4-2 矩陣的QR分解

1、12021/6/16矩矩 陣陣 論論 電電 子子 教教 程程哈爾濱工程大學理學院應用數(shù)學系哈爾濱工程大學理學院應用數(shù)學系Department of Mathematics2 矩陣的分解矩陣的分解Department of Mathematics2021/6/163定理定理2: 設設 ，那么，那么 可唯一地分解為可唯一地分解為 其中：其中： ， 為正線上三角陣為正線上三角陣AURrnrCA ArnrUU R4.2 矩陣的矩陣的QR分解分解定理定理1： 是次酉陣當且僅當是次酉陣當且僅當 的列（行）為標的列（行）為標 準正交向量組。準正交向量組。AA定義定義1: 設設 ,若若 則稱則稱 為為次酉陣，

2、次酉陣，全體列滿秩（行滿秩）的次全體列滿秩（行滿秩）的次 酉陣的集合記為：酉陣的集合記為： A)(nrrrnrCCA )( IAAIAAHH )(nrrrnrUU )(nrrrnrCCA )(nrrrnrUU 稱為稱為A的的UR分解分解Department of Mathematics2021/6/164A證明：證明：先證明分解的存在性。將矩陣先證明分解的存在性。將矩陣 按列分按列分塊塊 得到得到由于由于 ，所以，所以 是線性無關的。是線性無關的。 利用利用Schmidt正交化與單位化方法，先得到正交化與單位化方法，先得到一組正交向量組再單位化，這樣得到一組標準正一組正交向量組再單位化，這樣得

3、到一組標準正交向量組交向量組),(21rA rnrCA r ,21r ,21由前面學的定理有：由前面學的定理有：RAr),(21 其中其中: 為正線上三角陣為正線上三角陣. 設設 歐氏歐氏(酉酉)空間空間 的線性無關組的線性無關組,則則 中存在標準正交向量組中存在標準正交向量組 ,使得使得12,m VVm ,21Rmm,2121 )(mmmmmmRCR 記記: ,則則于是于是: ,下面證明分解是唯一的下面證明分解是唯一的),(21rU IUUH rnrUUURA , Department of Mathematics2021/6/165 假設假設: ,: ,那么有那么有:RUURA11RRUU

4、 注意到注意到 仍是酉矩陣，而仍是酉矩陣，而 是一個正線是一個正線上三角矩陣，因此有上三角矩陣，因此有:UU11RR于是于是: ,從而從而IUU1IRR1RRUU,IUUUUUUUUUUHHH 11111)()()(推論推論1: 設設 ，那么，那么 可唯一地分解為可唯一地分解為 其中：其中： ， 為正線下三角陣為正線下三角陣nrrCA AnrrUU LUA L證明證明:因為因為 ,則則所以所以,rnrTUUURA , nrrTTTUUURA , ,nrrTCA 推論推論2: 設設 ，那么，那么 可唯一地分解為可唯一地分解為 其中：其中： ， 為正線上三角陣為正線上三角陣AURnnnCA Ann

5、nUU RDepartment of Mathematics2021/6/166例例 1 求下列矩陣的正交三角分解求下列矩陣的正交三角分解 100010001111A解答解答:容易判斷出容易判斷出 即即 是一個列滿秩矩是一個列滿秩矩陣。按照定理的證明過程，陣。按照定理的證明過程，4 33ACA將將 的三個列向量正交化與單位化的三個列向量正交化與單位化先得到一個正交向量組先得到一個正交向量組:123ADepartment of Mathematics2021/6/167112122121113132231211223121 100(,)1(,)2111022(,)(,)(,)(,)1111112

6、3333TTT Department of Mathematics2021/6/168再將其單位化，得到一組標準正交向量組再將其單位化，得到一組標準正交向量組111222333122002216660663133336662TTTDepartment of Mathematics2021/6/169這樣，原來的向量組與標準正交向量之間的關系這樣，原來的向量組與標準正交向量之間的關系可表示成可表示成112213321262222 362362Department of Mathematics2021/6/1610將上面的式子矩陣化，即為將上面的式子矩陣化，即為123123222226602623003AURDepartment of Mathematics2021/6/1611解答解答:首先判斷出首先判斷出 ,由定理可知必存在由定理可知必存在 以及三階正線上三角矩陣以及三階正線上三角矩陣 使得使得3 33AC3 3UURAUR 212220122A練習練習: 求下列矩陣的正交三角分解求下列矩陣的正交三角分解 重復例題的步驟重復例