第11章扭轉(zhuǎn)

1、1第第1111章章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)211. .1 概概 述述3扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于桿的軸線。偶作用面垂直于桿的軸線。變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿軸軸。M eMe41 1、螺絲刀桿工作時(shí)受扭、螺絲刀桿工作時(shí)受扭。 Me主動(dòng)力偶主動(dòng)力偶阻抗力偶阻抗力偶52 2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。63 3、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。71

2、1-2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖8一、外力偶矩的計(jì)算一、外力偶矩的計(jì)算右右 圖圖9設(shè)某輪傳遞的功率設(shè)某輪傳遞的功率P P（kWkW），軸的轉(zhuǎn)速是），軸的轉(zhuǎn)速是n (r/minn (r/min）功的功率相當(dāng)于每分鐘作kW)(P1)( 601000=kWPW所作的功：外力偶矩eM2)( 2= enMWmNekWMnP.2=601000 (2)=1)(得mNr/minkW9549mnPnPMemNr/minPS7024mnNnNMe10二、二、扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖Tm Tm扭矩扭矩11 例例5-15-1圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪A A輸入功率輸入功率N NA

3、 A=50 =50 馬力，從馬力，從動(dòng)輪動(dòng)輪B B、C C、D D輸出功率分別為輸出功率分別為 N NB B=N=NC C=15=15馬力馬力 ，N ND D=20=20馬馬力，軸的轉(zhuǎn)速為力，軸的轉(zhuǎn)速為n=300n=300轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分。作軸的扭矩圖。分。作軸的扭矩圖。eMT nneMT 扭矩T的符號規(guī)定：12解：解：mN11703005070247024nNMAAmN4683002070247024mN3513001570247024nNMnNMMCDBCB 例例 圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪A A輸入功率輸入功率N NA A=50 =50 馬力，從動(dòng)馬力，從動(dòng)輪輪B B、C C、D

4、D輸出功率分別為輸出功率分別為 N NB B=N=NC C=15=15馬力馬力 ，N ND D=20=20馬馬力，軸的轉(zhuǎn)速為力，軸的轉(zhuǎn)速為n=300n=300轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分。作軸的扭矩圖。分。作軸的扭矩圖。13mN3511BMTmN702)(2CBMMTmN4683DMTmN1170mN351 mN351 mN46814T(N m)TTT123351702468 N mN mN m1511-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)161 1、實(shí)驗(yàn)：、實(shí)驗(yàn)：一、一、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力 薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)0101rt , r0：為平均半徑）(壁厚壁厚172 2、變形規(guī)

5、律：、變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度?？v向線縱向線傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。結(jié)論：結(jié)論：, 0000橫截面上橫截面上可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布, , 且方向垂直于其半徑方向。且方向垂直于其半徑方向。根據(jù)對稱性可知切應(yīng)力沿圓周均勻分布根據(jù)對稱性可知切應(yīng)力沿圓周均勻分布；,Dt Dt183 3、切應(yīng)力的計(jì)算公式：、切應(yīng)力的計(jì)算公式：2.2020200trtdrrdATAtrT202d薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算式薄壁

6、圓筒橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算式19二、關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)二、關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律l為扭轉(zhuǎn)角為扭轉(zhuǎn)角lr0即即lr0做薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)可得TtrT202lr020剪切虎克定律剪切虎克定律,pG)1 (2EG在彈性范圍內(nèi)切應(yīng)力在彈性范圍內(nèi)切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。與切應(yīng)變成正比關(guān)系。21從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體單元體單元體zyddzxddMe Me xyzabOcddxdydz0yF0zM自動(dòng)滿足自動(dòng)滿足0 xFyzxxzydddddd存在存在得得2 2、切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理22切應(yīng)力互等

7、定理切應(yīng)力互等定理 單元體在其兩對互相單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應(yīng)力垂直的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的狀態(tài)稱為純而無正應(yīng)力的狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。剪切應(yīng)力狀態(tài)。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的兩個(gè)面上，切在相互垂直的兩個(gè)面上，切應(yīng)力總是成對出現(xiàn)，并且大小應(yīng)力總是成對出現(xiàn)，并且大小相相等，等，方向同時(shí)指向或同時(shí)背離兩方向同時(shí)指向或同時(shí)背離兩個(gè)面的交線。個(gè)面的交線。2311-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算24一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一）、幾何關(guān)系一）、幾何關(guān)系：由實(shí)驗(yàn)找出變形規(guī)律由實(shí)驗(yàn)找出變形規(guī)律

8、應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律1 1、實(shí)驗(yàn)：、實(shí)驗(yàn)：25觀察變形規(guī)律：觀察變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng) 了一個(gè)不同的角度。了一個(gè)不同的角度?？v向線縱向線傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀 、大小、大小 以及間距不變，半徑仍為直線。以及間距不變，半徑仍為直線。定性分析橫截面上的應(yīng)力定性分析橫截面上的應(yīng)力00（1）00（2）因?yàn)橥粓A周上剪應(yīng)變相同，所以同因?yàn)橥粓A周上

9、剪應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)力大小相等，并且方向一圓周上切應(yīng)力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。垂直于其半徑方向。26剪應(yīng)變的變化規(guī)律剪應(yīng)變的變化規(guī)律：dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形體取楔形體O1O2ABCD 為為研究對象研究對象微段扭轉(zhuǎn)微段扭轉(zhuǎn)變形變形 d D27dxd二）物理關(guān)系二）物理關(guān)系：由應(yīng)變的變化規(guī)律由應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律PmaxG GdxdG方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。d / / dx扭轉(zhuǎn)角變化率扭轉(zhuǎn)角變化率彈性范圍內(nèi)彈性范圍內(nèi)28三）靜力關(guān)系：三）靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系應(yīng)力的計(jì)算公式應(yīng)力的計(jì)

10、算公式ATAdAIApd2令xGI Tpdd 代入物理關(guān)系式代入物理關(guān)系式 得：得：xGdd pIT圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算式。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算式。pGITx dd AxGAddd2扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算式扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算式29橫截面上橫截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量，抗扭截面模量，整個(gè)圓軸上整個(gè)圓軸上等直桿：等直桿：PWTmaxmax公式的使用條件：公式的使用條件：1 1、等直的圓軸，、等直的圓軸， 2 2、彈性范圍內(nèi)工作。、彈性范圍內(nèi)工作。I Ip p截面的極慣性矩，單位：截面的極慣性矩，單位：圓軸中圓軸中max的確定的確定44, mmm.,33

11、mmm單位單位：maxpPIW PW30圓截面的極慣性矩圓截面的極慣性矩 Ip 和抗扭截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù)WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d實(shí)心圓截面：實(shí)心圓截面：Odd31223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圓截面：空心圓截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd32 現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于前、后兩平面的任一現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于前、后兩平面的任一斜截面斜截面 ef (如圖如圖)上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。二、斜截面上的應(yīng)力二、斜截面上的應(yīng)力33分離體上作用力的平衡方程為分離體上作用力的平衡方程為 0sinsin

12、dcoscosdd, 00cossindsincosdd, 0 AAAFAAAF利用利用 = ，經(jīng)整理得，經(jīng)整理得 2cos,2sin 34由此可知：由此可知： (1) 單元體的四個(gè)側(cè)面單元體的四個(gè)側(cè)面( = 0和和 = 90)上切上切應(yīng)力的絕對值最大；應(yīng)力的絕對值最大； (2) =-45和和 =+45截面上切應(yīng)力為零，而截面上切應(yīng)力為零，而正應(yīng)力的絕對值最大；正應(yīng)力的絕對值最大； min45max45 2cos,2sin 35低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)演示低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)演示36低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口 37鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)演示鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)演示38鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口39圓軸扭

13、轉(zhuǎn)破壞分析圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析低碳鋼試件：沿橫截面斷開。低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45 的螺旋的螺旋線斷開。線斷開。 材料抗拉能力差，材料抗拉能力差，構(gòu)件沿構(gòu)件沿4545斜截面因拉應(yīng)斜截面因拉應(yīng)力而破壞（脆性材料）。力而破壞（脆性材料）。 材料抗剪切能力差，構(gòu)材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面因切應(yīng)力而發(fā)生件沿橫截面因切應(yīng)力而發(fā)生破壞破壞(塑性材料）；塑性材料）；40 若材料抗拉壓能力差，構(gòu)件沿若材料抗拉壓能力差，構(gòu)件沿-45-45斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。結(jié)論：結(jié)論： 若材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞若材料抗剪切能力差

14、，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max橫截面上！橫截面上！411 1、強(qiáng)度條件、強(qiáng)度條件：2 2、強(qiáng)度條件應(yīng)用、強(qiáng)度條件應(yīng)用：1 1）校核強(qiáng)度）校核強(qiáng)度: : .)1 (16,16433空心空心實(shí)心實(shí)心DDWPPWTmaxmax PWmaxT2 2）設(shè)計(jì)截面尺寸）設(shè)計(jì)截面尺寸: :3 3）確定外荷載）確定外荷載: :maxTPWm三、三、 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圓軸等截面圓軸: :變截面圓軸變截面圓軸: :

15、42例例 已知 T=1.5 kN . m，t = 50 MPa，試根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸與 a = 0.9 的空心圓軸。解：解：1. 確定確定實(shí)心圓軸直徑實(shí)心圓軸直徑 316dT 316 Td mm 54 d取?。簃 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163maxdT 432. 確定空心圓軸內(nèi)、外徑確定空心圓軸內(nèi)、外徑 )1 (161643DT mm 3 .76)1 (1634TDmm7 .68Dd mm 68 mm 76 dD，?。喝。?. 重量比較重量比較%5 .394)(4222ddD空心軸遠(yuǎn)比空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕實(shí)心軸輕43p116DW44例例 圖示階梯

16、狀圓軸，AB段直徑 d1=120mm，BC段直徑 d2=100mm 。扭轉(zhuǎn)力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的許用切應(yīng)力t = 80MPa ，試校核該軸的強(qiáng)度。解解： 1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kNm）MA MBMC ACB45BC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即該軸滿足強(qiáng)度條件。即該軸滿足強(qiáng)度條件。2

17、214T圖（kNm）4611-5 扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算47. 扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個(gè)橫截面的等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個(gè)橫截面的相對扭相對扭轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角(相對角位移相對角位移) 來度量。來度量。MeADB CMe pddGITx llxGIT0pdd 當(dāng)?shù)戎眻A桿相距當(dāng)?shù)戎眻A桿相距 l 的兩橫截面之間，扭矩的兩橫截面之間，扭矩T及及材料的切變模量材料的切變模量G為常量時(shí)有為常量時(shí)有pGITl 48. 剛度條件剛度條件對于精密機(jī)器的軸對于精密機(jī)器的軸 0.150.30 (/m)； 對于一般的傳動(dòng)軸對于一般的傳動(dòng)軸 2 (/m)。max 180pmax

18、GIT(/m)(/m)49 由由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比之比 = 0.5 。已知材料的許用切應(yīng)力。已知材料的許用切應(yīng)力 = 40 MPa，切變模量切變模量G= 80 GPa。軸的最大扭矩。軸的最大扭矩Tmax = 9.56 kNm，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角 =0.3 (/m)。試選。試選擇軸的直徑。擇軸的直徑。例題例題501. 按強(qiáng)度條件求所需外直徑按強(qiáng)度條件求所需外直徑D161516116343pDDW109mmm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33TD解：解： pmaxmaxW

19、T512. 按剛度條件求所需外直徑按剛度條件求所需外直徑D161532132444pDDI125.5mmm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN1056. 9321180161532393max44GTD180pmaxGIT52mm75.62 d3. 空心圓截面軸所需外直徑為空心圓截面軸所需外直徑為D125.5 mm(由剛由剛度條件控制度條件控制)，內(nèi)直徑則根據(jù)，內(nèi)直徑則根據(jù) = d/D = 0.5知知53 兩端固定的圓截面等直桿兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面C處受處受扭轉(zhuǎn)力偶矩扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖作用，如圖a所示。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛所示。已知桿的扭轉(zhuǎn)

20、剛度為度為GIp。試求桿兩端的反力偶矩以及。試求桿兩端的反力偶矩以及C截面的扭截面的扭轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。11-6 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題541. 有二個(gè)未知的反力偶矩有二個(gè)未知的反力偶矩MA， MB，但只有一，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。故為一次超靜定問題。 0 0eBAxMMMM，(b)MAMB解：解：55 2. 以固定端以固定端B為為“多余多余”約束，反力偶矩約束，反力偶矩MB為為“多余多余”未知力。在基本靜定系上加上荷載未知力。在基本靜定系上加上荷載Me和和“多余多余”未知力偶矩未知力偶矩MB(如圖如圖c)；它應(yīng)滿足的位移；它應(yīng)滿足的位移相容條件為

21、相容條件為B截面的扭轉(zhuǎn)角截面的扭轉(zhuǎn)角 B=0，利用疊加法可，利用疊加法可得得BBMBM e(c)56可由平衡方程求得為可由平衡方程求得為3. 根據(jù)位移相容條件并利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程根據(jù)位移相容條件并利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程求得求得ppeGIlMGIaMB eeeelbMlaMMMMMBA elaMMB 574. 桿的桿的AC段橫截面上的扭矩為段橫截面上的扭矩為lbMMMMTABACee (c)從而有從而有 peplGIabMGIaTACC 5811-7 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形. 等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn)等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn) 橫截面不再保持為平面而橫截面不再保持為平面而發(fā)生翹曲。平面假設(shè)不再成立。發(fā)生翹曲。平面假設(shè)不再成立。 自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)(純扭轉(zhuǎn)純扭轉(zhuǎn))等直等直桿，兩端受外力偶作用，端面桿，兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲。由于各橫截面的可自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上翹曲程度完全相同，橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力。只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力。59 約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)非等直桿，或非兩端受外力偶作非等直桿，或非兩端受外力偶作用