高考排列組合-拔高難度-講義(1)

1、排列組合一、排列1.排列：一般地，從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列（其中被取的對(duì)象叫做元素）2.排列數(shù)：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示3.排列數(shù)公式：，并且4.全排列：一般地，個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列5.的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示規(guī)定：二、組合1.組合：一般地，從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素中任取個(gè)元素的一個(gè)組合2.組合數(shù)：從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元

2、素的組合數(shù)，用符號(hào)表示3.組合數(shù)公式：，并且組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：；（規(guī)定）三、排列組合一些常用方法1.特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2.分類(lèi)分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，常需要分類(lèi)討論或分步計(jì)算，一定要做到分類(lèi)明確，層次清楚，不重不漏3.排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法4.捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列5.插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素

3、插空6.插板法：個(gè)相同元素，分成組，每組至少一個(gè)的分組問(wèn)題把個(gè)元素排成一排，從個(gè)空中選個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有7.分組、分配法：分組問(wèn)題（分成幾堆，無(wú)序）有等分、不等分、部分等分之別一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個(gè)數(shù)相等，必須除以！8.錯(cuò)位法：編號(hào)為1至的個(gè)小球放入編號(hào)為1到的個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱(chēng)為錯(cuò)位排列，特別當(dāng)，3，4，5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1，2，9，44關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問(wèn)題四、實(shí)際問(wèn)題的解題策略1.排列與組合應(yīng)用題三種解決途徑：元素分析法：以元素為主，

4、應(yīng)先滿(mǎn)足特殊元素的要求，再考慮其他元素；位置分析法：以位置為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再考慮其他位置；間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)注意：求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題；再通過(guò)分析確定運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是 分步計(jì)數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；最后列出式子計(jì)算作答2.具體的解題策略有：對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排；理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類(lèi)，分類(lèi)后要驗(yàn)證是否不重不漏；對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問(wèn)題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)；對(duì)于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對(duì)于元素間隔排列的問(wèn)題，采取插空法或隔板法；順序

5、固定的問(wèn)題用除法處理；分幾排的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直排問(wèn)題處理；對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮反面對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問(wèn)題，需要構(gòu)造模型 典型例題一選擇題（共2小題）1（2018合肥三模）如圖，給7條線(xiàn)段的5個(gè)端點(diǎn)涂色，要求同一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有（）A24B48C96D120【解答】解：第一類(lèi)：若A，D相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有一種涂法，共有432=24種，第二類(lèi)，若A，D不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當(dāng)B和D相同時(shí)，C有1種涂法，當(dāng)B和D不同時(shí)，B，C只有一種

6、涂法，共有432（1+1）=48種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得，共有24+48=72種，故選：C2（2018大荔縣模擬）如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，要求在每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A64B72C84D96【解答】解：分兩種情況：（1）A、C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B、D有1種，有432=24種；（2）A、C同色，先涂A有4種，E有3種，E有2種，B、D各有2種，有4322=48種共有72種，故選：B二解答題（共16小題）3（2018春金鳳區(qū)校級(jí)期末）有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的科代表，求分別符合下

7、列條件的選法數(shù)：（1）有女生但人數(shù)必須少于男生；（2）某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表；（用數(shù)字回答）【解答】解：（1）先取后排，女生1人男生4人，女生2人男生3人，共有C31C54+C32C53，再把從中選出5人擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的科代表有A55，故共有（C31C54+C32C53）A55=5400種，（2）先安排這一名男生，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選4人安排剩下的4門(mén)學(xué)科，共有C41A74=3360種4（2018春歷下區(qū)校級(jí)期中）某學(xué)習(xí)小組有3個(gè)男生和4個(gè)女生共7人：（1）將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？（2）將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？（

8、3）從中選出2名男生和2名女生分別承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有多少種選派方法？（4）現(xiàn)有7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)女生就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法共有多少種？【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，將3個(gè)男生全排列，有A33種排法，排好后有4個(gè)空位，將4名女生全排列，安排到4個(gè)空位中，有A44種排法，則一共有A33A44=144種排法；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：，男生甲在最右邊，有A66=720，男生甲不站最左邊也不在最右邊，有A51A51A55=3000，則有720+30003720種排法；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，在3名男生中選取2名男生，4名女生中選取2名女生，有C3

9、2C42種選取方法，將選出的4人全排列，承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有A44種情況，則有C32C42A44=432種不同的安排方法；（4）根據(jù)題意，7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)女生就座，還有3個(gè)空座位，分2步進(jìn)行分析：，將4名女生全排列，有A44種情況，排好后有5個(gè)空位，將3個(gè)空座位分成2、1的2組，在5個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2組空座位，有A52種情況，則有A44A52=480種排法5（2017春林芝地區(qū)期末）4個(gè)男生，3個(gè)女生站成一排（必須寫(xiě)出算式再算出結(jié)果才得分）（）3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同的排法？（）任何兩個(gè)女生彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（）甲乙二人之間恰好有三個(gè)人，有多少種不同

10、的排法？【解答】解：（）先排3個(gè)女生作為一個(gè)元素與其余的4個(gè)元素做全排列有A33A55=720種（）男生排好后，5個(gè)空再插女生有A44A53=1440種（）甲、乙先排好后，再?gòu)钠溆嗟?人中選出3人排在甲、乙之間，把排好的5個(gè)元素與最好的2個(gè)元素全排列，分步有A22A53A33=720種6（2017春金臺(tái)區(qū)期末）有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選取5人擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：（1）有女生但人數(shù)必須少于男生（2）某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表（3）某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表（4）某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表【解答】解：（1）先

11、取后排，有C53C32+C54C31種，后排有A55種，共有（C53C32+C54C31）A55=5400種（3分）（2）除去該女生后先取后排：C74A44=840種.（6分）（3）先取后排，但先安排該男生：C74C41A44=3360種.（9分）（4）先從除去該男生該女生的6人中選3人有C63種，再安排該男生有C31種，其余3人全排有A33種，共C63C31A33=360種（12分）7（2017春平安縣校級(jí)期中）五個(gè)人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數(shù)：（用數(shù)字作答）（1）甲、乙兩人相鄰； （2）甲、乙兩人不相鄰；（3）甲不在排頭，并且乙不在排尾；（4）甲在乙前，并且乙在丙前【解答】解：

12、（1）把甲、乙看成一個(gè)人來(lái)排有A44種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為A44A22=48種，（2）排除甲乙之外的3人，形成4個(gè)空，再把甲乙插入空位有A33A42=72，（3）甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數(shù)為：A552A44+A33=78種，（4）因?yàn)榧?、乙、丙共?！種順序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法種數(shù)為：A553！=20種，8（2017春南岸區(qū)校級(jí)期中）現(xiàn)由某校高二年級(jí)四個(gè)班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別為7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組（1）選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？（2）每班選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？（3）推選二人做

13、中心發(fā)言，這二人需來(lái)自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？【解答】解：（1）根據(jù)題意，四個(gè)班共34人，要求從34人中，選其中一人為負(fù)責(zé)人，即有C341=34種選法；（2）根據(jù)題意，分析可得：從一班選一名組長(zhǎng)，有7種情況，從二班選一名組長(zhǎng)，有8種情況，從三班選一名組長(zhǎng)，有9種情況，從四班選一名組長(zhǎng)，有10種情況，所以每班選一名組長(zhǎng)，共有不同的選法N=78910=5040（種）（3）根據(jù)題意，分六種情況討論，從一、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法，從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班

14、學(xué)生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法，所以共有不同的選法N=78+79+710+89+810+910=431（種）9（2017春諸暨市校級(jí)期中）7人站成一排，求滿(mǎn)足下列條件的不同站法：（1）甲、乙兩人相鄰；（2）甲、乙之間隔著2人；（3）若7人順序不變，再加入3個(gè)人，要求保持原先7人順序不變；（4）甲、乙、丙3人中從左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；（5）若甲、乙兩人去坐標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人兩邊都有空位的坐法【解答】解：（1）（捆綁法），把甲乙二人捆綁在一起，再和其他5人全排列，故有A22A66=1440種，

15、（2）（捆綁法），先從5人選2人放著甲乙二人之間，并捆綁在一起，再和其他3人全排列，故有A52A22A44=960種，（3）（插空法），原先7人排列形成8個(gè)空，先插入1人，再?gòu)男纬傻?個(gè)空再插入1人，再?gòu)?0個(gè)空中插入1人，故有C81C91C101=720種，（4）（分步計(jì)數(shù)法），從7人中任取3人，如a，b，c，則改變?cè)恢谜痉ㄓ?種，b，c，a和c，a，b，固有C732=70種，（5）（定序法），先全排列，再除以順序數(shù)，故有A77A33=840種，10（2017春廣東期中）用0，1，2，3，4，5，6這七個(gè)數(shù)字：（1）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？（2）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)

16、的五位數(shù)？（3）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比31560大的五位數(shù)？【解答】解：（1）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：、個(gè)位從1，3，5選擇一個(gè)，有C31種選法，、千位數(shù)字不可選0，從剩下的5個(gè)中選一個(gè)，有C51種選法，、在剩下的5個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)，安排在百位、十位數(shù)字，有A52種選法，則C31C51A52=300個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)；（2）分2種情況討論：、個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是0，在其余的4個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)，安排在前4個(gè)數(shù)位，有A64種情況，則此時(shí)的五位數(shù)有A64個(gè)；、個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是5，首位數(shù)字不可選0，從剩下的5個(gè)中選一個(gè)，有C51種選法，在剩下的5個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)，安排在中間3個(gè)數(shù)位，有C51A5

17、3種情況，則此時(shí)符合條件的五位數(shù)有C51A53個(gè)故滿(mǎn)足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)共有A64+C51A53=660個(gè)；（3）符合要求的比31560大的五位數(shù)可分為四類(lèi)：第一類(lèi)：形如4，5，6，共C31A64個(gè)；第二類(lèi)：形如32，34，35，36共有C41A53個(gè)；第三類(lèi)：形如316，共有A42個(gè)；第四類(lèi)：形如3156，共有2個(gè)；由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，無(wú)重復(fù)數(shù)字且比31560大的四位數(shù)共有：C31A64+C41A53+A42+2=1334個(gè)11（2017春吉林期中）有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)：（1）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？（2）恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？【解答】解：

18、（1）根據(jù)題意，分三步進(jìn)行分析：第一步，從4個(gè)小球中取兩個(gè)小球，有C42種方法；第二步，將取出的兩個(gè)小球放入一個(gè)盒內(nèi)，有C41種方法；第三步，在剩下的三個(gè)盒子中選兩個(gè)放剩下的兩個(gè)小球，有A32種方法；由分步計(jì)數(shù)原理，共有C42C41A32=144種放法（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：第一類(lèi)，一個(gè)盒子放3個(gè)小球，一個(gè)盒子放1個(gè)小球，兩個(gè)盒子不放小球有C41C43C31=48種方法；第二類(lèi)，有兩個(gè)盒子各放2個(gè)小球，另兩個(gè)盒子不放小球有C42C42=36種方法；由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有48+36=84種放法12（2017秋鄱陽(yáng)縣校級(jí)期中）現(xiàn)有10個(gè)教師其中男教師6名，女教師4名；（1）現(xiàn)要從中選2名去參

19、加會(huì)議，有多少種不同的選法？（2）現(xiàn)要從中選出男教師、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？【解答】解：（1）根據(jù)題意，要求從10人中任選2人，則不同的選取方法有C102=45種，（2）根據(jù)題意，分2步分析：、先在6名男教師中任選2人，有C62=15種取法，、再在4名女教師中任選2人，有C42=6種取法，則不同的選取方法有156=90種13（2017春集寧區(qū)校級(jí)期中）袋中裝有大小相同的4個(gè)紅球和6個(gè)白球，從中取出4個(gè)球（1）若取出的球必須是兩種顏色，則有多少種不同的取法？（2）若取出的紅球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)，則有多少種不同的取法？（3）取出一個(gè)紅球記2分，取出一個(gè)白球記1分，若取4球的總

20、分不低于5分，則有多少種不同的取法？【解答】（12分）（每小問(wèn)4分）解：（1）分三類(lèi)：3紅1白，2紅2白，1紅3白這三類(lèi)，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理有：C43C61+C42C62+C41C63=194（種）（2）分三類(lèi)：4紅，3紅1白，2紅2白，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理共有：C44+C43C61+C42C62=115（種）（3）由題意知，取4球的總分不低于5，只要取出的4個(gè)球中至少一個(gè)紅球即可因此共有取法：C41C63+C42C62+C43C61+C44=195（種）14（2017春玉田縣期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)，求：（1）5位同學(xué)站成一排，甲、戊不在兩端有多少種不同的排法？（2）5位同學(xué)站成一排

21、，要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰，有多少種不同的排法？（3）將5位同學(xué)分配到三個(gè)班，每班至少一人，共有多少種不同的分配方法？【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：、甲、戊不在兩端，在中間的三個(gè)位置任選2個(gè)，安排甲、戊2人，有A32=6種排法，、將乙、丙、丁三人安排在剩下的三個(gè)位置，有A33=6種排法，則甲、戊不在兩端有A32A33=36種排法；（2）分3步進(jìn)行分析：、將甲乙看成一個(gè)整體，考慮甲乙之間的順序，有A22=2種情況，、將這個(gè)整體與戊2人全排列，有A22=2種順序，排好后，有3個(gè)空位，、在3個(gè)空位中任選2個(gè)，安排丙丁，有A32=6種情況，則共有226=24種不同的排列方法；（3）

22、分2步進(jìn)行分析：、將5個(gè)同學(xué)分成3組，若分成1、1、3的三組，有C51C41C33A22=10種分法，若分成1、2、2的三組，有C51C42C22A22=15種分法，則一共有10+15=25種分組方法；、將分好的三組對(duì)應(yīng)三個(gè)班，有A33=6種情況，則一共有256=150種不同的分配方法15（2017春大豐市校級(jí)期中）現(xiàn)有2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排（用數(shù)字作答）（1）若2位男生相鄰且3位女生相鄰，則共有多少種不同的排法？（2）若男女相間，則共有多少種不同的排法？（3）若男生甲不站兩端，女生乙不站最中間，則共有多少種不同的排法？【解答】解：（1）利用捆綁法，可得共有A22A22A33=2

23、4種不同的排法；（2）利用插空法，可得共有A22A33=12種不同的排法；（3）利用間接法，可得共有A553A44+C21A33=60種不同的排法16（2017春新市區(qū)校級(jí)月考）現(xiàn)有4名男生、3名女生站成一排照相（結(jié)果用數(shù)字表示）（1）女生甲不在排頭，女生乙不在排尾，有多少種不同的站法？（2）女生不相鄰，有多少種不同的站法？（3）女生甲要在女生乙的右方，有多少種不同的站法？【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2種情況討論：、女生甲排在隊(duì)尾，女生乙有6個(gè)位置可選，剩下的5人全排列，安排在其他5個(gè)位置，有A55種情況，此時(shí)有6A55=720種站法；女生甲排不在隊(duì)尾，女生甲有5個(gè)位置可選，女生乙不在排尾，女生乙有5個(gè)位置可選，剩下的5人全排列，安排在其他5個(gè)位置，有A55種情況，此時(shí)有55A55=3000種站法；則一共有720+3000=3720（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：、將4名男生全排列，有A44=24種順序，排好后包括兩端，有5個(gè)空位，、在5個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名女生，有A53=60種情況，則此時(shí)有2460=1440種站法；（3）根據(jù)題意，將7人全排列，有A77=5040種順序，女生甲在女生乙的右方與女生甲在女生乙的左方的數(shù)目相同，則女生甲要在女生乙的右方的排法有12A77=2520種情況17（2017春江西月考）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法種