2019年B題露天礦生產(chǎn)的車輛安排南昌大學全國一等獎.doc

1、C題 SARS的傳播摘要本文首先采用抽樣檢測法對SARS早期的模型的合理性及實用性進行了評 價，然后我們通過對傳染病的共性及SARS的特性的分析。得出三個基本假設(shè)并 且把人群理想化為三類(S類，I類，R類)，建立起基本的SIR模型，再對SIR 模型中三類人群間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的分析，結(jié)合馬氏鏈得岀三種人群間變化率的 矩陣T,由于SARS的特性,可知,SIR模型中的兩個參數(shù)a(t),b(t)是以時間為 變量的函數(shù)。我們根據(jù)北京疫情的數(shù)據(jù)，通過多項式的數(shù)據(jù)擬合法分別得 a(t),b(t)的表達式，我們把a(t),b(t)及T結(jié)合，從而建立出模型。由于醫(yī)療 條件的逐步改善，必會硏制出其疫苗。于是我們在

2、不改變?nèi)巳悍诸惖那闆r下，增 加了一個系數(shù)c, (c表示疫苗日成功接種率，曲于在疫情期間，疫苗未能及時改 良，故c為常數(shù)。)進一步完善了我們的模型。本文利用數(shù)學軟件(Mathematica, Matlab)很好的實現(xiàn)了模型運算，并結(jié)合 實際數(shù)據(jù)得岀了各類人群與時間的關(guān)系圖。從圖中可以很好的反映出各類人群的 變化規(guī)律，它們的變化規(guī)律與實際變化相吻合，從而證明了我們的模型基本符合 要求。1一問題的提出嚴重急性呼吸道綜合癥，簡稱SARS,是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的 傳染病。它對全球的經(jīng)濟和生活造成巨大的破壞，盡管H前疫情已得到控制，但 對這種新冠狀病毒及其流行規(guī)律的研究還剛剛開始，因此，有必要

3、根據(jù)SARS流 行的特點，建立數(shù)學模型預測其傳染，從而釆取措施預防和控制其發(fā)展。而建立 該模型我們要綜合各方面的因素才能使模型合理化。二問題的分析通過分析北京，香港和廣東三地的受感染人數(shù)的變化規(guī)律，我們就可以對不 同地區(qū)預測流行病的變化趨勢提出以下模型假設(shè)。模型的假設(shè)：1 將人群分為三類易感染者人數(shù)（疑似病例人用s表示；病人數(shù)（已受感染者，即確疹者）：用I表示；移出者人數(shù)（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2 該地區(qū)人口不流動，疫情階段無病原的輸入和輸出，設(shè)最初易感染者人 數(shù)為N,此時I, R均為0。3 被隔離人群完全斷絕與外界接觸，不再具有傳染性。三模型的分析與建立問題一：對于附件1所

4、提供的早期模型即X （t）二N。（1+K）在疾病初期應該有它的 可參性。因為模型N （t）二門（1+K）是符合指數(shù)增長規(guī)律的。而對于這種傳播 疾病，由于社會來不急防備以及群眾的不重視，使得SARS疫情基本上呈自然規(guī) 律增長，這與香港的實際疫情擬合圖基本一致。通過對香港和北京高峰前期的病 例與天數(shù)的對應關(guān)系計算出的數(shù)據(jù)與實際基本吻合。見下圖表：香港(K=0 16204)病例數(shù)42080320實際天數(shù)10203040計算天數(shù)9.2319. 9529. 1838.41實際天數(shù)-計算天數(shù)0. 770. 050. 821.59北京（K二0. 13913）病例數(shù)13441 10470實際天數(shù)2030405

5、0計算天數(shù)19. 6929. 0537. 9347. 23實際天數(shù)-計 算天數(shù)0.310. 952.072. 77山上圖可知在高峰期前即疾病早期基本符合指數(shù)增長規(guī)律，同時，我們也可以看到天數(shù)越接近高峰期，實際天數(shù)與計算天數(shù)就相差越大，這說明這個模型特 別適用于早期初，但從上表中的數(shù)據(jù)差來看，它們相差并不大，對整個早期階段 也有較好的預測性。因此，該模型具有一定的合理性和實用性。問題二:模型的建立建立SIR模型川易感染者，感染者，移出者之和是個恒量即N二S+I+R。由于病人康復后具有 終生免疫力，人與人之間有相同的接觸率。最終山如下兩種假設(shè)決定狀態(tài)之間的 轉(zhuǎn)變率：(1)感染者的增長率是和感染者I

6、與易受感染者S的乘積成正比的；(2) 感染者I到移出者R的變化率是與感染者I成正比?；谝陨霞僭O(shè)得出模型的微 分方程：cIS “=aSIdt = aSIbI dtdR=bldt其中a, b都是以時間為變量的參數(shù)，a(t)為日感染率，b(t)為日移出率，于是 我們可以得出三類人的轉(zhuǎn)換狀態(tài)圖：1SaXI.根據(jù)Markov Chain2理論，我們得出一個矩陣T:1 一 ，00T 二at1一$00b.1其中J就是當天易感染者S變?yōu)楦腥菊逫的日感染率,b就是當天感染者I轉(zhuǎn)變?yōu)橐瞥稣逺的移出率.(af, b分別為a(t), b(t)某一天的值)設(shè)初始值X產(chǎn)N, 0, 0,于是我們可以由X與T的轉(zhuǎn)置矩陣相乘

7、，相乘一次得 到笫一天的易感染者，確診病人及排除者的人數(shù)，再由該人數(shù)與T的轉(zhuǎn)置矩陣相 乘一次得到笫二天各類人群的數(shù)H,依此類推，我們可以得到第t天的各類人群 的數(shù)目，于是我們可以得出任何一天各類人群的數(shù)目的初步模型即：X/X 嚴 T由于T是由a, b確定的，所以要建立模型還必須求出a(t),b(t).于是我們參照附件2中的數(shù)據(jù)，利用Matlab的多項式數(shù)據(jù)擬合，可以得到 它們相應的多項式。下面進一步講擬合過程：笫一步：對附件2中的疑似病例進行20次數(shù)據(jù)擬合，得出每天的疑似病例 數(shù)的多項式：f s (t)二238. 2523-80. 1594t+480. 6525t 2 -325. 9497t3

8、+110. 1561t4 -22. 3320t5 +2. 9772t6-0. 275t7 +0. 0181ts-0. 0009t9 (1)笫二步：對附件2中已確疹的病例數(shù)據(jù)進行運算，新確診的病例數(shù)m(t)就 是把當天已確診病例數(shù)的累積n(t)減去前一天確診病例數(shù)的累積n(t-l)即： m(t)=n(t)-n(t-l)對m(t)進行20次數(shù)據(jù)擬合，得出關(guān)于新增病例與時間的多項式：f / (t) =407. 5716-569. 7285t+476. 2872t2-227. 1678t3 +67. 6374t4-13. 3813t5+1. 8488t6-0.10854t7+0. 0139 t8-0.

9、 0008 t9 (2)由第二步對f, (t)求導得出f；(t), f；(t)表示為每天已確診病例的變化情況, 因為f5(o是當天疑似病例數(shù)，所以得出笫三步：我們把死亡病例和治愈者都歸為同一組r類，于是把他們相加得到 每天的R類人群K (t)，再由笫二步的計算方法我們得到每天死亡和治愈的人數(shù) 1 (t)即1(t)=K (t) -K (t-1)然后對l(t)進行二次數(shù)據(jù)擬合，得岀關(guān)于每天死亡和治愈人數(shù)與時間的多項式: fK (t)=-0. 0323t2+2. 95235t-13. 1284(3)第四步：按照第二步的方法對第二步中的m(t)再進行一次二次擬合，得到 f7 (t)的一個二次多項式：f

10、, (t) =0. 056112-5. 7216t+141. 7628同理，由(3), (4)式可得 b(t)二以(t)/f/ (t)B|J：(前面(1), (2), (3) , (4)式的Mat lab擬合圖及程序見附錄I)通過上面的分析我們可以得到一個完整的模型:(D/(O四模型的改進由于我們逐步對SARS的研究和認識，那么在不久的將來預防它的疫苗也將 出現(xiàn)顯然醫(yī)療衛(wèi)生部門就會對群眾進行疫苗接種,于是我們的模型能夠通過接 種疫苗而進行改進，但是沒有必要增加其他人群種類，我們可以簡單而直接的把 接種疫苗的人群從S中分離到R中，所以我們假定一個系數(shù)c,它表示每天有c的 人成功接種疫苗.(例,c

11、=8%,表示每天有8%的人成功接種疫苗)，我們前面的T矩 陣可以改為：1 一 終 一 c 00T= at 1一0cht1X/X/T上面的模型就可以改進為：(II)(/)=b=(其中C為常數(shù))五 模型的求解與結(jié)果分析對于上面所建立的模型可以通過mathemdtica編程實現(xiàn)（程序見附錄II）。 現(xiàn)已山北京市疫情的數(shù)據(jù)，通過模型求得的各類人群的變化規(guī)律圖如下：（說明: 山于現(xiàn)階段SARS的疫苗還沒正式用于預防，所以只用模型（I）求解）I感染人數(shù)與時間的變化圖2治愈和死亡人數(shù)與時間的變化圖3通過分析上圖我們可知：對于圖1中疑似病例是隨時間的增加而逐漸下降， 這與附件2中的疑似病例的變化規(guī)律基本一致；

12、圖2中感染人數(shù)先隨時間的增加 達到高峰之后平緩下降，這于附件1中北京日增病例走勢相吻合；圖3中治愈和 死亡人數(shù)隨時間的變化而遞增，這顯然與實際相符。下面我們給出衛(wèi)生部們提前或者延后五天采取嚴格的隔離措施后疫情傳播 的變化圖如下：山下圖容易看出，圖4中提前五天采取隔離措施，疑似病例下降速度比延后 五天的速度快；圖5中提前五天感染人數(shù)遠小于延后五天，而且提前五天時疫情 時間持續(xù)更短；圖6中提前五天變化速度比延后五天來得更快。疑似病例與時間的關(guān)系圖4感染人數(shù)與時間的關(guān)系圖5治愈和死亡人數(shù)與時間關(guān)系圖6綜上所述，提前采取嚴格隔離措施比延后效果更好，也使得對社會的影響更低。四 模型的優(yōu)點及發(fā)展方向1優(yōu)點

13、：（1）我們的模型可以對SARS的所有階段進行預測，而附件1的模 型只適用于早期；（2）我們的模型操作性強，結(jié)果精確，計算完全可由相應的數(shù)學軟 件mathematics,mntlab的編程來實現(xiàn)。它可以根據(jù)疫情a,b的值會按設(shè)定 的函數(shù)自行修正，這也符合疾病隨地域的變化而改變；（3）在我們的改進模型中加了一個系數(shù)c,它使得模型更精確，也 符合傳染病的發(fā)展規(guī)律；（4）此模型可以直觀的反映疾病發(fā)展規(guī)律。我們只要通過數(shù)學軟件 畫出圖形，在圖形上就可以顯示出SARS在每天各類人群的分布情況。2模型的發(fā)展方向：要建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠，足夠的信息 的模型。要考慮以下兒點因素：（1

14、）必須準確掌握疾病的傳播規(guī)律，獲得更多的直觀信息，例如傳染率, 死亡率，治愈率，傳染期限，潛伏期等：（2）考慮各種社會因素，包括醫(yī)療機構(gòu)的醫(yī)療程度，人的免疫程度，群 眾對SARS的認識，以及政府機構(gòu)對SARS的宣傳等以上條件可用參數(shù)P 來反映；（3）還要考慮城市間人口的流動，此因素用B表示。解決以上因素的困難：a）III于SARS突然性發(fā)生以及它的傳播速度快的特性，這就使得在初期 很難預防；b）要對因素P, B考慮是一個非常復雜的過程。而要達到控制疾病的程 度，困難就在于社會經(jīng)濟的落后，技術(shù)的不先進，人們素質(zhì)的不高，顯然 要想改變這一現(xiàn)象不是一朝一夕的過程，也是一個變數(shù)很大的因素。問題三建立傳

15、染病數(shù)學模型的重要性2002年末開始，全國部分地區(qū)遭受了非典型性肺炎的襲擊，全國經(jīng)濟出現(xiàn) 了前所未有的滑坡，使人們的生命受到威脅。2003年初我國在毫無準備的情況 下受到“非典”的突擊，當時全民上下在一片迷茫之中，不知道病原體的來歷， 醫(yī)務(wù)人員也無從下手，致使非典病原體不斷擴散，使得感染人數(shù)不斷增加。此時 我們才意識到要對這個新的傳染病去做深入研究。研究發(fā)現(xiàn)SARS是一種獨特性傳染病，它具有傳播速度快，傳播途徑廣等特 點，正因為如此，在人們還沒有認清SARS時，人們不知道如何采取措施對它進 行控制，至使在SARS疫情前期，人們損失慘重。經(jīng)過一段時間的傳播，人們對 這種病原體有了一定的研究，基本

16、掌握了它的傳播途徑。但是這時沒有找到任何 一種疫苗，沒有能力完全消除它，只能釆取適當可行的措施減少它的發(fā)病率。我 國在弄清情況后就采取了嚴格的防預措施。例如，在有發(fā)現(xiàn)疫情的地區(qū)，封鎖各 出現(xiàn)疫情點，封鎖學校等；在沒有發(fā)現(xiàn)疫情的地區(qū)也采取了封閉措施，例如，切 斷外來人員，部分大學也實施封校。全國上下掀起了一場抗擊非典的戰(zhàn)爭，上至 政府下至平明口姓無一不重視SARS的傳播。但對于SARS的傳播規(guī)律還沒正確的 了解，這些做法只是治標而不能治本。關(guān)鍵是我們還不能夠通過某種途徑來找岀 它的發(fā)展規(guī)律。對上所述我們知道，SARS之初之所以那么肆虐是因為人們對它還沒有很好 的認識，更沒有有效的預防和控制措施。

17、那么如何去研究解決這個難題就變得迫 在眉睫，而這個關(guān)鍵就在于能否建立起合理的傳染病模型。假若一個好的傳染病模型出來后，就可以利用它對傳染病進行及時的預測， 并對該疾病提供有效的信息，也可以給相關(guān)衛(wèi)生部門研究接種疫苗提供可靠的數(shù) 據(jù)，從而可以達到控制傳染病高病發(fā)率的發(fā)生。除此之外，它還使得政府能夠根 據(jù)預測的信息做好足夠的人力，物力準備，做到從容以對。從而就給人民的社會 生活和經(jīng)濟生活提供了強力的保障，也給社會穩(wěn)定增加了祛碼。所以無論是從自 身利益出發(fā),還是從國家的穩(wěn)定發(fā)展考慮，建立傳染病的數(shù)學模型是至關(guān)重要的, 也是擺在我們面前的一個迫切的任務(wù)。所以，建立合理的數(shù)學模型是預防和控制傳染病至關(guān)重要的一步，也是不可 缺少的環(huán)節(jié)。參考文獻1 姜啟源，數(shù)學模型第三版，北京，高等教育出版社，2003年7月2 http:/pespmcl. vub. ac. be/ASC/MARKOV_CHAIN. html 2003 年 9 月 23 日論文點評：本文首先根據(jù)題LI給出的條件和要求，用抽樣檢驗法對早期模型的合理性和 實用性進行了評價，其合理性在于符合指數(shù)增長規(guī)律，實用性在于對早期階段的 疫悄