2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊課時學(xué)案第2章《2.3.3 點(diǎn)到直線的距離公式~2.3.4 兩條平行直線間的距離》(含解析)

1、23.3點(diǎn)到直線的距離公式23.4兩條平行直線間的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握點(diǎn)到直線距離的公式，會用公式解決有關(guān)問題.2.掌握兩條平行直線間的距離公式，并會求兩條平行直線間的距離知識點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d兩條平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20之間的距離d 思考1點(diǎn)P (x0，y0)到直線xa和直線yb的距離怎樣計算？答案P(x0，y0)到xa的距離d|ax0|；P(x0，y0)到y(tǒng)b的距離d|by0|.思考2兩直線都

2、與坐標(biāo)軸平行，可以利用公式求距離嗎？答案可以. 應(yīng)用公式時要把直線方程都化為一般式方程1當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在直線l：AxByC0上時，點(diǎn)到直線的距離公式不適用了()2點(diǎn)P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()3直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值是點(diǎn)到直線的距離()4兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離()一、點(diǎn)到直線的距離例1(1)求點(diǎn)P(2，3)到下列直線的距離yx；3y4.解yx可化為4x3y10，則點(diǎn)P(2，3)到該直線的距離為.3y4可化為3y40，則點(diǎn)P(2，3)到該直線的距離為.(2)求垂直于直線x3y50且與點(diǎn)P(

3、1,0)的距離是的直線l的方程解設(shè)與直線x3y50垂直的直線的方程為3xym0，則由點(diǎn)到直線的距離公式知，d.所以|m3|6，即m36.得m9或m3，故所求直線l的方程為3xy90或3xy30.反思感悟點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可(2)對于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線xa或yb，求點(diǎn)到它們的距離時，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d|x0a|或d|y0b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可跟蹤訓(xùn)練1(1)點(diǎn)P(1,2)到直線2xy100的距離為_答案2

4、(2)已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(3,2)和B(1,4)到直線mxy30的距離相等，則實(shí)數(shù)m的值為_答案6或解析由，得|3m5|m7|，m6或m.二、兩平行線間的距離例2(1)求兩條平行直線3x4y120與mx8y60之間的距離；(2)求到直線3x4y10的距離為3，且與此直線平行的直線的方程解(1)由兩直線平行得，m6.直線6x8y60即為3x4y30.兩平行直線間的距離d3.(2)設(shè)所求直線方程為3x4ym0，由兩平行線間的距離公式得3，解得m16或m14.故所求的直線方程為3x4y160或3x4y140.延伸探究把本例(2)改為“直線l與直線3x4y10平行且點(diǎn)P(2,3)到直線l的距離為3，

5、求直線l的方程”解由直線l平行于直線3x4y10，可設(shè)l的方程為3x4yc0，又點(diǎn)P到l的距離為3，所以3.解得c21或c9，所以，所求直線方程為3x4y210或3x4y90.反思感悟求兩條平行直線間距離的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化線線距為點(diǎn)線距來求(2)公式法：設(shè)直線l1：AxByC10，l2：AxByC20，則兩條平行直線間的距離d.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線5x12y30與直線10xmy200平行，則它們之間的距離是()A1 B2 C. D4答案A解析由兩條直線平行可得，解得m24.即5x12y100，由兩條平行線間的距離公式得d

6、1.(2)已知直線l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是_答案x2y30解析當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點(diǎn)的連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大因?yàn)锳(1,1)，B(0，1)所以kAB2，所以兩條平行直線的斜率為，所以直線l1的方程為y1(x1)，即x2y30.三、距離的綜合應(yīng)用例3兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(3，1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時，兩條直線的方程解(1)如圖，顯然有0d|AB|.而|AB|3.故所求的d的變化范圍為(0,3(

7、2)由圖可知，當(dāng)d取最大值時，兩直線與AB垂直而kAB，所以所求直線的斜率為3.故所求的直線方程分別為y23(x6)和y13(x3)，即3xy200和3xy100.反思感悟應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求最值(1)解決此題的關(guān)鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決(2)數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍跟蹤訓(xùn)練3已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,1)，B(m，)，C(4,2)，1m4.當(dāng)m為何值時，ABC的面積S最大？解|AC|，直線AC的方程為，即x3y20.因?yàn)辄c(diǎn)B(m，)到

8、直線AC的距離d，所以ABC的面積S|AC|d|m32|.因?yàn)?m4，所以12，所以0，00)到直線l：xy30的距離為1，則a等于()A. B.1C.1 D2答案B解析由點(diǎn)到直線的距離公式，得1，即|a1|.因?yàn)閍0，所以a1，故選B.4已知直線3xmy30與6x4y10互相平行，則它們之間的距離是()A4 B. C. D.答案D解析3xmy30與6x4y10平行，m2，化6x4y10為3x2y0，d.5(多選)已知A(2，4)，B(1,5)兩點(diǎn)到直線l：axy10的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值可能為()A3 B3C2 D1答案AB解析由題意得，解得a3或a3.6若點(diǎn)(2，k)到直線5x12y60

9、的距離是4，則k的值是_答案3或解析4，|1612k|52，k3或k.7已知點(diǎn)P在直線3xy50上，且點(diǎn)P到直線xy10的距離為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案(1,2)或(2，1)解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，53a)，由題意得，解得a1或2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(2，1)8經(jīng)過點(diǎn)P(3,4)，且與原點(diǎn)的距離等于3的直線l的方程為_答案x3或7x24y750解析(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，原點(diǎn)到直線l：x3的距離等于3，滿足題意；(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y4k(x3)，即kxy3k40.原點(diǎn)到直線l的距離d3，解得k.直線l的方程為7x24y750.綜上可知，直線l的方程為x3

10、或7x24y750.9求過點(diǎn)P(0,2)且與點(diǎn)A(1,1)，B(3,1)等距離的直線l的方程解方法一點(diǎn)A(1,1)與B(3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等，直線l的斜率存在，設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2，則直線l的方程為ykx2，即kxy20.由點(diǎn)A(1,1)與B(3,1)到直線l的距離相等，得，解得k0或k1.直線l的方程是y2或xy20.方法二當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時，直線l與點(diǎn)A，B的距離相等AB的中點(diǎn)是(1,1)，又直線l過點(diǎn)P(0,2)，直線l的方程是xy20；當(dāng)直線lAB時，直線l與點(diǎn)A，B的距離相等直線AB的斜率為0，直線l的斜率為0，直線l的方程為y2.綜上所述，滿足條件的直線

11、l的方程是xy20或y2.10已知正方形的中心為直線xy10和2xy20的交點(diǎn)，正方形一邊所在直線方程為x3y20，求其他三邊所在直線的方程解因?yàn)橛山獾盟灾行淖鴺?biāo)為(1,0)所以中心到已知邊的距離為.設(shè)正方形相鄰兩邊方程為x3ym0和3xyn0.因?yàn)檎叫沃行牡礁鬟吘嚯x相等，所以和.所以m4或m2(舍去)，n6或n0.所以其他三邊所在直線的方程為x3y40,3xy0,3xy60.11直線l過點(diǎn)A(3,4)且與點(diǎn)B(3,2)的距離最遠(yuǎn)，那么l的方程為()A3xy130 B3xy130C3xy130 D3xy130答案C解析由已知可知，l是過A且與AB垂直的直線，kAB，kl3，由點(diǎn)斜式得，y4

12、3(x3)，即3xy130.12過兩直線xy10和xy10的交點(diǎn)，并與原點(diǎn)的距離等于1的直線共有()A0條 B1條 C2條 D3條答案B解析聯(lián)立得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，由交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1可知，只有1條直線符合條件13已知直線l與直線l1：2xy30和l2：2xy10的距離相等，則l的方程是_答案2xy10解析方法一由題意可設(shè)l的方程為2xyc0，于是有，即|c3|c1|，解得c1，則直線l的方程為2xy10.方法二由題意知l必介于l1與l2中間，故設(shè)l的方程為2xyc0，則c1.則直線l的方程為2xy10.14已知xy30，則的最小值為_答案解析設(shè)P(x，y)，A(2，1)，則點(diǎn)P在

13、直線xy30上，且|PA|.|PA|的最小值為點(diǎn)A(2，1)到直線xy30的距離d.15已知入射光線在直線l1：2xy3上，經(jīng)過x軸反射到直線l2上，再經(jīng)過y軸反射到直線l3上若點(diǎn)P是直線l1上某一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l3的距離為()A6 B3 C. D.答案C解析如圖所示，結(jié)合圖形可知，直線l1l3，則直線l1上一點(diǎn)P到直線l3的距離即為l1與l3之間的距離由題意知l1與l2關(guān)于x軸對稱，故l2的方程為y2x3，l2與l3關(guān)于y軸對稱，故l3的方程為y2x3.由兩平行線間的距離公式，得l1與l3間的距離d，即點(diǎn)P到直線l3的距離為.16已知直線l：x2y80和兩點(diǎn)A(2,0)，B(2，4)(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA|PB|最小；(2)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PB|PA|最大解(1)設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A(m，n)，則解得故A(2,8)因?yàn)镻為直線l上