小波分析與實例

1、小波分析小波分析講解傅里葉變換與小波分析小波分析的基本知識多尺度分析與Mallat算法小波分析的應用1、傅里葉變換與小波分析小波分析是近年來迅速發(fā)展起來的一個數(shù)學分支。除了在數(shù)學學科本身中的價值外，小波分析在許多非數(shù)學的領域也有著廣泛的應用。1、傅里葉變換與小波分析一、傅里葉變換 對于平穩(wěn)信號，做完FFT（快速傅里葉變換）后，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。1、傅里葉變換與小波分析頻率隨著時間變化的非平穩(wěn)信號，進行FFT后：如左圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩(wěn)信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三

2、個時域上有巨大差異的信號，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩(wěn)信號，我們從頻譜上無法區(qū)分它們，因為它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同。1、傅里葉變換與小波分析 可見，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現(xiàn)的時刻并無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。然而平穩(wěn)信號大多是人為制造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學信號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣簡單的方法。事件相關電位股市折線圖1、傅里葉變換與小波分析加窗傅里葉變換（短時傅里葉變換STFT）

3、1、傅里葉變換與小波分析窗劃分太窄，窗內(nèi)的信號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。窗劃分太寬，時域上又不夠精細，時間分辨率低。1、傅里葉變換與小波分析小波定義：小波動性：0)(dxx小波的小波的3 個特點個特點小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個數(shù)量級。信號長度為M時， Fourier變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式：MOMMOwf,log21、傅里葉變換與小波分

4、析1、傅里葉變換與小波分析小波運算的步驟（1）選擇小波函數(shù)，并與分析信號起點對齊；（2）計算在這一時刻要分析信號與小波函數(shù)的逼近程度，即小波變換系數(shù)C。C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數(shù)波形越相近；（3）將小波函數(shù)沿時間軸右移一個單位時間，然后重復（1）、（2）步驟，求出變換系數(shù)C，直到覆蓋整個信號長度；小波運算的步驟 （4）將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個單位，然后重復步驟（1）、（2）、（3）； （5）對所有的伸縮尺度重復步驟（1）、（2）、（3）、（4）。2、小波分析的基本知識小波基礎術語小波基礎術語:緊支撐緊支撐:對于函數(shù)f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內(nèi)，f(x)能取到

5、值；而在此之外，f(x)取值為0。 那么這個函數(shù)f(x)就是緊支撐函數(shù)，而這個0附近的取值范圍就叫做緊支撐集。 比如：在(-1,1)之間的高斯函數(shù)。L（R）:滿足 成立的自變量為實數(shù)的實值或復值函數(shù)f的全體。 L（0,2）：f（x+2）=f（x），dttf2)(dttf202)(2、小波分析的基本知識小波定義： 設L（R）L（R），在R上不幾乎處處為0，且滿足 則稱為小波。其中 為的傅里葉變換。dtetit)(21)(d| )( |C22、小波分析的基本知識 abtatba21, 0,RaRb 稱為依賴參數(shù)a，b的連續(xù)小波，叫基本小波或小波。若是窗函數(shù)，就叫為窗口小波函數(shù)，一般我們恒假定為窗口

6、小波函數(shù)。2、小波分析的基本知識a為尺度參數(shù)2、小波分析的基本知識b為位移參數(shù)2、小波分析的基本知識小波正變換：小波逆變換： dtttfbaWbaf)()(),(),()()(2RLtf2),()(),(1)(adadbtbaWCtfbaf 是f（t）在函數(shù) 上的投影。),(baWf)(),(tba一維連續(xù)小波的例子：1. Haar小波：2021-7-1021 others 01t1/2 1,-1/2t0 1,(t), Haar小波是一組相互正交的函數(shù)集，是一個最簡單的時域不連續(xù)的二進小波，Haar的應用十分廣泛，常用與圖像處理。一維連續(xù)小波的例子2. Mexico草帽小波：2021-7-10

7、222t -2412)t-(132(t)/e 草帽函數(shù)又稱為Marr小波。其在時域、頻域都有很好的局部特性，但它的正交性尺度函數(shù)不存在，主要用于信號處理和邊緣檢測。一維連續(xù)小波的例子：3. Morlet小波：2021-7-10232-ttj2(t)/ee 式中，i表示虛數(shù)，w表示常數(shù)。Morlet小波不具有正交性的同時也不具有緊支集。其特點是能夠獲取信號中的幅值和相應的信息，廣泛應用于地球物理信號處理中。Daubechies(dbN)小波系（多貝西） 多貝西小波是以英格麗多貝西的名字命名的一種小波函數(shù)，多貝西小波主要應用在離散型的小波轉(zhuǎn)換，是最常使用到的小波變換。多貝西小波是一種正交小波，所以

8、它很容易進行正交變換。 對于有限長度的小波，應用于快速小波變換時，會有兩個實數(shù)組成的數(shù)列：一是作為高通濾波器的系數(shù)，稱作小波濾波器；二是低通濾波器的系數(shù)，稱為調(diào)整濾波器（尺度濾波器）。 我們通常以濾波器長度N來形容濾波器為dbN，例如N=2的多貝西小波寫作db2；N=4的多貝西小波寫作db4。Daubechies(dbN)小波系（多貝西）圖1.4小波函數(shù)表小波函數(shù)表2、小波分析的基本知識連續(xù)小波變換 這就是信號f(t)的連續(xù)小波變換公式，其中參數(shù)a和b都是連續(xù)變化的參數(shù)，a為尺度參數(shù)（在某種意義上就是頻率的概念），b是時間參數(shù)或平移參數(shù)。不嚴謹?shù)刂v，Wf(a,b)指的是對信號f(t)進行小波變

9、換后當頻率為a時間為b時的變換值?？梢钥闯?，一維信號f(t)經(jīng)過小波變換后將變成二維信號。2、小波分析的基本知識連續(xù)小波變換例：已知一信號f(t)3sin(100t)2sin(68t)5cos(72t)，且該信號混有白噪聲，對該信號進行連續(xù)小波變換。小波函數(shù)取db3，尺度為1、1.2、1.4、1.6、3。其MATLAB程序如下：t0：0.01：1；f3*sin(100*pi*t)2*sin(68*pi*t)5*cos(72*pi*t)randn(1，length(t)；coefscwt(f，1：0.2：3，db3，plot)；title(對不同的尺度小波變換系數(shù)值)；Ylabel(尺度)；Xl

10、abel(時間)；2、小波分析的基本知識連續(xù)小波變換 小波變換的系數(shù)如圖所示的灰度值圖表征，橫坐標表示變換系數(shù)的系號，縱坐標表示尺度，灰度顏色越深，表示系數(shù)的值越大。離散小波變換：在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論一下連續(xù)小波a，b(t)和連續(xù)小波變換Wf(a，b)的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間變量t的。 在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)這里，bR，aR，且a0，是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)?、小波分析的基本知識離散小波變換)()(2/1,abtatba

11、d)(0C2、小波分析的基本知識二進小波變換2、小波分析的基本知識二進小波變換定義：設yj，k(t)L2(R)，且滿足(1.64)由此得到的小波j，k(t)稱為二進正交小波。 2( )1j Z R*22d)2()(21)(),()(tkttfktfkfWjjjjZ22Z22d)2()()()()(jjjkktxfWtkfWtfjjjj3、多尺度分析與Mallat算法多分辨分析 為了改變信號的分辨率使得人們可以根據(jù)特定的目標處理相關的細節(jié)，1983年，P.J.Burt與E.A.Adelson在計算機視覺的應用中引進了一個能夠處理低分辨率圖像，同時根據(jù)需要進一步提高圖像分辨率的多分辨率Laplac

12、e塔式算法。1986年Mallat和Meyer構(gòu)造了多分辨分析公式。隨著多分辨分析的出現(xiàn)，構(gòu)造小波的困難得到了較圓滿的解決。為了對信號進行較高分辨率的處理，需要一種所謂的“增量信息”。為此，Mallat選用正交小波基作為對“增量信息”進行數(shù)學描述，并最終發(fā)展成為了多分辨分析。3、多尺度分析與Mallat算法3、多尺度分析與Mallat算法參考：M. Vetterli,”Wavelets and Subband Coding “, Prentice Hall PTR, 1995 p.113、多尺度分析與Mallat算法濾波器族：下圖是一系列帶通濾波器的頻域圖3、多尺度分析與Mallat算法一個信

13、號離散信號x(n)經(jīng)過這一系列帶通濾波器濾波后，將得到一組系數(shù)Vi(n)。如下圖所示：這樣，我們就把一個信號分解成了不同頻率的分量。只要這些帶通濾波器的頻率能夠覆蓋整個原信號x(n)的頻譜范圍，反變換時，把這些不同頻率信號，按其分量大小組合起來，就可得到原信號x(n)。這樣一組帶通濾波器就稱為濾波器族。3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族能實現(xiàn)將信號分為不同頻率分量，從而實現(xiàn)分解信號并分析信號的目的。但是在濾波器族的計算中，我們需要指定頻域分割方式。研究者們給出了一種分割方式，即均分法，從而引出了子帶編碼的概念。子帶編碼通過使用均分頻域的濾波器，將信號分解為若干個子帶。這樣是可以實現(xiàn)無冗余

14、且無誤差地對數(shù)據(jù)分解及重建目的。但是Mallat在1989年的研究表明，如果只分為2個子帶，可以實現(xiàn)更高效的分解效率。從而引入了多分辨率分析（MRA）。3、多尺度分析與Mallat算法多分辨率分析： 如果子帶編碼時將信號帶寬先對分為高通（實際為帶通）和低通兩個部分，對應于兩個濾波器。然后對低通部分繼續(xù)等分。下圖為子帶編碼示意圖。3、多尺度分析與Mallat算法 從圖中看出，每次分割保留高通部分的濾波結(jié)果，因為這里已經(jīng)是信號的細節(jié)了，而且通常我們分析的信號，其絕大部分能量都在低頻部分。所以高頻部分的分割可以到此為止，但是低通部分仍然有更多的細節(jié)可以劃分劃分出來，所以將低通部分繼續(xù)等分。分割迭代進

15、行。 這樣做的優(yōu)點是，我們只需要設計兩個濾波器，然后每次迭代將其對分。缺點是，頻域的分割方式確定。對于某些信號來說，這樣的劃分并不是最優(yōu)的。3、多尺度分析與Mallat算法 這里仍然有個問題。每次都將頻譜分為剩下的一半，那實際上，我們永遠也取不到整個頻段。就好比一杯水，每次都只許喝一半，那將永遠無法把它完全喝完。所以，這樣分割后的函數(shù)仍然是無限多的。為解決這個問題，終于引出了我們最初想討論的尺度函數(shù)的概念。 在上圖中，我們對頻域進行分割，當分割到某個頻率j時，不再繼續(xù)分割了，剩下的所有低頻部分由一個低通濾波器來表示，這就可以實現(xiàn)對信號頻譜的完整分割。這個剩余低通濾波器就是尺度函數(shù)。事實上，很容

16、易看出，尺度函數(shù)無非就是某級多分辨率分析中的低通濾波器。也就是圖中最下面一級的LP。3、多尺度分析與Mallat算法load noissinc = cwt(noissin,1:48,db4);c = cwt(noissin,1:48,db4,plot);c = cwt(noissin,2:2:128,db4,plot);3、多尺度分析與Mallat算法3、多尺度分析與Mallat算法 SA3D3D2D1 設以Vj表示圖1.17分解中的低頻部分Aj，Wj表示分解中的高頻部分Dj，則Wj是Vj在Vj1中的正交補，即)(1ZjVWVjjjmjmjjjjVWWWV13、多尺度分析與Mallat算法 S

17、A3D3D2D1 若令fjVj代表分辨率為2j的函數(shù)fL2(R)的逼近(即函數(shù) f 的低頻部分或“粗糙像”)，而djWj代表逼近的誤差(即函數(shù) f 的高頻部分或“細節(jié)”部分)，則上式意味著：fNf1fdf2d2d1fN-1dN1d2d1 所以上式可簡寫為 這表明，任何函數(shù) fL2(R)都可以根據(jù)分辨率為2N時 f 的低頻部分(“粗糙像”)和分辨率2j(1 j N)下f的高頻部分(“細節(jié)”部分)完全重構(gòu)，這恰好是著名Mallat塔式重構(gòu)算法的思想。NiiNdff13、多尺度分析與Mallat算法小波重構(gòu) Mallat算法中僅僅對低頻系數(shù)進行分解，但是對于有些信號來說，對高頻系數(shù)進行分解更加合適。

18、小波包分解即將低頻系數(shù)和高頻系統(tǒng)都進行同樣的分解，然后選取一個最合適的分解路徑。然后通過構(gòu)建一個代價函數(shù)求來對于路徑進行評價，選取最優(yōu)路徑。3、多尺度分析與Mallat算法4、小波分析的應用小波的信號分解與求頻小波在圖像壓縮中的應用小波變換在圖像去噪與圖像增強中的應用機械故障診斷小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測4,小波的應用小波的信號分解與求頻clear all clcfs=1024; %采樣頻率f1=100; %信號的第一個頻率f2=300; %信號第二個頻率t=0:1/fs:1;s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %生成混合信號tt=wpdec(s,3,dmey); %小波包

19、分解，3代表分解3層plot(tt) wpviewcf(tt,1); 4,小波的應用小波的信號分解與求頻65-128Hz257-320Hz4,小波的應用小波在圖像壓縮中的應用 小波變換的基本思想是用一組小波或基函數(shù)表示一個函數(shù)或信號，例如圖像信號。以哈爾（Haar）小波基函數(shù)為例，基本哈爾小波函數(shù)（Haar wavelet function）定義如下： 1, 當0 x1/2 (x) = -1, 當1/2x350) c(I)=2*c(I); else c(I)=0.5*c(I); endendnx=waverec2(c,s,sym4);%分解系數(shù)重構(gòu)subplot(122);image(nx);

20、title(增強圖像)%畫出增強圖像4,小波的應用機械故障診斷當機械運行發(fā)生故障時，其振動信號中往往是首先出現(xiàn)相應的瞬態(tài)脈沖波形。能否及時準確地予以捕捉分析，常常是能否及時發(fā)現(xiàn)故障，采用相應對策，避免出現(xiàn)重大損失的先決條件。傳統(tǒng)的傅里葉分析和時域分析由于需要的數(shù)據(jù)量較大，難以及時作出有效的診斷，而小波分析具有良好的時域定位特征，只需要少數(shù)數(shù)據(jù)就可以對振動信號在時域和頻域進行定量分析，從而為及時發(fā)現(xiàn)故障提供了一種有力的分析手段。4,小波的應用機械故障診斷齒輪裂紋和斷裂41%齒面疲勞31%齒面擦傷和劃痕10%齒面磨損10%其他故障類型8%4,小波的應用機械故障診斷clc; clear all; c

21、lose all;load leleccum; % 載入信號數(shù)據(jù)s = leleccum;Len = length(s);ca1, cd1 = dwt(s, db1); % 采用db1小波基分解a1 = upcoef(a, ca1, db1, 1, Len); % 從系數(shù)得到近似信號d1 = upcoef(d, cd1, db1, 1, Len); % 從系數(shù)得到細節(jié)信號s1 = a1+d1; % 重構(gòu)信號figure;subplot(2, 2, 1); plot(s); title(源信號);subplot(2, 2, 2); plot(ca1); title(一層小波分解的低頻信息);su

22、bplot(2, 2, 3); plot(cd1); title(一層小波分解的高頻信息);subplot(2, 2, 4); plot(s1, r-); title(一層小波分解的重構(gòu)信號);4,小波的應用機械故障診斷4,小波的應用小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測 神經(jīng)網(wǎng)絡引入預測領域使得預測理論及方法產(chǎn)生了質(zhì)的飛越。目前神經(jīng)網(wǎng)絡具有分布式、聯(lián)想。記憶和很強的泛化能力，以及自學習和容錯性可以以任意精度逼近非線性函數(shù)等優(yōu)點。 但是，神經(jīng)網(wǎng)絡應用于預測中存在如下問題： 難以確定網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)； 訓練速度較慢； 容易陷入局部次優(yōu)點等。4,小波的應用小波神經(jīng)網(wǎng)絡預測小波方法與神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)合的方法有兩種：一種是先通過小波對網(wǎng)絡流量時間序列進行小波分解，得到小波變換尺度系數(shù)序列和小波系數(shù)序列，然后輸入到一個神經(jīng)網(wǎng)絡中加以訓練得到預測。二是把神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層的傳輸函數(shù)用小波函數(shù)代替，這樣從本質(zhì)上改變了預測模型的結(jié)構(gòu)，在不影響預測精度的前提下，大大縮短了模型的訓練時間，提高了訓練速度，克服了神經(jīng)網(wǎng)絡容易陷入局部次優(yōu)點的缺點，而且把神經(jīng)網(wǎng)絡隱含層的傳輸函數(shù)用小波函數(shù)代替、算法易實現(xiàn)和推廣。4,小波的應用小