慣性技術課件2 --陀螺力學基礎(哈工大版,1-16全)

1、Lecture 2 - Mechanical Fundmentals1Mechanical Fundamentals力學基礎力學基礎 Lecture 2 - Mechanical Fundmentals2主要內容主要內容q 關于地球關于地球q 相關的坐標系和坐標變換相關的坐標系和坐標變換q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 動量矩定理動量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fundmentals31.1*地球形狀和重力地球形狀和重力對地球形狀的最粗糙近似對地球形狀的最粗糙近似 - 球形球形RePFj重力重力 (gravity) W 為萬有引力為萬有引力 j 和和地球自

2、轉引起的離心地球自轉引起的離心 (centrifugal) 力力 F 之和：之和： WFjW F 遠遠小于遠遠小于 W， 最多幾個角分最多幾個角分 Lecture 2 - Mechanical Fundmentals4Pa1.2 關于地球關于地球: 垂線和緯度垂線和緯度 緯度緯度：當?shù)卮咕€和地球赤道平面之間的夾角：當?shù)卮咕€和地球赤道平面之間的夾角垂線的定義垂線的定義q 地心垂線地心垂線 - 地心到當?shù)乇砻娴倪B線地心到當?shù)乇砻娴倪B線 q 重力垂線重力垂線 - 沿著當?shù)刂亓Ψ较蜓刂數(shù)刂亓Ψ较蚝痛咕€的不同定義相對應，緯度也有不同定義和垂線的不同定義相對應，緯度也有不同定義Lecture 2 - M

3、echanical Fundmentals51.3*關于地球關于地球: 運動運動地球的運動包括各種成分，慣性導航中主要考慮的有：地球的運動包括各種成分，慣性導航中主要考慮的有：q 繞太陽的公轉繞太陽的公轉q 自轉自轉地球自轉角速度地球自轉角速度: - 相對慣性空間相對慣性空間 15.04107/h- 相對太陽相對太陽 15/hLecture 2 - Mechanical Fundmentals6Outlineq 關于地球關于地球q 相關的坐標系和坐標變換相關的坐標系和坐標變換q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 動量矩定理動量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fun

4、dmentals72.1 坐標系坐標系: 慣性系慣性系Solar-centered Inertial frame (SCI 日心慣性系日心慣性系)SZSYSXSunEarthEarth-centered inertial frame (ECI 地心慣性系地心慣性系) ) eZeXeYEquatorNorth PoleLecture 2 - Mechanical Fundmentals82.2*坐標系坐標系: 地球和地理坐標系地球和地理坐標系ZR地球坐標系地球坐標系 （Earth Frame）北極北極0X本地本地子午面子午面赤道赤道Y地理坐標系地理坐標系 (Geographic, East-No

5、rth-Up) RNEOLecture 2 - Mechanical Fundmentals92.3 坐標系坐標系: 變換變換假設向量假設向量 (vector) V 分別投影坐標系分別投影坐標系 XYZ 和和 XYZ 的軸上，即的軸上，即: zyxzyx321321321coscoscoscoscoscoscoscoscos則則方向余弦陣方向余弦陣 (Direction cosine matrix - DCM)XYZVXYZVzyxVzyxVLecture 2 - Mechanical Fundmentals10ZzXxYyO2.4 坐標系坐標系: 分步旋轉分步旋轉內環(huán)相對于基座的轉動內環(huán)相對

6、于基座的轉動q 內環(huán)內環(huán)(Inner Ring)坐標系坐標系 oxyzq 基座基座(Base) 坐標系坐標系 OXYZ 方向余弦矩陣方向余弦矩陣 C :XYZxC11C12C13yC21C22C23zC31C32C33C 的計算可借助分步旋轉。的計算可借助分步旋轉。q 外環(huán)相對基座轉過外環(huán)相對基座轉過 q 內環(huán)相對外環(huán)轉過內環(huán)相對外環(huán)轉過 引入外環(huán)坐標系引入外環(huán)坐標系 x1y1z11z1x1yLecture 2 - Mechanical Fundmentals11外框架相對基座外框架相對基座, 繞外框架軸轉過繞外框架軸轉過 角角2.5 坐標系坐標系: 第一次旋轉第一次旋轉假設一個向量假設一個向

7、量 R 在兩個坐標系中的投影分別是在兩個坐標系中的投影分別是 (X, Y, Z) 和和 (x1, y1, z1) , 則利用投影關系則利用投影關系:X1xY1yZ1zXx 1sinYcosYcosZsinZsincos1ZYycossin1ZYzZYXzyxcossin0sincos0001111或或Lecture 2 - Mechanical Fundmentals12Z1zzX1xxY1yyO111cos0sin010sin0coszyxzyx2.6 坐標系坐標系: 第二次旋轉第二次旋轉類似，對內框架相對外框架繞著內框架軸轉過類似，對內框架相對外框架繞著內框架軸轉過 角角將上述結果合并，得

8、到從基座到將上述結果合并，得到從基座到內環(huán)的變換矩陣內環(huán)的變換矩陣 : ZYXzyxcossin0sincos0001cos0sin010sin0cosZYX11001（小角度近似）（小角度近似）Lecture 2 - Mechanical Fundmentals13Outlineq 關于地球關于地球q 相關的坐標系和坐標變換相關的坐標系和坐標變換q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 動量矩定理動量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fundmentals143.1 轉動引起的牽連速度轉動引起的牽連速度zyxkjiRVzyx(布桑公式布桑公式)kxyjzxiyzyxx

9、zzy)()()(RVMZYOX假設某剛體繞著固定點假設某剛體繞著固定點 O 以角速度以角速度 轉動，轉動， M 是剛體內的一點（相對剛體固定）是剛體內的一點（相對剛體固定）M 的牽連的牽連(transport) 速度為速度為:坐標系可以任意選取坐標系可以任意選取如果點如果點 M 相對剛體移相對剛體移動呢？動呢？Lecture 2 - Mechanical Fundmentals153.2 速度合成定理速度合成定理RVMZYOX假設一個動坐標系和剛體固聯(lián)假設一個動坐標系和剛體固聯(lián)當動坐標系繞著固定點轉動當動坐標系繞著固定點轉動, 并且一個質并且一個質點點 M 相對動坐標系作相對運動相對動坐標系

10、作相對運動, 則則 M 點的點的絕對速度絕對速度RdtRddtdRV絕對絕對速度速度相對相對速度速度牽連牽連速度速度Lecture 2 - Mechanical Fundmentals163.3*推廣推廣: 苛氏定律苛氏定律RdtRddtdR苛氏定律苛氏定律 (Coriolis Theorem)：對任何和運動有關的矢量：對任何和運動有關的矢量 B ：BdtBddtdB絕對變絕對變化率化率相對變相對變化率化率 牽連變牽連變化率化率Lecture 2 - Mechanical Fundmentals173.3* 苛氏定律的分量表示苛氏定律的分量表示BdtBddtdB如果如果 B 和和 都是分解在動

11、坐標系都是分解在動坐標系 oxyz 中中kBjBiBBzyxkjizyx則則kdtdBjdtdBidtdBdtBdzyxzyxzyxBBBkjiBLecture 2 - Mechanical Fundmentals183.4 加速度合成定理加速度合成定理速度速度: RdtRdV加速度：加速度：dtdVAVdtVdRdtRdRdtRddtd22dtRdRdtddtRd2 )(RrA相對相對eA牽連切向牽連切向neA牽連法向牽連法向kA苛氏苛氏 Lecture 2 - Mechanical Fundmentals193.5*苛氏加速度苛氏加速度: 示例示例dtRdAk2 q 相對運動相對運動 -

12、沿徑向向外沿徑向向外q 牽連運動牽連運動 - 圓盤的轉動圓盤的轉動q 上述兩種運動的相互影響上述兩種運動的相互影響rkVA2又可寫為又可寫為Lecture 2 - Mechanical Fundmentals203.6 用柯氏加速度解釋用柯氏加速度解釋: 河岸沖刷河岸沖刷現(xiàn)象現(xiàn)象: 南北方向的河流兩岸沖刷南北方向的河流兩岸沖刷的程度不一樣的程度不一樣.對北半球向北的河流對北半球向北的河流, 東岸被沖刷東岸被沖刷得更厲害得更厲害.該現(xiàn)象可以通過苛氏該現(xiàn)象可以通過苛氏 (Coriolis) 加加速度得到解釋速度得到解釋. Lecture 2 - Mechanical Fundmentals21Vr

13、3.6 用柯氏加速度解釋用柯氏加速度解釋: 河岸沖刷河岸沖刷河水的苛氏加速度河水的苛氏加速度:rkVA2苛氏加速度向西苛氏加速度向西, 對應的作用力由對應的作用力由東岸提供。東岸提供。河水的反作用力作用在東岸上河水的反作用力作用在東岸上因此東岸被沖刷得更厲害因此東岸被沖刷得更厲害.Lecture 2 - Mechanical Fundmentals22Outlineq 關于地球關于地球q 相關的坐標系和坐標變換相關的坐標系和坐標變換q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 動量矩定理動量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fundmentals23xyzM4.1 動量矩動

14、量矩: 定義定義q M 為剛體內一質點為剛體內一質點, 剛體繞著固定點剛體繞著固定點 O 以角速度以角速度 旋轉旋轉q M 的質量為的質量為 m, 位置為位置為 R, 速度為速度為 VVRq M 點的動量點的動量 (momentum) = mVmVq M 的動量矩的動量矩 (angular momentum) h = RmVq 剛體的動量矩剛體的動量矩 H = h = (RmV)Lecture 2 - Mechanical Fundmentals244.1 動量矩動量矩: 坐標分量表示坐標分量表示剛體的動量矩剛體的動量矩 H = h = (RmV)坐標分量表示坐標分量表示kzj yi xRkj

15、izyxRV則剛體動量矩的坐標分量表示形式為則剛體動量矩的坐標分量表示形式為:xyzMVmVRLecture 2 - Mechanical Fundmentals254.2 動量矩動量矩: 轉動慣量矩陣轉動慣量矩陣)()()(222222yxmyzmxzmyzmzxmxymxzmxymzymzyxHI I - 剛體的轉動慣量矩陣剛體的轉動慣量矩陣 (angular inertia matrix)主（主（ principal ）轉動慣量和離心（）轉動慣量和離心（ centrifugal ）轉動慣量）轉動慣量如果剛體相對所選坐標系的三個平面都對稱如果剛體相對所選坐標系的三個平面都對稱, 則所有離心轉動慣則所有離心轉動慣量元素都為零量元素都為零, 于是于是: kJjJiJHzzyyxx這時，坐標軸稱為剛體的慣性主軸這時，坐標軸稱為剛體的慣性主軸 (inertial principal axes)Lecture 2 - Mechanical Fundmentals264.3*動量矩定理動量矩定理剛體動量矩的變化率和其所受外加力矩的關系剛體動量矩的變化率和其所受外加力矩的關系:MdtdH/動量矩定理動量矩定理剛體動量矩剛體動量矩 H 的變