清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限課件

1、2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限1作業(yè)作業(yè)P34習(xí)題習(xí)題2.1 3(2)(3). P39習(xí)題習(xí)題2.2 1(2)(3). 2(2)(6)(9)(13). 3(1)預(yù)習(xí)：P40492021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限2第二講第二講 函數(shù)極限函數(shù)極限一、函數(shù)極限一、函數(shù)極限二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的運(yùn)算法則三、函數(shù)極限的運(yùn)算法則四、兩個(gè)重要極限四、兩個(gè)重要極限五、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量五、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限3極限的重要性極限的重要性（1） 極限是一種思想方法極限是一種思想方法（2

2、）極限是一種概念）極限是一種概念（3） 極限是一種計(jì)算方法極限是一種計(jì)算方法 從認(rèn)識(shí)有限到把握無(wú)限從認(rèn)識(shí)有限到把握無(wú)限 從了解離散到理解連續(xù)從了解離散到理解連續(xù) 微積分中許多概念是微積分中許多概念是用極限定義的用極限定義的許多許多物理、幾何量需要用極限來(lái)求物理、幾何量需要用極限來(lái)求2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限4函數(shù)極限問(wèn)題是研究當(dāng)自變量函數(shù)極限問(wèn)題是研究當(dāng)自變量一、函數(shù)的極限一、函數(shù)的極限x趨向于趨向于0 x)x(f的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì)或趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)或趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)（ 兩種基本變化趨勢(shì)）兩種基本變化趨勢(shì)）0 x 趨向于一點(diǎn)趨向于一點(diǎn)xO(一一)自變量的

3、變化自變量的變化 x x，0 xx ， 0 xx 0 xx 趨向于無(wú)窮趨向于無(wú)窮， x， x x2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限5,)x(f,xxAA)x(fxx.x)x(f的的極極限限函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)趨趨于于是是當(dāng)當(dāng)，則則稱稱的的常常數(shù)數(shù)定定“無(wú)無(wú)限限趨趨于于”一一個(gè)個(gè)確確應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值時(shí)時(shí)，其其對(duì)對(duì)“無(wú)無(wú)限限趨趨于于”如如果果當(dāng)當(dāng)有有定定義義的的某某空空心心鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)000A)x(flimxx 0記作記作定義定義1：（二）函數(shù)極限的定義（二）函數(shù)極限的定義1. 函數(shù)在一點(diǎn)的極限函數(shù)在一點(diǎn)的極限)xx(A)x(f0或或2021-10-12清華微積分

4、(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限6注意注意考慮空心鄰域，是什麼意思？考慮空心鄰域，是什麼意思？ 考慮函數(shù)在一點(diǎn)的極限時(shí)，不考慮函數(shù)考慮函數(shù)在一點(diǎn)的極限時(shí)，不考慮函數(shù)在該點(diǎn)處是否有定義，定義的值是什麼，在該點(diǎn)處是否有定義，定義的值是什麼，但是，在附近必須要有定義。但是，在附近必須要有定義。例例1?11lim21 xxx11lim11lim121 xxxxx21 2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限7例例2 0,10,1sin)(xxxxxf0lim0 )x(fx2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限8定義定義2： （左、右極限）（左、右極限）記記作作處處的的左左極

5、極限限在在是是則則稱稱無(wú)無(wú)限限趨趨于于確確定定值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在（）若若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)1 記記作作處處的的右右極極限限在在是是則則稱稱無(wú)無(wú)限限趨趨于于確確定定值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在（）若若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)2 A)x( fxx 0limA)x( fxx 0lim2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限9一點(diǎn)極限與單側(cè)極限有什麼關(guān)系？一點(diǎn)極限與單側(cè)極限有什麼關(guān)系？例例的的情情況況，研研究究設(shè)設(shè)01arctan xxy觀察圖形觀察圖形21arctanlim0 xx不不存存

6、在在！xx1arctanlim0-20-101020-1.5-1-0.50.511.521arctanlim0 xxxxxx1arctanlim1arctanlim00 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限102. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)的極限函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)的極限，有有極極限限時(shí)時(shí)常常數(shù)數(shù)，則則稱稱當(dāng)當(dāng)無(wú)無(wú)限限趨趨于于某某一一無(wú)無(wú)限限變變大大時(shí)時(shí)，若若有有定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)A)x(f,x)x(fx),a()x(f A)x(flimx 記記作作定義定義3：類似的可定義類似的可定義A)x(flimx A)x(flimx 或或2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué)

7、)第二講函數(shù)極限11-20-101020-1.5-1-0.50.511.5例如例如xxf1arctan)( 0)(lim xfx0)(lim xfx0)(lim xfx2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限12.)(,)(,)(,0, 0, 0,.)(0000AxfxxAxfxxAxfxxxRAxxf趨趨向向于于時(shí)時(shí)或或稱稱當(dāng)當(dāng)有有極極限限時(shí)時(shí)則則稱稱當(dāng)當(dāng)都都有有動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的的使使得得所所有有滿滿足足不不等等式式如如果果有有定定義義的的某某空空心心鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) )()()(lim00 xxAxfAxfxx 或或記記作作定義定義4：3. 函數(shù)極限的精確定義函數(shù)極限

8、的精確定義定義定義 2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限13二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2:（有界性）（有界性）.)(,)(lim00有有界界時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則存存在在設(shè)設(shè)xfxxxfxx.)(,0, 000MxfxxM 就有就有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)和和即存在即存在 函數(shù)極限如果存在，則函數(shù)一定有界函數(shù)極限如果存在，則函數(shù)一定有界.性質(zhì)性質(zhì)1:（唯一性）（唯一性）函數(shù)極限如果存在，則一定是唯一的函數(shù)極限如果存在，則一定是唯一的.xy1 .)(,)(lim有有界界時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則存存在在設(shè)設(shè)xfxxfx .)(, 00MxfNxNM 就就有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)和和即即存存在在2021

9、-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限14性質(zhì)性質(zhì)3:（保號(hào)性）（保號(hào)性）存存在在設(shè)設(shè)Axfxx )(lim0.0)(,0,0,0)1(0 xfxxA就就有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)則則如如果果 . 0,0)(,0,0)2(0 Axfxx則則有有有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)如如果果 性質(zhì)性質(zhì)4存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是)(lim0 xfxx.)(lim)(lim00都都存存在在且且相相等等與與xfxfxxxx 2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限15（一）四則運(yùn)算定理（一）四則運(yùn)算定理)0, 0)()()(lim)4()()(lim)3()()(lim)2()(lim)1(

10、,)(lim,)(lim BxgBAxgxfBAxgxfBAxgxfAcxfcBxgAxfxxxxxx則則有有設(shè)設(shè)注注：x表示表示x的任一種趨向的任一種趨向.三、極限的運(yùn)算法則三、極限的運(yùn)算法則2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限16.)(lim,)(,.)(lim,)(lim000000AtgfxtgttAxfxtgttxxtt 則則時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且設(shè)設(shè)（二）復(fù)合函數(shù)的極限定理（二）復(fù)合函數(shù)的極限定理注意注意不不能能少少！”時(shí)時(shí)“條條件件00)(,:xtgtt 例如：例如：tttgxxxf1sin)(,0, 00, 1)( 0)(lim, 1)(lim00 tgxftx,0時(shí)

11、時(shí)t0)()( nntgftg：各各項(xiàng)項(xiàng)均均為為零零1)()( nntgftg：各各項(xiàng)項(xiàng)均均不不為為零零不存在！不存在！所以所以)(lim0tgfx2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限17AxgAxhxfxhxgxfxNxxxxxxx )(lim)(lim)(lim)()()(),(0000則則且且有有（三）夾逼定理（三）夾逼定理: :（四）（四）初等函數(shù)的極限初等函數(shù)的極限)()(lim)()(000 xfxfxfxxfxx 的的定定義義區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)，則則屬屬于于是是初初等等函函數(shù)數(shù)，且且若若2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限18證證明明利利用用夾夾

12、逼逼定定理理和和極極限限ennn )11(limexxx )11(lim四、兩個(gè)重要極限四、兩個(gè)重要極限1.1sinlim0 xxx2.2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限19利用夾逼定理利用夾逼定理考慮不等式考慮不等式的面積的面積扇形的面積AOCAOBAOB )2, 0(tan2121sin21 xxxx即證明證明亦即) 1 ()2, 0(tansin xxxx2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限20)2, 0(,)0,2( xx時(shí)當(dāng)) 2() 0,2(tansin xxxx)3()20(tansin xxxx將（1）式與（2）式結(jié)合起來(lái)，得到有有xx

13、xcos1sin1 得）式去除（用時(shí)注意到當(dāng),3sin, 0sin,0 xxx 2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限21)20(1sincos xxxx時(shí)因?yàn)楫?dāng)20 x0sin, 0coscos xxxx)20(1sincos xxxx即由夾逼定理得到令, 0 x1sinlim0 xxx2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限22定義定義1 1： 在某個(gè)變化過(guò)程中在某個(gè)變化過(guò)程中, ,極限為零極限為零 的函數(shù)的函數(shù), ,稱為在此變化過(guò)程中的稱為在此變化過(guò)程中的 無(wú)窮小量（無(wú)窮?。o(wú)窮小量（無(wú)窮?。Ｎ?、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量五、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量（一）定義（一）

14、定義例如：例如：.0sintan,cos1,tan,sin,2時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量都都是是 xxxxxxx.arctan2,12時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量都都是是 xxexx 注意：無(wú)窮小量是極限 為零的函數(shù)！無(wú)窮小量不是絕對(duì)值很小的數(shù)！2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限23定義定義2 2： 在某個(gè)變化過(guò)程中在某個(gè)變化過(guò)程中, ,絕對(duì)值無(wú)限絕對(duì)值無(wú)限 變大的函數(shù)變大的函數(shù), ,稱為在此變化過(guò)程中的稱為在此變化過(guò)程中的 無(wú)窮大量（無(wú)窮大）無(wú)窮大量（無(wú)窮大）。 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx記記作作無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)為為當(dāng)當(dāng)則則稱稱

15、有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx記記作作正正無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)為為當(dāng)當(dāng)則則稱稱有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) 2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限24oxy1 o21xy 例例 xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 201limxx2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限25（二）無(wú)窮小與無(wú)窮大的性質(zhì)（二）無(wú)窮小與無(wú)窮大的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：.)()()()(),()(,)()(,都都是是無(wú)無(wú)窮窮小小和和為為常常數(shù)數(shù)過(guò)過(guò)程程中中則則在在此此變變化化都都是是無(wú)無(wú)窮窮小小和和化化過(guò)過(guò)程程中中若若在在自自變變量量的

16、的同同一一個(gè)個(gè)變變xgxfxgxfcxcfxgxf 注意：注意：性質(zhì)性質(zhì)1只可以推廣到有限個(gè)函數(shù)只可以推廣到有限個(gè)函數(shù))21(lim222nnnnn 例例212)1(1lim2 nnnn0 2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限26性質(zhì)性質(zhì)3：.)()(,)(,)(,是是無(wú)無(wú)窮窮小小此此變變化化過(guò)過(guò)程程中中則則在在是是有有界界函函數(shù)數(shù)是是無(wú)無(wú)窮窮小小化化過(guò)過(guò)程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個(gè)個(gè)變變xgxfxgxf性質(zhì)性質(zhì)2：.)()()0()(,)()(,都都是是無(wú)無(wú)窮窮大大和和常常數(shù)數(shù)過(guò)過(guò)程程中中則則在在此此變變化化都都是是無(wú)無(wú)窮窮大大和和化化過(guò)過(guò)程程中中若若在在自自變變量量的的同同一一個(gè)個(gè)變變xgxfcxcfxgxf 2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限27 例例 例例?sinlim xxx是是有有界界函函數(shù)數(shù)11sin0 xx01sinlim0 xxx1sin,01lim xxxx0)(sin)1(limsinlim xxxxxx?1sinlim0 xxx2021-10-12清華微積分(高等數(shù)學(xué))第二講函數(shù)極限281.（無(wú)窮小與無(wú)窮大）（無(wú)窮小與無(wú)窮大）.)(1,)(,是是無(wú)無(wú)窮窮小小則則在在這這個(gè)個(gè)變變化化過(guò)過(guò)程程中中是是無(wú)無(wú)窮窮大大化化過(guò)過(guò)程程中中若