比較各個總體均值是否一致的問題可以用方差分析方法個總體均值是否一致的問題可以用方差分析方法來解決。來解決。二、單因子方差分析二、單因子方差分析 假定因子假定因子A有有r個水平，在個水平，在Ai水平下指標服水平下指標服從正態(tài)分布，其均值為從正態(tài)分布，其均值為 ，方差為，方差為 ，i=1,2, , r。每一水平下的指標全體便構成一個總體，共。每一水平下的指標全體便構成一個

32、總體，共有有r個總體，這時比較各個總體的問題就變成比個總體，這時比較各個總體的問題就變成比較各個總體的均值是否相同的問題了，即要檢驗較各個總體的均值是否相同的問題了，即要檢驗如下假設是否為真：如下假設是否為真：i2r:H 210 當當 不真時，表示不同水平下的指標的不真時，表示不同水平下的指標的均值有顯著差異，此時稱因子均值有顯著差異，此時稱因子A是顯著的，否是顯著的，否則稱因子則稱因子A不顯著。檢驗這一假設的分析方法不顯著。檢驗這一假設的分析方法便是方差分析。便是方差分析。0Hv 方差分析的三個基本假定方差分析的三個基本假定1. 在水平在水平 下，指標服從正態(tài)分布下，指標服從正態(tài)分布 ；iA

33、),(Ni2 2. 在不同水平下，各方差相等；在不同水平下，各方差相等；3. 各數(shù)據(jù)各數(shù)據(jù) 相互獨立。相互獨立。ijy 設在一個試驗中只考察一個因子設在一個試驗中只考察一個因子A，它有，它有r個個水平，在每一水平下進行水平，在每一水平下進行m次重復試驗，其結果用次重復試驗，其結果用 表示，表示，i=1,2, , r。 常常把數(shù)據(jù)列成常常把數(shù)據(jù)列成如下表格形式：如下表格形式：imiiy,y,y21單因子試驗數(shù)據(jù)表單因子試驗數(shù)據(jù)表水平水平試驗數(shù)據(jù)試驗數(shù)據(jù)和和均值均值A1myyy11211,T11yA2myyy22221,T22yArrmrryyy,21Trry 記第記第i水平下的數(shù)據(jù)均值為水平下的

34、數(shù)據(jù)均值為 ，總均值為，總均值為 。此時共有此時共有n=rm個數(shù)據(jù)，這個數(shù)據(jù)，這n個數(shù)據(jù)不全相同，它們個數(shù)據(jù)不全相同，它們的波動（差異）可以用總離差平方和的波動（差異）可以用總離差平方和ST去表示去表示iyy rimjijT)yy(S112記第記第i 水平下的數(shù)據(jù)和為水平下的數(shù)據(jù)和為Ti， ； mjijiyT1引起數(shù)據(jù)波動（差異）的原因不外如下兩個引起數(shù)據(jù)波動（差異）的原因不外如下兩個： 一是由于因子一是由于因子A的水平不同，當假設的水平不同，當假設H0不真不真時，各個水平下指標的均值不同，這必然會使試時，各個水平下指標的均值不同，這必然會使試驗結果不同，我們可以用組間離差平方和來表示驗結果不

35、同，我們可以用組間離差平方和來表示，也稱因子，也稱因子A的離差平方和：的離差平方和： riiAyymS12這里乘以這里乘以m是因為每一水平下進行了是因為每一水平下進行了m次試驗次試驗。 二是由于存在隨機誤差，即使在同一水平二是由于存在隨機誤差，即使在同一水平下獲得的數(shù)據(jù)間也有差異，這是除了因子下獲得的數(shù)據(jù)間也有差異，這是除了因子A的水的水平外的一切原因引起的，我們將它們歸結為隨機平外的一切原因引起的，我們將它們歸結為隨機誤差，可以用組內離差平方和表示：誤差，可以用組內離差平方和表示： rimjiijeyyS112 Se：也稱為誤差的離差平方和：也稱為誤差的離差平方和可以證明有如下平方和分解式：

36、可以證明有如下平方和分解式：eATSSS ST、SA、Se 的自由度分別用的自由度分別用 、 、 表示，它們也有分解式：表示，它們也有分解式： ，其中：，其中：TfAfefeATfff 1 試試驗驗數(shù)數(shù)Tf1 水水平平數(shù)數(shù)AfATefff 因子或誤差的離差平方和與相應的自由度因子或誤差的離差平方和與相應的自由度之比稱為因子或誤差的均方和，并分別記為：之比稱為因子或誤差的均方和，并分別記為：AAAfSMS eeefSMS 兩者的比記為：兩者的比記為：eAMSMSF 當當 時認為在顯著性水平時認為在顯著性水平 上上因子因子A是顯著的。其中是顯著的。其中 是自由度為是自由度為 的的F分布的分布的1-

37、分位數(shù)。分位數(shù)。),(1eAffFF ),(1eAffF eAff ,單因子方差分析單因子方差分析表表 來來源源偏偏差差平平方方和和自自由由度度均均方方和和F比比因因子子A誤誤差差eSASe1 rfArnfe AAAfSMS eeefSMS eAMSMSF 總總計計TST1 nfT各個離差平方和的計算各個離差平方和的計算： nTyyySrimjijrimjijT2112112 r1i22i2ir1iAnTmTyymSATeSSS 其中其中 是第是第i個水平下的數(shù)據(jù)和；個水平下的數(shù)據(jù)和；T表示表示所有所有n=rm個數(shù)據(jù)的總和。個數(shù)據(jù)的總和。 iT進行方差分析的步驟如下：進行方差分析的步驟如下：

38、（1）計算因子）計算因子A的每一水平下數(shù)據(jù)的和的每一水平下數(shù)據(jù)的和T1，T2，Tr及總和及總和T； （2）計算各類數(shù)據(jù)的平方和）計算各類數(shù)據(jù)的平方和 ； 222,TTyiij （3）依次計算）依次計算ST，SA，Se； （4）填寫方差分析表；）填寫方差分析表； （5）對于給定的顯著性水平）對于給定的顯著性水平，將求得的，將求得的F值與值與F分布表中的臨界值分布表中的臨界值 比較，當比較，當 時認為因子時認為因子A是顯著的，否則認為是顯著的，否則認為因子因子A是不顯著的。是不顯著的。 eAffF,1 eAffFF,1 對上例的分析對上例的分析 （1）計算各類和：）計算各類和： 每一水平下的數(shù)據(jù)和

39、為：每一水平下的數(shù)據(jù)和為： 344,444,412321 TTT數(shù)據(jù)的總和為數(shù)據(jù)的總和為T=1200 （2）計算各類平方和：）計算各類平方和： 原始數(shù)據(jù)的平方和為：原始數(shù)據(jù)的平方和為： 1214922ijy每一水平下數(shù)據(jù)和的平方和為每一水平下數(shù)據(jù)和的平方和為 4852162 iT（3）計算各離差平方和：）計算各離差平方和： ST=121492-12002/12=1492， fT=34-1=11SA=485216/4-12002/12=1304, fA=3-1=2Se= 1492-1304=188, fe=11-2=9（4）列方差分析表：）列方差分析表： 例例2.1-1的方差分析表的方差分析表

40、來源來源偏差平方和偏差平方和自由度自由度均方和均方和F比比因子因子A1304AS2Af652 AMSF=31.21誤差誤差e188eS9ef920.MSe 總計總計T1492TS11Tf（5） 如果給定如果給定 =0.05，從，從F分布表查得分布表查得 26. 4)9 , 2(95. 0 F 由于由于F4.26，所以在，所以在 =0.05水平上結論是因水平上結論是因子子A是顯著的。這表明不同的工廠生產(chǎn)的零件強是顯著的。這表明不同的工廠生產(chǎn)的零件強度有明顯的差異。度有明顯的差異。 當因子當因子A是顯著時，我們還可以給出每一是顯著時，我們還可以給出每一水平下指標均值的估計，以便找出最好的水平。水平

41、下指標均值的估計，以便找出最好的水平。在單因子試驗的場合，第在單因子試驗的場合，第i個水平指標均值的估個水平指標均值的估計為：計為： iiy ， ri, 2 , 1 在本例中，三個工廠生產(chǎn)的零件的平均強度在本例中，三個工廠生產(chǎn)的零件的平均強度的的估計分別為：的的估計分別為： 86,111,103321 由此可見，乙廠生產(chǎn)的零件的強度的均值由此可見，乙廠生產(chǎn)的零件的強度的均值最大，如果我們需要強度大的零件，那么購買最大，如果我們需要強度大的零件，那么購買乙廠的為好；而從工廠來講，甲廠與丙廠應該乙廠的為好；而從工廠來講，甲廠與丙廠應該設法提高零件的強度。設法提高零件的強度。 誤差方差的估計：這里方

42、差誤差方差的估計：這里方差 的估計是的估計是MSe。在本例中：。在本例中： 的估計是的估計是20.9。 2 2 的估計是的估計是 57. 49 .20 例例2.1-2 略（見教材略（見教材P92）三、重復數(shù)不等的情況三、重復數(shù)不等的情況 若在每一水平下重復試驗次數(shù)不同，假定若在每一水平下重復試驗次數(shù)不同，假定在在Ai水平下進行水平下進行 次試驗，那么進行方差分次試驗，那么進行方差分析的步驟仍然同上，只是在計算中有兩個改動析的步驟仍然同上，只是在計算中有兩個改動： im imnnTmTSriiiA212 例例2.1-3 某型號化油器原中小喉管的結構使某型號化油器原中小喉管的結構使油耗較大，為節(jié)約

43、能源，設想了兩種改進方案以油耗較大，為節(jié)約能源，設想了兩種改進方案以降低油耗。油耗的多少用比油耗進行度量，現(xiàn)在降低油耗。油耗的多少用比油耗進行度量，現(xiàn)在對用各種結構的中小喉管制造的化油器分別測定對用各種結構的中小喉管制造的化油器分別測定其比油耗，數(shù)據(jù)如表所列，試問中小喉管的結構其比油耗，數(shù)據(jù)如表所列，試問中小喉管的結構（記為因子（記為因子A）對平均比油油耗的影響是否顯著）對平均比油油耗的影響是否顯著。（這里假定每一種結構下的油耗服從等方差的。（這里假定每一種結構下的油耗服從等方差的正態(tài)分布）正態(tài)分布） 例例2.1-3的試驗結果的試驗結果 水平水平試驗結果（比油耗試驗結果（比油耗-220）A1：

44、原結構：原結構11.0 12.8 7.6 8.3 4.7 5.5 9.3 10.3A2：改進方案：改進方案12.8 4.5 -1.5 0.2A3：改進方案：改進方案24.3 6.1 1.4 3.6 （為簡化計算，這里一切數(shù)據(jù)均減去（為簡化計算，這里一切數(shù)據(jù)均減去220，不，不影響影響F比的計算及最后分析因子的顯著性）比的計算及最后分析因子的顯著性） （1）各水平下的重復試驗次數(shù)及數(shù)據(jù)和分別為：）各水平下的重復試驗次數(shù)及數(shù)據(jù)和分別為： A1：m1=8,T1=69.5A2：m2=4,T2=6.0A3：m3=4,T3=15.4總的試驗次數(shù)總的試驗次數(shù)n=16，數(shù)據(jù)的總和為，數(shù)據(jù)的總和為T=90.9

45、（2）計算各類平方和：）計算各類平方和： 41.7572 ijy07.6722 iimT43.5162 nT（3）計算各離差平方和：）計算各離差平方和： ST=757.41-516.43=240.98， fT=16-1=15SA=672.07-516.43=155.64, fA=3-1=2Se= 240.98-155.64=85.34, fe=15-2=13（4）列方差分析表：）列方差分析表： 例例2.1-3方差分析表方差分析表 來來源源偏偏差差平平方方和和自自由由度度均均方方和和F 比比因因子子 A64.155 AS2 Af8277.MSA 86.11 F誤誤差差 e34.85 eS13 e

46、f566.MSe 總總計計 T98.240 TS15 Tf（5） 如果給定如果給定 =0.05，從，從F分布表查得分布表查得 81. 3)13, 2(95. 0 F 由于由于F3.81，所以在，所以在=0.05水平上我們水平上我們的結論是因子的結論是因子A是顯著的。這表明不同的中小是顯著的。這表明不同的中小喉管結構生產(chǎn)的化油器的平均比油耗有明顯喉管結構生產(chǎn)的化油器的平均比油耗有明顯的差異。的差異。 我們還可以給出不同結構生產(chǎn)的化油器的平我們還可以給出不同結構生產(chǎn)的化油器的平均比油耗的估計：均比油耗的估計： 69.22822069. 81 50.22122050. 12 85.22322085.

47、 33 這里加上這里加上220是因為在原數(shù)據(jù)中減去了是因為在原數(shù)據(jù)中減去了220的緣故。的緣故。 由此可見，從比油耗的角度看，兩種改進由此可見，從比油耗的角度看，兩種改進結構都比原來的好，特別是改進結構結構都比原來的好，特別是改進結構1。 在本例中誤差方差的估計為在本例中誤差方差的估計為6.56，標準差，標準差的估計為的估計為2.56。 2.3.2 回歸分析回歸分析 例例2.2-1 合金的強度合金的強度y與合金中的碳含量與合金中的碳含量x有有關。為了生產(chǎn)出強度滿足顧客需要的合金，在冶關。為了生產(chǎn)出強度滿足顧客需要的合金，在冶煉時應該如何控制碳含量？如果在冶煉過程中通煉時應該如何控制碳含量？如果

48、在冶煉過程中通過化驗得到了碳含量，能否預測合金的強度？過化驗得到了碳含量，能否預測合金的強度？ 這時需要研究兩個變量間的關系。首先是這時需要研究兩個變量間的關系。首先是收集數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2, ,n?，F(xiàn)從生產(chǎn)中收集到?，F(xiàn)從生產(chǎn)中收集到表表2.2-1所示的數(shù)據(jù)。所示的數(shù)據(jù)。 表表2.2-1 數(shù)據(jù)表數(shù)據(jù)表 序號序號xy10.1042.020.1143.530.1245.040.1345.550.1445.060.1547.570.1649.080.1753.090.1850.0100.2055.0110.2155.0120.2360.0一、散布圖一、散布圖 6050400.15

49、0.200.10 xy例例2.2-1的散布圖的散布圖 二、相關系數(shù)二、相關系數(shù) 1相關系數(shù)的定義相關系數(shù)的定義 在散布圖上在散布圖上 n 個點在一條直線附近，但又個點在一條直線附近，但又不全在一條直線上，稱為兩個變量有線性相關不全在一條直線上，稱為兩個變量有線性相關關系，可以用相關系數(shù)關系，可以用相關系數(shù) r 去描述它們線性關系去描述它們線性關系的密切程度的密切程度 yyxxxyLLLr 其中其中 nTTyxyyxxLyxiiiixy)( nTxxxLxiixx222 nTyyyLyiiyy222 iyixyTxT,性質：性質： 1 r 表示表示n個點在一條直線上，這時兩個點在一條直線上，這時

50、兩個變量間完全線性相關。個變量間完全線性相關。 1r r0表示當表示當x增加時增加時y也增大，稱為正相關也增大，稱為正相關 r0.576，說明兩個變量間有（正）線性相關關系。，說明兩個變量間有（正）線性相關關系。 576. 0)10(975. 0 r四、一元線性回歸方程四、一元線性回歸方程 1. 一元線性回歸方程的求法：一元線性回歸方程的求法： 一元線性回歸方程的表達式為一元線性回歸方程的表達式為 bxay 其中其中a與與b使下列離差平方和達到最小使下列離差平方和達到最?。?2)(),(iibxaybaQ通過微分學原理，可知通過微分學原理，可知 xxxyLLb ， xbya 稱這種估計為最小二

51、乘估計。稱這種估計為最小二乘估計。 b 稱為回歸系數(shù)；稱為回歸系數(shù)；a一般稱為常數(shù)項。一般稱為常數(shù)項。 求一元線性回歸方程的步驟如下：求一元線性回歸方程的步驟如下： （1）計算變量）計算變量x與與y的數(shù)據(jù)和的數(shù)據(jù)和Tx，Ty；（2）計算各變量的平方和與乘積和；）計算各變量的平方和與乘積和；（3）計算）計算Lxx,Lxy；（4）求出）求出b與與a；利用前面的數(shù)據(jù)，可得：利用前面的數(shù)據(jù)，可得： b=2.4392/0.0186=130.6022 a=590.5/12-130.6022 1.90/12=28.5297 （5）寫出回歸方程：）寫出回歸方程： xy6022.1305340.28 畫出的回歸

52、直線一定通過（畫出的回歸直線一定通過（0，a）與）與 兩點兩點 ),(yx上例：上例： bxay 或或 xxbyy 2. 回歸方程的顯著性檢驗回歸方程的顯著性檢驗 有兩種方法：有兩種方法： 一是用上述的相關系數(shù)；一是用上述的相關系數(shù)； 二是用方差分析方法（為便于推廣到多元二是用方差分析方法（為便于推廣到多元線性回歸的場合），將總的離差平方和分解成線性回歸的場合），將總的離差平方和分解成兩個部分：回歸平方和與離差平方和。兩個部分：回歸平方和與離差平方和。 總的離差平方和：總的離差平方和： 2yySiT回歸平方和：回歸平方和： xyiRbLyyS 2離差平方和：離差平方和： RTiiESSyyS

53、2且有且有ST=SR+SE，其中，其中 iibxay 它們的自由度分別為：它們的自由度分別為： fT=n-1，fR=1，fE=n-2=fT-fR 計算計算F比，比， EERRfSfSF/ 對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平 ，當，當 時認為回歸方程是顯著的，即回歸方程是有意時認為回歸方程是顯著的，即回歸方程是有意義的。一般也列成方差分析表。義的。一般也列成方差分析表。 )2, 1(1 nFF 對上面的例子，作方差分析的步驟如下：對上面的例子，作方差分析的步驟如下： 根據(jù)前面的計算根據(jù)前面的計算 （1）計算各類平方和：）計算各類平方和： ST=Lyy=335.2292， fT=12-1=11S

54、R=bLxy=130.60222.4292=317.2589，fR=1SE=335.2292-317.2589=17.9703， fE=11-1=10 （2）列方差分析表：）列方差分析表： 例例2.2-1的方差分析表的方差分析表 來源來源 偏差平方和偏差平方和自由度自由度均方和均方和F比比回歸回歸317.25891317.2589 176.55殘差殘差17.9703101.7970T335.229211對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平 =0.05，有，有 F0.95(1,10)=4.96 由于由于F4.96，所以在，所以在0.05水平上認為回歸水平上認為回歸方程是顯著的（有意義的）。方程是

55、顯著的（有意義的）。 3利用回歸方程進行預測利用回歸方程進行預測 對給定的對給定的 ，y的預測值為的預測值為 0 xx 00bxay 1概率為概率為 的的y的預測區(qū)間是的預測區(qū)間是 ),(00 yy其中其中 xxLxxnnt2021112 EEfS 當當n較大，較大， 與與 相差不大，那么可給出相差不大，那么可給出近似的預測區(qū)間，此時近似的預測區(qū)間，此時 0 xx21 u進行預測的步驟如下：進行預測的步驟如下： （1）對給出的）對給出的x0求預測值求預測值 上例，設上例，設x0 =0.16，則，則 43.4916. 06022.1305364.280 y（2）求）求 的估計的估計 上例有上例有

56、 34. 1109703.17 （3）求）求 上例上例n=12，如果求概率為，如果求概率為95%的預測區(qū)的預測區(qū)間，那么間，那么t0.975(10)=2.228，所以，所以 11. 30186. 0)1583. 016. 0(1211228. 234. 12 （4）寫出預測區(qū)間）寫出預測區(qū)間 ),(00 yy上例為上例為(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54) 由于由于u0.975=1.96，故概率為，故概率為0.95的近似的預測的近似的預測區(qū)間為：區(qū)間為：63. 234. 196. 1 所求區(qū)間：所求區(qū)間：（49.43-2.63，49.43+2.63）=（4

57、6.80，52.06） 相差較大的原因總相差較大的原因總n較小。較小。四、可化為一元線性回歸的曲線回歸四、可化為一元線性回歸的曲線回歸 在兩個重復的散布圖上，在兩個重復的散布圖上，n個點的散布不一個點的散布不一定都在一條直線附近波動，有時可能在某條曲線定都在一條直線附近波動，有時可能在某條曲線附近波動，這時以建立曲線回方程為好。附近波動，這時以建立曲線回方程為好。 1. 確定曲線回歸方程形式確定曲線回歸方程形式 2. 曲線回歸方程中參數(shù)的估計曲線回歸方程中參數(shù)的估計 通過適當?shù)淖儞Q，化為一元線性回歸的形通過適當?shù)淖儞Q，化為一元線性回歸的形式，再利用一元線性回歸中的最小二乘估計方式，再利用一元線

58、性回歸中的最小二乘估計方法獲得。法獲得。 回歸曲線的形式：回歸曲線的形式：（1） ，（，（a0，b0） xbay11 （2） ，（，（b0） )lg(xbay （3） ，（，（b0） xbay （4） ，（，（b0） xbay/exp100 3. 曲線回歸方程的比較曲線回歸方程的比較 常用的比較準則：常用的比較準則： （1）要求相關指數(shù)）要求相關指數(shù)R大，其平方也稱為決大，其平方也稱為決定系數(shù)，它被定義為：定系數(shù)，它被定義為： 222)(1yyyyRiii（2）要求剩余標準差）要求剩余標準差s小，它被定義為：小，它被定義為： 2n)y y(s2ii 2.3.3 試驗設計試驗設計 一、試驗設計的

59、基本概念與正交表一、試驗設計的基本概念與正交表 （一）試驗設計（一）試驗設計 多因素試驗遇到的最大困難是試驗次數(shù)太多因素試驗遇到的最大困難是試驗次數(shù)太多，若十個因素對產(chǎn)品質量有影響，每個因素取多，若十個因素對產(chǎn)品質量有影響，每個因素取兩個不同狀態(tài)進行比較，有兩個不同狀態(tài)進行比較，有210=1024、如果每個、如果每個因素取三個不同狀態(tài)因素取三個不同狀態(tài)310=59049個不同的試驗條個不同的試驗條件件 選擇部分條件進行試驗，再通過數(shù)據(jù)分選擇部分條件進行試驗，再通過數(shù)據(jù)分析來尋找好的條件，這便是試驗設計問題。通過析來尋找好的條件，這便是試驗設計問題。通過少量的試驗獲得較多的信息，達到試驗的目的。

60、少量的試驗獲得較多的信息，達到試驗的目的。 利用正交表進行試驗設計的方法就是正交利用正交表進行試驗設計的方法就是正交試驗設計。試驗設計。 （二）正交表（二）正交表 493L試驗號列號試驗號列號1 12 23 34 41 11 11 11 11 12 21 12 22 22 23 31 13 33 33 34 42 21 12 23 35 52 22 23 31 16 62 23 31 12 27 73 31 13 32 28 83 32 21 13 39 93 33 32 21 1 “L”表示正交表，表示正交表，“9”是表的行數(shù)，在試是表的行數(shù)，在試驗中表示試驗的條件數(shù)，驗中表示試驗的條件數(shù)，