概率論與數(shù)理統(tǒng)計03-第三章作業(yè)及答案

1、推薦精選習題習題 3-13-11. 已知隨機變量X1和X2的概率分布分別為X1-101P141214X201P1212而且. 求X1和X2的聯(lián)合分布律.1201P X X 解解 由知. 因此X1和X2的聯(lián)合分1201P X X 1200P X X 布必形如 X2X101pi-1P110140P21P22121P31014pj12121于是根據(jù)邊緣概率密度和聯(lián)合概率分布的關(guān)系有X1和X2的聯(lián)合分布律 X2X101pi-114014001221114014推薦精選pj12121(2) 注意到, 而, 所以120,00P XX1210004P XP XX1和X2不獨立.2. 設(shè)隨機變量(X,Y)的概

2、率密度為( , )(6), 02, 24,0,.f x ykxyxy其它求: (1) 常數(shù); (2) ; (3) ; (4) .k1,3P XY1.5P X 4P XY 解解 (1) 由, 得( , )d d1f x yx y ,24242220204211d(6)d(6)d(10)82ykxyxky xxykyyk所以 .18k (2) 31201,311,3d(6)d8( , )d dxyP XYyxyxf x yx y .1322011(6)d82y xxy321113()d828yy(3) 1.51.51.5d( , )d( )dXP Xxf x yyfxx 41.5201d(6)d8

3、yxyx 1.5422011(6)d82y xxy421633()d882yy.2732(4) 作直線, 并記此直線下方區(qū)域與的矩形區(qū)域4xy( , )0f x y 的交集為. 即.見圖 3-8. 因此(0,2)(0,4)G:02,0Gxy4xP XY4(, )PX YG推薦精選 ( , )d dGf x yx y44201d(6)d8xyxyx4422011(6)d82xy xxy42211(6)(4)(4) d82yyyy422112(4)(4) d82yyy.423211(4)(4)86yy23圖圖 3-83-8 第第 4 4 題積分區(qū)域題積分區(qū)域3. 二維隨機變量的概率密度為(, )X

4、 Y2( , ),1,01,0,f x ykxy xyx其它.試確定, 并求.k2(, ),:,01PX YGG xyxx解解 由,解21114001( , )ddd(1)d26xkkf x yxdyxkxy yxxx 得.6k因而 .21124001(, )d6d3()d4xxPX YGxxy yx xxx4. 設(shè)二維隨機變量(X, Y)概率密度為推薦精選4.8 (2),01, 0,( , )0,.yxxyxf x y其它求關(guān)于X和Y邊緣概率密度. 解解 的概率密度在區(qū)域 ,外取零(, )X Y( , )f x y:0Gx10yx值.因而, 有024.8 (2)d ,01,( )( , )d

5、0,2.4(2),01,0,xXyxyxfxf x yyx xx其它.其它.124.8 (2)d ,01,( )( , )d0,2.4 (34),01,0,yYyxxyfyf x yxyyyy其它.其它.5. 假設(shè)隨機變量在區(qū)間-2, 2上服從均勻分布, 隨機變量U 1,1,1,1,UXU 若若1,1,1,1.UYU若若試求：(1) X和Y的聯(lián)合概率分布；(2).P XY1解解 (1) 見本章第三節(jié)三(4).(2).P XY111P XY 11,1P XY 13144 習題習題 3-23-21. 設(shè)(X, Y)的分布律為求: (1) 在條件YX123410.100.1020.300.10.23

6、00.200推薦精選X=2 下Y的條件分布律;推薦精選 (2) .22P XY解解 (1) 由于,所以在條件X=2 下Y6 . 02 . 01 . 003 . 02XP的條件分布律為,216 . 03 . 021, 22| 1XPYXPXYP,06 . 0022, 22|2XPYXPXYP,616 . 01 . 023, 22|3XPYXPXYP,316 . 02 . 024, 22|4XPYXPXYP或?qū)懗蒶Y 12342|XkYP2106131(2) 注意到.P Y212P YP Y0.1 0.3000.20.6而2,22,12,23,13,2P XYP XYP XYP XYP XY .0

7、.3000.20.5因此.2,2222P XYP XYP Y0.550.662. 設(shè)二維隨機變量(X, Y)的概率密度為( , )1, 01, 02 ,0,.f x yxyx其它求：(1) (X, Y)的邊緣概率密度；(2)( ),( )XYfxfy11.22P YX解解 (1) 當時,;01x20( )( , )dd2xXfxf x yyyx當x0 時或x1 時, . ( )0Xfx 推薦精選故 2 ,01,( )0,其它.Xxxfx當 0y2 時,; 12( )( , )dd12yYyfyf x yxx 當時或時, . y0y2( )0Yfy 故 1,02,( )20,.Yyyfy其它(2

8、) 當z0 時,; ( )0ZFz 當z2 時,;1)(zFZ當 0z0), 試求隨機變量和Z=X+Y的概率密度.解解 已知X和Y的概率密度分別為, ; .22()21( )e2xXfx),(x).,(, 0),(,21)(aayaayayfY由于X和Y相互獨立, 所以22()211( )()( )ded22z yaZXYafzfzy fyyya =.1 ()()2zazaa4. 設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形G=(x,y)|1x3, 1y3上的均勻分布, 試求隨機變量U=|X-Y|的概率密度f(u).解解 由題設(shè)知, X和Y的聯(lián)合概率密度為推薦精選111,3,3,( , )40,.xyf

9、 x y 其它推薦精選記為U的分布函數(shù), 參見圖 3-7, 則有( )F u當u0 時,u=0; ( )|F uPXY當u2 時,; ( )1F u 當 0 u2Y; (2) 求Z = X+Y的概率密度fZ(z).解解 (1) .11202272 ( , )d dd(2)d24yxyP XYf x yx yyxyx(2) 方法一方法一: 先求Z的分布函數(shù): .( )()( , )d dZx yzFzP XYZf x yx y當z0 時, FZ(z)0;當 0z1 時, 100( )( , )d dd(2)dzz yZDFzf x yx yyxyx = z2-z3;13當 1z2 時, 2111

10、( )1( , )d d1d(2)dZzz yDFzf x yx yyxyx = 1-(2-z)3;13當z2 時, FZ(z) = 1.故Z = X+Y的概率密度為222,01,( )( )(2) , 12,0,ZZzzzfzFzzz其其.推薦精選方法二方法二: 利用公式( )( ,)d :Zfzf x zxx2(),01, 01,( ,)0,xzxxzxf x zx其它 2,01,1,0,.zxxzx 其它當z0 或z2 時, fZ(z) = 0;當 0z1 時, 0( )(2)d(2);zZfzzxzz當 1z1, PYX及PY|X.1212解解 (1) 當x0 或y0 時, (x, y

11、) = 0, 所以 F(x, y) = 0.當 0 x1, 0y2 時, (x, y) = x2+xy,13所以 2001( , )( , )d d()d d3xyxyF x yu vu vuuvvu .32211312x yx y當 02 時,20000( , )( , )d d( , )d d( , )d dxyxyxF x yu vu vu vv uu vvu .22001()d d3xuuvvu 21(21)3xx推薦精選當x1, 01, y2 時,.122001( , )()d d13F x yuuvvu 綜上所述, 分布函數(shù)為220,00,1(),01, 02,341( , )(2

12、1),01,2,31(4),1, 02,121,1,2.或xyyx y xxyF x yxxxyyyxyxy(2) 當 0 x1 時,22202( )( , )d()d2,33Xxyxx yyxyxx故 222,01,( )30,.其它Xxxxx當 0y2 時,12011( )( , )d()d,336Yxyyx yxxxy故 11,02,( )360,.其它Yyyy(3) 當 0y2 時, X關(guān)于Y = y的條件概率密度為2( , )62( | ).( )2Yx yxxyx yyy當 0 x1 時, Y關(guān)于X = x的條件概率密度為推薦精選( , )3( | ).( )62Xx yxyy xyx(4) 參見圖 3-10. 圖圖 3-103-10 第第 9 9 題積分區(qū)域題積分區(qū)域 圖圖 3-113-11 第第 9 9 題積分題積分區(qū)域區(qū)域 11( , )d dx yP XY