慣性技術(shù)課件2 --陀螺力學(xué)基礎(chǔ)(哈工大版,1-16全)

1、Lecture 2 - Mechanical Fundmentals1Mechanical Fundamentals力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)基礎(chǔ) Lecture 2 - Mechanical Fundmentals2主要內(nèi)容主要內(nèi)容q 關(guān)于地球關(guān)于地球q 相關(guān)的坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換相關(guān)的坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fundmentals31.1*地球形狀和重力地球形狀和重力對(duì)地球形狀的最粗糙近似對(duì)地球形狀的最粗糙近似 - 球形球形RePFj重力重力 (gravity) W 為萬(wàn)有引力為萬(wàn)有引力 j 和和地球自

2、轉(zhuǎn)引起的離心地球自轉(zhuǎn)引起的離心 (centrifugal) 力力 F 之和：之和： WFjW F 遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 W， 最多幾個(gè)角分最多幾個(gè)角分 Lecture 2 - Mechanical Fundmentals4Pa1.2 關(guān)于地球關(guān)于地球: 垂線和緯度垂線和緯度 緯度緯度：當(dāng)?shù)卮咕€和地球赤道平面之間的夾角：當(dāng)?shù)卮咕€和地球赤道平面之間的夾角垂線的定義垂線的定義q 地心垂線地心垂線 - 地心到當(dāng)?shù)乇砻娴倪B線地心到當(dāng)?shù)乇砻娴倪B線 q 重力垂線重力垂線 - 沿著當(dāng)?shù)刂亓Ψ较蜓刂?dāng)?shù)刂亓Ψ较蚝痛咕€的不同定義相對(duì)應(yīng)，緯度也有不同定義和垂線的不同定義相對(duì)應(yīng)，緯度也有不同定義Lecture 2 - M

3、echanical Fundmentals51.3*關(guān)于地球關(guān)于地球: 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)地球的運(yùn)動(dòng)包括各種成分，慣性導(dǎo)航中主要考慮的有：地球的運(yùn)動(dòng)包括各種成分，慣性導(dǎo)航中主要考慮的有：q 繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)q 自轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)地球自轉(zhuǎn)角速度地球自轉(zhuǎn)角速度: - 相對(duì)慣性空間相對(duì)慣性空間 15.04107/h- 相對(duì)太陽(yáng)相對(duì)太陽(yáng) 15/hLecture 2 - Mechanical Fundmentals6Outlineq 關(guān)于地球關(guān)于地球q 相關(guān)的坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換相關(guān)的坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fun

4、dmentals72.1 坐標(biāo)系坐標(biāo)系: 慣性系慣性系Solar-centered Inertial frame (SCI 日心慣性系日心慣性系)SZSYSXSunEarthEarth-centered inertial frame (ECI 地心慣性系地心慣性系) ) eZeXeYEquatorNorth PoleLecture 2 - Mechanical Fundmentals82.2*坐標(biāo)系坐標(biāo)系: 地球和地理坐標(biāo)系地球和地理坐標(biāo)系ZR地球坐標(biāo)系地球坐標(biāo)系 （Earth Frame）北極北極0X本地本地子午面子午面赤道赤道Y地理坐標(biāo)系地理坐標(biāo)系 (Geographic, East-No

5、rth-Up) RNEOLecture 2 - Mechanical Fundmentals92.3 坐標(biāo)系坐標(biāo)系: 變換變換假設(shè)向量假設(shè)向量 (vector) V 分別投影坐標(biāo)系分別投影坐標(biāo)系 XYZ 和和 XYZ 的軸上，即的軸上，即: zyxzyx321321321coscoscoscoscoscoscoscoscos則則方向余弦陣方向余弦陣 (Direction cosine matrix - DCM)XYZVXYZVzyxVzyxVLecture 2 - Mechanical Fundmentals10ZzXxYyO2.4 坐標(biāo)系坐標(biāo)系: 分步旋轉(zhuǎn)分步旋轉(zhuǎn)內(nèi)環(huán)相對(duì)于基座的轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)環(huán)相對(duì)

6、于基座的轉(zhuǎn)動(dòng)q 內(nèi)環(huán)內(nèi)環(huán)(Inner Ring)坐標(biāo)系坐標(biāo)系 oxyzq 基座基座(Base) 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 OXYZ 方向余弦矩陣方向余弦矩陣 C :XYZxC11C12C13yC21C22C23zC31C32C33C 的計(jì)算可借助分步旋轉(zhuǎn)。的計(jì)算可借助分步旋轉(zhuǎn)。q 外環(huán)相對(duì)基座轉(zhuǎn)過(guò)外環(huán)相對(duì)基座轉(zhuǎn)過(guò) q 內(nèi)環(huán)相對(duì)外環(huán)轉(zhuǎn)過(guò)內(nèi)環(huán)相對(duì)外環(huán)轉(zhuǎn)過(guò) 引入外環(huán)坐標(biāo)系引入外環(huán)坐標(biāo)系 x1y1z11z1x1yLecture 2 - Mechanical Fundmentals11外框架相對(duì)基座外框架相對(duì)基座, 繞外框架軸轉(zhuǎn)過(guò)繞外框架軸轉(zhuǎn)過(guò) 角角2.5 坐標(biāo)系坐標(biāo)系: 第一次旋轉(zhuǎn)第一次旋轉(zhuǎn)假設(shè)一個(gè)向量假設(shè)一個(gè)向

7、量 R 在兩個(gè)坐標(biāo)系中的投影分別是在兩個(gè)坐標(biāo)系中的投影分別是 (X, Y, Z) 和和 (x1, y1, z1) , 則利用投影關(guān)系則利用投影關(guān)系:X1xY1yZ1zXx 1sinYcosYcosZsinZsincos1ZYycossin1ZYzZYXzyxcossin0sincos0001111或或Lecture 2 - Mechanical Fundmentals12Z1zzX1xxY1yyO111cos0sin010sin0coszyxzyx2.6 坐標(biāo)系坐標(biāo)系: 第二次旋轉(zhuǎn)第二次旋轉(zhuǎn)類似，對(duì)內(nèi)框架相對(duì)外框架繞著內(nèi)框架軸轉(zhuǎn)過(guò)類似，對(duì)內(nèi)框架相對(duì)外框架繞著內(nèi)框架軸轉(zhuǎn)過(guò) 角角將上述結(jié)果合并，得

8、到從基座到將上述結(jié)果合并，得到從基座到內(nèi)環(huán)的變換矩陣內(nèi)環(huán)的變換矩陣 : ZYXzyxcossin0sincos0001cos0sin010sin0cosZYX11001（小角度近似）（小角度近似）Lecture 2 - Mechanical Fundmentals13Outlineq 關(guān)于地球關(guān)于地球q 相關(guān)的坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換相關(guān)的坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fundmentals143.1 轉(zhuǎn)動(dòng)引起的牽連速度轉(zhuǎn)動(dòng)引起的牽連速度zyxkjiRVzyx(布桑公式布桑公式)kxyjzxiyzyxx

9、zzy)()()(RVMZYOX假設(shè)某剛體繞著固定點(diǎn)假設(shè)某剛體繞著固定點(diǎn) O 以角速度以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)， M 是剛體內(nèi)的一點(diǎn)（相對(duì)剛體固定）是剛體內(nèi)的一點(diǎn)（相對(duì)剛體固定）M 的牽連的牽連(transport) 速度為速度為:坐標(biāo)系可以任意選取坐標(biāo)系可以任意選取如果點(diǎn)如果點(diǎn) M 相對(duì)剛體移相對(duì)剛體移動(dòng)呢？動(dòng)呢？Lecture 2 - Mechanical Fundmentals153.2 速度合成定理速度合成定理RVMZYOX假設(shè)一個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系和剛體固聯(lián)假設(shè)一個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系和剛體固聯(lián)當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系繞著固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)動(dòng)坐標(biāo)系繞著固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng), 并且一個(gè)質(zhì)并且一個(gè)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn) M 相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系作相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系

10、作相對(duì)運(yùn)動(dòng), 則則 M 點(diǎn)的點(diǎn)的絕對(duì)速度絕對(duì)速度RdtRddtdRV絕對(duì)絕對(duì)速度速度相對(duì)相對(duì)速度速度牽連牽連速度速度Lecture 2 - Mechanical Fundmentals163.3*推廣推廣: 苛氏定律苛氏定律RdtRddtdR苛氏定律苛氏定律 (Coriolis Theorem)：對(duì)任何和運(yùn)動(dòng)有關(guān)的矢量：對(duì)任何和運(yùn)動(dòng)有關(guān)的矢量 B ：BdtBddtdB絕對(duì)變絕對(duì)變化率化率相對(duì)變相對(duì)變化率化率 牽連變牽連變化率化率Lecture 2 - Mechanical Fundmentals173.3* 苛氏定律的分量表示苛氏定律的分量表示BdtBddtdB如果如果 B 和和 都是分解在動(dòng)

11、坐標(biāo)系都是分解在動(dòng)坐標(biāo)系 oxyz 中中kBjBiBBzyxkjizyx則則kdtdBjdtdBidtdBdtBdzyxzyxzyxBBBkjiBLecture 2 - Mechanical Fundmentals183.4 加速度合成定理加速度合成定理速度速度: RdtRdV加速度：加速度：dtdVAVdtVdRdtRdRdtRddtd22dtRdRdtddtRd2 )(RrA相對(duì)相對(duì)eA牽連切向牽連切向neA牽連法向牽連法向kA苛氏苛氏 Lecture 2 - Mechanical Fundmentals193.5*苛氏加速度苛氏加速度: 示例示例dtRdAk2 q 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng) -

12、沿徑向向外沿徑向向外q 牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng) - 圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)q 上述兩種運(yùn)動(dòng)的相互影響上述兩種運(yùn)動(dòng)的相互影響rkVA2又可寫(xiě)為又可寫(xiě)為L(zhǎng)ecture 2 - Mechanical Fundmentals203.6 用柯氏加速度解釋用柯氏加速度解釋: 河岸沖刷河岸沖刷現(xiàn)象現(xiàn)象: 南北方向的河流兩岸沖刷南北方向的河流兩岸沖刷的程度不一樣的程度不一樣.對(duì)北半球向北的河流對(duì)北半球向北的河流, 東岸被沖刷東岸被沖刷得更厲害得更厲害.該現(xiàn)象可以通過(guò)苛氏該現(xiàn)象可以通過(guò)苛氏 (Coriolis) 加加速度得到解釋速度得到解釋. Lecture 2 - Mechanical Fundmentals21Vr

13、3.6 用柯氏加速度解釋用柯氏加速度解釋: 河岸沖刷河岸沖刷河水的苛氏加速度河水的苛氏加速度:rkVA2苛氏加速度向西苛氏加速度向西, 對(duì)應(yīng)的作用力由對(duì)應(yīng)的作用力由東岸提供。東岸提供。河水的反作用力作用在東岸上河水的反作用力作用在東岸上因此東岸被沖刷得更厲害因此東岸被沖刷得更厲害.Lecture 2 - Mechanical Fundmentals22Outlineq 關(guān)于地球關(guān)于地球q 相關(guān)的坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換相關(guān)的坐標(biāo)系和坐標(biāo)變換q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fundmentals23xyzM4.1 動(dòng)量矩動(dòng)

14、量矩: 定義定義q M 為剛體內(nèi)一質(zhì)點(diǎn)為剛體內(nèi)一質(zhì)點(diǎn), 剛體繞著固定點(diǎn)剛體繞著固定點(diǎn) O 以角速度以角速度 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)q M 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 m, 位置為位置為 R, 速度為速度為 VVRq M 點(diǎn)的動(dòng)量點(diǎn)的動(dòng)量 (momentum) = mVmVq M 的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩 (angular momentum) h = RmVq 剛體的動(dòng)量矩剛體的動(dòng)量矩 H = h = (RmV)Lecture 2 - Mechanical Fundmentals244.1 動(dòng)量矩動(dòng)量矩: 坐標(biāo)分量表示坐標(biāo)分量表示剛體的動(dòng)量矩剛體的動(dòng)量矩 H = h = (RmV)坐標(biāo)分量表示坐標(biāo)分量表示kzj yi xRkj

15、izyxRV則剛體動(dòng)量矩的坐標(biāo)分量表示形式為則剛體動(dòng)量矩的坐標(biāo)分量表示形式為:xyzMVmVRLecture 2 - Mechanical Fundmentals254.2 動(dòng)量矩動(dòng)量矩: 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣)()()(222222yxmyzmxzmyzmzxmxymxzmxymzymzyxHI I - 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣 (angular inertia matrix)主（主（ principal ）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和離心（）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和離心（ centrifugal ）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果剛體相對(duì)所選坐標(biāo)系的三個(gè)平面都對(duì)稱如果剛體相對(duì)所選坐標(biāo)系的三個(gè)平面都對(duì)稱, 則所有離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣則所有離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素都為零量元素都為零, 于是于是: kJjJiJHzzyyxx這時(shí)，坐標(biāo)軸稱為剛體的慣性主軸這時(shí)，坐標(biāo)軸稱為剛體的慣性主軸 (inertial principal axes)Lecture 2 - Mechanical Fundmentals264.3*動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理剛體動(dòng)量矩的變化率和其所受外加力矩的關(guān)系剛體動(dòng)量矩的變化率和其所受外加力矩的關(guān)系:MdtdH/動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理剛體動(dòng)量矩剛體動(dòng)量矩 H 的變