第六講相關性與Copula函數(shù)

1、第六講第六講相關性與相關性與Copula函數(shù)函數(shù)協(xié)方差和相關系數(shù)協(xié)方差和相關系數(shù)n變量V1 和 V2 的相關系數(shù)被定義為n變量V1 和 V2 的相關系數(shù)被定義為121212()() ()()()E VVE V E VSD V SD V121212cov( ,)()() ()V VE VVE V E V獨立性獨立性n兩個變量中，其中任意一個變量的信息（觀測值）不會影響另一個變量的分布，那么兩個變量在統(tǒng)計上被定義為獨立n精確地講，變量V1 和 V2 在統(tǒng)計上被定義為相互獨立，如果對于所有的x，下列等式成立nf ()代表變量的概率密度函數(shù)212()()f V Vxf V獨立性并不等同于獨立性并不等同

2、于零零相關相關n假定變量 V1 的值有三種均等的可能：1，0，或 +1 n如果 V1 = -1 或 V1 = +1 ，那么 V2 = 1n如果 V1 = 0 ，那么 V2 = 0n可以清楚地看到 V1 和 V2 有某種關聯(lián)性，但它們的相關系數(shù)為0幾種不同的關聯(lián)形式幾種不同的關聯(lián)形式1V1V1V2E V2E V2E V)a)b)c監(jiān)測相關系數(shù)監(jiān)測相關系數(shù)n定義 xi=(XiXi-1)/Xi-1 和 yi=(YiYi-1)/Yi-1nvarx,n ：以第n-1天估計的X的日方差nvary,n ：以第n-1天估計的Y的日方差ncovn ： 以第n-1天估計的協(xié)方差n相關系數(shù)為,covvarvarnx

3、 ny n協(xié)方差協(xié)方差n第n天的協(xié)方差為n經常被簡化為()nnnnE x yE xE y()nnE x y監(jiān)測相關系數(shù)（續(xù)）監(jiān)測相關系數(shù)（續(xù)）nEWMA：nGARCH（1，1）：111covcov(1)nnnnxy111covcovnnnnxy協(xié)方差的一致性條件協(xié)方差的一致性條件n方差-協(xié)方差矩陣滿足內部一致性條件的不等式為：對于所有的向量w，滿足0Tww二元正態(tài)分布二元正態(tài)分布n假定兩個變量V1 和 V2 服從二元正態(tài)分布，假定變量變量V1 的某個觀察值為v1，V2 在V1 = v1條件下為正態(tài)分布，期望值為n標準差為nm1 和 m2 分別為 V1 和 V2 的（無條件）期望值，s1和s2分

4、別為 V1 和 V2 的（無條件）標準差， 為 V1 和 V2 的相關系數(shù)11221Vmmss221s多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布n很容易處理n方差-協(xié)方差矩陣定義了方差和變量間的相關系數(shù)n要滿足內部一致性條件，方差-協(xié)方差矩陣就必須是半正定的生成隨機樣本生成隨機樣本：模特卡洛模擬：模特卡洛模擬n在Excel中，采用指令=NORMSINV（RAND（）來生成服從正態(tài)分布隨機數(shù)n對于產生多元聯(lián)合正態(tài)分布的隨機抽樣要采用Cholesky分解的方法因子模型因子模型n對N個變量之間的相關性進行估計，我們需要估計N(N-1)/2個參數(shù)n采用因子模型進行估計，我們就可以減少估計參數(shù)的數(shù)量單因子模型單因子模型n

5、假設 Ui 服從標準正態(tài)分布，可設n其中，共同因子 F 和特異因子 Zi 均服從標準正態(tài)分布nUi 和 Uj 的相關系數(shù)為 ai aj21iiiiUa Fa Z高斯高斯Copula函數(shù)函數(shù)n假設我們希望在不服從正態(tài)分布的兩個變量V1 和 V2 之間定義一種相關結構n我們將變量V1 和 V2 映射到U1 和 U2 上，這里的U1 和 U2 均服從標準正態(tài)分布n這種映射為分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射n假定U1 和 U2 的聯(lián)合分布為二元正態(tài)分布V之間的相關結構是通過之間的相關結構是通過U之間的相關結構定義的之間的相關結構定義的-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60

6、.811.2V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2相關性假設V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2一對一映射例例V1V2V1 到到 U1 的映射的映射V1分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)U10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2 到到 U2 的映射的映射V2分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)U20.281.410.4320.470.6680.470.8921.41例：計算聯(lián)合概率分布例：計算聯(lián)合概率分布nV1 and V2 都小于0.2的概率，等于 U1 0.84 和 U2 1.41 的概率n當Copula相關系數(shù)等于0.5時nM（0.

7、84, 1.41, 0.5）= 0.043nM是二元正態(tài)分布的累積分布函數(shù)其他其他Copula函數(shù)函數(shù)n還有許多其它Copula函數(shù)可以用于描述相關結構n一種可能是二元學生t-分布二元正態(tài)分布的二元正態(tài)分布的5000個隨機樣本個隨機樣本-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345二元學生二元學生t-分布的分布的5000個隨機樣本個隨機樣本-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345多元多元Copula函數(shù)函數(shù)n類似地，決定我們已知N個變量V1，V2，Vn 的邊際分布n我們將 Vi 映射到 Ui ，其中 Ui 服從標準正態(tài)分布（這里的映射是分位數(shù)之間的一一

8、對應）n假定 Ui 服從多元正態(tài)分布因子因子Copula模型模型n在因子Copula模型中，變量 Ui 之間的相關結構通常被假定由一個或多個因子來決定貸款組合模型貸款組合模型n定義Ti 為公司i的違約時間，將變量Ti 的分位數(shù)與Ui 的分位數(shù)之間進行一一對應的映射，假定Ui 滿足式nF 及Zi 為相互獨立的正態(tài)分布n定義Qi 為Ti 的累積概率分布n當N(U)=Qi(T)時，Prob(UiU)=Prob(TiT)21iiiiUa Fa Z2Prob()1iiiUa FUU FNa12( )Prob()1iiiiNQ Ta FTT FNa貸款組合模型（續(xù)）貸款組合模型（續(xù)）n假設所有公司之間的Copula相關系數(shù)均等同，此量被記為n對應一個期限為T，置信水平為X的投資組合，違約率的最壞情況為n假定，某交