專題八之一定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算v2013

1、定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算4.6小節(jié)，小節(jié)，Page 228定點(diǎn)數(shù)的表示定點(diǎn)數(shù)的表示n有符號(hào)數(shù)都以有符號(hào)數(shù)都以2的補(bǔ)碼表示的補(bǔ)碼表示n最高位為符號(hào)位最高位為符號(hào)位n整數(shù)部分比特?cái)?shù)為整數(shù)部分比特?cái)?shù)為m，小數(shù)部分為，小數(shù)部分為n當(dāng)沒有小數(shù)部分當(dāng)沒有小數(shù)部分-整數(shù)整數(shù)以以16bit為例，如果表示整數(shù)，大小順序如下：為例，如果表示整數(shù)，大小順序如下：0 x7FFF 32767 0 x0000 00 xFFFF -1 0 x8000 -32768整數(shù)的表示整數(shù)的表示nm-bit有符號(hào)定點(diǎn)整數(shù)表示的數(shù)據(jù)范圍：有符號(hào)定點(diǎn)整數(shù)表示的數(shù)據(jù)范圍： nm-bit無(wú)符號(hào)定點(diǎn)整數(shù)表示的數(shù)據(jù)范圍：無(wú)符號(hào)定點(diǎn)整數(shù)表示的數(shù)據(jù)范

2、圍：n能夠表示能夠表示 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)n在有限位的情況下，數(shù)據(jù)范圍有限在有限位的情況下，數(shù)據(jù)范圍有限m21201m12211mm定點(diǎn)數(shù)的表示定點(diǎn)數(shù)的表示n同樣數(shù)值的數(shù)可以用不同同樣數(shù)值的數(shù)可以用不同bit的二進(jìn)制數(shù)表的二進(jìn)制數(shù)表示示(6)10011000000110(-5)10101111111011n用更多位表示有符號(hào)數(shù)時(shí)，用更多位表示有符號(hào)數(shù)時(shí)，左邊填充符號(hào)左邊填充符號(hào)位位整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算n加減運(yùn)算加減運(yùn)算無(wú)符號(hào)數(shù)無(wú)符號(hào)數(shù) 2+900101001+1011有符號(hào)數(shù)有符號(hào)數(shù) 2+(-7)00101001+1011整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算n乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算無(wú)符號(hào)數(shù)無(wú)符號(hào)數(shù) 2x900

3、101001x001000000000001000010010整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算n乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算有符號(hào)數(shù)有符號(hào)數(shù) 2x(-7)00101001x001000000000111011110010符號(hào)位乘法，符號(hào)位乘法，取補(bǔ)碼！取補(bǔ)碼！整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算n乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算n處理器必須知道是進(jìn)行有符號(hào)還是無(wú)符號(hào)處理器必須知道是進(jìn)行有符號(hào)還是無(wú)符號(hào)數(shù)的運(yùn)算，才能給出正確結(jié)果數(shù)的運(yùn)算，才能給出正確結(jié)果擴(kuò)展擴(kuò)展n可以用不同位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)表示同一個(gè)數(shù)可以用不同位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)表示同一個(gè)數(shù)值值無(wú)符號(hào)數(shù)無(wú)符號(hào)數(shù)8bit)00000000 10010110(16bit

4、)有符號(hào)數(shù)有符號(hào)數(shù) -10610010110(8bit)11111111 10010110(16bit)n無(wú)符號(hào)數(shù)的擴(kuò)展，高位補(bǔ)無(wú)符號(hào)數(shù)的擴(kuò)展，高位補(bǔ)0。n有符號(hào)數(shù)的擴(kuò)展，高位補(bǔ)有符號(hào)數(shù)的擴(kuò)展，高位補(bǔ)符號(hào)位符號(hào)位擴(kuò)展擴(kuò)展n可以用不同位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)表示同一個(gè)數(shù)可以用不同位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)表示同一個(gè)數(shù)值值無(wú)符號(hào)數(shù)無(wú)符號(hào)數(shù)8bit)00000000 10010110(16bit)有符號(hào)數(shù)有符號(hào)數(shù) -10610010110(8bit)11111111 10010110(16bit)移位移位(shift)n可以通過左移一位完成可以通過左移一位完成x2n可以通過右移一位完成可以通過右

5、移一位完成/2無(wú)符號(hào)數(shù)無(wú)符號(hào)數(shù)151 10010111 101001011 75有符號(hào)數(shù)有符號(hào)數(shù)-105 10010111 101001011 7511001011 -53邏輯右移邏輯右移算術(shù)右移算術(shù)右移定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)n小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)稱為小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)稱為Q值值(小數(shù)，小數(shù)，n個(gè)比特個(gè)比特)n小數(shù)點(diǎn)前面的位數(shù)稱為小數(shù)點(diǎn)前面的位數(shù)稱為S值值(整數(shù)，整數(shù)，m個(gè)比特個(gè)比特)n相應(yīng)的表示定點(diǎn)小數(shù)的格式稱為相應(yīng)的表示定點(diǎn)小數(shù)的格式稱為S1Q15、S2Q14、S3Q13等等(有時(shí)也稱有時(shí)也稱Qm.n)n或簡(jiǎn)稱或簡(jiǎn)稱Q15、Q14、Q13格式的定點(diǎn)數(shù)格式的定點(diǎn)數(shù)n用于表示數(shù)據(jù)的總比特?cái)?shù)

6、為：用于表示數(shù)據(jù)的總比特?cái)?shù)為：m+n，其中包，其中包含一個(gè)符號(hào)比特（包含在含一個(gè)符號(hào)比特（包含在m個(gè)比特中）個(gè)比特中）定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)n以以S1Q15為例，大小順序如下：為例，大小順序如下：0 x7FFF0 x00010 x00000 xFFFF0 x80010 x8000-1-1+2(-15)-2(-15)02(-15)1-2(-15)整數(shù)數(shù)值整數(shù)數(shù)值/215定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)n數(shù)據(jù)范圍與精度數(shù)據(jù)范圍與精度S1Q15格式格式范圍范圍精度精度S2Q14S3Q13SmQn1521114222152142132n213244nmm22211定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)定點(diǎn)數(shù)表示的

7、小數(shù)n定點(diǎn)小數(shù)的數(shù)據(jù)范圍與數(shù)據(jù)精度有限定點(diǎn)小數(shù)的數(shù)據(jù)范圍與數(shù)據(jù)精度有限n需要在范圍與精度間做折中需要在范圍與精度間做折中n在能夠表示范圍的情況下選擇盡量大的在能夠表示范圍的情況下選擇盡量大的Q值，值，從而獲得更大的精度從而獲得更大的精度n需要考慮運(yùn)算過程中間數(shù)據(jù)的范圍需要考慮運(yùn)算過程中間數(shù)據(jù)的范圍定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)n將小數(shù)表示成定點(diǎn)數(shù)形式的方法將小數(shù)表示成定點(diǎn)數(shù)形式的方法選擇合適的選擇合適的Q值，即小數(shù)部分的比特?cái)?shù)值，即小數(shù)部分的比特?cái)?shù)n將小數(shù)將小數(shù) ，然后取整數(shù)部分，然后取整數(shù)部分0.54321 X215=17799.90542取整后取整后17800=0 x4588=(0100

8、010110001000)b=0.543212890625nx2Q15格式格式定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)定點(diǎn)數(shù)表示的小數(shù)-2.5467 X213=-20862.5664取整后取整后-20863=0 xAE81=(1010111010000001)b=-2.5467529296875Q13格式格式定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算n加減運(yùn)算加減運(yùn)算0.25+ (-0.75)00101010-0.511000.5+ (-1.5)-1001010101100定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算n處理器的運(yùn)算規(guī)則與處理器的運(yùn)算規(guī)則與Q值無(wú)關(guān)值無(wú)關(guān)n由程序員確定解釋計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)由程序員確定解釋計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)n但需要注意，

9、請(qǐng)?jiān)诩?，減運(yùn)算前對(duì)齊小數(shù)但需要注意，請(qǐng)?jiān)诩?，減運(yùn)算前對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)點(diǎn) ！定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算n乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算0.25x (-0.75)-0.18750010X 1010000000100000111011110100.小數(shù)點(diǎn)位置小數(shù)點(diǎn)位置定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算0.5x (-1.5)-0.750010 Q2X 1010 Q2000000100000111011110100.小數(shù)點(diǎn)位置小數(shù)點(diǎn)位置定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算0.5x (-1.5)-0.50100 Q3X 1010 Q2000001000000110011101000.定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算nSa1Qb1xSa2Qb

10、2 = S(a1+a2)Q(b1+b2)n小數(shù)運(yùn)算保存結(jié)果時(shí)，可以只保存高位部小數(shù)運(yùn)算保存結(jié)果時(shí)，可以只保存高位部分，從而損失部分精度分，從而損失部分精度n為了保證保存結(jié)果的為了保證保存結(jié)果的Q值，可能需要將乘積值，可能需要將乘積左移左移1位再保存位再保存(a1+a2中兩個(gè)符號(hào)位中兩個(gè)符號(hào)位)nDSP提供了將乘積自動(dòng)左移提供了將乘積自動(dòng)左移1位的功能位的功能例子：1.78 x 0.6 +2.43 = ?n估計(jì)使用的定點(diǎn)數(shù)格式：估計(jì)使用的定點(diǎn)數(shù)格式：1278.1因此，因此，S2Q14或或Q14，m=2,n=14026.0因此，因此，S1Q15或或Q15，m=1,n=15因此，因此，S3Q13或或

11、Q13，m=3,n=132243.24498.343.26.078.1x最后計(jì)算結(jié)果：最后計(jì)算結(jié)果：因此，結(jié)果可采用因此，結(jié)果可采用Q13！任何小數(shù)可以使用多種格式表示n1.78可以使用Q14格式表示（16bit）：n還可以使用Q12格式（16bit）：n還可以使用S2Q30格式（32bit）n其中整數(shù)部分比特決定數(shù)據(jù)范圍數(shù)據(jù)范圍，小數(shù)部分決定數(shù)據(jù)表示的精度精度！)710_(52.291631638478.1278.114EBxxx)710_(88.7290409678.1278.112BCxxx)851710_(.721911260446278.130EEBxx采用Q13格式計(jì)算：1.78x

12、0.6+2.43n表示兩個(gè)乘數(shù)（Q13）：n兩個(gè)定點(diǎn)小數(shù)相乘n所以，乘法結(jié)果為S6Q26，總共32bit，其中小數(shù)部分26bit，整數(shù)部分4bit，符號(hào)2bi1278.113xx491581926.026.013xx)21()21(2211*bbaababaQSQSQS)4459B0200_(71670530491514582xx已完成1.78x0.6，繼續(xù)后面的+2.43n由于后面的2.43使用S3Q13格式表示，所以，必須先將32位乘積通過移位方式保留為S3Q13的16bit存放格式，以便完成加法！n分兩步來(lái)說(shuō)明：n乘積結(jié)果71670530（0 x04459b02

13、）左移1位保存高16bit，得到S5Q11格式；n再將左移2bit，得到S3Q13， 8748n注意，因?yàn)槲覀冎莱煽?jī)結(jié)果可以用Q13存放！否則上面的操作將導(dǎo)致溢出錯(cuò)誤！完成最后的加法，n2.43用Q13表示n兩個(gè)加數(shù)都是Q13，小數(shù)點(diǎn)位置相同，可以完成加法運(yùn)算：n該結(jié)果轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的小數(shù)：n整個(gè)過程都使用的整數(shù)運(yùn)算整數(shù)運(yùn)算操作指令！19907243.213x286551990787484979.3228655131.78x0.6+2.43的C程序代碼：/* short - 16 bit, long - 32 bit */main() short a=1.78*8192; b=0.6*8192;

14、 c=2.43*8192; short d; d=(short)(long)a * (long)b *2) 16) *4) +c; printf(“The result is %fn”,d/8192.);溢出溢出n如果計(jì)算結(jié)果超出數(shù)據(jù)表示范圍，則產(chǎn)生如果計(jì)算結(jié)果超出數(shù)據(jù)表示范圍，則產(chǎn)生溢出溢出n溢出以后的結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相差甚遠(yuǎn)溢出以后的結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相差甚遠(yuǎn)n可能向正、負(fù)兩個(gè)方向溢出可能向正、負(fù)兩個(gè)方向溢出0110+ 001110010.75+ 0.3751.125-0.875溢出溢出1010+ 11010111-0.75+ -0.375-1.1250.875從計(jì)算結(jié)果中已經(jīng)無(wú)法確定實(shí)際結(jié)果從

15、計(jì)算結(jié)果中已經(jīng)無(wú)法確定實(shí)際結(jié)果應(yīng)該是什么應(yīng)該是什么每次算術(shù)運(yùn)算，每次算術(shù)運(yùn)算，CPU可以設(shè)置溢出可以設(shè)置溢出標(biāo)志標(biāo)志溢出溢出n信號(hào)處理算法中由于具有連續(xù)的乘累加運(yùn)信號(hào)處理算法中由于具有連續(xù)的乘累加運(yùn)算，因此容易出現(xiàn)溢出算，因此容易出現(xiàn)溢出n計(jì)算過程應(yīng)該保證不產(chǎn)生溢出，或者溢出計(jì)算過程應(yīng)該保證不產(chǎn)生溢出，或者溢出后能做正確的處理后能做正確的處理n定點(diǎn)定點(diǎn)DSP為溢出處理提供了各種機(jī)制為溢出處理提供了各種機(jī)制溢出溢出n為了確保不產(chǎn)生溢出，可以將需要累加的為了確保不產(chǎn)生溢出，可以將需要累加的數(shù)據(jù)縮小數(shù)據(jù)縮小n這種方式會(huì)導(dǎo)致精度損失這種方式會(huì)導(dǎo)致精度損失溢出溢出n在每次加減運(yùn)算后，判斷是否溢出。如果在

16、每次加減運(yùn)算后，判斷是否溢出。如果發(fā)生溢出，可以將輸入數(shù)據(jù)縮小后，重新發(fā)生溢出，可以將輸入數(shù)據(jù)縮小后，重新計(jì)算。計(jì)算。n極大降低計(jì)算效率極大降低計(jì)算效率溢出溢出n采用飽和的方法，得到一個(gè)最接近正確結(jié)采用飽和的方法，得到一個(gè)最接近正確結(jié)果的結(jié)果果的結(jié)果n對(duì)對(duì)32bit運(yùn)算，如果向正方向溢出，結(jié)果設(shè)運(yùn)算，如果向正方向溢出，結(jié)果設(shè)置成置成0 x7FFF FFFF。如果向負(fù)方向溢出，。如果向負(fù)方向溢出，結(jié)果設(shè)置成結(jié)果設(shè)置成n如果計(jì)算中間結(jié)果可能溢出，但保證最終如果計(jì)算中間結(jié)果可能溢出，但保證最終結(jié)果不會(huì)溢出時(shí)，這種方法引入誤差結(jié)果不會(huì)溢出時(shí)，這種方法引入誤差0 x8000 0000溢出溢出n引入保護(hù)位，采用更多的位數(shù)計(jì)算引入保護(hù)位，采用更多的位數(shù)計(jì)算1111 1010+ 1111 11011111 0111-0.75+ -0.375-1.125-1.125溢出溢出n如果計(jì)算中間結(jié)果可能溢出，但保證最終如果計(jì)算中間結(jié)果可能溢出，但保證最終結(jié)果不會(huì)溢出時(shí)，這種方法不會(huì)引入誤差結(jié)果不會(huì)溢出時(shí)，這種方法不會(huì)引入誤差n如果最終結(jié)果產(chǎn)生溢出，可以通過算術(shù)右如果最終結(jié)果產(chǎn)生溢出，可以通過算術(shù)右移的方式得到正確結(jié)果。如將移的方式得到正確結(jié)果。如將8bit結(jié)果右移結(jié)果右移1位后保存位后保存4bit結(jié)果